Resistencia 04

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RESISTÊNCIA
DOS MATERIAIS
APLICADA
Douglas Andrini Edmundo
R429 Resistência dos materiais aplicada [recurso eletrônico] / 
Organizador, Douglas Andrini Edmundo. – Porto Alegre : 
SAGAH, 2016.
Editado como livro impresso em 2016. 
ISBN 978-85-69726-85-2
1. Engenharia. 2. Resistência de materiais. I. Edmundo, 
Douglas Andrini.
CDU 620.172.22
Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
Flexão oblíqua e composta
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Analisar elementos submetidos a um carregamento axial excên-
trico fora dos planos de simetria da seção transversal.
 � Identificar o comportamento de elementos estruturais subme-
tidos à flexão fora dos planos de simetria da seção transversal.
 � Resolver questões com elementos estruturais submetidos a
cargas excêntricas.
Introdução
A análise de vigas submetidas à flexão pura prevê que a seção trans-
versal seja simétrica e as cargas sejam aplicadas no centro geométrico 
da seção transversal. Na prática, essa condição é bem difícil de ser 
executada devido às imperfeições nos sistemas construtivos. A análi-
se de elementos submetidos a cargas excêntricas revela uma condi-
ção mais realista das aplicações práticas que convivemos no dia a dia 
da engenharia.
Neste capítulo, você vai estudar comportamento de elementos es-
truturais submetidos à flexão simples oblíqua e à flexão composta 
oblíqua.
Flexão oblíqua e composta
Você deve saber que a análise de elementos estruturais submetidos à flexão 
pura, isto é, a flexão ocorre no plano de simetria da seção e, portanto, po-
demos concluir que permanecem simétricas quando flexionadas, isso por 
causa da simetria da seção e das cargas aplicadas. Observe nas Figuras 1 
e 2, dois elementos estruturais, o primeiro, na Figura 1, possui dois planos 
de simetria e o segundo elemento, na Figura 2, possui apenas um plano de 
simetria, veja que os dois estão submetidos a um momento fletor M, que irá 
provocar uma flexão perpendicular ao plano de simetria que este momento 
está atuando. Observe também que a posição da Linha Neutra L.N., está loca-
lizada no plano de simetria onde ocorre a flexão. Lembre-se que ao longo da 
linha neutra as tensões são nulas.
Figura 1.
 
Figura 2.
Entenda que se você pegar esses mesmos elementos das Figuras 1 e 2, e 
aplicar os momentos fletores fora dos planos de simetria da seção transversal 
desses elementos, as barras serão flexionadas fora do plano dos momentos 
fletores, como você pode ver na Figura 3.
Figura 3.
Agora, ao analisar os elementos estruturais da Figura 3, você pode en-
tender a mudança de comportamento da barra devido a ação de um momento 
fletor fora dos planos de simetria da seção transversal.
Confira na Figura 4a, temos uma barra com seção transversal formada 
por dois planos de simetria e sujeita a um momento fletor atuando fora desses 
planos de simetria. Você lembra a situação anterior? Quando o momento 
fletor atuava no plano de simetria? Você observou que a linha neutra se posi-
Resistência dos materiais aplicada120
cionava no mesmo plano dos momentos, no caso, devido a ação do momento 
fletor fora dos planos de simetria. Então, a linha neutra assume uma posição 
diferente do plano dos momentos e também dos planos de simetria da seção 
transversal. Observe na mesma figura que o momento fletor atua no sentido 
horário, de maneira que tende a tracionar a parte abaixo da linha neutra e 
comprimir sua parte superior, também fica evidente que a distribuição de 
tensões devido à flexão oblíqua ao longo da seção não será uniforme.
Veja a barra da Figura 4b, de seção transversal retangular e submetida 
à ação de um momento fletor atuando a um ângulo de 30º em relação ao 
eixo de simetria vertical da seção. Neste caso, a posição da linha neutra L.N., 
deverá se posicionar a um ângulo Ø = 72º, Confira! Agora, na Figura 4c, ob-
serve a distribuição de tensões na seção transversal da barra, a região tracio-
nada abaixo da L.N. e a região comprimida acima da L.N. Você deve chamar 
este comportamento da barra de flexão oblíqua simples, que é quando atuam 
apenas momento fletor ou força cortante.
Figura 4. 
Tome nota! Um dos seus objetivos será determinar condições para as quais 
a L.N. da seção transversal de qualquer elemento se posicione no eixo dos 
momentos M, onde os esforços que atuam na seção são representados, veja 
na Figura 5.
121Flexão oblíqua e composta
Figura 5.
O sistema formado pelos esforços internos elementares é equivalente ao 
Momento M, expressado da seguinte forma.
Agora, observe a equação de equilíbrio da somatória das forças horizon-
tais! O que ela leva a concluir? Que o eixo neutro coincide com o eixo do cen-
troide da seção transversal. O que é importante considerar? Essa afirmação 
somente será válida se as tensões estiverem abaixo do limite de proporciona-
lidade, ou seja, no regime elástico. Portanto, a equação da somatória dos mo-
mentos fletores em relação ao eixo z, leva a uma outra relação fundamental, 
em que.
Veja na equação de equilíbrio da somatória dos momentos fletores em 
relação ao eixo y, considere que , porém, essa consideração só será 
aceita quando as tensões atuantes estejam abaixo do limite de proporcionali-
dade e devido a distribuição linear das tensões.
Resistência dos materiais aplicada122
Ou também,
Se você aplicar o princípio da superposição para o caso mais geral de 
flexão dos planos de simetria, poderá determinar a distribuição de tensões na 
seção transversal. Veja!
Figura 6.
Agora, na Figura 7, analise uma barra prismática que possui apenas o 
plano vertical com um eixo de simetria na seção transversal e aplique os mo-
mentos fletores M e M’, em um plano inclinado em relação ao eixo de simetria 
formando um ângulo θ, o vetor do momento fletor M onde os esforços atuam, 
isso formará o mesmo ângulo θ com o eixo horizontal z, 
Figura 7.
123Flexão oblíqua e composta
A partir disso, decompondo o vetor M em duas componentes nas direções dos 
eixos z e y, você pode definir as expressões para os momentos Mz e My, onde.
Você pode determinar as tensões provocadas pela aplicação de qualquer 
momento fletor, representado pelos momentos Mz e My, uma vez que os eixos 
z e y são os eixos principais de inércia dessa seção transversal. Então, como 
o momento Mz atua no plano vertical, irá provocar flexão na barra nesse 
mesmo plano. Confira na Figura 8 as tensões resultantes!
Onde Iz é o momento de inércia em relação ao eixo z.
Figura 8.
Quando você analisar a atuação do momento Mz, poderá concluir que as 
tensões acima do eixo horizontal são de compressão na posição, onde y > 0, 
portanto, vai obter tração na região abaixo do eixo horizonta y, onde y < 0.
Saiba que o momento fletor My atua no plano horizontal da barra e pro-
voca uma flexão nesse mesmo plano. Confira as tensões resultantes na Figura 
9, através da expressão,
Onde Iy é o momento de inércia da seção em relação ao eixo y.
Resistência dos materiais aplicada124
Figura 9.
Agora, ao analisar a atuação do momento My, você pode concluir que as 
tensões à esquerda do plano de simetria vertical são de tração na posição, 
onde z < 0, portanto, você tem compressão na região à direita do eixo vertical 
z, onde z > 0.
Ao aplicar a superposição das distribuições de tensão definidas anterior-
mente, você pode determinar a distribuição de tensões provocadas pelo mo-
mento fletor M.
Tome nota! Essa expressão também poderá ser utilizada para determinar a 
distribuição das tensões em uma barra de seção transversal assimétrica como 
a da Figura 10, a partir da condição de que os eixos principais do centroide da 
seção transversal sejam conhecidos.
Figura 10.
Lembre-se! Essa equação somente será válida no caso da combinação das 
tensões ficarem abaixo do limite de proporcionalidade, e as deformações pro-
vocadas pelas componentes do momento fletor não afetarem a distribuição 
das tensões.
125Flexão oblíqua e composta
Agora, considereque a distribuição de tensões causadas pela flexão fora 
dos planos de simetria da seção transversal é linear, a linha neutra L.N. da 
seção transversal coincide de modo geral com o eixo do momento fletor, e 
como as tensões ao longo da linha neutra L.N. são nulas, você pode definir 
a equação da linha neutra considerando σx = 0, e a equação da tensão, será,
Ao substituir os momentos fletores Mz e de My pelos valores das compo-
nentes do momento Fletor M, pode determinar a equação para y.
Essa equação representa uma reta com declividade . 
Pode-se então definir o ângulo Ø formado pela linha neutra em relação 
ao eixo z.
Figura 11.
Resistência dos materiais aplicada126
Onde θ é o ângulo formado entre o vetor do momento fletor M e o eixo z 
e como os momentos de inércia da seção transversal Iz e Iy são positivos os 
ângulos Ø e θ também serão positivos. Pode-se observar que o ângulo Ø será 
maior que o ângulo θ, Ø > θ, sempre que Iz > Iy e o ângulo Ø será menor que 
o ângulo θ, Ø < θ, sempre que Iz < Iy.
Portanto, essa relação define que a linha neutra sempre estará posicionada 
entre o vetor do momento fletor M e o eixo principal de menor inércia.
 � A aplicação da fórmula da flexão somente será válida quando a flexão ocorrer em 
torno dos eixos que representam os eixos principais de inércia da seção trans-
versal da barra.
 � Sempre que o momento fletor for aplicado fora dos eixos de simetria da seção 
transversal, deverá ser decomposto em relação aos eixos principais.
 � A distribuição de tensão em um ponto será determinada pela aplicação da super-
posição das tensões provocadas pelas componentes do momento fletor.
PROBLEMA RESOLVIDO 1
O momento M atua em um plano vertical e é aplicado a uma viga orientada con-
forme mostra a figura. Determine: 
a) O ângulo que a linha neutra forma com a horizontal;
b) A tensão de tração máxima na viga.
Solução:
127Flexão oblíqua e composta
Para o perfil 310x38,7, considere:
Coordenadas dos pontos A, B, D e E:
Componentes do momento fletor:
Ângulo da Linha Neutra – L.N.:
Tensão máxima de tração.
A tensão máxima de tração na viga, ocorre no ponto E:
Resistência dos materiais aplicada128
1. O momento M atua em um plano 
vertical e é aplicado a uma viga incli-
nada, conforme mostra a figura.
Determine:
I. O ângulo que a Linha Neutra 
forma com a horizontal.
II. A tensão de tração máxima na 
viga.
84,6 mm
152,4 mm
208
M 5 1 695 kN · mm
S150 3 18,6
A
E
BC
D
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
2. O momento M é aplicado a uma viga 
com a seção transversal mostrada na 
figura em um plano formando um 
ângulo β com a vertical. 
Determine a tensão:
I. No ponto A.
II. No ponto B.
III. No ponto D.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
3. O momento M atua em um plano 
vertical e é aplicado a uma viga 
orientada conforme mostra a figura. 
Determine:
I. O ângulo que a linha neutra forma 
com a horizontal. A tensão de 
tração máxima na viga.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
129Flexão oblíqua e composta
BEER, F. P.; DEWOLF, J. T.; JOHNSTON Jr., E. R.; MAZUREK, D. F. Estática e mecânica dos 
materiais. Porto Alegre: AMGH, 2013. 
BEER, F. P.; JOHNSTON Jr., E. R.; DEWOLF, J. T.; MAZUREK, D. F. Mecânica dos materiais. 7. ed. 
Porto Alegre: AMGH, 2015.
Leituras recomendadas
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. E. Mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro: LTC, 1983. v. 1.
4. O momento M atua em um plano 
vertical e é aplicado a uma viga 
orientada, conforme mostra a figura.
Determine:
I. O ângulo que a linha neutra forma 
com a horizontal.
II. A tensão de tração máxima na 
viga.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
5. O momento M é aplicado a uma viga 
com a seção transversal mostrada na 
figura em um plano formando um 
ângulo β com a vertical. 
Determine a tensão:
I. No ponto A.
II. No ponto B.
III. No ponto D.
B
A
50 mm
50 mm
40 mm 40 mm
M 5 250 N · m
b 5 308
z
y
D
C
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Resistência dos materiais aplicada130