Onda resumo

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Ondas Eletromagnéticas
Resumo
SEL 369 Micro-ondas
Amílcar Careli César
Departamento de Engenharia Elétrica da EESC-USP
Atenção!
� Este material didático é 
planejado para servir de apoio 
às aulas de SEL369: Micro-
ondas, oferecida aos alunos 
regularmente matriculados no 
curso de engenharia de 
computação.
� Não são permitidas a 
reprodução e/ou 
comercialização do material.
� solicitar autorização ao 
docente para qualquer tipo de 
uso distinto daquele para o 
qual foi planejado.
2SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL12/03/2015
FUNDAMENTOS
Equações de maxwell
Onda plana
Polarização
Condições de Contorno
Reflexão e Transmissão
Propagação em Meio dissipativo
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 3
Vetor real e complexo
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 4
ˆ ˆ ˆ( ) cos( ) cos( ) cos( )
x x y y z z
V t V t x V t y V t zω φ ω φ ω φ= + + + + +
A representação complexa deste vetor é 
ˆ ˆ ˆ( ) Re{[ exp( ) exp( ) exp( ) ]exp( )}
x x y y z z
V t V j x V j y V j z j tφ φ φ ω= + +
( ) Re{ exp( )}V t V j tω=
vetor complexo 
ˆ ˆ ˆexp( ) exp( ) exp( )
x x y y z z
V V j x V j y V j zφ φ φ= + +
Equações de Maxwell-1
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 5
Símbolo Descrição Unidade
Vetor campo elétrico volt/metro (V/m)
Vetor campo magnético ampere/metro (A/m)
Vetor densidade de fluxo elétrico coulomb/metro2 (C/m2)
Vetor densidade de fluxo magnético weber/metro2 (Wb/m2)
Vetor densidade de corrente ampere/metro2 (A/m2)
Densidade volumétrica de cargas coulomb/metro3 (C/m3)
E
H
D
B
ρ
J
Equações de Maxwell-2
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 6
/E B t∇ × = −∂ ∂
D
H J
t
∇ × = +
∂
∂
0B∇ ⋅ =
D ρ∇ ⋅ =
Lei de Faraday
Lei de Ampere
Lei de Gauss (magnética)
Lei de Gauss (elétrica)
Campos Variantes no Tempo
12/03/2015 7SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Campos variantes no tempo; excitação de freqüência única 
( ) { }, , , Re ( , , )exp( )F x y z t F x y z j tω=
( , , )F x y z representa qualquer um dos vetores 
relacionados nas equações de Maxwell 
0
E j B
H J j D
B
D
ω
ω
ρ
∇ × = −
∇ × = +
∇ ⋅ =
∇ ⋅ =
j
t
ω
∂
→
∂
Relações Constitutivas
12/03/2015 8SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
para um meio isotrópico 
D
B H
E
µ
ε=
= vetor densidade de fluxo magnético
vetor densidade de fluxo elétrico
vácuo
µ
ε permissividade dielétrica 
permeabilidade magnética 
12
0
8,85 10ε −= × F/m 
7
0
4 10µ π −= × H/m 
Região sem Fontes
12/03/2015 9SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
0
0
E j B
H j D
B
D
ω
ω
∇ × = −
∇ × =
∇ ⋅ =
∇ ⋅ =
0
E j B
H J j D
B
D
ω
ω
ρ
∇ × = −
∇ × = +
∇ ⋅ =
∇ ⋅ =
0J ≠
0ρ ≠
com fontes
0J =0ρ = e
0J =
0ρ =
sem fontes
Vetor de Poynting
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 10
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
*
*
2
0
Vetor de Poynting
 W m
Vetor de Poynting complexo
1
< , , , >= R
, ,
Valor médio
1
, ,
< ,
e , , , ,
, , >= , ,
, ,
, , , , , , , , ,
2
,
T
S x y
S x y z t E x y z t H x y z
S x y
S x y z
z E x y
z t E x y z H x y
z H
t S x y z t dt
T
x z
z
y
t −
= ×
   ×   
= ×

⋅
∫
Equação de onda
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 11
( )
( )
2 2
2 2
equação de onda para 
equação de onda para 
j
j
ω µε ωµ
ωε
ω µε
 ∇ ⋅  ∇ + = − ∇   
∇ + = −∇ ×
J
J
H J
E
H
E
Equações de onda região sem fontes
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 12
( )
( )
2 2
2 2
região sem fontes, 0 e =0
equação de onda para 
equação de onda para
0
 
0
 
ω µε
ω µε
ρ=
∇ + =
∇ + =
J
E
E
H
H
Solução da equação de onda
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 13
y
x
1
C⋅ =k r
( )cos cteθ =r
1
r
2
r
1
θ
2
θ
k
Direção de
propagação
Vetor propagação
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 14
x
y
z
k
( )
2 2 2 2
esfera de raio 
no sistema , ,
x y z
k
k k k k
x y z
ω µε
ω µε=
+ + = ≡
Onda plana
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 15
y
z
x
k
E
H
( ) é a ×HE k�
Onda plana em meio dissipativo-1
12/03/2015 16SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
-1
: fonte
: Lei de Ohm
: condutividade; S/m
: permissividade complexa; F m
f
c
c
f
f
H J j E
H J j E
J J
J
J
J E
j
σ
ε
σ
ε ε
ω
σ
ω
ωε∇ × = +
=
= +
∇ × =
⋅
+
= −
Equação de onda e solução-1
12/03/2015 17SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( )
( )
( )
0
0
1
2 2
exp ; V/m
exp ; A/m
e
;
 ; ohxp m
 ; m
0
z R
z
z
I
E xE k z
E
H y
k k
E
k
k
H
j
z
j k j
µ
η η φ
ε
µ
ω µ
ε
ε
η
ω
−= =
 ∇ + =  
= −
= −
=
= +
=
ɵ
ɵ
Equação de onda e solução-2
12/03/2015 18SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
0
0
 ; V/m
exp ; A/m
Expressão instantânea
 ; V/m
; A/m
Velocidade de
exp
exp
exp
exp
exp
c
 fase
 ;
os
co
 m
p s
/s
ex
I
I
I
f
I
R
R
R
R
I
E xE
E
H y j
E x
jk z
jk z
k z
k z
k zE t k z
t kk z
E
H y
v
z
k
ω
η
φ
η
ω
ω
φ
−
−
=
= −
=
=
=
−
− −
−
−
−
−
ɵ
ɵ
ɵ
ɵ
Profundidade de penetração-1
12/03/2015 19SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( )
0
0
0
Profundidade em que o campo decai para
1 do valor em 0 (máximo)
exp
ln ln1 ln
1
 
1
; m
p
z
z d
R
p
p
R
p
R p
R
e z
E
E
e
E
E k d
e
k d
d
e
k
k
e
d
=
=
=
=
− =
−
=
= −
− = −
Profundidade de penetração-2
12/03/2015 20SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
 
A
m
p
li
tu
d
e
 n
o
rm
a
li
za
d
a
 d
e
 c
a
m
p
o
Distância de propagação (unidade arbitrária)
dp
( )
0
exp
R
E
E
k z= −
Polarização de Ondas
12/03/2015 21SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
O lugar geométrico descrito pela 
“ponta” do vetor campo elétrico indica o tipo de polarização
Linear ElípticaCircular
x
yy
x x
y
E E E
Sentido de Polarização: Circular e Elíptica
12/03/2015 22SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
mão
direita
polarização
à direita
mão
esquerda
polarização
à esquerda
direção
de propagação
observador
Condições de contorno: dielétrico-dielétrico
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 23
2 1
2
2
1
1
2 1
( finito)0 
0
0
t t
n n S
t t
n n
E E
B
D
H H
B
D
σ
ρ
− =
− =
− =
− =
( )
( )
( )
( )
2 1
1
2
2 1
2
1
0
0
s
s
n E E
n
n H H K
n B
D
B
D ρ
× − =
⋅ − =
× − =
⋅ − =
ɵ
ɵ
ɵ
ɵ
1
2
n̂
Componentes normais
Componentes tangenciais
Condições de contorno: dielétrico-metal
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 24
1
1
0
0E
H
=
=
( )
( )
( )
( )
2 1
1
2
2 1
2
1
0
0
s
s
n E E
n
n H H K
n B
D
B
D ρ
× − =
⋅ − =
× − =
⋅ − =
ɵ
ɵ
ɵ
ɵ
Componentes normais
Componentes tangenciais
1
2
n̂
metal, σ
Polarização da onda
12/03/2015 25SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
plano de incidência
E
E
polarização normal
ou
perpendicular
E
plano de incidência
polarização paralela
E
Polarização perpendicular-1
12/03/2015 26SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
rH
rE
rk
iH
iE
ik
Interface entre os dois meiosn̂
iE
θi
θr θ
t
1meio
1,1
εµ
2meio
2,2
εµ
z
x
ik
rk
tk
Interface entre os dois meiosn̂
iE
θi
θr θ
t
1meio
1,1
εµ
1meio 11meio
1,1
εµ
2meio
2,2
εµ
2meio 22meio
2,2
εµ
z
x
ik
rk
tk
tH
tE
Polarização perpendicular-2
12/03/2015 27SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 1
2 1
2
2 1
cos cos
cos co
2 cos
cos cos
s
i t
I
i t
i
I
i t
R
T
η θ η θ
η θ η
η θ
η θ η θ
θ−
=
+
=
+
1 0 1
1 0 1
2
1
1 0
1
2
2
0 2
2 0 2
0
0
0
2
0
377 ohms
r
r
r
r
r
r
r
r
µ µ µ
ε ε ε
µ µ
µ
η η
ε
µ
η η
ε
η
µ
ε ε ε
µ
ε
= =
=
==
=
=
=
Polarização paralela-1
12/03/2015 28SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Interface entre os dois meiosn̂
iE
θi
θr θ
t
1meio
1,1
εµ
2meio
2,2
εµ
z
x
ik
rk
tk
Interface entre os dois meiosn̂
iE
θi
θr θ
t
1meio
1,1
εµ
1meio 11meio
1,1
εµ
2meio
2,2
εµ
2meio 22meio
2,2
εµ
z
x
ik
rk
tkrH
rE
rk
iH
iE ik
tk
tH
tE
Polarização paralela-2
12/03/2015 29SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
2 1
2 1
1
cos cos
cos co
2 cos
c
s
os cos
t i
II
i
II
i
t i
t
T
R
η θ
η θ
η θ η θ
η θ η
θ
θ
η
=
+
−
= −
+
1 0 1
1 0 1
2
1
1 0
1
2
2
0 2
2 0 2
0
0
0
2
0
377 ohms
r
r
r
r
r
r
r
r
µ µ µ
ε ε ε
µ µ
µ
η η
ε
µ
η η
ε
η
µ
ε ε ε
µ
ε
= =
=
==
=
=
= ( )
1
2 1B
tgθ ε ε−=
ângulo de Brewster
Transmissão total: ângulo de Brewster
12/03/2015 30SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Interface entre os dois meiosn̂
θB
θr= θB θt
1meio
1,1
εµ
2meio
2,2
εµ
z
x
ik
rk
tk
incidente
não há 
onda refletida
transmitida
iH
( )1 2 1B tgθ ε ε−=
ângulo de Brewster
Resumo: Coeficientes de reflexão e transmissão
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 31
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 1
2 1
2 1
2 1
2
2 1
2
2 1
2 cos
cos cos
2 cos
Polarização
perpendicular
Polarizaç
c
ão
 
paralel
cos cos
cos cos
cos cos
cos cos
a
os cos
i
I
i t
i
II
i t
I
i t
t i
II
t i
t i
R
R
T
T
η θ η θ
η θ η
η θ
η θ η θ
η θ
θ
η θ η θ
η θ η
η θ η θ
θ


−
=
+
−

=
+
=
−
+
=
+
Resumo: Coeficientes de reflexão e transmissão
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 32
( )
2 1
2
2
2 1
2
2
1
2 1
2 1
1
Incidência normal 0
Polarização
perpendicular
Polarização
 
p
2
2aralela
I
I
II
II
i
T
T
R
R
η
η η
η
η
η η
η
η η
η η
η
θ
η
=

−
=
+
−


=

=
−
+
+
=
+
Resumo: Coeficientes de reflexão e transmissão
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 33
Incidência normal e meio 2 é metal
polarização
perpendicular
polarização
 
parale
0
1
a
1
0l
I
II
I
II
R
T
R
T
 = −

=
=
 =


MÉTODO DA LINHA DE 
TRANSMISSÃO EQUIVALENTE
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 34
Método da linha de transmissão equivalente
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 35
x
z
ℓ
i
θ
t
θ
1
ε
1
ε
2
ε
ℓ
01 1
 ; 
z
Z k
01 1
 ; 
z
Z k
02 2
 ; 
z
Z k
i
k
t
k
Equivalência
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 36
Linha de 
Transmissão
Onda Plana
Polar. Paralela Polar. Perpendicular
0
cos
c
cos
cos
os
y
x
z
y
x
x
y
z
x
y
V
I
k
V
E
H
k k
E
Z
H
E
H
k k
E
Z
H
Z
I
Z
θ θ
η θ
η
θ
⊥
=
=
=
−= =
�
GUIA DE ONDA DE PLANOS 
METÁLICOS PARALELOS
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 37
Incidência Normal
12/03/2015 38SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
x
z
y
X
iE
rE
iH
rH
ik
rk
SK
n
σ → ∞
z
x
y
iE
rE
iH
rH
ik
rk
n
SK
σ → ∞
(a) (b)
Polarização Perpendicular Polarização Paralela
Incidência Oblíqua
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 39
x
z
y
X
iE
rE
iH
rH
ik
rk
σ → ∞
(a)
i
θ
z
x
y
iE
rE
iH
rH
ik
rk
σ → ∞
(b)
i
θ
Polarização Perpendicular Polarização Paralela
Soluções TE e TM
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 40
 ; ; Modos 
 ; ; Modos M
TE
T
x
y
z
z
y
x
H E E
E H H
Constante de propagação vs. frequência
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 41
m
freq. corte
(x108 Hz)
1 1,5
2 3,0
3 4,5
4 6,0
5 7,5
0 2 .10
8
4 .10
8
6 .10
8
8 .10
8
1 .10
9
0
5
10
15
20
25
frequência (Hz)
C
o
n
st
an
te
 d
e 
p
ro
p
ag
aç
ão
 (
1
/c
m
)
1/2
2
1m
 Hz
100 cm; ar
2 1
1
2
z
c
c
m
f
k
f
f
b
f
b
µε
π µε −
    = −      
=
=
5m =4321
TEM
Modelo de propagação modo TE (2)
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 42
XX
XX
●●●● XX
E
E
H
H
z
ɵ
y
ɵ
z
k
y
k
y
k
z
k
z
k
y
k
y
k
z
k
Modelo de propagação modos TE e TM
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 43
××
××
●●●● ××
E E
HH
z
ɵ
y
ɵ
XX
XX
●●●● XX
E
E
H
H
GUIA DE ONDA METÁLICO DE 
SEÇÃO RETANGULAR
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 44
Guia metálico e sistema de coordenadas
12/03/2015 45SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
x
z
y
a
b
Relação de dispersão-1
12/03/2015 46SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
2 2
2 2
z
m n
k
a b
π π
ω µ ε
        = − +          
 
2 2 2 2
1x y z
k k k kω µ ε+ = − ≡equação de separação
x
m
k
a
π
= 0,1,2m = …
y
n
k
b
π
= 0,1,2n = …eTemos que
e
Relação 
(equação)
de dispersão
Para cada conjunto de inteiros (m,n) existe uma solução (modo) da
equação de onda.
Os modos são denominados TEm,n
Relação de dispersão-2
12/03/2015 47SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
0 5 10 15 20 25
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Freqüência (GHz)
C
o
n
s
ta
n
te
 d
e
 p
ro
p
a
g
a
ç
ã
o
 (
m
m
-1
)
TEM
TE1,0
TE2,0
TE3,0
TE3,1
a=25,4 mm
b=12,7 mm
2 2
2 2
z
k
m n
a b
ω µ ε
π π
= −
        +          
 
Relação de dispersão
Modos TEM e TEm,n
0 0
,µ µ ε ε= =
Campo elétrico
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 48
TE31, 32 GHz
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Waveguide_x_EM_rect_TE31.gif
www.comsol.com/showroom/gallery/
lrgthumb/1421/4ddf41e2.jpg
Excitação do modo TE
10
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 49
4
L
λ
≤
900 (até parede) + 1800 (reflexão parede)
+ 900 (retornando para a fonte) = 3600 (em fase)
y
E E y= ɵ
Ondas incidente e refletida
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 50
x
1yE
z
x 1H
1k
2yE
z
x
2H
2k
x
z
2H
2k
x
1H1k
2yE
1yE
Onda 1 Onda 2
Polarização
Perpendicular
Ao plano
De incidência
Onda TE
Padrão onda estacionária
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 51
x
z
2k 1k
2xk
2zk
1xk
1zk
2xk 1xk
x
yE
Polarização perpendicular ao plano de incidência: Onda TE
1 1 1
ˆ ˆ
x z
k k x k z= − +
2 2 2
ˆ ˆ
x z
k k x k z= +
GUIA DE ONDA DIELÉTRICO PLANAR
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 52
Guia planar
12/03/2015 53SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
n2
n1
n3
filme
cobertura
substrato
tz
x
y
/ 2x t=
/ 2x t= −
∞
−∞
Perpendicularmente polarizada: mesma fase
12/03/2015 54SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
z
x
y
n2
n1
n2
E
n̂
k
Plano de
incidência
( ) ( ) ( )( , ) exp exp exp ,para 1x x zx z A jk x jk x jk Rz Φ = + − −  =
Perpendicularmente polarizada: inversão de fase
12/03/2015 55SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
z
x
y
n2
n1
n2
E
n̂
k
Plano de
incidência
+
( ) ( ) ( )( , ) exp exp exp ,para 1x x zx z A jk x jk x jk Rz Φ = − − −  = −
Modos TE e TM
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 56
2 configurações de campo eletromagnético
T
T
M
 , ,
 
E
, ,
y x z
y x z
E H H
H E E
( )
( )
Modos TE e TM simétricos: campos proporcionais a 
Modos TE e TM antissimétricos: campos proporcionais a 
cos
sen
x
x
k x
k x
Resumo
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 57
( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2
1 2
0 0
2 2
1 2
0 0
2 2 2
, modos TE simétricos
, modos TE antissimétricos
, equação auxiliar2
, , 
,
tg
cot
, 
2 2
 
2
 
g
 
x x
x ef x
n
z
n
f
ef
e
k n n n
t t
k X Y R t n n
Y X X
Y X X
X Y R
t
t n
k
n
k
π
λ
α
π
λ
α
π
λ
       = − = −        
≡ ≡ = −
≡
+
≡
=
= −
=
Diagrama de dispersão (1)
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 58
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
0.5
1
1.5
2 ( )
( ) ( )
( )2 21 2
0
2 2
1 2
1
2
2
2
2
0
2 2
,
,
1,5 
tg
cotg
2
;
2
 
 1, 0
x x
n
z
n
n ef
n ef
ef
t t
k X Y
R t n n
kt
t n
Y X
n n
X
X
Y X X
X Y
t n
R
n
Y
k
t n n
π
π
α
π
λ
≡ ≡
= −
≡
= −
=
=
= −
=
−
=
+
≡
=
( )
( ) ( )
2 2 2
cot
tg
gY X X
Y R
X
X
Y X
+
=
=
−
=
0,1
n
t =
0,3
n
t =
0,5
n
t =
X
Y
0
TE
1
TE
Diagrama de dispersão (2)
12/03/2015 59SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
Modo
 
 
ín
d
ic
e
 e
fe
ti
v
o
, 
n
e
f=
k
z
/k
0
espessura nomalizada, t/λ
0
 TE
0
 TE
1
 TE
2
( )
( ) ( )
( )2 21 2
0
2 2
1 2
1
2
2
2
2
0
2 2
,
,
1,5 
tg
cotg
2
;
2
 
 1, 0
x x
n
z
n
n ef
n ef
ef
t t
k X Y
R t n n
kt
t n
Y X
n n
X
X
Y X X
X Y
t n
R
n
Y
k
t n n
π
π
α
π
λ
≡ ≡
= −
≡
= −
=
=
= −
=
−
=
+
≡
=
Guia simétrico:campo elétrico dos modos TE0 e TE1
SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 60
0 0.625 1.25 1.875 2.5
1
1.125
1.25
1.375
1.5
espessura normalizada, d/λ0
ín
d
ic
e
 e
fe
ti
vo
, 
β
/k
0
TE0
TM0
TE1
TM1
n1=1,0
n1=1,0
n2=1,5
filme
cobertura
substrato
z
x
y
TE0
TE1
operação
multimodo
12/03/2015
ɵ( , )yE E x z y=
0 1
1 0 0
0
0 0
0 0
Modo TE e TE , propagação 
2 /
: / 1TE
TE
,12 , / 1,457459
: / 1,12 , / 1,326417
z
z
z
k
t k k
t k k
π λ
λ
λ
+
=
= =
= =
Guia simétrico: relação entre as potências
12/03/2015 61SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
0 0.625 1.25 1.875 2.5
1
1.125
1.25
1.375
1.5
espessura normalizada, t/λ0
ín
d
ic
e 
ef
et
iv
o
, 
k
z/
k
0
TE0
TM0
TE1
TM1
0 0,5 1 1,5 2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
espessura normalizada, t/λ0
R
el
aç
ão
 e
n
tr
e 
p
o
tê
n
ci
as
Pnúcleo/Ptotal
Pcasca/Ptotal
n2=1,0
N1=1,5
N2=1,0
filme
cobertura
substrato
0
0 0
Modo TE , propagação 
2 /
z
k π λ
+
=
Geometrias tridimensionais
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 62
W
d
n1
n2
n3
fita (n2>n3>n1)
enterrado (n2>n3>n1)
n1
n3
n2
rib
(n2>n3>n1)
n1
n2
n3
t1
t2
w
n4
n2
n3
n1
fita carregada
[n2>(n1,n3)>n4]