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Matriz Espalhamento (S)
Parte 2
SEL 369 Micro-ondas/SEL5900 Circuitos de Alta 
Frequência
Amílcar Careli César
Departamento de Engenharia Elétrica da EESC-USP
Atenção!
� Este material didático é planejado 
para servir de apoio às aulas de 
SEL-369 Micro-ondas, oferecida 
aos alunos regularmente 
matriculados no curso de 
engenharia elétrica/eletrônica e 
SEL-5900 Circuitos de Alta 
Frequência, oferecida aos alunos 
regularmente matriculados no 
curso de pós-graduação em 
engenharia elétrica.
� Não são permitidas a reprodução 
e/ou comercialização do material.
� solicitar autorização ao docente 
para qualquer tipo de uso distinto 
daquele para o qual foi 
planejado.
2SEL 369/SEL5900 Matriz S Amilcar C Cesar USP EESC SEL03/09/2015
Deslocamento do plano de referência-1
03/09/2015 SEL 369/SEL5900 Matriz S Amilcar C Cesar USP EESC SEL 3
Rede 
de
2 portas
1’
1’
1
1
2
2
2’
2’
b’1
a’1
b1
a1
b2
a2
b’2
a’2
planos de referência
1 1
lθ β=
2 2
lθ β=
Deslocamento do plano de referência-2
SEL 369/SEL5900 Matriz S Amilcar C Cesar USP EESC SEL 4
� Nas medidas dos parâmetros S os planos onde foram 
realizadas devem ser especificadas 
� No caso, deseja-se determinar os parâmetros S nos 
planos de referência 1e 2 
� Eles podem ser obtidos a partir das medidas realizadas 
em 1’ e 2’
� Assim , mede-se S’ e determina-se S 
03/09/2015
Deslocamento do plano de referência-3
03/09/2015 SEL 369/SEL5900 Matriz S Amilcar C Cesar USP EESC SEL 5
b’1
a’1
b1
a1
1 1
lθ β=
Zc
x0
Ve Vc
( )
( )
( )
( )
1 1
1
1 1
1
1
1
1 1
0 0
' '
0 0
1'
1 1
( ) , in c id en te
( ) , re f le t id a
0
0
d e f in in d o
;
;
re su lta em
;
jkx
i i
jkx
r r
e e i r
jk jk
c c i r
e e i r
jk
jk jk
jki r
i r
c c i r
jk
V x V e
V x V e
V V x V V
V V x V e V e
V V x V V
V V
V V
a e b e
Z Z
V
x V V e
V
a b
Z Z
e
a a e
−
−
−
−
−
=
=
= = = +
= = = +
= = = +
= =
=
= = =
=
+
=
ℓ ℓ
ℓ
ℓ ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
1'
1 1
jkb b e= ℓ
Deslocamento do plano de referência-4
03/09/2015 SEL 369/SEL5900 Matriz S Amilcar C Cesar USP EESC SEL 6
b2
a2
b’2
a’2
2 2
lθ β=
Zc
x 0
Ve Vc
( )
( )
2
2 2
2
2 2
0 0
' '
2 2
0 0
2
2 2' '
2 2 2 2
( ) , in c id en te
( ) , re f le t id a
0
d e f in in d o
;
;
re su lta em
;
jkx
i i
jkx
r r
jk jk
e
jk j
i r
c i
ki r
i
r
r
jk jk
V V
b e a e
V x V e
V x V e
V x V e V e
Z Z
V V
b a
Z Z
V x V V
b b e a a e
−
−
−
−
= =
= =
=
=
= = +
= = +
= =
ℓ ℓ
ℓ ℓ
ℓ ℓ
ℓ
Deslocamento do plano de referência-5
03/09/2015 SEL 369/SEL5900 Matriz S Amilcar C Cesar USP EESC SEL 7
1 1
2 2
' '
1 11 12 1
' '
21 222 2
j j
j j
b e S S a e
S Sb e a e
θ θ
θ θ
−
−
        =           
( )
( )
1 1 2
21 2
2' '
11 12
2' '
21
1 1
2 222
j j
jj
S e S e
S
b a
b ae S e
θ θ θ
θθ θ
+
+
       =      
         
' ' ' '
1 11 12 1
' ' ' '
2 21 22 2
b S S a
b S S a
             =                 
Mas,
Manipulando as equações
Resulta em
Conexão em cascata-1
03/09/2015 SEL 369/SEL5900 Matriz S Amilcar C Cesar USP EESC SEL 8
Rede de
2 portas
[T]a
Rede de
2 portas
[T]b
a2
b2
a’1
b’1
a1
b1
a’2
b’2
11 12
21 2
1 1
2 22
a
aS Sb
Sb S   
       =        

 
  
temos
11 12
21 2
1 2
1 22
b
aT Tb
Ta T   
       =        

 
  
procuramos [T]: matriz transmissão
Conexão em cascata-2
03/09/2015 SEL 369/SEL5900 Matriz S Amilcar C Cesar USP EESC SEL 9
22
21 21
11 2211
12
21
11 12
21 22
21
1 S
S S
S S
T T
ST
S
S S
T
   −     

  −    
  =   
A transformação é realizada por meio de
21 21 12
22
11 11
12
11
11 12
2
11
1 22 1
S S
S
T T T
T
T T
S T
T T
   −       −
   =  
  



A transformação inversa é realizada por meio de
'
1 2
'
1 2
a b
T T
a b
b a
   
      
       =          
A matriz transmissão da associação é
Conversão de parâmetros
03/09/2015 SEL 369/SEL5900 Matriz S Amilcar C Cesar USP EESC SEL 10
Os parâmetros S poderão ser convertidos para qualquer outro tipo,
tais como z ,y,h ou ABCD . 
Como exemplo, os parâmetros Z de uma rede poderão ser obtidos 
a partir de S pela transformação matricial: 
( )( )
1
0
1 1Z Z S S
−
           = + −                      
onde [1] é a matriz identidade
Obtenção da matriz S: exemplo-1
03/09/2015 SEL 369/SEL5900 Matriz S Amilcar C Cesar USP EESC SEL 11
Ref. 1 Ref. 2
; 2
g
θ β β π λ= =ℓ
a1
b1
a2
b2
Trecho de guia
de onda
sem perdas
2 0
1
2 1 11
1
0, 0 0
a
b
a b S
a =
= = → = =
1 0
2
1 2 22
2
0, 0 0
a
b
a b S
a =
= = → = =
Excitação em cada porta, cargas casadas
Na porta 2
Na porta 1
Obtenção da matriz S: exemplo-2
03/09/2015 SEL 369/SEL5900 Matriz S Amilcar C Cesar USP EESC SEL 12
como o guia é recíproco, S12 = S21
excitação na porta 1 e carga casadas nas portas 1 e 2:
2 0
2
1 2 1 2 1 21
1
0 , 0 0 , j j
a
b
a a b b a e S e
a
θ θ
=
− −≠ = → = = → = =
0
0
j
j
e
S
e
θ
θ
−
−
 
   =    
  
e
Um trecho de guia é um defasador recíproco.
Se Ref1 e Ref2 forem escolhidos tal que θ = n 2π , n = 0,1,2,...
0 1
1 0
S
 
   =    
  
EQUIPAMENTOS
03/09/2015 SEL 369/SEL5900 Matriz S Amilcar C Cesar USP EESC SEL 13
Analisador de redes (Agilent)-1
SEL 369/SEL5900 Matriz S Amilcar C Cesar USP EESC SEL
www.agilent.com
PNA Series Microwave Network Analysers
300 kHz to 110 GHz. Antenna test, frequency offset (for mixers), balanced,
time domain, TRL calibration, IMD, harmonic and pulsed-RF measurements 
03/09/2015 14
Analisador de redes (Agilent)-2
SEL 369/SEL5900 Matriz S Amilcar C Cesar USP EESC SEL
www.agilent.com
PNA Series Microwave Network Analysers
300 kHz to 110 GHz. Antenna test, frequency offset (for mixers), balanced,
time domain, TRL calibration, IMD, harmonic and pulsed-RF measurements 
03/09/2015 15
Analisador de redes (Agilent)-3
SEL 369/SEL5900 Matriz S Amilcar C Cesar USP EESC SEL
www.agilent.com
PNA Series Microwave Network Analysers
300 kHz to 110 GHz. Antenna test, frequency offset (for mixers), balanced,
time domain, TRL calibration, IMD, harmonic and pulsed-RF measurements 
03/09/2015 16