estudos de numerico

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MAP3121 – MÉTODOS NUMÉRICOS E APLICAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EP1: Análise matricial de estruturas não-lineares usando o Método de Newton 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guilherme Alfonso Paolini – 9350904 – turma 04 
Leonardo da Silva Montefusco – 9763849 – turma 06 
2 
 
Sumário 
1. Metodologia do programa.................................................................................................................................3 
1.1. Função 1.......................................................................................................................................................3 
1.2. Função 2.....................................................................................................................................................11 
2. Questões............................................................................................................................................................15 
2.1 Primeiro problema.......................................................................................................................................15 
2.2 Segundo problema.......................................................................................................................................25 
3. Análise do problema estudado e dos resultados obtidos..................................................................................30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
1. Metodologia do programa 
O programa criado é composto de 11 funções mais a função principal (main), de modo a facilitar o entendimento 
e a lógica utilizada. A seguir serão apresentadas as funções na ordem em que aparecem na função principal, bem 
como são requisitadas dentro de outras funções. 
Obs.: Foi feito o exercício com o programa ANACONDA para executar algumas funções; talvez faça-se 
necessário instalá-la para eventual utilização. 
A função principal (main) solicita ao usuário, primeiramente, que escolha a geometria da estrutura (1 ou 2), isto 
é, qual problema o usuário deseja fazer. A geometria 1 refere-se ao primeiro problema, e a geometria 2 refere-se ao 
segundo problema. Em seguida, solicita que o usuário escolha a função desejada (1 ou 2), sendo 1 para o cálculo de 
um valor específico de P, enquanto 2 se refere a curva tensão-deformação; também pede ao usuário que insira os 
valores de alguns parâmetros, dependendo da função escolhida. Para a função 1, deve-se entrar com os parâmetros: 
A (constante de área [cm²]), E (constante do módulo de elasticidade [KN/cm²]), P (constante de força [KN]), l 
(constante de distância [cm]), n (constante da fórmula), e beta (constante da fórmula); para a função 2, deve-se 
entrar com os seguintes parâmetros: Pmin (constante de força mínima [KN]), Pmax (constante de força máxima 
[KN]), interv ( intervalo de crescimento da constante de força [KN]), A (constante de área [cm²]), E (constante do 
módulo de elasticidade [KN/cm²]), l (constante de distância [cm]), n (constante da fórmula), e beta (constante da 
fórmula) 
1. A primeira função solicitada na função main é a função criaPlanilha, que gera uma planilha do excel; 
 
2. Logo em seguida é solicitada a função criaFolha, que cria uma folha na planilha gerada anteriormente; 
 
1.1. Função 1 
 
3. Caso o usuário tenha escolhido a função 1, é solicitada na função main a função dadosPlanilha, que toma 
como entrada os parâmetros introduzidos pelo usuário (A, E, P, l, n, beta, geometria (1 ou 2)) e a folha criada 
no passo anterior. Essa função adiciona os dados introduzidos na folha do excel, além de criar algumas 
células que servirão posteriormente nos cálculos. A seguir, segue um exemplo da planilha gerada com os 
seguintes parâmetros introduzidos (A: 0.5; E: 200; P: 5; l: 50; n: 1; beta: 0.2) e geometria do primeiro 
problema: 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Agora, para os mesmos parâmetros, porém com a geometria do segundo problema: 
 
 
 
 
A função main então calcula para a geometria 1: N1, N2, N3, F1, F2 e R (Ni: forças normais; F: matriz phi; R: 
resíduo) com as seguintes fórmulas: 
 
𝑁1 = 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
𝑢1
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
𝑢1
𝑙
)
𝑛+1
) 
𝑁2 = 2 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
𝑢2 − 𝑢1
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
𝑢2 − 𝑢1
𝑙
)
𝑛+1
) 
𝑁3 = 3 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
−𝑢2
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
−𝑢2
𝑙
)
𝑛+1
) 
𝐹11 = 𝑁2 − 𝑁1 
𝐹21 = 𝑁3 − 𝑁2 
𝑅 = √(𝐹11 − 8 ∗ 𝑃)2 + (𝐹21 + 7 ∗ 𝑃)2
2
 
 
Onde, 𝐹 = (
−𝐹11
−𝐹21
) → matriz phi 
 𝑢𝑘 = (𝑢1, 𝑢2), começando por 𝑢
0 = (0,0) 
 K=iteração 
 
Logo após o cálculo, transcreve os valores calculados nas respectivas colunas da planilha, e então, pelo método 
de Newton vai iterando e achando novos valores para u1, u2, N1, N2, N3, R, F1 e F2. Durante as iterações, a função 
main imprime K; u1, u2. 
 
 
 
5 
 
Quanto a geometria 2, a função main calcula: N1, N2, N3, N4, N5, F1, F2, F3 e R (Ni: forças normais; F: matriz 
phi; R: resíduo) com as seguintes fórmulas: 
𝑁1 = 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
𝑢3 − 𝑢1
2 ∗ 𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
𝑢3 − 𝑢1
2 ∗ 𝑙
)
𝑛+1
) 
𝑁2 = 2 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
𝑢1
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
𝑢1
𝑙
)
𝑛+1
) 
𝑁3 = 3 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
𝑢2 − 𝑢1
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
𝑢2−𝑢1
𝑙
)
𝑛+1
) 
𝑁4 = 4 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
𝑢3 − 𝑢2
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
𝑢3−𝑢2
𝑙
)
𝑛+1
) 
𝑁5 = 5 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
−𝑢3
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
−𝑢3
𝑙
)
𝑛+1
) 
𝐹11 = 𝑁1 + 𝑁3 − 𝑁2 
𝐹21 = 𝑁4 − 𝑁3 
𝐹31 = 𝑁5 + 𝑁1 − 𝑁4 
𝑅 = √(𝐹11 + 𝑃)2 + (𝐹21 + 2 ∗ 𝑃)2+(𝐹31 + 3 ∗ 𝑃)2
2
 
Onde, 𝐹 = (
−𝐹11
−𝐹21
−𝐹31
) → matriz phi 
 𝑢𝑘 = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3), começando por 𝑢
0 = (0,0,0) 
 K=iteração 
 
Logo após o cálculo, transcreve os valores calculados nas respectivas colunas da planilha, e então, pelo método 
de Newton vai iterando e achando novos valores para u1, u2, u3, N1, N2, N3, N4, N5, R, F1, F2 e F3. Durante as 
iterações, a função main imprime K; u1, u2, u3. 
 
4. A função metNewton encontra os valores de cada iteração do vetor uk=(u1, u2) (primeira geometria) ou 
uk=(u1, u2, u3) (segunda geometria) pelo método de Newton, tendo como entrada o vetor uk, geometria (1 
ou 2), A, E, P, l, n, beta. Esta função cria a seguinte matriz jacobiana para cada geometria: 
 
Geometria 1: 
𝐽 = (
𝐽11 𝐽12
𝐽21 𝐽22
) 
 
𝐽11 = 2 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
−1
𝑙
− 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (𝑛 + 1) ∗ (
(𝑥2 − 𝑥1)
𝑛
𝑙(𝑛+1)
)) − 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
1
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (𝑛 + 1) ∗ (
(𝑥1)
𝑛
𝑙(𝑛+1)
)) 
 𝐽12 = 2 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
1
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (𝑛 + 1) ∗ (
(𝑥2−𝑥1)
𝑛
𝑙(𝑛+1)
)) 
𝐽21 = −2 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
−1
𝑙
− 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (𝑛 + 1) ∗ (
(𝑥2 − 𝑥1)
𝑛
𝑙(𝑛+1)
)) 
𝐽22 = 3 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
−1
𝑙
− 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (𝑛 + 1) ∗ (
(−𝑥2)
𝑛
𝑙(𝑛+1)
)) − 2 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
1
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (𝑛 + 1) ∗ (
(𝑥2)
𝑛
𝑙(𝑛+1)
)) 
6 
 
Geometria 2: 
𝐽 = (
𝐽11 𝐽12 𝐽13
𝐽21 𝐽22 𝐽23
𝐽31 𝐽32 𝐽33
) 
𝐽11 = 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
−1
2 ∗ 𝑙
− 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (𝑛 + 1) ∗ (
(𝑥3 − 𝑥1)
𝑛
(2 ∗ 𝑙)(𝑛+1)
)) + 3 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
−1
𝑙
− 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (𝑛 + 1) ∗ (
(𝑥2 − 𝑥1)
𝑛
𝑙(𝑛+1)
)) − 2 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
1
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (𝑛 + 1) ∗ (
(𝑥1)
𝑛
𝑙(𝑛+1)
)) 
𝐽12 = 3 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
1
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (𝑛 + 1) ∗ (
(𝑥2 − 𝑥1)
𝑛
(𝑙)(𝑛+1)
)) 
𝐽13 = −𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
1
2 ∗ 𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (𝑛 + 1) ∗ (
(𝑥3 − 𝑥1)
𝑛
(2 ∗ 𝑙)(𝑛+1)
)) 
𝐽21 = −3 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
−1
𝑙
− 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (𝑛 + 1) ∗ (
(𝑥2 − 𝑥1)
𝑛
(𝑙)(𝑛+1)
)) 
𝐽22 = 4 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
−1
𝑙
− 𝑏𝑒𝑡𝑎∗ (𝑛 + 1) ∗ (
(𝑥3 − 𝑥2)
𝑛
(𝑙)(𝑛+1)
)) − 3 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
1
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (𝑛 + 1) ∗ (
(𝑥2 − 𝑥1)
𝑛
𝑙(𝑛+1)
)) 
𝐽23 = 4 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
1
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (𝑛 + 1) ∗ (
(𝑥3 − 𝑥2)
𝑛
(𝑙)(𝑛+1)
)) 
𝐽31 = −𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
−1
2 ∗ 𝑙
− 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (𝑛 + 1) ∗ (
(𝑥3 − 𝑥1)
𝑛
(2 ∗ 𝑙)(𝑛+1)
)) 
𝐽32 = −4 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
−1
𝑙
− 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (𝑛 + 1) ∗ (
(𝑥3 − 𝑥2)
𝑛
(𝑙)(𝑛+1)
)) 
𝐽33 = 5 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
−1
𝑙
− 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (𝑛 + 1) ∗ (
(𝑥3)
𝑛
(𝑙)(𝑛+1)
)) − 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
1
2 ∗ 𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (𝑛 + 1) ∗ (
(𝑥3 − 𝑥1)
𝑛
(2 ∗ 𝑙)(𝑛+1)
)) − 4 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
1
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (𝑛 + 1) ∗ (
(𝑥3−𝑥2)
𝑛
𝑙(𝑛+1)
)) 
x1=u1 
x2=u2 
x3=u3 
 Além disso, F é dado por: 
 
Para geometria 1: 
𝐹11 = 2 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
𝑥2 − 𝑥1
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
𝑥2 − 𝑥1
𝑙
)
𝑛+1
) − 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
𝑥1
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
𝑥1
𝑙
)
𝑛+1
) − 8 ∗ 𝑃 
𝐹21 = 3 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
−𝑥2
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
−𝑥2
𝑙
)
𝑛+1
) − 2 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
𝑥2 − 𝑥1
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
𝑥2 − 𝑥1
𝑙
)
𝑛+1
) + 7 ∗ 𝑃 
 
Para geometria 2: 
𝐹11 = 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
𝑥3 − 𝑥1
2 ∗ 𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
𝑥3 − 𝑥1
2 ∗ 𝑙
)
𝑛+1
) + 3 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
𝑥2 − 𝑥1
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
𝑥2−𝑥1
𝑙
)
𝑛+1
) − 2 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
𝑥1
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
𝑥1
𝑙
)
𝑛+1
) + 𝑃 
𝐹21 = 4 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
𝑥3 − 𝑥2
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
𝑥3−𝑥2
𝑙
)
𝑛+1
) − 3 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
𝑥2 − 𝑥1
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
𝑥2−𝑥1
𝑙
)
𝑛+1
) + 2 ∗ 𝑃 
𝐹31 = 5 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
−𝑥3
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
−𝑥3
𝑙
)
𝑛+1
) − 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
𝑥3 − 𝑥1
2 ∗ 𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
𝑥3 − 𝑥1
2 ∗ 𝑙
)
𝑛+1
) − 4 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
𝑥3 − 𝑥2
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
𝑥3−𝑥2
𝑙
)
𝑛+1
) + 3 ∗ 𝑃 
 
 
7 
 
Com a matriz J criada, é iniciada a função decomposicaoLU, com a finalidade de decompor a matriz jacobiana 
(J) no produto de duas matrizes (L e U). Após isso, calcula-se o novo valor de u utilizando a função somaMatriz 
que tem como entradas (x e a função cNewton), sendo que a função cNewton toma como entrada (L, U, e a 
função oposta(F)). 
 Então, após obtido o novo valor de u, ele é retornado. 
5. A função decomposiçãoLU usada na função metNewton decompõe a matriz de entrada J em duas matrizes (L 
e U) seguindo a seguinte rotina de cálculo: 
 
𝐿 ∗ 𝑈 = 𝐽 
 
Sendo J uma matriz quadrada, L e U tem as mesmas dimensões. 
 
Inicia-se criando em L uma matriz identidade e em U uma matriz nula. Após isso, considerando linha a linha a 
matriz J, são identificados os valores a serem substituídos na matriz U (acima da diagonal principal) e os 
equivalente na matriz L (abaixo da diagonal principal), tal que valha a equação acima representada. Por fim 
retornando respectivamente as matriz L e U. 
 
6. A função oposta utilizada na função metNewton que recebe a matriz F e retorna uma matriz O, tal que: 
 
𝐹 + 𝑂 = 0 
Obs.: entende-se que zero é a matriz nula. 
7. A função cNewton que teve como parâmetros de entrada (L, U e oposta(F)), utilizada na função metNewton, 
resolve o seguinte sistema: 
𝐽 ∗ 𝑐 = −𝐹 
𝐿 ∗ 𝑈 ∗ 𝑐 = 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎(𝐹) 
𝐿 ∗ 𝑦 = 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎(𝐹) 
𝑈 ∗ 𝑐 = 𝑦 
Dessa forma obtém-se o valor de c, retornando o mesmo. 
 
8. A função somaMatriz usada na função metNewton realiza a operação de soma entre duas matrizes de 
entrada e então retorna o resultado. 
 
 
Na função main, após as iterações, imprime-se o valor da matriz F com a função imprimeMatriz. 
 
9. A função imprimeMatriz imprime os valores de uma matriz de entrada. 
 
 
 
 
 
8 
 
Abaixo segue como exemplo, o resultado de algumas iterações no excel para cada geometria: 
 
Geometria 1: 
 
 
Geometria 2: 
 
 
 
 
 
9 
 
Por fim, na função main cria-se novas células no excel com seus respectivos valores finais, e novas células com os 
resultados esperados: Reações de apoio (Ri), forças normais(Ni), deformações (e) e tensões (Si) com as seguintes 
fórmulas: 
Geometria 1: 
𝑁1 = 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
𝑢1
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
𝑢1
𝑙
)
𝑛+1
) 
𝑁2 = 2 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
𝑢2 − 𝑢1
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
𝑢2 − 𝑢1
𝑙
)
𝑛+1
) 
𝑁3 = 3 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
−𝑢2
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
−𝑢2
𝑙
)
𝑛+1
) 
𝐹1 = 𝑁1 − 𝑁2 
𝐹2 = 𝑁2 − 𝑁3 
𝑒1 =
𝑢1
𝑙
 
𝑒2 =
𝑢2 − 𝑢1
𝑙
 
𝑒3 =
−𝑢2
𝑙
 
𝑅3 = −𝑁1 
𝑅4 = 𝑁3 
𝑆1 =
𝑁1
𝐴
 
𝑆2 =
𝑁2
2 ∗ 𝐴
 
𝑆3 =
𝑁3
3 ∗ 𝐴
 
 
Exemplo de geometria 1: 
 
 
 
 
 
10 
 
Geometria 2: 
𝑁1 = 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
𝑢3 − 𝑢1
2 ∗ 𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
𝑢3 − 𝑢1
2 ∗ 𝑙
)
𝑛+1
) 
𝑁2 = 2 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
𝑢1
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
𝑢1
𝑙
)
𝑛+1
) 
𝑁3 = 3 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
𝑢2 − 𝑢1
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
𝑢2−𝑢1
𝑙
)
𝑛+1
) 
𝑁4 = 4 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
𝑢3 − 𝑢2
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
𝑢3−𝑢2
𝑙
)
𝑛+1
) 
𝑁5 = 5 ∗ 𝐴 ∗ 𝐸 ∗ (
−𝑢3
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
−𝑢3
𝑙
)
𝑛+1
) 
𝐹1 = 𝑁2 − 𝑁3 − 𝑁1 
𝐹2 = 𝑁3 − 𝑁4 
𝐹3 = 𝑁4 − 𝑁1 − 𝑁5 
𝑒1 =
𝑢3−𝑢1
2 ∗ 𝑙
 
𝑒2 =
𝑢1
𝑙
 
𝑒3 =
𝑢2 − 𝑢1
𝑙
 
𝑒4 =
𝑢3 − 𝑢2
𝑙
 
𝑒5 =
−𝑢3
𝑙
 
𝑅4 = 𝑁2 
𝑅5 = −𝑁5 
𝑆1 =
𝑁1
𝐴
 
𝑆2 =
𝑁2
2 ∗ 𝐴
 
𝑆3 =
𝑁3
3 ∗ 𝐴
 
𝑆4 =
𝑁4
4 ∗ 𝐴
 
𝑆5 =
𝑁5
5 ∗ 𝐴
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
Exemplo geometria 2: 
 
 
 
1.2. Função 2 
 
Caso o usuário tenha escolhido a função 2 a função main solicita a função dadosTensaoDeformacao com os 
seguintes dados de entrada: Folha criada, A, E, l, n, beta, geometria (1 ou 2), Pmin, Pmax. 
 
10. A função dadosTensaoDeformacao adiciona os dados iniciais à planilha e cria novas células que servirão para 
cálculo posteriormente. 
 
Exemplo da geometria 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
Exemplo da geometria 2: 
 
 
Então, a função main irá utilizar a função metNewton para, pelo método de Newton (anteriormente explicado), 
calcular os valores de uk = (u1, u2) ou, uk=(u1, u2, u3), dependendo da geometria, começando sempre pelo u nulo. Com 
isso, tendo os novos valores de u a função main calcula os valores de N1, N2, N3, F11, F21, R, sigma1, epsilon1 
(geometria 1), ou N1, N2, N3, N4, N5, F11, F21, F31, R, sigma1, sigma2, sigma3, sigma4, sigma5, epsilon1, epsilon2, 
epsilon3, epsilon4, epsilon5 (geometria 2), segundo as seguintes fórmulas: (Observação: como as fórmulas dos Ni’s, 
Fi’s e R já foram apresentadas, a seguir somente será mostrado o cálculo dos sigma i’s e epsilon i’s). 
Geometria 1: 
𝑠𝑖𝑔𝑚𝑎1 = 𝐸 ∗ (
𝑢1
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
𝑢1
𝑙
)
𝑛+1
) 
𝑒𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛1 =
𝑢1
𝑙
 
Geometria 2: 
𝑠𝑖𝑔𝑚𝑎1 = 𝐸 ∗ (
𝑢3 − 𝑢1
2 ∗ 𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
𝑢3 − 𝑢1
2 ∗ 𝑙
)
𝑛+1
) 
𝑒𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛1 =
𝑢3 − 𝑢1
2 ∗ 𝑙
 
𝑠𝑖𝑔𝑚𝑎2 = 𝐸 ∗ (
𝑢1
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
𝑢1
𝑙
)
𝑛+1
) 
𝑒𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛2 =
𝑢1
𝑙
 
𝑠𝑖𝑔𝑚𝑎3 = 𝐸 ∗ (
𝑢2 − 𝑢1
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
𝑢2−𝑢1
𝑙
)
𝑛+1
) 
𝑒𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛3 =
𝑢2 − 𝑢1
𝑙
 
𝑠𝑖𝑔𝑚𝑎4 = 𝐸 ∗ (
𝑢3 − 𝑢2
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
𝑢3−𝑢2
𝑙
)
𝑛+1
) 
𝑒𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛4 =
𝑢3 − 𝑢2
𝑙
 
𝑠𝑖𝑔𝑚𝑎5 = 𝐸 ∗ (
−𝑢3
𝑙
+ 𝑏𝑒𝑡𝑎 ∗ (
−𝑢3
𝑙
)
𝑛+1
) 
𝑒𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛5 =
−𝑢3
𝑙
 
 
 
13 
 
Então a função main transcreve esses valores para a folha do excel e imprime os valores de sigma e epsilon. 
 
Exemplo da geometria 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
Exemplo da geometria 2: 
 
 
 
Por fim, acessa a última funçãosalvarPlanilha para salvar as alterações da planilha. 
 
11. A função salvarPLanilha salva a planilha, nomeando com base no tempo de execução do programa, de modo 
que não gere dois arquivos com o mesmo nome durante o uso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
2. Questões 
2.1 Primeiro Problema 
 Para esse problema, usamos os dados seguintes. A = 0.5 cm², E10= E20= E30=E=200.KN cm², P=5.0 KN, l=50.0 
cm, n=1. 
1. Para n = 1, trace as curvas tensão deformação para m=1 e β=0.2, β=1, β=2 no mesmo gráfico (cada valor 
de β corresponde a uma curva). Para n=2, trace as curvas tensão-deformação para m=1 e β=5, β=25 e 
β=125 num outro gráfico. 
 
Introduzindo esses valores no programa, utilizando os valores de tensão e deformação em módulo, 
obteve-se: 
 
N=1: 
 
 
N=2: 
 
 
 
 
OBS.: Para as questões que seguem, nas respostas, s1 e ei referem-se, respectivamente, às tensões e 
deformações. 
 
0
2
4
6
8
10
12
14
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07
Te
n
sã
o
Deformação
Curva Tensão x Deformação
beta=0.2
beta=1
beta=2
0
2
4
6
8
10
12
14
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07
Te
n
sã
o
Deformação
Curva Tensão x Deformação
beta=5
beta=25
beta=125
16 
 
2. Implemente a iteração de Newton para esse problema, começando com u0 = (0,0). Em seu código, os 
cálculos devem ser escritos usando os parâmetros A, E, P, β, l, n, para ter a possibilidade de alterar 
facilmente esses parâmetros para testar várias situações. Comece com um primeiro teste escolhendo 
β=0, que corresponde ao caso linear. Nesse caso, o algoritmo deve fornecer a solução em exatamente 
uma iteração. Para β = 0, calcule também as reações de apoio R3, R4, as forças normais Nm, as 
deformações εm e as tensões σm, m=1, 2, 3. Observe que quando β=0, o valor de n não importa. 
Pelo método de Newton obteve-se: 
k u1 u2 N1 N2 N3 R F1 F2 
0 0 0 0 0 0 53,15073 0 0 
1 -5,90909 1,136364 -11,8182 28,18182 -6,81818 1E-14 -40 35 
2 -5,90909 1,136364 -11,8182 28,18182 -6,81818 0 -40 35 
3 -5,90909 1,136364 -11,8182 28,18182 -6,81818 0 -40 35 
 
u1: -5,90909 e1: -0,11818 N1: -11,8182 F1: -40 R3: 11,81818 S1: -23,6364 
u2: 1,136364 e2: 0,140909 N2: 28,18182 F2: 35 R4: -6,81818 S2: 28,18182 
 e3: -0,02273 N3: -6,81818 S3: -4,54545 
 
3. Em seguida, resolva o sistema não-linear usando o método de Newton para n=1 e β=0.2. Em cada 
iteração (k) do método de Newton, calcule os deslocamentos u1(k), u2(k), as forças normais Nm(k), m=1, 2, 3, 
e o resíduo R(k):=| Φ(u(k))-F|. Organize esses resultados em uma tabela com 6 colunas. As linhas dessa 
tabela correspondem as iterações (k). Verifique se a matriz de rigidez D Φ(u(k)) é simétrica. Verifique se o 
método de Newton está convergindo quadraticamente. Depois da convergência, calcule também as 
reações de apoio R3, R4, as deformações εm e as tensões σm, m=1, 2, 3. 
 
k u1 u2 N1 N2 N3 R F1 F2 
0 0 0 0 0 0 53,15073 0 0 
1 -5,90909 1,136364 -11,5388 28,97603 -6,78719 0,920656 -40,5149 35,76322 
2 -5,86492 1,0786 -11,4547 28,54549 -6,44368 0,010837 -40,0002 34,98916 
3 -5,86383 1,080146 -11,4526 28,54741 -6,45288 0,00029 -40 35,00029 
4 -5,86386 1,080105 -11,4526 28,54736 -6,45263 7,7E-06 -40 34,99999 
5 -5,86386 1,080106 -11,4526 28,54736 -6,45264 2,04E-07 -40 35 
6 -5,86386 1,080106 -11,4526 28,54736 -6,45264 5,42E-09 -40 35 
7 -5,86386 1,080106 -11,4526 28,54736 -6,45264 1,44E-10 -40 35 
8 -5,86386 1,080106 -11,4526 28,54736 -6,45264 3,81E-12 -40 35 
9 -5,86386 1,080106 -11,4526 28,54736 -6,45264 1,07E-13 -40 35 
10 -5,86386 1,080106 -11,4526 28,54736 -6,45264 0 -40 35 
11 -5,86386 1,080106 -11,4526 28,54736 -6,45264 0 -40 35 
 
 
u1: -5,86386 e1: -0,11728 N1: -11,4526 F1: -40 R3: 11,45264 S1: -22,9053 
u2: 1,080106 e2: 0,138879 N2: 28,54736 F2: 35 R4: -6,45264 S2: 28,54736 
 e3: -0,0216 N3: -6,45264 S3: -4,30176 
 
A matriz de rigidez obtida, abaixo, é simétrica: 
-6,12838515 4,22220690 
4,22220690 -9,98271830 
 
17 
 
Quanto à convergência: 
 
 
Pelo gráfico acima, verifica-se que converge quadraticamente pelo método de Newton até a segunda 
iteração, logo após torna-se “constante” como pode-se observar a seguir: 
 
 
4. Execute a mesma tarefa anterior para β=1 e β=2 (para n=1). 
Para β=1: 
k u1 u2 N1 N2 N3 R F1 F2 
0 0 0 0 0 0 53,15073 0 0 
1 -5,90909 1,136364 -10,4215 32,15289 -6,66322 4,603278 -42,5744 38,81612 
2 -5,7592 0,82881 -10,1917 29,82418 -4,89043 0,285827 -40,0158 34,71461 
3 -5,71916 0,877912 -10,13 29,86998 -5,17498 0,044963 -39,9999 35,04496 
4 -5,72486 0,87048 -10,1388 29,86124 -5,13195 0,006807 -40 34,99319 
5 -5,724 0,871604 -10,1374 29,86257 -5,13846 0,001029 -40 35,00103 
6 -5,72413 0,871434 -10,1376 29,86237 -5,13748 0,000156 -40 34,99984 
7 -5,72411 0,87146 -10,1376 29,8624 -5,13763 2,35E-05 -40 35,00002 
8 -5,72411 0,871456 -10,1376 29,86239 -5,1376 3,56E-06 -40 35 
9 -5,72411 0,871456 -10,1376 29,86239 -5,13761 5,38E-07 -40 35 
 
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0 0,5 1 1,5 2 2,5
va
lo
re
s 
d
e 
u
iteração
u1
u2
Polinomial (u1)
Polinomial (u2)
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0 2 4 6 8 10 12
va
lo
re
s 
d
e 
u
iteração
u1
u2
18 
 
u1: -5,72411 e1: -0,11448 N1: -10,1376 F1: -40 R3: 10,13761 S1: -20,2752 
u2: 0,871456 e2: 0,131911 N2: 29,86239 F2: 35 R4: -5,13761 S2: 29,86239 
 e3: -0,01743 N3: -5,13761 S3: -3,42507 
 
A matriz de rigidez obtida, abaixo, é simétrica: 
-6,59736196 5,05529091 
5,05529091 -9,93028350 
 
Quanto à convergência: 
 
 
Pelo gráfico acima, verifica-se que converge quadraticamente pelo método de Newton até a segunda 
iteração, logo após, torna-se “constante” como pode-se observar a seguir: 
 
 
 
 
 
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0 0,5 1 1,5 2 2,5
va
lo
re
s 
d
e 
u
iteração
u1
u2
Polinomial (u1)
Polinomial (u2)
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0 2 4 6 8 10
va
lo
re
s 
d
e 
u
iteração
u1
u2
19 
 
Para β=2: 
k u1 u2 N1 N2 N3 R F1 F2 
0 0 0 0 0 0 53,15073 0 0 
1 -5,90909 1,136364 -9,02479 36,12397 -6,50826 9,206557 -45,1488 42,63223 
2 -5,82284 0,413949 -8,93325 31,17079 -2,44257 1,39054 -40,104 33,61336 
3 -5,54972 0,71839 -8,63549 31,3587 -4,18648 0,545211 -39,9942 35,54518 
4 -5,64688 0,604207 -8,74278 31,25651 -3,53763 0,205862 -39,9993 34,79414 
5 -5,61105 0,646704 -8,70339 31,29652 -3,77985 0,076365 -39,9999 35,07637 
6 -5,62445 0,630861 -8,71814 31,28185 -3,68965 0,028506 -40 34,97149 
7 -5,61946 0,636764 -8,71265 31,28735 -3,72327 0,010616 -40 35,01062 
8 -5,62132 0,634564 -8,7147 31,2853 -3,71074 0,003957 -40 34,99604 
9 -5,62063 0,635384 -8,71394 31,28606 -3,71541 0,001475 -40 35,00147 
10 -5,62088 0,635078 -8,71422 31,28578 -3,71367 0,00055 -40 34,99945 
11 -5,62079 0,635192 -8,71412 31,28588 -3,71432 0,000205 -40 35,0002 
12 -5,62082 0,63515 -8,71415 31,28585 -3,71408 7,63E-05 -40 34,99992 
13 -5,62081 0,635165 -8,71414 31,28586 -3,71417 2,84E-05 -40 35,00003 
14 -5,62082 0,63516 -8,71415 31,28585 -3,71413 1,06E-05 -40 34,99999 
15 -5,62081 0,635162 -8,71414 31,28586 -3,71415 3,95E-06 -40 35 
16 -5,62081 0,635161 -8,71414 31,28586 -3,71414 1,47E-06 -40 35 
 
u1: -5,62081 e1: -0,11242 N1: -8,71414 F1: -40 R3: 8,714144 S1: -17,4283 
u2: 0,635161 e2: 0,12512 N2: 31,28586 F2: 35 R4: -3,71414 S2: 31,28586 
 e3: -0,0127 N3: -3,71414 S3: -2,4761 
 
A matriz de rigidez obtida, abaixo, é simétrica: 
-7,10258180 6,00191202 
6,00191202 -9,89837421 
 
Quantoà convergência: 
 
 
Pelo gráfico acima, verifica-se que converge quadraticamente pelo método de Newton até a segunda 
iteração, logo após torna-se “constante” como pode-se observar a seguir: 
 
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0 0,5 1 1,5 2 2,5
va
lo
re
s 
d
e 
u
iteração
u1
u2
Polinomial (u1)
Polinomial (u2)
20 
 
 
 
5. Execute a mesma tarefa que a anterior, mas agora com o expoente de não-linearidade n=2 e os valores 
β=5, β=25, β=125. Discuta as diferenças/semelhanças com o caso n=1. 
 
Para β=5: 
 
k u1 u2 N1 N2 N3 R F1 F2 
0 0 0 0 0 0 53,15073 0 0 
1 -5,90909 1,136364 -12,6435 30,97962 -6,83579 4,588415 -43,6231 37,81541 
2 -5,4689 1,083745 -11,5921 28,46142 -6,51774 0,05742 -40,0535 34,97916 
3 -5,4558 1,092361 -11,5612 28,43883 -6,56981 0,008642 -40 35,00864 
4 -5,45668 1,091062 -11,5633 28,43674 -6,56196 0,001299 -40 34,9987 
5 -5,45655 1,091258 -11,5629 28,43705 -6,56314 0,000196 -40 35,0002 
6 -5,45657 1,091228 -11,563 28,43701 -6,56296 2,94E-05 -40 34,99997 
7 -5,45656 1,091233 -11,563 28,43701 -6,56299 4,43E-06 -40 35 
8 -5,45657 1,091232 -11,563 28,43701 -6,56299 6,66E-07 -40 35 
9 -5,45656 1,091232 -11,563 28,43701 -6,56299 1E-07 -40 35 
10 -5,45656 1,091232 -11,563 28,43701 -6,56299 1,51E-08 -40 35 
 
 
u1: -5,45656 e1: -0,10913 N1: -11,563 F1: -40 R3: 11,56299 S1: -23,126 
u2: 1,091232 e2: 0,130956 N2: 28,43701 F2: 35 R4: -6,56299 S2: 28,43701 
 e3: -0,02182 N3: -6,56299 S3: -4,37532 
 
A matriz de rigidez obtida, abaixo, é simétrica: 
-7,38625679 5,02896758 
5,02896758 -10,07144728 
 
 
 
 
 
 
 
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0 5 10 15 20
va
lo
re
s 
d
e 
u
iteração
u1
u2
21 
 
Quanto à convergência: 
 
 
Pelo gráfico acima, verifica-se que converge quadraticamente pelo método de Newton até a segunda 
iteração, logo após torna-se “constante” como pode-se observar a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0 0,5 1 1,5 2 2,5
va
lo
re
s 
d
e 
u
iteração
u2
u1
Polinomial (u2)
Polinomial (u1)
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0 2 4 6 8 10 12
va
lo
re
s 
d
e 
u
iteração
u2
u1
22 
 
Para β=25: 
 
k u1 u2 N1 N2 N3 R F1 F2 
0 0 0 0 0 0 53,15073 0 0 
1 -5,90909 1,136364 -15,9448 42,17083 -6,90623 22,94207 -58,1156 49,07706 
2 -4,88372 0,76401 -12,097 29,79667 -4,61082 1,98423 -41,8937 34,40749 
3 -4,43507 1,167377 -10,6149 29,44367 -7,09971 1,54449 -40,0586 36,54338 
4 -4,64724 0,860795 -11,3018 28,71634 -5,20304 1,080775 -40,0181 33,91938 
5 -4,4892 1,084634 -10,7878 29,22195 -6,58436 0,806377 -40,0098 35,80632 
6 -4,60376 0,921232 -11,159 28,84613 -5,5743 0,579595 -40,0052 34,42043 
7 -4,51962 1,040631 -10,8857 29,1171 -6,3114 0,428509 -40,0028 35,4285 
8 -4,58087 0,953386 -11,0843 28,91718 -5,77231 0,310506 -40,0015 34,6895 
9 -4,53597 1,01716 -10,9385 29,06228 -6,1661 0,228388 -40,0008 35,22839 
10 -4,56873 0,970547 -11,0447 28,95568 -5,87813 0,166185 -40,0004 34,83382 
11 -4,54475 1,004623 -10,9669 29,03332 -6,08857 0,121891 -40,0002 35,12189 
12 -4,56226 0,979714 -11,0237 28,97641 -5,9347 0,088887 -40,0001 34,91111 
13 -4,54945 0,997923 -10,9821 29,01793 -6,04717 0,065095 -40,0001 35,0651 
14 -4,55881 0,984612 -11,0125 28,98753 -5,96494 0,047525 -40 34,95248 
15 -4,55196 0,994343 -10,9903 29,00973 -6,02505 0,034775 -40 35,03478 
16 -4,55696 0,987229 -11,0065 28,99349 -5,98111 0,025404 -40 34,9746 
17 -4,55331 0,99243 -10,9947 29,00535 -6,01323 0,018581 -40 35,01858 
18 -4,55598 0,988628 -11,0033 28,99668 -5,98974 0,013578 -40 34,98642 
19 -4,55403 0,991407 -10,997 29,00302 -6,00691 0,009929 -40 35,00993 
20 -4,55545 0,989376 -11,0016 28,99838 -5,99436 0,007257 -40 34,99274 
21 -4,55441 0,990861 -10,9982 29,00177 -6,00354 0,005306 -40 35,00531 
22 -4,55517 0,989775 -11,0007 28,99929 -5,99683 0,003878 -40 34,99612 
23 -4,55462 0,990569 -10,9989 29,0011 -6,00173 0,002835 -40 35,00284 
24 -4,55502 0,989989 -11,0002 28,99978 -5,99815 0,002073 -40 34,99793 
25 -4,55472 0,990413 -10,9993 29,00075 -6,00077 0,001515 -40 35,00152 
26 -4,55494 0,990103 -11 29,00004 -5,99885 0,001108 -40 34,99889 
27 -4,55478 0,990329 -10,9994 29,00056 -6,00025 0,00081 -40 35,00081 
28 -4,5549 0,990164 -10,9998 29,00018 -5,99923 0,000592 -40 34,99941 
29 -4,55481 0,990285 -10,9995 29,00046 -5,99998 0,000433 -40 35,00043 
30 -4,55488 0,990196 -10,9997 29,00025 -5,99943 0,000316 -40 34,99968 
31 -4,55483 0,990261 -10,9996 29,0004 -5,99983 0,000231 -40 35,00023 
32 -4,55486 0,990214 -10,9997 29,00029 -5,99954 0,000169 -40 34,99983 
33 -4,55484 0,990248 -10,9996 29,00037 -5,99975 0,000124 -40 35,00012 
34 -4,55486 0,990223 -10,9997 29,00031 -5,99959 9,04E-05 -40 34,99991 
35 -4,55485 0,990241 -10,9996 29,00036 -5,99971 6,61E-05 -40 35,00007 
36 -4,55485 0,990228 -10,9997 29,00033 -5,99963 4,83E-05 -40 34,99995 
37 -4,55485 0,990238 -10,9997 29,00035 -5,99969 3,53E-05 -40 35,00004 
38 -4,55485 0,990231 -10,9997 29,00033 -5,99964 2,58E-05 -40 34,99997 
39 -4,55485 0,990236 -10,9997 29,00034 -5,99967 1,89E-05 -40 35,00002 
40 -4,55485 0,990232 -10,9997 29,00034 -5,99965 1,38E-05 -40 34,99999 
41 -4,55485 0,990235 -10,9997 29,00034 -5,99967 1,01E-05 -40 35,00001 
42 -4,55485 0,990233 -10,9997 29,00034 -5,99966 7,37E-06 -40 34,99999 
43 -4,55485 0,990234 -10,9997 29,00034 -5,99966 5,39E-06 -40 35,00001 
44 -4,55485 0,990233 -10,9997 29,00034 -5,99966 3,94E-06 -40 35 
45 -4,55485 0,990234 -10,9997 29,00034 -5,99966 2,88E-06 -40 35 
 
u1: -4,55485 e1: -0,0911 N1: -10,9997 F1: -40 R3: 10,99966 S1: -21,9993 
u2: 0,990234 e2: 0,110902 N2: 29,00034 F2: 35 R4: -5,99966 S2: 29,00034 
 e3: -0,0198 N3: -5,99966 S3: -3,99977 
 
23 
 
A matriz de rigidez obtida, abaixo, é simétrica: 
-10,93455525 7,68975532 
7,68975532 -10,29416879 
 
Quanto à convergência: 
 
 
Pelo gráfico acima, verifica-se que converge quadraticamente pelo método de Newton até a segunda 
iteração, logo após torna-se “constante” como pode-se observar a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0 0,5 1 1,5 2 2,5
va
lo
re
s 
d
e 
u
iteração
u1
u2
Polinomial (u1)
Polinomial (u2)
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0 10 20 30 40 50
va
lo
re
s 
d
e 
u
iteração
u1
u2
24 
 
Para β=125: 
 
 
O método não convergiu 
A matriz de rigidez obtida, abaixo, é simétrica: 
-23,44715301 19,56873512 
19,56873512 -20,07481733 
 
Ambos os valores de n apresentam matrizes de rigidez simétricas. Em geral, os resultados para 𝑛 = 2 demoraram mais 
para convergir, enquanto 𝛽 = 125 não convergiu mesmo após duas mil iterações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
0 500 1000 1500 2000 2500
va
lo
re
s 
d
e 
u
iteração
u1
u2
25 
 
2.2. Segundo problema: 
Consideramos a estrutura com 5 barras, onde a (m)-ésima barra tem a área mA, para m=1, 2, 3, 4, 5. Nesse 
problema, a barra (1) tem o comprimento 2l, enquanto o comprimento das outras barras é l. Os graus de liberdade 4 
e 5 são bloqueados, enquanto os graus de liberdade 1, 2, 3 são livres. Usamos os dados seguintes: A: 0.1 cm², l=20.0 
cm, P=2.0 KN, e Em0=E=200.0 KN cm² para m=1, . . . , 5. 
As tarefas para esse problema são: 
1. Efetue as mesmas tarefas que as tarefas 2, 3, 4, 5 do primeiro problema para os dois casos seguintes: n=1, 
β=3 e n=2,β=125. Observe que temos agora m=1, . . ., 5, e três deslocamentos u1(k), u2(k), u3(k) que não são 
zeros, então os vetores Φ(u) e F têm três entradas, e a matriz de rigidez D Φ(u) é uma matriz 3x3. 
Para n=1, β=3: 
k u1 u2 u3 N1 N2 N3 N4 N5 R F1 F2 F3 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 7,483315 0 0 0 
1 1,329897 2,030928 1,556701 0,115331 3,190382 2,324243 -1,76197 -5,96602 2,095809 0,750808 4,086215 4,319375 
2 1,626222 2,288023 1,797409 0,086692 4,045824 2,182495 -1,81804 -6,56404 1,188487 1,776637 4,000531 4,832691 
3 1,700473 2,391313 1,931463 0,117496 4,268428 2,287288 -1,71252 -6,8594 0,748156 1,863644 3,999812 5,264375 
4 1,745601 2,45464 2,01385 0,136823 4,405339 2,353348 -1,64658 -7,02756 0,489609 1,915168 3,999931 5,517796 
5 1,773954 2,495062 2,066902 0,149692 4,491981 2,397323 -1,60265 -7,13045 0,32717 1,944966 3,99997 5,677492 
6 1,792448 2,52167 2,101995 0,158367 4,548756 2,426962 -1,57302 -7,19619 0,221511 1,963428 3,999986 5,781529 
7 1,804779 2,539513 2,125598 0,164269 4,586726 2,447128 -1,55287 -7,23936 0,151258 1,975328 3,999994 5,850768 
8 1,813115 2,55162 2,141644 0,168312 4,612446 2,46094 -1,53906 -7,26824 0,103873 1,983194 3,999997 5,897495 
9 1,818802 2,559899 2,15263 0,171093 4,630015 2,470444 -1,52955 -7,28779 0,071606 1,988478 3,999999 5,929327 
10 1,822704 2,56559 2,160189 0,173013 4,642083 2,477004 -1,523 -7,30113 0,049491 1,992066 3,999999 5,95115 
11 1,825393 2,569516 2,165405 0,174341 4,650403 2,481541 -1,51846 -7,31029 0,034267 1,994521 4 5,966174 
12 1,827251 2,57223 2,169014 0,175262 4,656155 2,484685 -1,51531 -7,3166 0,023755 1,996208 4 5,97655 
13 1,828537 2,57411 2,171513 0,1759 4,660137 2,486865 -1,51313 -7,32096 0,016482 1,997372 4 5,983729 
14 1,829428 2,575413 2,173247 0,176343 4,662898 2,488378 -1,51162 -7,32398 0,011442 1,998177 4 5,988704 
15 1,830046 2,576318 2,17445 0,17665 4,664813 2,489429 -1,51057 -7,32608 0,007947 1,998735 4 5,992155 
16 1,830476 2,576946 2,175286 0,176864 4,666143 2,490158 -1,50984 -7,32753 0,005521 1,999121 4 5,99455 
17 1,830774 2,577382 2,175866 0,177012 4,667067 2,490665 -1,50933 -7,32854 0,003836 1,99939 4 5,996213 
18 1,830981 2,577685 2,176269 0,177115 4,667709 2,491018 -1,50898 -7,32924 0,002666 1,999576 4 5,997368 
19 1,831125 2,577896 2,176549 0,177187 4,668155 2,491263 -1,50874 -7,32972 0,001853 1,999705 4 5,998171 
20 1,831225 2,578042 2,176744 0,177237 4,668465 2,491433 -1,50857 -7,33006 0,001288 1,999795 4 5,998729 
21 1,831294 2,578144 2,176879 0,177271 4,66868 2,491551 -1,50845 -7,33029 0,000895 1,999858 4 5,999116 
22 1,831342 2,578214 2,176973 0,177295 4,66883 2,491633 -1,50837 -7,33046 0,000622 1,999901 4 5,999386 
23 1,831376 2,578263 2,177039 0,177312 4,668934 2,49169 -1,50831 -7,33057 0,000433 1,999931 4 5,999573 
24 1,831399 2,578298 2,177084 0,177324 4,669006 2,49173 -1,50827 -7,33065 0,000301 1,999952 4 5,999703 
25 1,831416 2,578321 2,177116 0,177332 4,669056 2,491758 -1,50824 -7,3307 0,000209 1,999967 4 5,999794 
26 1,831427 2,578338 2,177138 0,177337 4,669091 2,491777 -1,50822 -7,33074 0,000145 1,999977 4 5,999857 
27 1,831435 2,578349 2,177153 0,177341 4,669115 2,49179 -1,50821 -7,33077 0,000101 1,999984 4 5,9999 
28 1,83144 2,578357 2,177164 0,177344 4,669132 2,4918 -1,5082 -7,33079 7,02E-05 1,999989 4 5,999931 
29 1,831444 2,578363 2,177171 0,177346 4,669144 2,491806 -1,50819 -7,3308 4,88E-05 1,999992 4 5,999952 
30 1,831447 2,578367 2,177176 0,177347 4,669152 2,49181 -1,50819 -7,33081 3,39E-05 1,999995 4 5,999967 
31 1,831448 2,578369 2,17718 0,177348 4,669158 2,491814 -1,50819 -7,33082 2,36E-05 1,999996 4 5,999977 
32 1,83145 2,578371 2,177182 0,177349 4,669162 2,491816 -1,50818 -7,33082 1,64E-05 1,999997 4 5,999984 
33 1,831451 2,578373 2,177184 0,177349 4,669165 2,491817 -1,50818 -7,33082 1,14E-05 1,999998 4 5,999989 
34 1,831451 2,578373 2,177185 0,177349 4,669166 2,491818 -1,50818 -7,33082 7,92E-06 1,999999 4 5,999992 
35 1,831452 2,578374 2,177186 0,17735 4,669168 2,491819 -1,50818 -7,33083 5,51E-06 1,999999 4 5,999995 
36 1,831452 2,578374 2,177187 0,17735 4,669169 2,49182 -1,50818 -7,33083 3,83E-06 1,999999 4 5,999996 
37 1,831452 2,578375 2,177187 0,17735 4,669169 2,49182 -1,50818 -7,33083 2,66E-06 2 4 5,999997 
38 1,831452 2,578375 2,177187 0,17735 4,66917 2,49182 -1,50818 -7,33083 1,85E-06 2 4 5,999998 
39 1,831452 2,578375 2,177187 0,17735 4,66917 2,49182 -1,50818 -7,33083 1,29E-06 2 4 5,999999 
40 1,831452 2,578375 2,177188 0,17735 4,66917 2,49182 -1,50818 -7,33083 8,94E-07 2 4 5,999999 
26 
 
41 1,831453 2,578375 2,177188 0,17735 4,66917 2,491821 -1,50818 -7,33083 6,21E-07 2 4 5,999999 
42 1,831453 2,578375 2,177188 0,17735 4,669171 2,491821 -1,50818 -7,33083 4,32E-07 2 4 6 
43 1,831453 2,578375 2,177188 0,17735 4,669171 2,491821 -1,50818 -7,33083 3E-07 2 4 6 
 
u1: 1,831453 e1: 0,008643 N1: 0,17735 F1: 2 R4: 4,669171 S1: 1,773501 
u2: 2,578375 e2: 0,091573 N2: 4,669171 F2: 4 R5: 7,330829 S2: 23,34585 
u3: 2,177188 e3: 0,037346 N3: 2,491821 F3: 6 S3: 8,306069 
 e4: -0,02006 N4: -1,50818 S4: -3,77045 
 e5: -0,10886 N5: -7,33083 S5: -14,6617 
 
A matriz de rigidez obtida, abaixo, é assimétrica: 
-7,29703227 3,67223056 -0,52593015 
3,67223056 -7,19080551 3,51857495 
0,52593015 3,51857495 -12,31028697 
 
Quanto à convergência: 
 
Pelo gráfico nota-se que o método de Newton não converge quadraticamente. 
 
Para n=2, β=125: 
k u1 u2 u3 N1 N2 N3 N4 N5 R F1 F2 F3 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 7,483315 0 0 0 
1 1,329897 2,030928 1,556701 0,113858 4,12985 2,426078 -2,03022 -13,6779 5,794062 1,589914 4,456297 11,76149 
2 1,283006 1,791209 1,236725 -0,02314 3,885989 1,647658 -2,43103 -9,13918 0,737422 2,261476 4,078691 6,685003 
3 1,23249 1,727295 1,178394 -0,02705 3,635099 1,597988 -2,40233 -8,44873 0,06702 2,064165 4,000319 6,01935 
4 1,223227 1,721574 1,175282 -0,02398 3,590389 1,611071 -2,38896 -8,41298 0,003295 2,003294 4,000031 6,000039 
5 1,222763 1,721323 1,175191 -0,02379 3,58816 1,611859 -2,38814 -8,41193 9,15E-05 2,000092 4 6 
6 1,22275 1,721316 1,175189 -0,02379 3,588098 1,611881 -2,38812 -8,4119 2,41E-06 2,000002 4 6 
7 1,22275 1,721316 1,175188 -0,02378 3,588097 1,611881 -2,38812 -8,4119 6,33E-08 2 4 6 
8 1,22275 1,721316 1,175188 -0,02378 3,588097 1,611881 -2,38812 -8,4119 1,66E-09 2 4 6 
 
 
 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 10 20 30 40 50
va
lo
re
s 
d
e 
u
iteração
u1
u2
u3
27 
 
u1: 1,22275 e1: -0,00119 N1: -0,02378 F1: 2 R4: 3,588097 S1: -0,23785 
u2: 1,721316 e2: 0,061137 N2: 3,588097 F2: 4 R5: 8,411903 S2: 17,94048 
u3: 1,175188 e3: 0,024928 N3: 1,611881 F3: 6 S3: 5,372938 
 e4: -0,02731 N4: -2,38812 S4: -5,9703 
 e5: -0,05876 N5: -8,4119 S5: -16,8238 
 
A matriz de rigidez obtida, abaixo, é assimétrica: 
-9,00270893 3,69909871 -0,50026509 
3,69909871 -8,81755730 5,11845858 
0,50026509 5,11845858 -17,09247961 
 
Quanto à convergência: 
 
 
Pelo gráfico acima, verifica-se que converge quadraticamente pelo método de Newton até a segunda 
iteração, logo após torna-se “constante” como pode-se observar a seguir: 
 
 
 
 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,5 1 1,5 2 2,5
va
lo
re
s 
d
e 
u
iteração
u1
u2
u3
Polinomial (u1)
Polinomial (u2)
Polinomial (u3)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 2 4 6 8 10
va
lo
re
s 
d
e 
u
iteração
u1
u2
u3
28 
 
Para β=0: 
k u1 u2 u3 N1 N2 N3 N4 N5 R F1 F2 F3 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 7,483315 0 0 0 
1 1,329897 2,030928 1,556701 0,113402 2,659794 2,103093 -1,89691 -7,78351 1,556701 0,443299 4 6 
2 1,735121 2,275667 1,681077 -0,02702 3,470241 1,621639 -2,37836 -8,40538 0,124376 1,875624 4 6 
3 1,767497 2,295221 1,691014 -0,03824 3,534994 1,583172 -2,41683 -8,45507 0,009937 1,990063 4 6 
41,770084 2,296783 1,691808 -0,03914 3,540167 1,580099 -2,4199 -8,45904 0,000794 1,999206 4 6 
5 1,77029 2,296908 1,691871 -0,03921 3,54058 1,579853 -2,42015 -8,45936 6,34E-05 1,999937 4 6 
6 1,770307 2,296918 1,691876 -0,03922 3,540613 1,579834 -2,42017 -8,45938 5,07E-06 1,999995 4 6 
7 1,770308 2,296919 1,691877 -0,03922 3,540616 1,579832 -2,42017 -8,45938 4,05E-07 2 4 6 
8 1,770308 2,296919 1,691877 -0,03922 3,540616 1,579832 -2,42017 -8,45938 3,24E-08 2 4 6 
 
u1: 1,770308 e1: -0,00196 N1: -0,03922 F1: 2 R4: 3,540616 S1: -0,39216 
u2: 2,296919 e2: 0,088515 N2: 3,540616 F2: 4 R5: 8,459384 S2: 17,70308 
u3: 1,691877 e3: 0,026331 N3: 1,579832 F3: 6 S3: 5,266106 
 e4: -0,03025 N4: -2,42017 S4: -6,05042 
 e5: -0,08459 N5: -8,45938 S5: -16,9188 
 
A matriz de rigidez obtida, abaixo, é assimétrica: 
-5,50000000 3,00000000 -0,50000000 
3,00000000 -7,00000000 4,00000000 
0,50000000 4,00000000 -9,50000000 
 
Quanto à convergência: 
 
Pelo gráfico nota-se que o método de Newton não converge quadraticamente. 
Durante as iterações, para ambos os valores de n, u foi calculado rapidamente. A matriz de rigidez para ambos os 
valores de n não apresentou simetria. As matrizes de rigidez apresentaram comportamento assimétrico sempre 
entre os termos 𝑅13 e 𝑅31. 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 2 4 6 8 10
va
lo
re
s 
d
e 
u
iteração
u1
u2
u3
29 
 
2. Trace os gráficos das curvas das tensões e das deformações em função da carga P, nas barras com as 
maiores tensões de tração e de compressão, correspondendo aos maiores alongamentos e encurtamentos. 
Os gráficos devem ser traçados apenas para os dois casos seguintes: n=1, β=3 (para P=0, . . ., 1.6KN); e n=2, 
β=125 (para P=0, . . ., 4.0 KN). 
 
Introduzindo esses valores no programa, utilizando os valores de tensão e deformação em módulo, obteve-se: 
 
Para n=1, β=3: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 0,5 1 1,5 2
te
n
sã
o
carga
barra 2 (máx. tração)
barra 5 (máx. compressão)
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0 0,5 1 1,5 2
d
ef
o
rm
aç
ão
carga
barra 2 (máx. tração)
barra 5 (máx. compressão)
30 
 
Para n=2, β=125: 
 
 
 
 
 
 
3. Análise do problema estudado e dos resultados obtidos 
Os resultados encontrados foram satisfatórios, com exceção de um caso no primeiro problema (𝑛 = 2, 𝛽 =
125), que mostrou-se incapaz de convergir pelos valores adotados inicialmente. O método de Newton 
adotado surpreendeu com a rapidez da obtenção dos resultados e estabilização da convergência durante as 
iterações. 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 1 2 3 4 5
te
n
sã
o
carga
barra 2 (máx. tração)
barra 5 (máx. compressão)
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
0 1 2 3 4 5
d
ef
o
rm
aç
ão
carga
barra 2 (máx. tração)
barra 5 (máx. compressão)