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Gráfico de Fluxo de Sinais
SEL 369 Micro-ondas/SEL5900 Circuitos de Alta 
Frequência
Amílcar Careli César
Departamento de Engenharia Elétrica da EESC-USP
Atenção!
� Este material didático é planejado 
para servir de apoio às aulas de 
SEL-369 Micro-ondas, oferecida 
aos alunos regularmente 
matriculados no curso de 
engenharia elétrica/eletrônica e 
SEL-5900 Circuitos de Alta 
Frequência, oferecida aos alunos 
regularmente matriculados no 
curso de pós-graduação em 
engenharia elétrica.
� Não são permitidas a reprodução 
e/ou comercialização do material.
� solicitar autorização ao docente 
para qualquer tipo de uso distinto 
daquele para o qual foi 
planejado.
2SEL 369/SEL5900 Gráfico de fluxo de sinais USP EESC SEL12/03/2015
Finalidade e definições
12/03/2015 3SEL 369/SEL5900 Gráfico de fluxo de sinais USP EESC SEL
� Finalidade
– técnica conveniente para representar e analisar a transmissão e reflexão 
de ondas em amplificadores de microondas
� Relação entre as variáveis é dada pela REGRA DE MASON
� Definições
– Cada variável é designada como um nó 
– parâmetros S e coeficientes de reflexão são representados por ramos 
– os ramos chegam aos nós de variáveis dependentes
– os ramos saem dos nós de variáveis independentes
• ondas incidentes são nós de variáveis independentes
• ondas refletidas são nós de variáveis dependentes
a
1
b
2
S21
a
2
S
22
Gráfico de fluxo de sinais e parâmetros S-1
12/03/2015 4SEL 369/SEL5900 Gráfico de fluxo de sinais USP EESC SEL
a1
b2
S21
a2
S22
a1
ramo
b1
a2S12
S11
ramo nó de variável
independente
nó de variável
independente
nó de variável
dependente
a1: onda normalizada incidente
a2 : onda normalizada espalhada
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
b S a S a
b S a S a
 = +
+

=


Gráfico de fluxo de sinais e parâmetros S-2
12/03/2015 5SEL 369/SEL5900 Gráfico de fluxo de sinais USP EESC SEL
a1 b2
b1 a2
S 21
S 12
S 22S 11
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
b S a S a
b S a S a
 = +
+

=


GERADOR
CARGA
12/03/2015 6SEL 369/SEL5900 Gráfico de fluxo de sinais USP EESC SEL
Gráfico de fluxo de sinais do gerador-1
12/03/2015 7SEL 369/SEL5900 Gráfico de fluxo de sinais USP EESC SEL
s
gg
sgg Z
Z
V
Z
V
EVV








−+=+
−+
−+
00
( ) ( )0 0g g s s g gZ V V Z E Z V V+ − + −+ = + −
g s s g
V E Z I= +
A tensão total em cada ponto da linha corresponde 
à superposição das ondas incidente e refletida
g g g
V V V+ −= +
g g g
I I I+ −= −e
Multiplicando por Z0
ES
ZS
Vg
Ig
Gráfico de fluxo de sinais do gerador-2
12/03/2015 8SEL 369/SEL5900 Gráfico de fluxo de sinais USP EESC SEL
( )
( )
+−
+
−
+





+
= g
s
s
s
s
g V
ZZ
ZZ
E
ZZ
Z
V
0
0
0
0
( ) ( )−+−+ −+=+ ggssgg VVZEZVVZ 00
Resolvendo para −
gV
Dividindo por
0
Z
( )
( )
( )
00
0
00
0
0
Z
V
ZZ
ZZ
Z
E
ZZ
Z
Z
V g
s
ss
s
g
+−
+
−
+
+
=
ES
ZS
Vg
Ig
Gráfico de fluxo de sinais do gerador-3
12/03/2015 9SEL 369/SEL5900 Gráfico de fluxo de sinais USP EESC SEL
( )
0 0
00 0 0 0
; ; ;
g g s s
g s s
ss
V V Z E Z Z
bg a b
Z ZZ Z Z Z Z
− +
−
≡ ≡ ≡ ≡ Γ
++
( )
( )
( )
00
0 00 0 0
sg gs
s s
Z ZV VZ E
Z Z Z ZZ Z Z
− +−
= +
+ +
Substituindo na equação
g s s g
b b a= + Γ
Equação de fluxo de sinais do gerador
Definindo 
ES
ZS
Vg
Ig
Gráfico de fluxo de sinais do gerador-4
12/03/2015 10SEL 369/SEL5900 Gráfico de fluxo de sinais USP EESC SEL
g s s g
b b a= + Γ
g s s g
V E Z I= +
bs
bg
ag
1
Γs
ES
ZS
Vg
Ig
Gráfico de fluxo de sinais da carga-1
12/03/2015 11SEL 369/SEL5900 Gráfico de fluxo de sinais USP EESC SEL
ZLVL
IL
L L L
V Z I= Tensão na carga
0 0
L L
L L L
V V
V V Z
Z Z
+ −
+ −
  + = −    
A tensão total em cada ponto da linha corresponde 
à superposição das ondas incidente e refletida
0
0
L
L L
L
Z Z
V V
Z Z
− +
 −  =   + 
Resolvendo para
L
V −
Gráfico de fluxo de sinais da carga-2
12/03/2015 12SEL 369/SEL5900 Gráfico de fluxo de sinais USP EESC SEL
0
0 0 0
; ;L
L
L
L
L
L
L
Z Z
Z Z
VV
a
Z
b
Z
−+ −   = Γ 
≡
 
≡
+
0
0
L
L L
L
Z Z
V V
Z Z
− +
 −  =   + 
Dividindo por
0
Z
0
00 0
L L L
L
V Z Z V
Z ZZ Z
− + −  =   + 
Definindo 
ZLVL
IL
Gráfico de fluxo de sinais da carga-3
12/03/2015 13SEL 369/SEL5900 Gráfico de fluxo de sinais USP EESC SEL
L L L
b a= Γ
0
0
L
L L
L
Z Z
V V
Z Z
− +
 −  =   + 
aL
bL
ΓL
ASSOCIAÇÃO DE ELEMENTOS 
OU CIRCUITOS EM CASCATA
12/03/2015 14SEL 369/SEL5900 Gráfico de fluxo de sinais USP EESC SEL
Gráfico de fluxo de sinais da associação-1
12/03/2015 15SEL 369/SEL5900 Gráfico de fluxo de sinais USP EESC SEL
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
L L L
g S S g
b S a S a
b S a
b a
b
S a
b a

 = + Γ
=
Γ
+
= +
=
REDE
DE
2 PORTAS
CARGAGERADOR
a2
b2
aL
bL
ag
bg
a1
b1
Gráfico de fluxo de sinais da associação-2
12/03/2015 16SEL 369/SEL5900 Gráfico de fluxo de sinais USP EESC SEL
1 1 2 2
; ; ;
g g L L
b a a b a b b a= = = =
Da figura,
1 11 1 12 2
2 2
2
1
1
22 2
2
1
1S
L
S
b S a S a
b S a S
a b
a
a b
b=
 = + = +

+
= Γ
Γ
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
L L L
g S S g
b S a S a
b S a
b
a
b
a
b
a
S
=
 = + = +

+
= Γ
Γ
A substituição
resulta em:
Gráfico de fluxo de sinais da associação-3
12/03/2015 17SEL 369/SEL5900 Gráfico de fluxo de sinais USP EESC SEL
1 S21
S12
S11 S22Γs ΓL
a1bs b2
a2b1
1 11 1 12 2
2 2
2
1
1
22 2
2
1
1S
L
S
b S a S a
b S a S
a b
a
a b
b=
 = + = +

+
= Γ
Γ
Gráfico de fluxo de sinais da associação-4
12/03/2015 18SEL 369/SEL5900 Gráfico de fluxo de sinais USP EESC SEL
REGRA DE MASON
12/03/2015 19SEL 369/SEL5900 Gráfico de fluxo de sinais USP EESC SEL
Regra de Mason-1
SEL 369/SEL5900 Gráfico de fluxo de sinais USP EESC SEL
� Facilita a determinação da relação ou função de 
transferência , T , entre variáveis dependente e 
independente
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
1 1 2
1 2
1 1 2 1 1
1 1 2 3
P L L P L
T
L L L
−
   
− + + − + +   
      =
− + − +
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
… … …
…
12/03/2015 20
Regra de Mason-2
SEL 369/SEL5900 Gráfico de fluxo de sinais USP EESC SEL
� P1 , P2 , ... 
– são os diferentes caminhos ligando as variáveis dependente e 
independente, cuja função de transferência deseja-se determinar
� Caminho
– é um conjunto de ramos consecutivos e codirecionais, ao longo do 
qual nenhum nó é encontrado mais do que uma única vez, conforme 
percorremos o gráfico do nó independente para o nó dependente
� Valor do caminho, P1, P2, ...
– é o produto de todos os coeficientes dos ramos ao longo do caminho
12/03/2015 21
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
1 1
1 2
2
1 1 2 1 1
1 1 2 3
L L LP
T
L
P
L L
−
   
− + + − + +   
      =
− + − +
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
… … …
…
Regra de Mason-3
SEL 369/SEL5900 Gráfico de fluxo de sinais USP EESC SEL
�∑ L (1)
– é a soma de todas as malhas de 1ª ordem 
• Uma malha de 1ª ordem é o produto dos ramos 
encontrados no caminho fechado percorrido na direção 
das setas de um nó até ele mesmo 
�∑L (2)
– é a soma de todas as malhas de 2a ordem 
• Uma malha de 2a é o produto de 2 malhas de 1ª ordem 
quaisquer que não se tocam 
12/03/2015 22
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
1 1 2
1 2
1 1 2 1 1
1 31 2
P L L P L
T
LL L
−
   
− + + − + +   
      =
− − ++
∑ ∑
∑
∑
∑∑
… … …
…
Regra de Mason-4
SEL 369/SEL5900 Gráfico de fluxo de sinais USP EESC SEL
�∑L (3)
– é a soma de todas as malhas de 3a ordem 
• Uma malha de 3a ordem é o produto de 3 malhas de 1ª 
ordem quaisquer que não se tocam 
�∑L (4) , ∑ L ( 5)
– representam malhas de 4a e 5a ordem 
12/03/2015 23
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
1 1 2
1 2
3
1 1 2 1 1
1 1 2
P L L P L
T
LL L
−
   
− + + − + +   
      =
− + − +
∑ ∑
∑ ∑
∑
∑
… … …
…
Regra de Mason-5
SEL 369/SEL5900Gráfico de fluxo de sinais USP EESC SEL
�∑ L (1) (P)
– é a soma de todas as malhas de 1ª ordem que não tocam o 
caminho P entre as variáveis independente e dependente
�∑ L (2)(P)
– é a soma de todas as malhas de 2a ordem que não tocam o 
caminho P entre as variáveis independente e dependente
12/03/2015 24
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
1 2
1 2
1
1 1 1
1 3
1
1
2
2
P P L
T
L L L
L L
   
− + − + − + +   
      =
− + − +
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
⋯ … …
…