Prévia do material em texto

2. **Problema:** Encontre a integral indefinida de \( g(x) = \sin(x) \). 
 - **Resposta:** \( \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C \). 
 - **Explicação:** Utilizamos a regra da integral para calcular a integral do seno de x. 
 
3. **Problema:** Determine os pontos de inflexão da função \( h(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \). 
 - **Resposta:** Pontos de inflexão em \( x = 1 \) e \( x = 3 \). 
 - **Explicação:** Calculamos a segunda derivada de h(x), igualamos a zero e 
encontramos os pontos de inflexão. 
 
4. **Problema:** Calcule a derivada da função \( f(x) = \ln(2x + 1) \). 
 - **Resposta:** \( f'(x) = \frac{2}{2x+1} \). 
 - **Explicação:** Aplicamos a regra da cadeia para encontrar a derivada da função 
logarítmica composta. 
 
5. **Problema:** Encontre a área da região limitada pela curva \( y = x^2 \) e a linha \( y = 
4x - x^2 \). 
 - **Resposta:** A área é \( \frac{32}{3} \). 
 - **Explicação:** Calculamos os pontos de interseção das curvas e aplicamos a fórmula 
da área entre duas curvas. 
 
6. **Problema:** Determine se a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) converge ou 
diverge. 
 - **Resposta:** Converge. 
 - **Explicação:** Usamos o teste de convergência de séries de termos positivos (teste 
de comparação com a série \( \sum \frac{1}{n^p} \)). 
 
7. **Problema:** Encontre a derivada parcial de \( f(x,y) = x^2y - \sin(xy) \) em relação a \( y 
\). 
 - **Resposta:** \( \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 - x\cos(xy) \). 
 - **Explicação:** Calculamos a derivada parcial em relação a y, tratando x como 
constante. 
 
8. **Problema:** Determine os pontos críticos da função \( f(x,y) = x^3 - 3xy + y^3 \). 
 - **Resposta:** Pontos críticos em \( (0,0) \) e \( (1,1) \). 
 - **Explicação:** Calculamos as derivadas parciais \( \frac{\partial f}{\partial x} \) e \( 
\frac{\partial f}{\partial y} \), igualamos a zero e resolvemos para x e y. 
 
9. **Problema:** Calcule a integral definida \( \int_0^{\pi} \sin(2x) \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \int_0^{\pi} \sin(2x) \, dx = 0 \). 
 - **Explicação:** Calculamos a integral indefinida de \( \sin(2x) \) e aplicamos os limites 
de integração. 
 
10. **Problema:** Encontre a derivada da função implícita \( x^2 + y^2 = 25 \) em relação 
a \( x \). 
 - **Resposta:** \( \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \). 
 - **Explicação:** Derivamos implicitamente a equação em relação a x. 
 
11. **Problema:** Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' - 4y = 0 \). 
 - **Resposta:** \( y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são 
constantes. 
 - **Explicação:** Resolvemos a equação característica associada à equação 
diferencial. 
 
12. **Problema:** Calcule a integral tripla \( \iiint_V (x+y+z) \, dV \), onde \( V \) é o sólido 
limitado pelo paraboloide \( z = 4 - x^2 - y^2 \) e o plano \( z = 0 \). 
 - **Resposta:** \( \iiint_V (x+y+z) \, dV = \frac{64}{3} \). 
 - **Explicação:** Convertemos para coordenadas cilíndricas e calculamos a integral. 
 
13. **Problema:** Encontre a derivada da função \( f(x) = \frac{x^2 - 3}{\sqrt{x}} \). 
 - **Resposta:** \( f'(x) = \frac{2x\sqrt{x} - \frac{1}{2}(x^2 - 3)}{2\sqrt{x}} \). 
 - **Explicação:** Aplicamos a regra do quociente e simplificamos o resultado. 
 
14. **Problema:** Determine se a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^3} \) converge 
absolutamente, condicionalmente ou diverge. 
 - **Resposta:** Converge condicionalmente. 
 - **Explicação:** Usamos o critério de convergência de séries alternadas para testar a 
convergência da série.