Exercícios de Funções Matemáticas

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Exercícios - Enem
UNIDADE 6
MATEMÁTICA
 
 
Módulo6: Funções 
 
 
 
 
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Exercícios Propostos 
 
1. (Unicamp) Sabendo que 𝑎 é um número real, considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 2, definida para todo 
número real 𝑥. Se 𝑓(𝑓(1)) = 1 então 
a) 𝑎 = −1. 
b) 𝑎 = −
1
2
. 
c) 𝑎 =
1
2
. 
d) 𝑎 = 1. 
 
2. (Unigranrio - Medicina) Sabe-se que 𝑓 (
2
3
𝑥 − 3) = 𝑥 + 1. Desta forma, pode-se afirmar que 𝑓(−1) vale: 
a) 4 
b) 3 
c) 2 
d) 1 
e) 0 
 
3. (Uece) Sejam 𝑓 e 𝑔 funções reais de variável real definidas por 𝑓(𝑥) = 2𝑥 e 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 1. O valor da 
função composta 𝑓 ∘ 𝑔 no elemento 𝑥 = 2 é igual a 
a) 1. 
b) 8. 
c) 2. 
d) 4. 
 
4. (Eear) Sabe-se que a função 𝑓(𝑥) =
𝑥+3
5
 é invertível. Assim, 𝑓−1(3) é 
a) 3 
b) 4 
c) 6 
d) 12 
 
5. (Mackenzie) Se a função 𝑓:ℝ − {2} → ℝ∗ é definida por 𝑓(𝑥) =
5
2−𝑥
 e 𝑓−1 a sua inversa, então 𝑓−1(−2) é 
igual a 
a) −
1
2
 
b) 
9
2
 
c) −
9
2
 
d) 
1
2
 
e) 
5
4
 
 
6. (Espm) O conjunto imagem de uma função inversível é igual ao domínio de sua inversa. Sendo 𝑓: 𝐴 → 𝐵 tal 
que 𝑓(𝑥) =
2𝑥−1
𝑥+1
 uma função real inversível, seu conjunto imagem é: 
a) ℝ − {1} 
b) ℝ− {−1} 
c) ℝ − {−2} 
d) ℝ− {0} 
e) ℝ− {2} 
 
 
Nível2: 
 
 
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7. (G1 - ifsul) De acordo com o Dicionário Etimológico (origens das palavras), na língua portuguesa, o termo 
“palavra” se originou do latim vulgar paraula, que, por sua vez, tem origens no latim clássico parabola, que 
significa fala ou discurso. Além disso, de acordo com esse dicionário, a raiz etimológica do latim parabola está 
no termo parabole, que, ao ser traduzido, pode ser entendido como comparação, ou seja, esse termo é 
composto a partir da união de para, que significa ao lado, e ballein, que quer dizer atirar ou jogar. Na 
matemática, o estudo da parábola foi divulgado pelo matemático Pierre de Fermat (1601-1655), o qual 
estabeleceu que a equação do segundo grau representa uma parábola quando seus pontos são aplicados em 
um plano cartesiano. 
 
Nesse sentido, considerando as parábolas como representações de gráficos de funções do segundo grau e 
tomando a função 𝑓:ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, com 𝑎 > 0 e 𝑐 < 0, a parábola que 
representa o gráfico dessa função intercepta o eixo das 
a) ordenadas em valor positivo. 
b) abscissas em um único ponto. 
c) ordenadas em dois pontos distintos. 
d) abscissas em dois pontos distintos. 
 
8. (Unicamp) Seja a função ℎ( 𝑥) definida para todo número real 𝑥 por 
 
ℎ( 𝑥) = {
2𝑥+1 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1,
√𝑥 − 1 𝑠𝑒 𝑥 > 1.
 
 
Então, ℎ(ℎ( ℎ( 0))) é igual a 
a) 0. 
b) 2. 
c) 4. 
d) 8. 
 
9. (Upf) Um estudo das condições ambientais de um município do Rio Grande do Sul indica que a taxa média 
de monóxido de carbono (𝐶𝑂) no ar será de 𝐶(𝑃) = 0,2𝑃 − 1 partes por milhão (ppm) quando a população 
for 𝑃 milhares de habitantes. Sabe-se que em 𝑡 anos, a população desse município será dada pela relação 
𝑃(𝑡) = 50 + 0,05𝑡2. O nível de monóxido de carbono, em função do tempo 𝑡, é dado por 
a) 𝐶(𝑡) = 9 + 0,01𝑡2 
b) 𝐶(𝑡) = 0,2(49 + 0,05𝑡2) 
c) 𝐶(𝑡) = 9 + 0,05𝑡2 
d) 𝐶(𝑡) = 0,1(1 + 0,05𝑡2) − 1 
e) 𝐶(𝑡) = 10 + 0,95𝑡2 
 
10. (Espm 2018) Nas alternativas abaixo há 2 pares de funções inversas entre si. Assinale aquela que não 
pertence a nenhum desses pares: 
a) 𝑦 = 2𝑥 − 1 
b) 𝑦 =
1−𝑥
2
 
c) 𝑦 =
𝑥+1
2
 
d) 𝑦 =
𝑥−1
2
 
e) 𝑦 = 1 − 2𝑥 
 
11. (Enem 2019) Um comerciante, que vende somente pastel, refrigerante em lata e caldo de cana em copos, 
fez um levantamento das vendas realizadas durante a semana. O resultado desse levantamento está 
apresentado no gráfico. 
 
 
 
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Ele estima que venderá, em cada dia da próxima semana, uma quantidade de refrigerante em lata igual à soma 
das quantidades de refrigerante em lata e caldo de cana em copos vendidas no respectivo dia da última 
semana. Quanto aos pastéis, estima vender, a cada dia da próxima semana, uma quantidade igual à 
quantidade de refrigerante em lata que prevê vender em tal dia. Já para o número de caldo de cana em copos, 
estima que as vendas diárias serão iguais às da última semana. 
 
Segundo essas estimativas, a quantidade a mais de pastéis que esse comerciante deve vender na próxima 
semana é 
a) 20. 
b) 27. 
c) 44. 
d) 55. 
e) 71. 
 
12. (Enem) Nos seis cômodos de uma casa há sensores de presença posicionados de forma que a luz de cada 
cômodo acende assim que uma pessoa nele adentra, e apaga assim que a pessoa se retira desse cômodo. 
Suponha que o acendimento e o desligamento sejam instantâneos. 
O morador dessa casa visitou alguns desses cômodos, ficando exatamente um minuto em cada um deles. O 
gráfico descreve o consumo acumulado de energia, em watt × minuto, em função do tempo 𝑡, em minuto, das 
lâmpadas de LED dessa casa, enquanto a figura apresenta a planta baixa da casa, na qual os cômodos estão 
numerados de 1 a 6, com as potências das respectivas lâmpadas indicadas. 
 
 
 
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A sequência de deslocamento pelos cômodos, conforme o consumo de energia apresentado no gráfico, é 
a) 1 → 4 → 5 → 4 → 1 → 6 → 1 → 4 
b) 1 → 2 → 3 → 1 → 4 → 1 → 4 → 4 
c) 1 → 4 → 5 → 4 → 1 → 6 → 1 → 2 → 3 
d) 1 → 2 → 3 → 5 → 4 → 1 → 6 → 1 → 4 
e) 1 → 4 → 2 → 3 → 5 → 1 → 6 → 1 → 4 
 
13. (Enem) Dois reservatórios 𝐴 e 𝐵 são alimentados por bombas distintas por um período de 20 horas. A 
quantidade de água contida em cada reservatório nesse período pode ser visualizada na figura. 
 
 
 
O número de horas em que os dois reservatórios contêm a mesma quantidade de água é 
a) 1. 
b) 2. 
 
 
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c) 4. 
d) 5. 
e) 6. 
 
14. (Enem) Num dia de tempestade, a alteração na profundidade de um rio, num determinado local, foi 
registrada durante um período de 4 horas. Os resultados estão indicados no gráfico de linhas. Nele, a 
profundidade ℎ, registrada às 13 horas, não foi anotada e, a partir de ℎ, cada unidade sobre o eixo vertical 
representa um metro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Foi informado que entre 15 horas e 16 horas, a profundidade do rio diminuiu em 10%. 
 
Às 16 horas, qual é a profundidade do rio, em metro, no local onde foram feitos os registros? 
a) 18 
b) 20 
c) 24 
d) 36 
e) 40 
 
15. (Enem) O fisiologista inglês Archibald Vivian Hill propôs, em seus estudos, que a velocidade 𝑣 de contração 
de um músculo ao ser submetido a um peso 𝑝 é dada pela equação (𝑝 + 𝑎)(𝑣 + 𝑏) = 𝐾, com 𝑎,  𝑏 e 𝐾 
constantes. 
Um fisioterapeuta, com o intuito de maximizar o efeito benéfico dos exercícios que recomendaria a um de 
seus pacientes, quis estudar essa equação e a classificou desta forma: 
 
Tipo de curva 
Semirreta oblíqua 
Semirreta horizontal 
Ramo de parábola 
Arco de circunferência 
Ramo de hipérbole 
 
O fisioterapeuta analisou a dependência entre 𝑣 e 𝑝 na equação de Hill e a classificou de acordo com sua 
representação geométrica noplano cartesiano, utilizando o par de coordenadas (𝑝;  𝑣). Admita que 𝐾 > 0. 
 
Disponível em: http:?/rspb.royalsocietypublishing.org. Acesso em: 14 jul. 2015 (adaptado). 
 
 
 
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O gráfico da equação que o fisioterapeuta utilizou para maximizar o efeito dos exercícios é do tipo 
a) semirreta oblíqua. 
b) semirreta horizontal. 
c) ramo de parábola. 
d) arco de circunferência. 
e) ramo de hipérbole. 
 
16. (Enem) A água para o abastecimento de um prédio é armazenada em um sistema formado por dois 
reservatórios idênticos, em formato de bloco retangular, ligados entre si por um cano igual ao cano de 
entrada, conforme ilustra a figura. 
 
 
 
A água entra no sistema pelo cano de entrada no Reservatório 1 a uma vazão constante e, ao atingir o nível do 
cano de ligação, passa a abastecer o Reservatório 2. Suponha que, inicialmente, os dois reservatórios estejam 
vazios. 
 
Qual dos gráficos melhor descreverá a altura ℎ do nível da água no Reservatório 1, em função do volume 𝑉 da 
água no sistema? 
a) 
b) 
c) 
 
 
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d) 
e) 
 
17. (Enem) Em um exame, foi feito o monitoramento dos níveis de duas substâncias presentes (𝐴 e 𝐵) na 
corrente sanguínea de uma pessoa, durante um período de 24 ℎ, conforme o resultado apresentado na figura. 
Um nutricionista, no intuito de prescrever uma dieta para essa pessoa, analisou os níveis dessas substâncias, 
determinando que, para uma dieta semanal eficaz, deverá ser estabelecido um parâmetro cujo valor será dado 
pelo número de vezes em que os níveis de 𝐴 e de 𝐵 forem iguais, porém, maiores que o nível mínimo da 
substância A durante o período de duração da dieta. 
 
 
 
Considere que o padrão apresentado no resultado do exame, no período analisado, se repita para os dias 
subsequentes. 
 
O valor do parâmetro estabelecido pelo nutricionista, para uma dieta semanal, será igual a 
a) 28. 
b) 21. 
c) 2. 
d) 7. 
e) 14. 
 
18. (Enem) Um investidor inicia um dia com 𝑥 ações de uma empresa. No decorrer desse dia, ele efetua 
apenas dois tipos de operações, comprar ou vender ações. Para realizar essas operações, ele segue estes 
critérios: 
 
 
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I. vende metade das ações que possui, assim que seu valor fica acima do valor ideal (𝑉𝑖); 
II. compra a mesma quantidade de ações que possui, assim que seu valor fica abaixo do valor mínimo (𝑉𝑚); 
III. vende todas as ações que possui, quando seu valor fica acima do valor ótimo (𝑉 𝑜). 
 
O gráfico apresenta o período de operações e a variação do valor de cada ação, em reais, no decorrer daquele 
dia e a indicação dos valores ideal, mínimo e ótimo. 
 
 
 
Quantas operações o investidor fez naquele dia? 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
Gabarito comentado 
 
Resposta da questão 1: 
 [A] 
 
Sendo f(1) a 2,= + temos 
 
2
2
f(f(1)) 1 f(a 2) 1
a(a 2) 2 1
a 2a 1 0
(a 1) 0
a 1.
=  + =
 + + =
 + + =
 + =
 = −
 
 
Resposta da questão 2: 
 [A] 
 
Calculando: 
 
 
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2
f x 3 x 1
3
2
x 3 1 x 3
3
2
f x 3 f(3) 3 1 f( 1) 4
3
 
− = + 
 
 
− = −  = 
 
 
− = = +  − = 
 
 
 
Resposta da questão 3: 
 [C] 
 
Queremos calcular f(g(2)). Assim, como 2g(2) (2 1) 1,= − = segue que 1f(g(2)) 2 2.= = 
 
Resposta da questão 4: 
 [D] 
 
Se f possui inversa, então queremos calcular x tal que f(x) 3.= Assim, vem 
 
x 3
3 x 12.
5
+
=  = 
 
Resposta da questão 5: 
 [B] 
 
Impondo f(x) 2,= − temos 
5 9
2 2x 4 5 x .
2 x 2
− =  − =  =
−
 
 
Portanto, segue que 1 9
f ( 2) .
2
− − = 
 
Resposta da questão 6: 
 [E] 
 
Lembrando que é possível definir tantas funções quanto queiramos por meio da lei 
2x 1
f(x) ,
x 1
−
=
+
 vamos supor 
que o domínio de f seja o conjunto dos números reais x, tal que x { 1}. − − Assim, temos 
2x 1
y yx y 2x 1
x 1
x(y 2) (y 1)
y 1
x .
2 y
−
=  + = −
+
 − = − +
+
 =
−
 
 
Portanto, sendo 1 x 1
f (x)
2 x
− +
=
−
 a lei da inversa de f, podemos afirmar que a imagem de f é o conjunto dos 
números reais y tal que 𝑦 ∈ ℝ − {2}. 
 
Resposta da questão 7: 
 
 
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 [D] 
 
Como a 0, a parábola terá concavidade voltada para cima, cortando o eixo y (ordenadas) em c. Como 
c 0, ela cortará o eixo das ordenadas num único ponto, com valor negativo. Como c tem valor negativo, o 
valor de  será sempre positivo, logo a parábola cortará o eixo das abscissas em dois pontos distintos. 
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
Desde que 1h(0) 2 2= = temos, = − =h(2) 2 1 1 e, portanto, vem 1 1h(1) 2 4.+= = 
 
Portanto, a resposta é 
= = =h(h(h(0))) h(h(2)) h(1) 4. 
 
Resposta da questão 9: 
 [A] 
 
Do enunciado, temos: 
( )C P 0,2P 1= − e ( ) 2P t 50 0,05t ,= + logo, 
( ) ( )
( )
( )
2
2
2
C t 0,2 50 0,05t 1
C t 10 0,01t 1
C t 9 0,01t
=  + −
= + −
= +
 
 
Resposta da questão 10: 
 [D] 
 
A inversa de y 2x 1= − é x 2y 1,= − ou seja, 
x 1
y
2
+
= 
 
A inversa de y 1 2x= − é x 1 2y,= − ou seja, 
1 x
y
2
−
= 
 
Assim, os dois pares de funções inversas são: 
[A] y 2x 1= − e [C] 
x 1
y
2
+
= 
[B] 
1 x
y
2
−
= e [E] y 1 2x= − 
 
Portanto, a função que não pertence a nenhum dos pares citados é a que aparece na alternativa [D]. 
 
Resposta da questão 11: 
 [B] 
 
Considere a tabela, em que estão representadas as vendas na última semana. 
 
 
 
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 S T Q Q S S D Total 
Refrigerante 4 4 5 8 8 8 7 44 
Caldo 3 1 2 4 7 7 4 28 
Total 7 5 7 12 15 15 11 72 
 
Portanto, as vendas de pastéis totalizarão 72 unidades na próxima semana. Ademais, como ele vendeu 
2 4 4 7 8 10 10 45+ + + + + + = pastéis na última semana, segue que a resposta é 72 45 27.− = 
 
Resposta da questão 12: 
 [A] 
 
As diferenças entre as ordenadas de dois pontos de abscissas consecutivas são: 20 0 20,− = 35 20 15,− = 
40 35 5,− = 55 40 15,− = 75 55 20,− = 85 75 10,− = 105 85 20− = e 120 105 15.− = 
 
Em consequência, como as potências das lâmpadas são distintas, só pode ser 
1 4 5 4 1 6 1 4.→ → → → → → → 
 
Resposta da questão 13: 
 [A] 
 
Redesenhando o gráfico B de acordo com os volumes da coluna da esquerda, percebe-se que ambos têm a 
exata mesma quantidade de água no mesmo instante apenas entre 8h e 9h. 
 
Resposta da questão 14: 
 [A] 
 
Entre 15 h e 16 h a profundidade diminuiu 2 metros, que representa 10% da profundidade às 15 h. 
Assim, se pode inferir que a profundidade às 15 h era de 20 metros ( 20 10% 2 = ) e às 16 h era de 18 
metros. 
 
Resposta da questão 15: 
 [E] 
 
Sendo a, b e K constantes, v 0 e p 0, tem-se: 
K K
(p a) (v b) K v b v b
p a p a
+  + =  + =  = −
+ +
 
 
O gráfico de v em função de p é um ramo de hipérbole. 
 
Resposta da questão 16: 
 [D] 
 
O reservatório 1 se encherá de água numa vazão constante até atingir o nível docano de ligação. A partir daí, 
terá seu nível estabilizado até que o reservatório 2 atinja o mesmo nível e, após isso, se encherá a uma vazão 
constante, porém menor que a inicial. O gráfico que melhor exemplifica essa situação é o apresentado na 
alternativa [D]. 
 
 
 
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Resposta da questão 17: 
 [E] 
 
A cada 24 horas tem-se 2 pontos de interseção dos gráficos, conforme as condições estabelecidas. Portanto, 
em uma semana o valor do parâmetro será igual a 2 7 14. = 
 
Resposta da questão 18: 
 [B] 
 
Quando o valor da ação ultrapassa pela primeira vez Vi, o investidor vende 
x
2
 ações, ficando com 
x
.
2
 No 
momento seguinte, quando o valor da ação fica abaixo de Vm, ele compra 
x
,
2
 ficando com x. A seguir, 
ultrapassando o valor Vi, ele vende 
x
,
2
 ficando com 
x
.
2
 Por último, o valor da ação ultrapassa Vo e o 
investidor se desfaz de todas as ações que restavam, não efetuando nenhuma outra operação no dia. 
 
Portanto, a resposta é 4. 
 
 
 
 
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