O Ensino de Geometria e Medidas - Teorico_II

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O Ensino de 
Geometria e Medidas
Figuras Geométricas Espaciais
Responsável pelo Conteúdo:
Prof.ª Me. Priscila Bernardo Martins
Revisão Textual:
Prof.ª Dr.ª Selma Aparecida Cesarin
Nesta unidade, trabalharemos os seguintes tópicos:
• As Figuras Geométricas Espaciais;
• Os Poliedros: Prismas, Pirâmides e Outros;
• Outros Poliedros;
• Relação de Euler;
• Os Corpos Redondos: Cones, Cilindros e Esferas;
• Discussões Didáticas e Curriculares;
• O Que a BNCC Revela Sobre o Ensino de Geometria Espacial?
Fonte: Getty Im
ages
Objetivos
• Discutir elementos, características e propriedades das figuras geométricas espaciais e 
algumas relações entre elas;
• Destacar discussões curriculares e didáticas, principalmente, as que permitem desenvol-
ver o pensamento geométrico nos estudantes.
Caro Aluno(a)!
Normalmente, com a correria do dia a dia, não nos organizamos e deixamos para o úl-
timo momento o acesso ao estudo, o que implicará o não aprofundamento no material 
trabalhado ou, ainda, a perda dos prazos para o lançamento das atividades solicitadas.
Assim, organize seus estudos de maneira que entrem na sua rotina. Por exemplo, você 
poderá escolher um dia ao longo da semana ou um determinado horário todos ou alguns 
dias e determinar como o seu “momento do estudo”.
No material de cada Unidade, há videoaulas e leituras indicadas, assim como sugestões 
de materiais complementares, elementos didáticos que ampliarão sua interpretação e 
auxiliarão o pleno entendimento dos temas abordados.
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de 
discussão, pois estes ajudarão a verificar o quanto você absorveu do conteúdo, além de 
propiciar o contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de 
troca de ideias e aprendizagem.
Bons Estudos!
Figuras Geométricas Espaciais
UNIDADE 
Figuras Geométricas Espaciais
Contextualização
A Geometria Espacial é parte da Geometria que estuda as figuras geométricas espaciais.
Se olharmos à nossa volta, podemos observar vários objetos construídos pelo ho-
mem, que podem ser associados a essas figuras. E até mesmo na própria Natureza 
encontramos e apreciamos as mais diversificadas formas.
A seguir, vejamos algumas imagens que podem ser associadas a algumas formas 
geométricas espaciais:
Figura 1 – Algumas imagens que podem ser associadas aos objetos do cotidiano
Fonte: Adaptado de Getty Images
Agora, imagine que você tem em mãos as seguintes peças: um cubo, uma esfera, um 
cilindro e um cone e quer soltar essas peças do topo de uma rampa.
Para você, qual delas, independentemente da posição, não vai rolar pela rampa? E a 
que vai rolar? Por que?
Será que, diante dessa experiência, mesmo sem frequentar a escola, as crianças po-
dem reconhecer as figuras geométricas percebendo as “que rolam” ou não? 
Reflita sobre isso.
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As Figuras Geométricas Espaciais
Você deve ter percebido que ao soltar um cubo, uma esfera, um cilindro e um cone 
do topo de uma rampa algumas delas vão rolar e outras não. Leia o texto e vai saber o 
motivo por que isto acontece. 
A organização das figuras geométricas espaciais se dá em torno de dois grupos: o 
primeiro grupo constituído pelos poliedros: prismas, pirâmides e outros, e o segundo 
grupo composto pelos corpos redondos: cones, cilindros e esferas. 
Vejamos alguns exemplos.
Figura 2 – Alguns poliedros
Figura 3 – Corpos redondos
Adiante detalharemos as características desses grupos.
Você já observou que os poliedros têm diferenças significativas, embora todos tenham a 
mesma característica de ter sua superfície formada por polígonos? Como você faria uma 
categorização dos poliedros? 
Pense nas bases para organizar as categorias e depois leia o trecho do texto que apresenta 
essa categorização. 
Os Poliedros: Prismas, Pirâmides e Outros
O poliedro tem a sua superfície formada por polígonos; são as denominadas faces do 
poliedro. À medida que os lados desses polígonos se encontram, as arestas dos poliedros 
se constituem. O ponto no qual mais de duas arestas e mais de duas faces se reúnem é 
denominado vértice.
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UNIDADE 
Figuras Geométricas Espaciais
Os poliedros são denominados de acordo com o número de faces, isto é, um polie-
dro com quatro faces é intitulado tetraedro. Os poliedros podem ser categorizados em 
convexos ou não convexos. Entre os convexos, destacamos os Poliedros de Platão e os 
Poliedros Regulares.
Os poliedros são denominados convexos quando qualquer segmento que une dois de 
seus pontos está totalmente incluído nele, obedecendo, ainda, às seguintes condições:
• Apresentam duas faces peculiares e que não estão no mesmo plano;
• Cada aresta pertence apenas a duas faces;
• As faces são concebidas por polígonos planos; 
• O plano de cada face que contém o polígono deixa os demais em um mesmo 
semiespaço. 
Você já ouviu falar nos Poliedros de Platão?
Pesquise sobre Platão na Internet. Você vai conhecer um filósofo e matemático grego que 
viveu em Atenas no período de 427-347 a.C., autor de diversos estudos importantes ainda 
hoje, como os Poliedros de Platão. 
Os Poliedros de Platão apresentam características peculiares e possuem as seguin-
tes circunstâncias:
• O número de arestas é igual em todas as faces;
• Cada vértice envolve o mesmo número de arestas;
• Obedece a relação de Euler: V + F = A + 2.
A figura 2 explana as classes desses poliedros de Platão:
Tetraedro Regular Hexaedro Regular – Cubo Octaedro Regular
Dodecaedro RegularIcosaedro Regular
Figura 4 – Poliedros de Platão
Um poliedro é considerado regular quando suas faces são polígonos regulares e con-
gruentes. Existem nove poliedros regulares, dos quais cinco são de Platão.
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O paralelepípedo, por exemplo, apesar de ser um poliedro de Platão, não é conside-
rado um polígono regular, em virtude das suas faces não serem polígonos congruentes. 
Assim, pode-se inferir que nem todo poliedro de Platão é um poliedro regular.
Prismas
O prisma é um poliedro que apresenta duas bases paralelas e congruentes, de tal 
forma que as arestas que as conectam são paralelas entre si.
Suas faces laterais são paralelogramos, podendo ser retângulos e quadrados, en-
tre outros.
A nomenclatura de um prisma varia de acordo com o formato de sua base, podendo 
ser triangular, quadrangular, pentagonal e hexagonal, como nos mostra a figura a seguir:
Prisma Triangular Prisma Quadrangular Prisma Pentagonal Prisma Hexagonal
Figura 5 – Prismas
Pesquise na Internet algumas construções que tenham formato similar aos prismas.
Pirâmides
As pirâmides são poliedros que apresentam as faces laterais triangulares e possuem 
um vértice comum a todas as arestas. A face oposta a esse vértice é caracterizada como 
base e pode ser um polígono qualquer. A nomeação do prisma se dá em conformidade 
com o formato de sua base. 
Na sequência, vejamos alguns exemplos de pirâmides:
Pirâmide triangular
(tetraedro)
Pirâmide
quadrangular
Pirâmide
pentagonal
Pirâmide
hexagonal
Figura 6 – Pirâmides
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UNIDADE 
Figuras Geométricas Espaciais
Um caso particular de pirâmide regular de base triangular é o tetraedro, pois suas 
4 faces são triângulos equiláteros, cujos lados e ângulos apresentam as mesmas medidas. 
A figura a seguir ilustra tal tetraedro regular. É um dos poliedros de Platão:
Pirâmide triangular (tetraedro)
Figura 7 – Pirâmide Triangular – Tetraedro
Uma pirâmide pode ser categorizada de acordo com o número de arestas da base ou 
dos lados do polígono da base. 
Assim, temos:
• Pirâmide triangular: a base é um triângulo; 
• Pirâmide quadrangular: a base é um quadrilátero;
• Pirâmide pentagonal: a base é um pentágono;
• Pirâmide hexagonal: a base é um hexágono.
Pesquise na Internet algumas construções que tenham o formato similar às pirâmides.
Outros Poliedros
Existem outros poliedros que não são prismas e pirâmides. E, como exemplo, pode-
mos citar o octaedro, que têm 8 faces, em que se reúnem duas pirâmides equivalentes,com base comum, conforme evidenciado na figura 8.
Há, também, outros poliedros, como o icosaedro constituído por 20 faces.
A figura 9 ilustra tal poliedro.
Figura 8 – Octaedro Figura 9 – Icosaedro
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Você já ouviu falar em Leonard Euler? Pesquise na Internet sobre ele. Você vai descobrir que 
Euler é um dos matemáticos mais importantes do século XVIII. Viveu a maior parte da vida 
em São Petersburgo, na Rússia, e fez a descoberta de uma relação importantíssima que 
você vai conhecer a seguir.
Relação de Euler
A relação de Euler foi concebida pelo matemático Leonhard Euler, na qual de-
termina uma correspondência entre o número de vértices, faces e arestas de qualquer 
poliedro convexo e de alguns não convexos.
Essa relação permite que os cálculos sejam realizados com o propósito de indicar o 
número de elementos de um dado poliedro. 
A seguir, apresentamos a fórmula criada por Euler: V – A + F = 2.
Na fórmula apresentada, V equivale ao número de vértices, A refere-se ao número 
de arestas e F representa o número de faces. 
O quadro a seguir retrata os números de Vértices (V), Faces (F) e Arestas (A) 
dos poliedros:
Quadro 1 – Os números de Vértices (V), Faces (F) e Arestas (A) dos poliedros
Poliedro V F A
Cubo 8 6 12
Paralelepípedo (bloco retangular) 8 6 12
Prisma de base triangular 6 5 9
Prisma de base pentagonal 10 7 15
Prisma de base hexagonal 12 8 18
Pirâmide de base triangular 4 4 6
Pirâmide de base pentagonal 6 6 10
Pirâmide de base hexagonal 7 7 12
Tetraedro 4 4 6
Octaedro 6 8 12
Dodecaedro 20 12 30
Icosaedro 12 20 330
Fonte: Pires, 2012, p. 199-200
Olhando para esse quadro, é possível identificar algumas regularidades? E como po-
demos indicar o número de vértices, faces e arestas de um poliedro sem dispor deles? 
Isso é possível?
Reflita.
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UNIDADE 
Figuras Geométricas Espaciais
Essas regularidades identificadas e as características apresentadas na relação de Eüler 
contribuem para o desenvolvimento do raciocínio geométrico, na medida que o estudan-
te possa descobrir os elementos constituintes dos poliedros diversos, até mesmo quando 
eles não estão presentes.
A relação de Euler viabiliza que o professor incentive os estudantes na descoberta de 
regularidades, como:
• O total de arestas de um prisma é o triplo do número de lados do polígono da base. 
Por exemplo: prisma de base triangular apresenta 3 lados do polígono da base que 
multiplicado por três tem-se 9 arestas;
• Na pirâmide, o total de arestas é o dobro do número de lados do polígono da base. 
Por exemplo: pirâmide de base triangular apresenta 3 lados do polígono da base 
que multiplicado por 2 temos 6 arestas;
• O total de vértices e faces de uma pirâmide é sempre o mesmo. Por exemplo: pirâ-
mide de base pentagonal apresenta 6 vértices e 6 faces;
• Para todos os poliedros da Tabela, V + F = A + 2. Isto é, na pirâmide base hexa-
gonal: 7 + 7 = 12 + 2.
A Relação de Euler permite calcular o número de vértices (ou de faces ou de arestas) 
de um poliedro, conhecendo-se o número dos outros dois elementos desse poliedro 
(faces e arestas).
Os Corpos Redondos: 
Cones, Cilindros e Esferas
Em nosso cotidiano, comumente encontramos objetos que são limitados por uma 
superfície que remetem às figuras geométricas espaciais, constituídas pelo que categori-
zamos como corpos redondos. 
O cone, o cilindro e a esfera fazem parte do que classificamos como corpos redon-
dos. De um lado, temos a esfera, que é limitada por uma superfície arredondada, mas 
que não pode ser planificada.
Do outro lado, temos o cone e o cilindro, que são limitados por superfícies arredon-
dadas e planas, e que possuem as suas respectivas planificações.
Cone
O cone é definido por uma base circular. Seus pontos formam segmentos de reta que 
têm uma extremidade na base e outro extremo num mesmo ponto V (Vértice).
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Figura 10 – Cone
A planificação do cone indica que sua superfície é integrada por um círculo (base) 
e também por um setor circular (superfície lateral), conforme apresentado na figura 
a seguir:
Figura 11 – Cone e sua planifi cação
Cilindro
O cilindro é um objeto tridimensional formado por duas bases circulares paralelas e 
congruentes, em que seus pontos geram segmentos de reta paralelos, com cada extre-
midade em uma dessas bases.
Figura 12 – Cilindro
Em relação à planificação do cilindro, observa-se que sua superfície é constituída por 
dois círculos, que são as bases, e também a superfície lateral é um retângulo. 
A figura a seguir, mostra a sua planificação:
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UNIDADE 
Figuras Geométricas Espaciais
Figura 13 – Cilindro e sua planifi cação
Esfera
A esfera é um sólido geométrico limitado por uma superfície esférica, e pode ser carac-
terizado pelo movimento de 360° de uma semicircunferência em volta de seu diâmetro.
Figura 14 – Esfera
A figura a seguir mostra uma semicircunferência e seu diâmetro e a esfera em con-
sequência do giro.
Figura 15 – A esfera em consequência de giro
Agora que você já conhece um pouco mais sobre as figuras geométricas espaciais, e 
antes de passarmos para o próximo tópico, reflita: Para você, como está a abordagem, 
no cenário brasileiro atual, do ensino de Geometria nos Anos Iniciais do Ensino Funda-
mental com enfoque nas figuras geométricas espaciais? 
Discussões Didáticas e Curriculares
No Brasil, vêm ocorrendo um importante movimento de restruturação sobre o ensino 
de Geometria, justificando seu ensino com enfoque nas figuras geométricas espaciais 
desde a Educação Infantil, perpassando outros níveis de escolaridade, pelo fato de favo-
recer o desenvolvimento de um pensamento especial, no qual os estudantes possam, de 
forma organizada, compreender, representar e se situar no mundo em que vivem.
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As primeiras experiências com as formas geométricas espaciais ocorrem na Educa-
ção Infantil, quando o bebê faz alguns movimentos, como agarrar e segurar. 
Ao tentar compreender o mundo que o rodeia e despertado pela curiosidade, o bebê 
explora os objetos que localiza nesse espaço, na tentativa de diferenciar um objeto do outro.
Para Lorenzato (2006), a criança desenvolve suas primeiras experiências quando vê, 
ouve e manuseia, com o apoio da linguagem e, especialmente, da percepção espacial, 
partindo de suas descobertas. 
Cabe ao professor encorajar a criança a explorar o espaço que a cerca, dado que a 
aprendizagem ocorre pelas ações que a criança mentaliza quando compara, diferencia, 
separa e monta. 
Certamente, essas habilidades oportunizam a estimulação de sua percepção visual e 
contribuem para que ela se localize no espaço ao seu redor.
Por que a Geometria é pouco explorada nas aulas de Matemática?
Ao que tudo indica, a ausência do ensino de Geometria é uma problemática histórica. 
Diversos estudiosos da área discorrem que, ao longo das décadas de 1960 e 1970, havia 
pouco enfoque para o ensino de Geometria, visto que focalizava o ensino a partir da 
noção de conjunto e na simbologia. 
A partir da década de 1980, o trabalho com Geometria era desenvolvido a partir de 
atividades que levassem os estudantes a explorar figuras planas e espaciais.
Pavanello (1989), em sua Dissertação de Mestrado, analisou os Currículos e os Pro-
gramas Escolares, constatando que, nos anos iniciais da Educação Básica, os conteú-
dos abordados em Matemática eram predominantemente relacionados à Aritmética, 
enquanto que os conteúdos relativos aos anos finais do Ensino Fundamental, a ênfase 
era dada ao ensino de Álgebra.
Lorenzato (1995) frisou dois aspectos que levam os professores a não ensinar Geo-
metria. O primeiro diz respeito à falta de conhecimentos geométricos essenciais para o 
desenvolvimento da prática docente, enquanto o segundo pressuposto está relacionado 
ao abuso da importância que o Livro Didático desempenha, em virtude da má formação 
e da cansativa jornada profissional.
Em seus estudos, Pirolla (2000) apresenta as dificuldades apresentadas pelos profes-
sores que dizem respeito ao ensino da Geometria. 
Esse autor justificao fato pela ausência do contato dos professores, no processo de 
formação, com os Componentes Curriculares que abarcam esse conteúdo, dando maior 
atenção a eixos como cálculos.
Conforme destaca Nacarato (2002), alguns aspectos vêm contribuindo para o es-
quecimento do ensino de Geometria na escolarização formal. Para a autora, a própria 
história do ensino de Matemática brasileiro e a falta de entendimento que os professores 
tem em relação a constituição de conceitos geométricos para o desenvolvimento do 
pensamento especial matemático.
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UNIDADE 
Figuras Geométricas Espaciais
O Que a BNCC Revela Sobre o Ensino de 
Geometria Espacial?
Em tempos atuais, a Base Nacional Comum Curricular – BNCC (2017) destaca que 
a Geometria envolve o estudo de um vasto rol de conceitos e procedimentos essenciais 
para resolver problemas do mundo físico e de distintas áreas do conhecimento. Nesse 
documento, esta Unidade temática propõe estudar as relações entre elementos de figu-
ras espaciais para desenvolver o pensamento geométrico dos estudantes. 
Esse tipo se faz necessário para investigar propriedades, realizar conjecturas e pro-
duzir argumentos geométricos concludentes. 
A BNCC (2017) retrata a importância da presença do aspecto funcional no estudo 
de Geometria, destacando as transformações geométricas, as ideias fundamentais da 
Matemática, especialmente, construção, representação e interdependência. 
O documento destaca, ainda, que:
A Geometria não pode ficar reduzida à mera aplicação de fórmulas de 
cálculo de área e de volume nem a aplicações numéricas imediatas de 
teoremas sobre relações de proporcionalidade em situações relativas a 
feixes de retas paralelas cortadas por retas secantes ou do teorema de 
Pitágoras. (BNCC, 2017, p. 272)
Em se tratando da Unidade Temática Geometria, com foco nas figuras geométricas 
espaciais, o documento propõe que, nos anos iniciais do Ensino Fundamental, os estu-
dantes indiquem características das formas geométricas tridimensionais, relacionando-as 
a suas planificações e vice-versa.
A BNCC (2017) apresenta Objetos de Conhecimento e Habilidades para cada ano de 
escolarização, no que se refere ao tema figuras geométricas espaciais, que são apresen-
tadas no quadro a seguir:
Quadro 2 – Objetos de Conhecimento e Habilidades referentes à Unidade Temática Geometria, 
com foco nas fi guras geométricas espaciais para os anos iniciais do Ensino Fundamental
Ano Objeto de Conhecimento Habilidades
1º Figuras geométricas espaciais: reconhecimento 
e relações com objetos familiares do mundo físico.
Relacionar figuras geométricas espaciais (cones, cilindros, esferas e blocos 
retangulares) a objetos familiares do mundo físico.
2º
Figuras geométricas espaciais (cubo, bloco 
retangular, pirâmide, cone, cilindro e esfera): 
reconhecimento e características.
Reconhecer, nomear e comparar figuras geométricas espaciais (cubo, 
bloco retangular, pirâmide, cone, cilindro e esfera), relacionando-as com 
objetos do mundo físico.
3º
Figuras geométricas espaciais (cubo, bloco 
retangular, pirâmide, cone, cilindro e esfera): 
reconhecimento, análise de características 
e planificações.
Associar figuras geométricas espaciais (cubo, bloco retangular, pirâmide, 
cone, cilindro e esfera) a objetos do mundo físico 
e nomear essas figuras. 
Descrever características de algumas figuras geométricas espaciais (prismas 
retos, pirâmides, cilindros, cones), relacionando-as com suas planificações.
4º
Figuras geométricas espaciais (prismas e 
pirâmides): reconhecimento, representações, 
planificações e características.
Associar prismas e pirâmides a suas planificações e analisar, 
nomear e comparar seus atributos, estabelecendo relações entre 
as representações planas e espaciais.
5º Figuras geométricas espaciais: reconhecimento, 
representações, planificações e características.
Associar figuras espaciais a suas planificações (prismas, pirâmides, cilindros e 
cones) e analisar, nomear e comparar seus atributos.
Fonte: BNCC, 2017, p. 279-297
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Você deve ter percebido, na leitura do Quadro, que é visível a ampliação do pensamento 
geométrico na descrição dos Objetos de Conhecimento e Habilidades prescritas na BNCC 
(2017), para cada ano de escolaridade do nível anos iniciais do Ensino Fundamental. 
Nesse documento, a abordagem com as figuras geométricas espaciais inicia-se no 
1ª ano e se amplia nos outros anos. 
Nas Habilidades e Objetos de Conhecimento para o primeiro ano, a expectativa é 
que os estudantes reconheçam as figuras geométricas espaciais e possam tecer cone-
xões com objetos familiares do mundo físico. 
No segundo ano, as Habilidades e Objetos de Conhecimento trazem o reconheci-
mento, a nomeação e a comparação dessas figuras geométricas espaciais. 
Em relação ao terceiro ano, as expectativas se ampliam, ao propor a associação 
dessas figuras geométricas espaciais e a descrição das características, relacionando-as a 
suas respectivas planificações.
Em se tratando do 4º ano, a expectativa que se apresenta é a de que os estudantes 
possam reconhecer, analisar e associar as figuras geométricas (prismas e pirâmides) às 
respectivas planificações. Por fim, no quinto ano, espera-se que os estudantes façam as-
sociações, representações, planificações e elementos das figuras geométricas espaciais.
Ao analisarmos a abordagem de Geometria com enfoque nas figuras geométricas es-
paciais nesse documento, percebemos a ampliação de seu ensino e a possível superação 
de abandono apresentadas por alguns autores, como Lorenzato: “[...] a Geometria está 
ausente ou quase ausente na sala de aula” (LORENZATO, 1995, p. 3), e especificadas 
até mesmo em documentos oficiais, como os Parâmetros Curriculares Nacionais de Ma-
temática: “[...] a Geometria tem tido pouco destaque nas aulas de Matemática e, muitas 
vezes, confunde-se seu ensino com o das medidas” (BRASIL,1998, p.122).
Para que os professores possam trabalhar com esses objetos de conhecimento e 
habilidades destacadas na BNCC (2017), é imprescindível que conheçam com mais pro-
fundidade esses Objetos do Conhecimento.
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UNIDADE 
Figuras Geométricas Espaciais
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Leitura
Orientações Didáticas do Currículo da Cidade
http://bit.ly/31VHCh0
Ensino de Geometria para os anos iniciais do ensino fundamental: possibilidades didáticas
http://bit.ly/31TDzSg
Geometria espacial
http://bit.ly/31WIDVZ
Como apresentar figuras tridimensionais aos pequenos
http://bit.ly/31YaZz1
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Referências
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a 
base: terceira versão. Brasília: MEC, 2017.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais para os 1º e 2º ciclos. Brasília: Secre-
taria de Ensino Fundamental, 1997.
LORENZATO, S. A. Por que não ensinar Geometria? Revista da Sociedade Brasileira 
de Educação Matemática. São Paulo, ano III, nº 4, p. 3-13, 1º semestre 1995.
_________. Laboratório de ensino de matemática e materiais didáticos manipuláveis. 
In: LORENZATO, S. (org.). O Laboratório de ensino de matemática na formação de 
professores. Campinas: Autores Associados, 2006.
NACARATO, A. M. A Geometria no ensino fundamental: fundamentos e perspectivas 
de incorporação no currículo das séries iniciais. In: SISTO, F. F. et al. Cotidiano esco-
lar: questões de leitura, matemática e aprendizagem. Petrópolis: Vozes, 2002. p. 84-99.
PAVANELLO, R. M. O abandono do ensino de Geometria: uma visão histórica. 
1989. 196f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Faculdade de Educação, Universida-
de Estadual de Campinas, Campinas, 1989.
PIRES, C. M. C. Educação Matemática: conversas com professores dos anos iniciais. 
São Paulo: Zapt, 2012.
PIROLA, N. A. Solução de problemas geométricos: dificuldades e perspectivas. Cam-
pinas, 2000. Tese (Doutorado em Educação – Metodologia de Ensino) – Faculdade de 
Educação, Universidade Estadual de Campinas.  Campinas, 2000. 
SÃO PAULO. Secretaria Municipal de Educação. CoordenadoriaPedagógica.Currículo 
da Cidade: Ensino Fundamental: Matemática. São Paulo: SME/COPED, 2017.
SÃO PAULO. Secretaria Municipal de Educação. Coordenadoria Pedagógica. Cader-
no da Cidade Saberes e Aprendizagens Matemática. São Paulo: SME/COPED, 
2018. v.1.
SOUZA, J. R.; PATARO, P. R. M. Vontade de saber matemática 7º ano. 3. ed. São 
Paulo: FTD, 2015.
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