EX2 Custos curto e longo prazo PUC 12022

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EXERCÍCIO1 – CUSTOS
Suponha a seguinte a função de produção: 
Responda:
Parte A: Curto Prazo
No curto prazo o capital é fixo. Suponha K = 4
(a.) Encontre a função de produção de curto prazo. Q = 4L
(b.) Encontre a demanda por trabalho no curto prazo L = Q/4
(c.) Encontre a curva de custo total de curto prazo, custo médio e marginal de curto prazo
(d.) Supondo w = 64 e r =4 encontre a curva de custo total, custo médio e custo marginal de curto prazo.
(e.) A função apresenta rendimentos decrescentes nos fatores de produção?
Parte B: Longo prazo
No longo prazo o capital também é variável. Q = K.L
(a.) Qual a TMST? O que ela significa?
(b.) Encontre a demanda por capital e trabalho no longo prazo. 
CONDIÇÕES:
I. TMST = w/r ou PMgL/w = PMgK/r
II. Q = K.L
(c.) Encontre a curva de custo total no longo prazo. 
(d.) Encontre as curvas de custo médio e marginal no longo prazo
(e.) Supondo w = 64 e r = 4 encontre a curva de custo total de longo prazo, CMe e CMg
(f.) Neste caso há economias de escala ou não? 
(g.) A função de produção apresenta retornos de escala crescentes, constantes ou decrescentes? 
 Prove.
(h.) Qual o preço de equilíbrio de longo prazo?
 
Parte A: Curto Prazo Q = K.L
No curto prazo o capital é fixo. Suponha K = 4
(a.) Encontre a função de produção de curto prazo.
Q = K.L Q = 4L
(b.) Encontre a demanda por trabalho no curto prazo
L = Q/4
(c.) Encontre a curva de custo total, custo médio e custo marginal de Curto Prazo
Custo total: CT = rK + wL CT = r4 + w(Q/4)
Custo médio: CMe = CT/Q CMe = 4r/Q + w/4 
Custo marginal: CMg = CT’ CMg = w/4
(d.) Supondo w = 64 e r =4 encontre a curva de custo total, custo médio e custo marginal de curto prazo.
CT = r4 + w(Q/4)
Custo Total: CT = = r4 + w(Q/4) = 4.4 + 64(Q/4) 
			CT = 16 + 16Q
Custo Médio: 	CMe = CT/Q = 16/Q+16
Custo marginal: CMg = CT’ = 16
(f.) A função apresenta rendimentos decrescentes nos fatores de produção?
Se o PMgL cai quando L aumenta
Se o PMgK cai quando K aumenta
Q = K.L
PMgL = K PMgL’ = 0 não há rendimentos decrescentes
PMgK = L PMgK’ = 0 não há rendimentos decrescentes
Parte B: Longo prazo. No longo prazo o capital também é variável. Q = K.L
(a.) Qual a TMST? O que ela significa?
TMST = PMgL/PMgK TMST= K/L 
O produtor pode substituir K/L unidades de K por 1 L, mantendo Q constante
(b.) Encontre a demanda por capital e trabalho no longo prazo.
CONDIÇÕES:
I. TMST = w/r ou PMgL/w = PMgK/r
II. 	Q = K.L
SOLUÇÃO:
i. TMST = w/r K/L = w/r K=(w/r)L ou L=(r/w)K
Substituindo K=(w/r)L em:
ii. Q = K.L Q = (w/r).L.L Q = (w/r). L2 
 Isolando L encontramos a demanda por L: 
 L2 = (r/w). Q 
Retornando à condição i. substituindo L=(r/w)K em Q=K.L isolamos K para encontrar a demanda por K:
 K2 = (w/r). Q 
(c.) Encontre a curva de custo total no longo prazo.
Considerando L = e K = e substituindo em:
(d.) Encontre as curvas de custo médio e marginal.
Custo total de Longo Prazo 					
Custo Médio de Longo Prazo: CMelp 
CMelp =
Custo Marginal de Longo Prazo: CMglp 
 CMglp = 
Cuidado errado!!!!! 
(e.) Supondo w = 64 e r = 4 encontre a curva de custo total de longo prazo.
	CT = 32Q 0,5.
 CMe = 32Q -0,5 	 
	CMg = 16Q -0,5
(f.) Neste caso há economias de escala ou não? 
Economia de escala: quando o CMelp se reduz quando Q aumenta ou quando CMgLp < CMeLp
CMgLp < CMeLp , portanto há economias de escala
(g.) A função de produção apresenta retornos de escala crescentes, constantes ou decrescentes? 
Q = K.L A função é uma Cobb-Douglas e a soma dos coeficientes é maior que 1 , portanto há retornos crescentes de escala
 
EX: Se K e L dobrarem Q quadruplica
Q*= 2K2L
Q*= 4 KL
Q*= 4Q
(h.) Qual o preço de equilíbrio de longo prazo?
P = CMelp = CMg
CT = 32Q 0,5.
CMe = 32Q -0,5 	 
CMg = 16Q -0,5
Igualar CMe = CMg e encontar Q
Substituir Q no CMe e obter o preço
EXERCÍCIO2 – CUSTOS
Suponha a seguinte a função de produção: 
Q = K 0,5. L 0,5
Responda:
Parte A: Curto Prazo
No curto prazo o capital é fixo. Suponha K = 4
(a.) Encontre a função de produção de curto prazo. Q = 4L
(b.) Encontre a demanda por trabalho no curto prazo L = Q/4
(c.) Encontre a curva de custo total de curto prazo, custo médio e marginal de curto prazo
(d.) Supondo w = 64 e r =4 encontre a curva de custo total, custo médio e custo marginal de curto prazo.
(e.) A função apresenta rendimentos decrescentes nos fatores de produção?
Parte B: Longo prazo
No longo prazo o capital também é variável. Q = K 0,5. L 0,5
(a.) Qual a TMST? O que ela significa?
(b.) Encontre a demanda por capital e trabalho no longo prazo. 
CONDIÇÕES:
III. TMST = w/r ou PMgL/w = PMgK/r
IV. Q = K.L
(c.) Encontre a curva de custo total no longo prazo. 
(d.) Encontre as curvas de custo médio e marginal no longo prazo
(e.) Supondo w = 64 e r = 4 encontre a curva de custo total de longo prazo, CMe e CMg
(f.) Neste caso há economias de escala ou não? 
(g.) A função de produção apresenta retornos de escala crescentes, constantes ou decrescentes? 
 Prove.
(h.) Qual o preço de equilíbrio de longo prazo?
Parte A: Curto Prazo Q = K 0,5. L 0,5
No curto prazo o capital é fixo. Suponha K = 4
(a.) Encontre a função de produção de curto prazo.
Q = K 0,5. L 0,5
Q = 40,5. L 0,5
Q = 2 L 0,5
(b.) Encontre a demanda por trabalho no curto prazo
L = Q2/4
(c.) Encontre a curva de custo total, custo médio e custo marginal de Curto Prazo
Custo total: CT = rK + wL CT = r4 + w(Q2/4)
Custo médio: CMe = CT/Q CMe = 4r/Q + wQ/4 
Custo marginal: CMg = CT’ CMg = 2wQ/4 = wQ/2
(d.) Supondo w = 64 e r =4 encontre a curva de custo total, custo médio e custo marginal de curto prazo.
CT = r4 + w(Q2/4)
Custo Total: CT = = r4 + w (Q2 /4) = 4.4 + 64 (Q2 /4) 
			CT = 16 + 16Q 2
Custo Médio: 	CMe = CT/Q = 16/Q+16Q
Custo marginal: CMg = CT’ = 32Q
e. A função apresenta rendimentos decrescentes nos fatores de produção?
Se o PMgL cai quando L aumenta
Se o PMgK cai quando K aumenta
PMgL = 0,5 K0,5L-0,5 PMgL’ = -0,25 K0,5L-1,5
PMgK = 0,5 K-0,5L0,5 PMgK’ = -0,25 K-1,5L0,5
Rendimentos decrescentes nos fatores de produção: PMgK’ < 0 PMgL’< 0
Portanto, há rendimentos decrescentes nos fatores
f. Qual a oferta de curto prazo?
Custo marginal: CMg = CT’ = 32Q
P = CMg 
Isolando P encontramos a oferta de curto prazo
P = 32Q Q = (1/32)Q
Parte B: Longo prazo. No longo prazo o capital também é variável. 
Q = K 0,5. L 0,5 Q = K 0,5. L 0,5
(a.) Qual a TMST? O que ela significa?
TMST = PMgL/PMgK = K 0,5. L -0,5 / K -0,5. L 0,5 TMST= K/L 
O produtor pode substituir K/L unidades de K por 1 L, mantendo Q constante
(b.) Encontre a demanda por capital e trabalho no longo prazo.
CONDIÇÕES: 
Condição 1: TMST = w/r K/L = w/r 
Condição 2 : 
TMST = w/r ou PMgL/w = PMgK/r
Q = K.L
SOLUÇÃO:
(i) TMST = w/r K/L = w/r K=(w/r)L ou L=(r/w)K
Substituindo K=(w/r)L em:
(ii) Q = K 0,5. L 0,5
Q = [(w/r). L ] 0,5. L 0,5 Q = (w/r) 0,5. L 
 Isolando L encontramos a demanda por L: 
 L = (r/w)0,5. Q 
Retornando à condição i. substituindo L=(r/w)K em Q = K 0,5. L 0,5
isolamos K para encontrar a demanda por K:
 
			K = (w/r) 0,5. Q 
(c.) Encontre a curva de custo total no longo prazo.
Considerando L = e K = e substituindo em:
(d.) Encontre as curvas de custo médio e marginal.
Custo total de Longo Prazo 					
Custo Médio de Longo Prazo:CMelp 
CMelp =
Custo Marginal de Longo Prazo: CMglp 
 CMglp = 
(e.) Supondo w = 64 e r = 4 encontre a curva de custo total de longo prazo.
	CT = 32Q.
 CMe = 32	 
	CMg = 32
(f.) Neste caso há economias de escala ou não? 
Economia de escala existe:
quando o CMelp se reduz quando Q aumenta ou 
quando CMgLp < CMeLp
 
CMgLp = CMeLp , portanto NÃO há economias de escala
(g) A função de produção apresenta retornos de escala crescentes, constantes ou decrescentes? 
Q = K0,5L0,5 A função é uma Cobb-Douglas e a soma dos coeficientes é igual que 1 , portanto há retornos constantes de escala
 
EX: Se K e L dobrarem Q dobra
Q = K0,5L0,5 Q* = (2K)0,5(2L)0,5
				 Q* = 20,5K0,5 20,5L0,5
				 Q* = 2 0,5+0,5 K0,5L0,5
 Q* = 2 Q
 
Retornos constantes de escala Q* = 2 Q 
(h.) Qual o preço de equilíbrio de longo prazo?
 Lucro = Zero
P = CMelp = CMg
CMe = 32 	 
CMg = 32
Portanto: P = 32
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