Gabarito Geometria Analítica - Módulo IV

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Gabarito das Autoatividades
GEOMETRIA ANALÍTICA
(MAD)
2011/2
Módulo IV
3UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE
GEOMETRIA ANALÍTICA
UNIDADE 1
TÓPICO 1
1 Represente no Plano Cartesiano Ortogonal os seguintes pontos:
a) A (3,0)
b) P (5,0)
c) M (-2,0)
d) B (2,3)
e) C (-1,3)
R.:
2 Dê as coordenadas dos pontos assinalados no plano cartesiano a seguir:
4 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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R.: A (3,4); B(-3,0); C(0,2); D(4,0); E(0,-4); F(-2,-3).
3 Em que quadrante se encontra cada um dos seguintes pontos:
a) (2,-5): IV quadrante.
b) (-1,3): II quadrante.
c) (4,4): I quawdrante.
d) (-5,-1): III quadrante.
e) (0,-3): sobre o eixo 0y.
f) (2,0): sobre o eixo 0x.
g) (-1,1): II quadrante.
4 Determine o valor de k, sabendo que o ponto A (2k -1, -k +2) pertence à 
bissetriz dos quadrantes ímpares.
R.: k = 1.
5 O ponto P(3k +6, -k +2) pertence à bissetriz dos quadrantes pares, pergunta-se:
a) Qual a ordenada do ponto P?
b) Em que quadrante se encontra o ponto P?
R.: k = - 4, o ponto é P(-6 6).
a) A ordenada do ponto P é 6.
b) O ponto P se encontra no segundo quadrante.
TÓPICO 2
1 Encontre a distância entre os pontos A(-3,1) e B(4,3).
R.: d(A,B) ≅7,28
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2 A distância entre os pontos A(-2,y) e B(6,7) é 10. Encontre o valor de y.
R.: Pode ser (-2,13) ou (-2,1), ambos estão a 10 unidades de distância do 
ponto B.
3 Encontre o ponto do eixo das ordenadas equidistante dos pontos A (2,-1) 
e B(6,3).
R.: Assim, o ponto C(0,5)
4 Sendo A(1,3) e B(7,13) as extremidades do segmento AB, encontre seu 
ponto médio.
R.: M(4 8)
5 Sendo A(-5,2) uma das extremidades do segmento de reta AB e M(-2,4) o 
seu ponto médio, 
calcule as coordenadas do ponto B.
R.: B(1,6)
6 Calcule a área do triângulo de vértices A(1,1), B(7,8) e C(1,10).
R.: 27 unidades quadradas.
7 Encontre o valor de x para que os pontos A(x,0), B(3,1) e C(-4,2) sejam 
colineares.
R.: x = 10
8 Encontre os três pontos de simetria do ponto A(-1,6).
R.: (-1,-6); (1,6); (1,-6).
9 Num sistema de coordenadas cartesianas, com suas unidades em 
centímetros, localizamos três pontos: A(-2,3), B(3,-3) e C (6,3). Una os três 
pontos, formando um triângulo e calcule sua área em cm².
R.: O triângulo tem 24 cm² de área.
TÓPICO 3
1 Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos:
a) A (-1,3) e B (-4,-3): 2.
b) C (2,-5) e D (2,5): não existe.
c) E (9,-4) e F (1,-4): zero.
d) G (-5,-3) e H (-4,3): 6.
6 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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2 Encontre o valor de a para que a declividade (m) da reta que passa pelos 
pontos A(a,5) e B(3,8) seja 3.
R.: a= 2.
3 Dado α = 120o, obter o coeficiente angular da reta r.
R.: 
TÓPICO 4
1 Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto P(4, 10) e tem coeficiente 
angular 3.
R.: 1. 3x – y – 2 = 0
2 Sabendo que uma reta tem uma inclinação de 45o e passa pelo ponto P(5, 
-3), determine sua equação.
R.: x – y – 8 = 0
3 Dados os pontos A (2, 3) e B(8, 5), determine a equação da reta que passa 
por estes dois pontos.
R.: Primeiro, encontramos o valor de m = 1/3, depois, calculamos a equação 
da reta: x – 3y + 7 = 0.
4 Encontre a equação geral da reta com coeficiente angular m = 
e passa pelo ponto P (2, -5).
R.: 4x + 5y + 17 = 0
5 Encontre a equação reduzida da reta que passa pelo ponto A (-3, 7) e tem 
coeficiente angular 
igual a 2.
R.: y = 2x + 13
6 Obtenha a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A (2, 1) e B 
(4, 6).
R.: y = 
 
x – 4
7 Dada a equação da reta: 2x – 3y + 5 = 0, escreva-a na forma reduzida.
R.: y = 
8 Dada a equação da reta 2x + 3y -6 = 0, determine seu coeficiente angular 
e linear.
R.: m = ; n = 2
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9 Considere a equação 3x + 4y – 12 = 0 de uma reta r. Escreva esta equação 
na sua forma segmentária.
R.: 
10 Encontre a equação segmentária da reta que passa pelos pontos A (3, 2) 
e B (-1, - 6) e faça seu gráfico.
R.: cujo gráfico é:
TÓPICO 5
1 Determine a posição da reta r, de equação: 6x + 7y + 3 = 0, em relação à 
reta s, de equação: 
12x + 14y – 21 = 0.
R.: As retas r e s são paralelas.
2 Qual a posição da reta r, de equação: 2x – y+ 5 = 0, em relação à reta s, 
de equação 5x + 2y – 10 = 0.
R.: As retas r e s são concorrentes, pois possuem coeficientes angulares 
diferentes.
3 Considere as equações r e s de equações: x+ 5y – 35= 0 e 3x + ky –27 
= 0, respectivamente. Encontre o valor de k para que as retas r e s sejam 
concorrentes.
R.: k ≠ 15
8 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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4 Encontre a equação da reta que passa pelo ponto A (11, 2) e é paralela à 
equação 2x – 3y + t = 0.
R.: 2x – 3y –16 = 0
5 Dados dois pontos A (1, 3) e B (-3, 7), calcule a equação da reta que passa 
pelo ponto médio do segmento AB, e pela intersecção das retas r e s de 
equações: 2x +y – 10 = 0 e x – y – 2 = 0, respectivamente.
R.: 3x + 5y – 22 = 0
6 Verifique se as retas 7x – 4y + 5 = 0 e 4x + 7y – 9 = 0 são perpendiculares.
R.: Sim, as retas são perpendiculares.
7 Calcule o valor de k para que as retas 3x – 3y + 7 = 0 e kx + 12y – 15 = 0 
sejam perpendiculares.
R.: k = 12.
8 Determine a equação da reta s que passa pelo ponto P (-1, -6) e é 
perpendicular à reta r de equação: x – 3y – 8 = 0.
R.: 3x + y + 9 = 0.
TÓPICO 6
1 Calcule a distância do ponto P(2, 6) à reta 3x – 4y – 2 = 0.
R.: dpr = 4
2 Determine a distância do ponto A (2, 3) à reta r de equação 3x – y – 17= 0.
 
3 Qual o valor positivo de k para que a distância do ponto P (0,1) à reta de 
equação 12x + 16y + k = 0 seja 4,5?
R.: k = 74 
UNIDADE 2
TÓPICO 1
1 Determine a equação reduzida da circunferência de centro C e raio R.
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a) b)
R.: A equação reduzida de uma circunferência de centro C (a,b) e raio R é 
dada por:
a) 
b)
2 Determine a equação reduzida da circunferência de centro em (3, 5) e raio 
igual a 4.
3 Determine a equação geral da circunferência de centro C(3, 5) e raio r = 4.
R.: A equação geral de uma circunferência de centro C(a,b) e raio r é dada 
por:
Esse exercício, em particular, pode ser resolvido de duas formas diferentes: 
ou aplicando diretamente a fórmula acima, ou utilizando a equação reduzida 
encontrada no exercício 2 e desenvolvê-la. Faremos os dois processos.
(i) Substituição direta dos dados na fórmula:
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(ii) Através da equação reduzida:
Vimos, no exercício 2, que a equação reduzida da circunferência de centro 
(3,5) e raio 4 é dada por 
Vamos desenvolvê-la para encontrar a equação geral.
4 Determine o centro e o raio da circunferência x² + y² – 10x + 4y – 20 = 0.
R.: A equação geral de uma circunferência de centro C(a,b) e raio r é dada por 
 .
Assim, para encontrar as coordenadas do centro C e do raio r da 
circunferência cuja equação é basta compará-la 
com a equação acima.
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Portanto, o centro da circunferência descrita pela equação acima é C(5, 
-2) e seu raio é 7.
5 Determine o valor de k para que a equação x²+ y ²+ 4x -2y + k = 0 represente 
uma circunferência.
R.: A equação geral de uma circunferência de centro C ( a,b) e raio r é dada por
 
Assim, para encontrar o valor k na equação , de 
tal forma que ela represente uma circunferência, vamos compará-la com a 
equação acima12 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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Agora, para que os dados acima representem as coordenadas 
de uma circunferência, o raio precisa ser maior do que zero. Então 
50500 2 <⇒>−⇒>⇒> kkrr . Portanto, para que a equação 
represente uma circunferência, k pode assumir qualquer valor real menor 
do que 5.
6 Verifique se a equação x² + y² – 6x – 8y + 25 = 0 é ou não equação de uma 
circunferência.
R.: A equação geral de uma circunferência de centro C (a,b) e raio r é dada por
 Assim, para que a equação 
 
 represente uma circunferência, precisamos 
compará-la com a equação acima e encontrar as coordenadas do seu centro 
C e o seu raio r que, obrigatoriamente, tem que ser maior do que zero.
Portanto, a equação não é de uma circunferência, pois r = 0.
7 Verifique se a equação x² + y² – 6x – 8y - 49 = 0 é ou não equação de uma 
circunferência.
R.: A equação geral de uma circunferência de centro C(a,b) e raio r é dada por
 Assim, para que a equação 
represente uma circunferência, precisamos compará-la com a equação 
acima e encontrar as coordenadas do seu centro C e o seu raio r que, 
obrigatoriamente, tem que ser maior do que zero.
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Portanto, a equação descreve uma circunferência de centro C(3,4) e raio 
 .
1 Determine as posições dos pontos P (1,1); Q (-2,3) e R (-1,1) em relação 
à circunferência 
cuja equação é x2 + y2 + 5x + 7y – 14 = 0.
R.: Vamos substituir as coordenadas dos pontos P, Q e R na equação da 
circunferência e observar o resultado.
O ponto P pertence à circunferência, porque satisfaz a equação – a 
distância das coordenadas de P ao centro da circunferência é igual ao raio.
O ponto Q é exterior, porque a distância das coordenadas de Q ao centro 
da circunferência é maior do que o raio.
TÓPICO 2
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2 Qual é a posição do ponto P (3,2) em relação à circunferência (x –1)2 +
(y-1)2 = 4?
R.: Vamos substituir as coordenadas do ponto P na equação da circunferência 
e observar o resultado.
O ponto P é exterior, porque a distância das coordenadas de P ao centro 
da circunferência é 5, ou seja, maior do que o raio r = 4.
3 Encontre a posição do ponto A (1, em relação à circunferência de 
equação: x² + y² – 4x – 4y + 4 = 0.
R.: Vamos substituir as coordenadas do ponto A na equação da circunferência 
e observar o resultado.
O ponto A é interior, porque a distância das coordenadas de A ao centro 
da circunferência é menor do que o raio.
4 Determine p de modo que o ponto A (7,9) seja exterior à circunferência de 
equação x² + y² – 2x – 2y – p = 0.
R.: Vamos encontrar o valor de p para que o ponto A seja exterior à 
circunferência, ou seja, a distância entre o seu centro C e o ponto A tem que 
ser maior do que o raio. Para isso, temos que ter a seguinte situação: 
Portanto, p pode assumir qualquer valor real menor do que 98. 
5 Determine a posição do ponto P (-1,-4) em relação à circunferência x² + 
y² – 6x + 4y + 3 = 0.
R.: Vamos substituir as coordenadas do ponto P na equação da circunferência 
e observar o resultado.
O ponto R é interior, porque a distância das coordenadas de Q ao centro 
da circunferência é menor do que o raio.
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O ponto P é exterior, porque a distância das coordenadas de P ao centro 
da circunferência é maior do que o raio.
1 Determine a posição da reta y = x + 5 em relação à circunferência de 
equação X2 + y2 – 6y +5 = 0.
R.: Para saber a posição relativa de uma reta r em relação a uma circunferência 
λ, temos que resolver o sistema composto pelas duas equações e observar 
as soluções: se houver duas soluções, r é secante à λ, pois a intercepta em 
2 pontos distintos; se houver apenas uma solução, r é tangente à λ, pois a 
intercepta em apenas um ponto; se não houver solução, r é exterior à λ, pois 
não há ponto em comum.
Substituindo y em λ,
⇒



−=
=
4
0
2
1
x
x
 O sistema possui duas soluções distintas e, portanto, a
 circunferência e a reta são secantes, já que possuem dois 
pontos em comum.
2 Qual é a posição da reta 4x + 3y = 0 em relação à circunferência x² + y² + 
5x – 7y – 1 = 0?
R.: Para saber a posição relativa de uma reta r em relação a uma circunferência 
λ, temos que resolver o sistema composto pelas duas equações e observar 
as soluções: se houver duas soluções, r é secante à λ, pois a intercepta em 
2 pontos distintos; se houver apenas uma solução, r é tangente à λ, pois a 
intercepta em apenas um ponto; se não houver solução, r é exterior à λ, pois 
não há ponto em comum.
TÓPICO 3
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Substituindo y em λ,
Multiplicando os dois lados da igualdade por 9,
Vamos calcular :∆
Mesmo sem resolver completamente o sistema, como 0>∆ , segue que 
o sistema apresenta duas soluções distintas. Portanto, a circunferência e a 
reta possuem dois pontos em comum, implicando serem secantes.
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3 Qual é a posição da reta 5x + 12y + 8 = 0 em relação à circunferência x² 
+ y² – 2x = 0?
R.: Para saber a posição relativa de uma reta r em relação a uma circunferência 
λ, temos que resolver o sistema composto pelas duas equações e observar 
as soluções: se houver duas soluções, r é secante à λ, pois a intercepta em 
2 pontos distintos; se houver apenas uma solução, r é tangente à λ, pois a 
intercepta em apenas um ponto; se não houver solução, r é exterior à λ, pois 
não há ponto em comum.
Substituindo y em λ,
Multiplicando ambos os lados da igualdade por 144,
Vamos calcular :∆
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Mesmo sem resolver completamente o sistema, como 0=∆ , segue que 
o sistema apresenta duas soluções iguais. Portanto, a circunferência e a reta 
possuem apenas um ponto em comum, implicando serem tangentes.
4 Encontre as coordenadas dos pontos onde a circunferência x² + y² + 2x + 
4y – 8 = 0 intercepta a reta cuja equação é 3x + 2y + 7 = 0.
R.: Para encontrar os pontos onde a circunferência λ é interceptada pela reta 
r, precisamos resolver o sistema formado pelas equações de ambas: 
Substituindo y em λ,
Multiplicando ambos os lados da igualdade por 4,
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Vamos calcular :∆
Assim,
Substituindo agora os valores encontrados para x em y, 
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Portanto, os pontos em que a reta r intercepta a circunferência λ são 
(1,-5) e (-3,1).
5 Determine o comprimento da corda determinada pela reta x – y = 0 sobre 
a circunferência (x + 3)2 +(y-3)2 =36. 
R.: Para determinar o comprimento da corda de uma reta r sobre uma 
circunferência λ, precisamos primeiramente encontrar os pontos em que r 
intercepta λ. Feito isso, calculamos a distância entre esses pontos.
Para encontrar os pontos onde a circunferência λ é interceptada pela reta r, 
precisamos resolver o sistema formado pelas equações de ambas: 
Substituindo x em λ,
Substituindo agora os valores encontrados para y em x, 
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Encontramos os dois pontos onde r intercepta λ: A(-3,-3) e B(3,3). Vamos 
agora determinar a distância entre eles.
Portanto, o comprimento da corda determinada pela reta r sobre a 
circunferência λ é de 26 .
6 Encontre as coordenadas dos pontos de intersecção da reta x – 2y = 0 com 
a circunferência x² + y² = 5.
R.: Para encontrar os pontosonde a circunferência λ é interceptada pela 
reta r, precisamos resolver o sistema formado pelas equações de ambas: 
Substituindo x em λ,
( )



=
−=
⇒±=⇒=⇒=
=+
=+
1
1
1155
54
52:
2
122
22
22
y
y
yyy
yy
yyλ
Substituindo agora os valores encontrados para y em x, 
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( )



−=
−=
⇒



=+
−=
⇒





=−−
−=
⇒



=−
−=
2
1
02
1
01.2
1
02
1
1
1
1
1
1
1
11
1
x
y
x
y
x
y
yx
y



=
=
⇒



=−
=
⇒





=−
=
⇒



=−
=
2
1
02
1
01.2
1
02
1
2
2
2
2
2
2
22
2
x
y
x
y
x
y
yx
y
Encontramos os dois pontos onde r intercepta λ: A (-2, -1) e B(2,1). 
7 Dada a reta x + y – 5 = 0 e a circunferência x² + y² = 25, obtenha os pontos 
de intersecção entre reta e circunferência e calcule o comprimento da corda 
que a reta determina sobre a circunferência.
R.: Para encontrar os pontos onde a circunferência λ é interceptada pela reta 
r, precisamos resolver o sistema formado pelas equações de ambas: 
Substituindo x em λ,
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Substituindo agora os valores encontrados para y em x, 
Encontramos os dois pontos onde r intercepta λ: A (5,0) e B (0,5). Vamos 
agora determinar o comprimento da corda determinada pela reta r sobre a 
circunferência λ. Para isso, basta calcularmos a distância entre os pontos 
A e B.
Portanto, o comprimento da corda determinada pela reta r sobre a 
circunferência λ é de 25 .
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TÓPICO 4
1 Determine a posição relativa da circunferência x² + y² – 4x – 6y – 3 = 0 em 
relação à circunferência x² + y² + 6x + 2y + 1 = 0.
R.: Para determinar a posição relativa entre uma circunferência 1λ em 
relação a uma circunferência 2λ precisamos calcular a distância entre os 
seus respectivos centros 
 e e compará-la com a soma dos raios 2r e 2r .( )111 ,baC ( )222 ,baC
⇒+< 2121 ),( rrCCd 1λ secante em relação à 2λ
⇒+= 2121 ),( rrCCd 1λ tangente externamente à 2λ
;
;
⇒−= 2121 ),( rrCCd 1λ tangente internamente à 2λ
⇒+> 2121 ),( rrCCd 1λ e 2λ não possuem pontos em comum.
;
Vamos então encontrar os centros e e os raios 2r e 2r 
de 1λ e 2λ , respectivamente. Para isso, precisamos comparar as equações 
de ambas com a equação geral da circunferência:
( )111 ,baC ( )222 ,baC
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Calculemos agora a distância entre os centros ( )3,21C e ( )1,32 −−C : 
Note que:
 2121 r),( 734< 4,6 rCCd +<⇒=+ . 
Portanto, 2λ secante em relação à 2λ .
2 Determine as coordenadas dos pontos comuns, se existirem, entre as 
circunferências x² + y² – 16x + 48 = 0 e x2 + y2 – 4x =0.
R.: Para determinar as coordenadas dos pontos comuns a 2λ e 2λ , basta resolver 
o sistema formado pelas suas equações.
26 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
 
A
N
A
L
Í
T
I
C
A
Vamos multiplicar a primeira equação por -1 e, depois, somá-la à segunda 
equação:
Substituindo x na segunda equação,
Portanto, as duas equações só possuem um ponto em comum, de 
coordenadas (x,y)=(4, 0).
3 Qual é a posição relativa das circunferências x² + y² = 49 e x² + y² –6x – 8y 
+ 21 = 0?
R.: Para determinar a posição relativa entre uma circunferência 1λ em relação a uma 
circunferência 2λ , precisamos calcular a distância entre os seus respectivos centros 
( )222 ,baC e ( )222 ,baC e compará-la com a soma dos raios 1r e 2r . 
⇒+< 2121 ),( rrCCd 1λ secante em relação à 2λ ;
⇒+= 2121 ),( rrCCd 1λ tangente externamente à 2λ ;
⇒−= 2121 ),( rrCCd 1λ tangente internamente à 2λ ;
⇒+> 2121 ),( rrCCd 1λ e 2λ não possuem pontos em comum.
27UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
M
E
T
R
I
A
 
A
N
A
L
Í
T
I
C
A
Vamos então encontrar os centros ( )111 ,baC e ( )222 ,baC e os raios 
2r e 2r de 1λ e 2λ , respectivamente. Para isso, precisamos comparar as 
equações de ambas com a equação geral da circunferência: 
Calculemos agora a distância entre os centros ( )4,32C e ( )4,32C :
28 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
 
A
N
A
L
Í
T
I
C
A
Note que:
2121 r),( 927 5 rCCd +<⇒=+< . 
Por outro lado, 2121 r),( 27 5 rCCd −=⇒−= . 
Portanto, as circunferências são internamente tangentes.
4 Encontre os pontos de intersecção das circunferências x² + y² – 2x – 3= 0 
e x² + y² + 2x – 4y + 1 = 0.
R.: Para determinar as coordenadas dos pontos comuns a 1λ e 2λ , basta 
resolver o sistema formado pelas suas equações.
Vamos multiplicar a primeira equação por -1 e depois somá-la à 
segunda equação:
Substituindo x na primeira equação:
29UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
M
E
T
R
I
A
 
A
N
A
L
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T
I
C
A
Visto que x = y - 1, segue:



=
=−=
⇒



=
−=
2
112
2
1
2
2
2
22
y
x
y
yx



=
−=
⇒



=
−=
0
1
0
1
1
1
1
11
y
x
y
yx
Portanto, as duas equações possuem dois ponto em comum, cujas 
coordenadas são (-1,0) e (1,2).
UNIDADE 3
TÓPICO 1
1 Determine a equação da elipse de focos F1 (3, 0) e F2 (-3, 0) e vértices, que 
são as extremidades do eixo maior A1 (5,0) e A2 (-5,0). 
R.: A equação de uma elipse de centro ( )00 , yxC , eixo maior a e eixo menor 
2b é dada por 
Quando não temos os valores de b e b , podemos determiná-los, tendo os 
dois focos 2F e 2F , os vértices (extremidades dos eixos maiores) 1A e 2A 
e as extremidades dos eixos menores 2B e 2B ,
( ) ( ) 12
2
0
2
2
0 =
−
+
−
b
yy
a
xx
30 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
 
A
N
A
L
Í
T
I
C
A
 
x 
y 
a a 
c c 
b 
1A 1F 2F 2A 
2B 
1B 
C 







+=
=
=
=
222
21
21
21
2),(
2),(
2),(
cba
cFFd
bBBd
aAAd
 Vamos determinar a equação da elipse:
3266)00())3(3(),(
2),(
)0,3(
)0,3(
222
21
21
2
1
=⇒===−+−−=⇒





=
− ccFFd
cFFd
F
F
Assim, a equação da elipse é dada por:
2 Determine as medidas dos eixos e as coordenadas dos focos das elipses 
de equações:
a) + = 1
R.: Vamos comparar a equação da elipse dada com a equação na forma geral:
31UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
M
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T
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I
A
 
A
N
A
L
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I
C
A
Pelas contas feitas anteriormente, temos que o eixo maior 1F da elipse 
mede 10 unidades de medida, enquanto que o eixo menor 1F da elipse 
mede 8 unidades de medida.
Vamos determinar a seguir as coordenadas dos focos 1F e 2F .
O fato de o centro da elipse ser a origem e os focos, nesta elipse, estarem 
no eixo OX, implicam as abscissas de 1F e 1F serem zero. Além disso, como 
a distância do centro da elipse até 1F é igual à distância do centro até 2F
, basta determinarmos uma das ordenadas: se 1F (x,0), automaticamente, 
1F (-x,0). Logo:
xxxxFFd 2)2()00())((),( 22221 ==−+−−=
Por outro lado, sabemos que cFFd 2),( 21 = . Desta forma, encontrando 
o valor de c, encontraremos as abscissas de ambos os focos:
Portanto, as coordenadas dos focos são: F1(- 3, 0) e F2(3, 0).
b) 4x2 +3y2 = 12
R.: Vamos comparar a equação da elipse dada com a equação na forma 
geral. Para isso, temos que reescrever a equação dada de uma maneira 
mais conveniente:
32 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
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T
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I
A
 
A
N
A
L
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I
C
A
Note que o número que aparece dividindo 2x é menor do que o número 
que divide 2y . Isso significa que o eixo maior se encontra no eixo das 
ordenadas e, portanto, os focos estão no eixo OY:
( )
( ) ( )



==
==
⇒





=
=
=
⇒







=
−
+
−
=+
322),(
42),(
2
3
)0,0(),(
1
1
23
21
21
00
2
2
0
2
2
0
2
2
2
2
bBBd
aAAd
a
b
CyxC
a
yy
b
xx
yx
Pelas contas feitas anteriormente, o eixo maior da elipse é 21 AA e 
mede 4 unidades de medida, enquanto o eixo menor é 21BB e mede 32 
unidades de medida.
33UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADESG
E
O
M
E
T
R
I
A
 
A
N
A
L
Í
T
I
C
A
Vamos determinar a seguir as coordenadas dos focos 1F e 2F .
O fato de o centro da elipse ser a origem e de, nesta elipse, os focos ficarem
no eixo VERTICAL, implicam as ordenadas de 1F e 1F serem zero. Além disso, 
como a distância do centro da elipse até 1F é igual à distância do centro até 2F
, basta determinarmos uma das abscissas: se 1F ( 0,y), automaticamente, 1F
(0,-y). Logo:
yyyyFFd 2)2())(()00(),( 22221 ==−−+−=
Por outro lado, sabemos que cFFd 2),( 21 = . Desta forma, 
encontrando o valor de c, encontraremos as ordenadas de ambos os 
focos.
11343232
3
2
222222
222
=⇒=−=−=⇒+=⇒





=
=
+=
ccc
b
a
cba
Portanto, as coordenadas dos focos são: F1( 0,-1) e F2(0,1).
3 Calcule a excentricidade (e = ) das elipses:
R.: Para calcular a excentricidade de uma elipse, precisamos determinar os 
valores c e a.
Neste caso:
34 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
 
A
N
A
L
Í
T
I
C
A
Agora, podemos determinar a excentricidade desta elipse:
Neste caso:
Agora, podemos determinar a excentricidade desta elipse:
4 Em uma elipse, o centro é (-2, 4), um dos focos é (-2, 7) e uma das 
extremidades do eixo menor é (-3, 4). Determine a equação dessa elipse.
R.: A equação de uma elipse de centro , eixo maior a2 e eixo menor 
b2 é dada por ou 
( )00 , yxC
( ) ( ) 12
2
0
2
2
0 =
−
+
−
b
yy
a
xx ( ) ( ) 12
2
0
2
2
0 =
−
+
−
a
yy
b
xx
,
dependendo da posição da elipse.
O exercício nos fornece o centro da elipse ( )( )4,2−C , um de seus focos 
( ))7,2(−F e a extremidade do eixo menor ( ))4,3(−B . Com esses dados, 
podemos esboçar a elipse:
35UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
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I
A
 
A
N
A
L
Í
T
I
C
A
 Neste caso, o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo OY. Logo, 
utilizaremos a equação:
( ) ( ) 12
2
0
2
2
0 =
−
+
−
a
yy
b
xx
Dado que o centro é C(-2, 4), temos: 
( ) ( ) 14)2( 2
2
2
2
=
−
+
−−
a
y
b
x
Quando não temos os valores de a e b , podemos determiná-los. 
Tendo uma das extremidades do eixo menor B , podemos encontrar a 
distância de B ao centro C , que é exatamente o valor de b :
11)00())2(3(),(
),(
)4,2(
)4,3(
222 =⇒==++−−−=⇒





=
−
−
bbCBd
bCBd
C
B
Já conhecemos o centro da elipse e encontramos o valor de F. Para 
exibirmos a equação, falta-nos encontrar o valor de a: a distância da extremidade 
do eixo maior até o centro. Não foi dado pelo problema a extremidade do eixo 
maior F . Por outro lado, tendo um dos focos F , podemos encontrar a 
distância de F ao centro C , que é exatamente o valor de c :
cFCd
FCd
F
C
==−+=−+−−−=⇒





−
−
3)3()0()74())2(2(),(
),(
)7,2(
)4,2(
2222
36 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
 
A
N
A
L
Í
T
I
C
A
De posse desse valor, usamos o Teorema de Pitágoras para encontrar a :
Assim, a equação da elipse é dada por:
TÓPICO 2
1 Calcule a distância focal de uma hipérbole cujos eixos medem 30 cm e 16 cm.
R.: O exercício nos fornece as medidas dos eixos real a2 e imaginário c2 
da hipérbole (30 cm e 16 cm), sem especificar quem é cada um. Para esse 
exercício, essa informação não será importante, uma vez que, para calcular 
a distância focal c2 , utilizaremos o teorema de Pitágoras:
37UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
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M
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R
I
A
 
A
N
A
L
Í
T
I
C
A
1F Assim c = 17 cm e, portanto, a distância focal é igual a 34 cm.
2 A distância focal de uma hipérbole mede 58 mm e seu eixo imaginário 
mede 42 mm. Calcule
 a medida do semieixo real.
R.: O exercício nos fornece as medidas do eixo imaginário b2 da hipérbole (42 
mm) e da distância focal c2 (58 mm). Vamos calcular a medida do semieixo 
real a através do teorema de Pitágoras:
3 Calcule a excentricidade de uma hipérbole cujos eixos, real e imaginário, 
medem 4 cm e 6 cm, respectivamente.
R.: Vamos calcular a excentricidade da hipérbole de eixos real 4 cm e 
imaginário 6 cm. Para isso, precisamos determinar a distância focal:
Como a excentricidade é dada pela fórmula 
a
ce = , segue que 
4 A excentricidade de uma hipérbole é igual a 3/2 e a medida de seu eixo 
imaginário é . 
Calcule a medida do eixo real dessa hipérbole.
R.: Se a excentricidade da hipérbole é igual a 
2
3
, segue que:
ac
a
c
e
a
ce
32
2
3
2
3
=⇒=⇒






=
=
38 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
 
A
N
A
L
Í
T
I
C
A
Queremos determinar o valor do eixo real dessa hipérbole a2 . O problema 
não nos fornece o valor da distância focal c2 , mas sim o eixo imaginário b2
que é igual a 56 . Assim:
Observe que temos duas equações com duas incógnitas. Vamos então 
resolver o sistema formado por elas:
Substituindo o valor de c na segunda equação:
Note que nem precisamos encontrar o valor da variável a , uma vez que 
estamos procurando exatamente o valor de a . Portanto, o semieixo real da 
hipérbole mede 6 unidades de medida.
5 Determine as medidas dos eixos e as coordenadas dos focos das hipérboles 
de equações:
R.: Vamos encontrar as medidas dos eixos e as coordenadas dos focos das 
hipérboles a seguir, mas antes, faremos uma pequena recapitulação sobre 
o assunto.
,
39UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
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T
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I
A
 
A
N
A
L
Í
T
I
C
A
Uma hipérbole com eixo real horizontal possui equação geral 
onde a é o semieixo real e b é o semieixo imaginário.
Podemos determinar a distância focal 2c através da fórmula .222 bac +=
O fato de 2c ser a distância focal significa que cFFd 2),( 21 = .
O ponto médio dessa distância é exatamente o centro da hipérbole. 
Assim, se o centro for exatamente a origem (C(0,0)), segue que 
cFCdCFd == ),(),( 21 . Mais: 
2222 )0()0(
),(
)0,0(
),(
yxyxc
yxF
C
cFCd
+=−+−=⇒




=
Ainda, se a hipérbole tem eixo real horizontal, o valor da ordenada de F 
é o mesmo da ordenada de,C, neste caso, 
Segue que: 


 −
⇒==+=+=
)0,(
)0,(
0
2
122222
cF
cF
xxxyxc
a) ( ) 132134 2
2
2
222
=−⇒=−
yxyx
12
2
2
2
=−
b
y
a
x
Esta hipérbole tem eixo real horizontal. Logo, o eixo real mede 322 =b 
e o eixo imaginário mede 322 =b .
Vamos determinar as coordenadas dos focos )0,(2 cF )0,(2 cF
773432
3
2
222
222
=⇒=+=+=⇒





=
=
+=
cc
b
a
bac
Logo, as coordenadas dos focos são: F1(- 7 , 0) e F2( 7 , 0).
,
40 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
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R
I
A
 
A
N
A
L
Í
T
I
C
A
b) ( ) ( ) 152152 2
2
2
222
=−⇒=−
xyxy
Note que esta hipérbole possui o eixo real vertical. Nesse caso, e sabendo 
que esta hipérbole também está centrada na origem do plano cartesiano, os 
focos possuem ordenada nula. Repetindo o procedimento feito no início do 
exercício (tente repetir os passos!), podemos concluir que:
Segue que 


 −
⇒==+=+=
),0(
),0(
0
2
122222
cF
cF
xyyyxc
Os eixos real e imaginário são dados automaticamente pela equação: 
Eixo real: 
Eixo imaginário: 
Coordenadas dos focos: para determiná-las, precisamos encontrar o valor 
de c
522 =b
222 =a
775252
5
2
222
222
=⇒=+=+=⇒






=
=
+=
cc
b
a
bac
Portanto, as coordenadas dos focos são: F1(0,- 7 ) e F2(0, 7 ).
Vamos reescrever a equação acima de uma maneira mais conveniente:
41UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
M
E
T
R
I
A
 
A
N
A
L
Í
T
I
C
A
Agora sim! Essa hipérbole também possui o eixo real vertical. Logo:
Eixo real: 522 =a
Eixo imaginário: 42.22 ==b
Coordenadas dos focos: 
3994525
2
5 2
22
222
==⇒=+=+=⇒






=
=
+=
cc
b
a
bac
Portanto, as coordenadas dos focos são: F1(0, -3) e F2(0, 3).
TÓPICO 3
1 Determine a equação da parábola cujo foco é o ponto F(0, -2) e cuja diretriz 
é a reta y = 2.
R.: Parábola de foco F(0,-2) e diretriz y=2:
42 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
 
A
N
A
L
Í
T
I
C
A
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
08
8
4444
)44(44
4444
202
2)2(0
2)2(0
2)2(0
)2,0(
)2,(
),(
,,
2
2
222
222222
2222
2222
2
22
2
22
2222
=+⇒
−=⇒
−−−+−=⇒
++−+−=⇒
+−=+++⇒
−+=++⇒
−+−=−−+−⇒




 −+−=



 −−+−⇒
−+−=−−+−⇒







−
=
yx
yx
yyyyx
yyyyx
yyyyx
yyx
yxxyx
yxxyx
yxxyx
F
xQ
yxP
QPdFPd
2 Determine a equação da parábola cujo foco é o ponto F(0,-5) e cuja diretriz 
é a reta y = 5.
R.: Parábola de foco F(0,-5) e diretriz y=5
3 Obtenha a equação da parábola de foco F(-3, 0) e vértice V(0, 0).
R.: Parábola de foco F(-3,0) e vértice V(0,0):
Como a parábola tem o vértice na origem, segue que a diretriz da parábola 
é a reta x=3 (a distância da diretriz ao vértice é a mesma distância do foco 
ao vértice).
43UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
M
E
T
R
I
A
 
A
N
A
L
Í
T
I
C
A
4 Encontre as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola de 
equação x2 – 8y = 0.
R.: Sabemos que, definindo o foco da parábola de vértice na origem como 





 0,
2
pF , a sua diretriz será 
2
px −= e sua equação será pxy 22 = . Por 
outro lado, se o foco da parábola for 





2
,0 pF , a sua diretriz será 
2
py −= 
e sua equação será pyx 22 = .
Equação da parábola: 082 =− yx
Reescrevendo-a de uma maneira mais conveniente, temos:
yxyx 808 22 =⇒=−
44 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
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R
I
A
 
A
N
A
L
Í
T
I
C
A


 −=
⇒=⇒=⇒




=
=
)2,0(
2:
2
2
4
2
8
2
2
F
ydpp
pyx
yx
Portanto, as coordenadas do foco são (0, 2) e a equação da diretriz é y = -2.
5 Determine as coordenadas do foco e a equação da diretriz de cada uma 
das seguintes
 parábolas de equações:
a) x2 = 10y
R.: 
Portanto, as coordenadas do foco são e a equação da diretriz é 
y = - 
2
5
.






2
5,0F
b) y2 = -7x
R.: 
Portanto, as coordenadas do foco são e a equação da diretriz 
é x = 
4
7
.





− 0,
4
7F
c) y2 – 6x = 0
R.: 
45UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
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R
I
A
 
A
N
A
L
Í
T
I
C
A
 Portanto, as coordenadas do foco são e a equação da diretriz é 
x = -
2
3
.





 0,
2
3F
TÓPICO 4
1 Escolha um sistema de eixos coordenados adequado e resolva, usando 
a Geometria Analítica, o seguinte problema de Geometria Plana: obtenha o 
raio da circunferência inscrita num triângulo retângulo cujos catetos medem 
3 cm e 4 cm. (Dica: coloque o vértice do ângulo reto do triângulo retângulo 
na origem.) 
R.: Apresentamos uma forma de resolução. Nada impede que você utilize 
outra, desde que o valor do raio da circunferência seja o mesmo que o 
encontrado a seguir:
Vamos chamar os lados do triângulo retângulo de a, b e c, onde a e b são 
os catetos e c é a hipotenusa. O problema nos dá os valores de a e b. Vamos 
determinar o valor de c através do Teorema de Pitágoras:
46 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
 
A
N
A
L
Í
T
I
C
A
Assim, o perímetro do triângulo é dado por P=a+b+c=3+4+5=12. Chamamos 
de semiperímetro a p = P/2.
O raio da circunferência inscrita pode ser calculado pela fórmula: