Apostila M10 - Geometria Plana

Prévia do material em texto

MMatemática
astigada
CONQUISTA DA
MATEMÁTICA
A 
enem 2024
M10
Sumário
2
M10 Geometria Plana
Teoria 3
Aula 37 - Conceitos Iniciais 
Aula 38 - Relações Trigonométricas
Aula 39 - Propriedades e Congruência
QR Code e Link
Resoluções em vídeo
105
Questões de aula e treinamento
Aprofundamento 14
106
Questões de aula 6
Treinamento 7
Resoluções 13
Teoria 18
Questões de aula 20
Teoria 31
Treinamento 34
Resoluções 40
Gabarito 108
Treinamento 22
Questões de aula 32
Aula 40 - Semelhança de Triângulos
Teoria 45
Treinamento 49
Resoluções 55
Questões de aula 48
Aula 41 - Circunferências
Teoria 60
Treinamento 65
Resoluções 74
Questões de aula 64
Aula 42 - Polígonos e Quadriláteros
Teoria 82
Treinamento 87
Resoluções 96
Questões de aula 86
Resoluções 26
Questões de aula e treinamento
Aprofundamento 15
109
Gabarito 112
3
3
3
3
6
C = 18,84
6
8
10
a
a
b
h Área =
b • h
2
3
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
A37 • Conceitos Iniciais
AULA 37 - CONCEITOS INICIAIS
1) Perímetro: é a soma de todos os lados de uma
figura.
Exemplo 1
Perímetro = 3 + 3 + 3 + 3 = 12
Perímetro = 6 + 8 + 10 = 24
Exemplo 2
Área = a • a = a²
Conceitos Iniciais
Raio - Liga o centro até a borda da circunferência.
Corda - Liga dois pontos da circunferência.
Diâmetro - Liga dois pontos da circunferência,
passando pelo centro.
Círculo
Exemplo: Pizza
4) O número Pi ( π ): é obtido a partir da divisão do
comprimento da circunferência pelo seu diâmetro.2) Área: É uma medida de superfície, que mede o
preenchimento de uma figura fechada.
Exemplo 1
Exemplo 2
3) Circunferência e Círculo
O segmento OA é o raio (R)
O segmento LM é o diâmetro (D) 
→ D = 2 • R
O segmento NP é uma corda.
O segmento LN é um arco.
Exemplo: Bambolê
Circunferência
18,84
6
= 3,14
12 C = 37,68 37,68
12
= 3,14
C = 56,52 56,52
18
= 3,14
18
A partir da relação do número π, obtida
anteriormente, temos que C/d = π. Portanto:
5) O Comprimento da Circunferência
C = d • π C = 2 • R • π
A
L
M
P
N
O
R
Área = 2πR • R
2
= = πR²b • h
2
R
R
E C G
F
Segmento de reta AB
A
B
Reta
B
C
A α
270°
90º
360º
0º180º
15º
45º
30º
60º
75º105º
120º
135º
150º
165º
195º
210º
225º
240º
255º 285º
300º
315º
330º
345º
P Q
O
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
4 A37 • Conceitos Iniciais
Observe que a primeira tira tem exatamente a
medida do comprimento – também chamado
perímetro – do círculo. Além disso, perceba que o
corte foi feito por um raio. Portanto, a base desse
triângulo tem a mesma medida do comprimento
do círculo; e a altura do triângulo tem a mesma
medida do raio do círculo. Calcular a área desse
círculo resume-se a obter a área do triângulo
formado por ele. Para tanto, lembre-se de que o
comprimento do círculo é dado por C = 2πR.
Reta é um segmento infinito, enquanto que um
segmento de reta é um pedaço finito de uma reta.
7) Reta e Segmento de Reta
8) Ângulo: É a abertura que existe entre dois
segmentos de reta.
6) A Área do Círculo
Escolheremos um raio desse círculo e faremos um
corte. Note que teremos algumas partes da corda,
agora que ela foi cortada. A primeira delas, mais
exterior, tem a mesma medida que o comprimento
do círculo. Conforme avançamos em direção a seu
centro, encontraremos pedaços de corda cada
vez menores. Se esses pedaços forem esticados
e colocados em ordem, poderemos formar um
triângulo retângulo, como mostra a figura a seguir:
Dividimos uma circunferência em 360 partes
iguais, e cada parte chamamos de grau, seu
símbolo é °. O número 360 foi escolhido porque
tem muitos divisores, e isso facilita muito nas
contas de divisão.
8.1) Medidas de Ângulos
8.2) Ângulos Especiais
I. Ângulo Reto (90°): é o ângulo que forma, por
exemplo, entre o chão e a parede.
II. Ângulo Raso (180°): é o ângulo se que forma
com dois segmentos de reta consecutivos.
N OM
Hipotenusa - maior lado, oposto ao ângulo reto.
Catetos - os lados que formam o ângulo de 90°.
a² + b² = c²
) )
)
a
bc
3
4
5
GF
H
a
b
c
b = 3
a = 5
a² = 25
c = 4
c² = 16
b² = 9
5
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
A37 • Conceitos Iniciais
9) Triângulo: é uma figura que possui 3 lados e 3
ângulos.
11) Teorema de Pitágoras: “Hipotenusa ao
quadrado é igual a soma do quadrado dos
catetos.”
Matematicamente:
Hipotenusa² = (cateto 1)² + (cateto 2)²
De maneira geral:
Dizemos que a área do quadrado formado a partir
do lado da hipotenusa é igual a soma das áreas
dos quadrados formados a partir dos lados dos
catetos. Observe:
Ideia Intuitiva 
10) Triângulo Retângulo: é uma figura que possui
3 lados e um ângulo reto.
Partindo do triângulo retângulo do item anterior,
temos:
3² + 4² = 5²
9 + 16 = 25
9 quadrados 
16 quadrados 
16 quadrados
 9 quadrados
25 quadrados 
+
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
6 A37 • Conceitos Iniciais
Questão 1
(UTFPR 2015) Calcule o valor de x, em graus, na
figura:
a) 16
b) 10
c) 20
d) 58
e) 32
Calcule o comprimento da escada necessária para
subir no topo do prédio abaixo, sabendo que o
ângulo entre o chão e a parede do prédio é 90º.
(PUC) A soma dos quadrados dos três lados de
um triângulo retângulo é igual a 32. Quanto mede
a hipotenusa do triângulo?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
(ENEM 2006) 
Na figura acima, que representa o projeto de uma
escada com 5 degraus de mesma altura, o
comprimento total do corrimão é igual a:
a) 1,9 m
b) 2,1 m
c) 2,0 m
d) 1,8 m
e) 2,2 m
(Cesgranrio 2016) Na Figura a seguir, PQ mede 6 cm,
QR mede 12 cm, RS mede 9cm, e ST mede 4 cm.
Questões da Aula 37
Questão 2
Questão 3
Questão 4
Na figura estão apresentadas três cidades. Deseja-
se construir uma estrada que ligue a cidade A a
cidade C, com o menor comprimento possível.
Qual deverá ser o comprimento dessa estrada?
Questão 5
Questão 6
A distância entre os pontos P e T, em cm, mede:
a) 17
b) 21
c) 18
d) 20
e) 19
Abaixo, o portão de entrada de uma casa tem
20 cm de comprimento e 15 cm de altura. Que
comprimento teria uma trave de madeira que se
estendesse do ponto A até o C?
7
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
A37 • Conceitos Iniciais
Questões de Treinamento
Questão 2
Questão 3
Durante um incêndio num edifício de
apartamentos, os bombeiros utilizaram uma
escada de 10 m para atingir a janela do
apartamento em fogo. A escada estava colocada
a 1 m do chão e afastada 6 m do edifício. Qual é a
altura do andar em chamas, em relação ao chão?
Décio viu um grande escorregador no parque de
diversões e ficou curioso para saber o seu
comprimento.
De acordo com as informações da figura acima, o
comprimento do escorregador é, aproxima-
damente, igual a:
a) 17 m.
b) 3 m.
c) 12,2 m
d) 10,5 m.
Questão 4
A Marta está brincando com uma pipa.
Sabendo que a pipa se encontra a 7 metros de
altura, e que a Marta está a 24 metros de distância
da sombra da pipa, indique quanto mede o fio que 
Marta segura.
a) O fio mede 23 metros.
b) O fio mede 25 metros.
c) O fio mede 31 metros.
d) O fio mede 35 metros.
Questão 5
Uma estaca de 1 metro de altura está fincada,
verticalmente, a 12 metros de um poste vertical de
6 metros de altura. Uma corda x liga o ponto mais
alto do poste e o ponto mais alto da estaca, como
mostra a figura abaixo.
Qual o comprimento dessa corda?
a) 12 metros.
b) 13 metros.
c) 17 metros.
d) 18 metros.
Questão 1
Identifique a resposta encontrada por Rafael,
sabendo que ele encontrou o valor correto.
a) √41
b) 2√41
c) 3√41
d) 4√41
e) 5√41
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
Questão 6
Para fazer o telhado de sua casa, Paulo precisa de
uma estrutura de madeira, conforme indicado na
figura abaixo.
Qual é a medida aproximada do comprimento
dessa peça de madeira?
a) 5,0 m
b) 6,7 m
c) 7,3 m
d) 9,0 m
Questão 7
Lívio solicitou a Rafael que calculasse a medida
que faltava no triângulo retângulo abaixo. Para
isso, Rafael utilizou o Teorema de Pitágoras.
10
8
x
Qual é a medida (d), aproximada, do ponto onde a
tábua toca o solo até a parede?
a) 4,5 metros
b) 3,2 metros
c) 2,0 metros
d) 0,9 metros
e) 0,6 metros
Questão 8
Durante a escavação de um buracopara a
construção de uma piscina, Francisco utilizou uma
tábua de madeira com 2,7 metros de
comprimento para fazer a rampa, conforme
ilustrado na figura abaixo.
Questão 9
Uma prefeitura faz transporte de seus pacientes
numa Van que tem uma porta móvel para facilitar o
acesso dos deficientes físico.
O comprimento da rampa de acesso da
ambulância é
a) 80 cm
b) 100 cm
c) 120 cm
d) 140 cm
8 A37 • Conceitos Iniciais
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
Questão 10
Note e adote:
√5 = 2,24
√3 = 1,73
√2 = 1,41
O comprimento da peça de madeira com extre-
midades em A e em B é, aproximadamente, de
a) 5,0 metros
b) 7,05 metros
c) 5,19 metros
d) 4,48 metros
e) 1,6 metros
Na casa ilustrada, a estrutura de madeira que
sustenta o telhado apoia-se na laje. Devem-se
dispor caibros (peças de madeira) na vertical, indo
da laje ao ponto mais alto do telhado, como a
peça BD da ilustração. Devido à presença da caixa
d’água, essas peças são cortadas com dois
metros de comprimento e postas a meia distância
das extremidades A e C da laje. Assim, ABD é um
triângulo retângulo de catetos quatro metros e
dois metros.
(Provão Paulista 2023) Ana recebeu uma carta e
quer guardá-la em uma caixinha que tem 7 cm de
largura, 7 cm de comprimento e 2 cm de altura.
Ela irá dobrar a carta sempre ao meio até
conseguir um tamanho que caiba na caixinha. 
Sabendo que a carta é uma folha de papel
quadrada de lado 24 cm e espessura 1 mm, qual é
a quantidade mínima de dobras que Ana deve
fazer para conseguir colocar a carta na caixinha? 
a) 6. 
b) 4. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 5.
Questão 13
Uma torre de telefonia, com 24 metros de altura,
foi construída no centro de um terreno retangular
de dimensões 16 m x 12 m. Quatro cabos foram
esticados do topo da torre até os vértices do
terreno para fixá-la, conforme mostra a figura
abaixo.
Qual foi a quantidade mínima de cabos utilizada
nessa construção?
a) 40 m.
b) 56 m.
c) 96 m.
d) 104 m.
Questão 11
Um terreno retangular será dividido ao meio, pela
sua diagonal, formando dois triângulos retângulos.
A metade desse terreno será cercada com 4 fios
de arame farpado. Sabendo que as dimensões
desse terreno são de 20 metros de largura e 21
metros de comprimento, qual será a metragem
mínima gasta de arame?
a) 300 metros
b) 280 metros
c) 140 metros
d) 70 metros
e) 29 metros
9A37 • Conceitos Iniciais
Questão 12
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
10 A37 • Conceitos Iniciais
Questão 14
Uma formiga está no ponto A da malha mostrada na
figura. A malha é formada por retângulos de 3 cm
de largura por 4 cm de comprimento. A formiga só
pode caminhar sobre os lados ou sobre as
diagonais dos retângulos. 
Qual é a menor distância que a formiga deve
percorrer para ir de A até B?
a) 12 cm
b) 14 cm
c) 15 cm
d) 18 cm
Questão 15
Hélio e Ana partiram da casa dela com destino à
escola. Ele foi direto da casa para a escola e ela
passou pelo correio, depois seguiu para a escola,
como mostra a figura.
600m
800m
CORREIO
CASA ANA
ESCOLA
De acordo com os dados apresentados, a
distância percorrida por Ana foi maior que a
percorrida por Hélio em:
a) 200 m
b) 400 m
c) 800 m
d) 1400 m
O balão que fazia propaganda para a empresa de
amortecedores MOCOF era observado por duas
crianças, distantes 50 metros uma da outra. No
instante em que essas crianças observavam o
balão, ele estava acima de um poste, com uma
das crianças distante 10 metros desse poste.
Além disso, as duas crianças e o balão estavam
no mesmo plano vertical. A figura abaixo ilustra
essa situação.
Questão 16
A altura “h” que o balão estava do chão nesse
instante, em metros, é de
a) √50. c) 20.
b) √500. d) 400.
(Famema 2021) A figura representa uma arqui-
bancada com degraus de mesma altura (x metros)
e mesma extensão (y metros).
Questão 17
O valor de x + y será igual a 
a) 1,85 m. 
b) 1,80 m. 
c) 1,90 m. 
d) 1,75 m. 
e) 1,95 m.
Dica: os catetos de um
triângulo retângulo com
ângulo de 45º são iguais. 
(UNICAMP 2021) Considere que as medidas dos
lados de um triângulo retângulo estão em
progressão geométrica. Sendo 𝑎 a medida do
menor lado e 𝐴 a área desse triângulo, é correto
afirmar que
a) 
b)
c)
d)
11
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
A37 • Conceitos Iniciais
Questão 18 - Desafio
Questão 19
(ENEM 2023) Sejam a, b e c as medidas dos lados
de um triângulo retângulo, tendo a como medida
da hipotenusa. Esses valores a, b e c são,
respectivamente, os diâmetros dos círculos C₁, C₂
e C₃, como apresentados na figura.
Observe que essa construção assegura, pelo
teorema de Pitágoras, que área (C₁) = área (C₂) +
área (C₃). Um professor de matemática era
conhecedor dessa construção e, confraternizando
com dois amigos em uma pizzaria onde são
vendidas pizzas somente em formato de círculo,
lançou um desafio: mesmo sem usar um
instrumento de medição, poderia afirmar com
certeza se a área do círculo correspondente à
pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do
que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. 
Assim, foram pedidas três pizzas. O professor as
dividiu ao meio e formou um triângulo com os
diâmetros das pizzas, conforme indicado na figura.
A partir da medida do ângulo α, o professor
afirmou que a área de sua pizza é maior do que a
soma das áreas das outras duas pizzas. A área da
pizza do professor de matemática é maior do que
a soma das áreas das outras duas pizzas, pois 
a) 0° < α < 90° 
b) α = 90° 
c) 90° < α < 180° 
d) α = 180°
e) 180° < α < 360° 
Questão 20
(ENEM 2019) Construir figuras de diversos tipos,
apenas dobrando e cortando papel, sem cola e
sem tesoura, é a arte do origami (ori = dobrar;
kami = papel), que tem um significado altamente
simbólico no Japão.
A base do origami é o conhecimento do mundo
por base do tato. Uma jovem resolveu construir um
cisne usando técnica do origami, utilizando uma
folha de papel de 18 cm por 12 cm. 
Assim, começou por dobrar a folha conforme a
figura.
Após essa primeira dobradura, a medida do
segmento AE é
a) 2√22 cm
b) 6√3 cm
c) 12cm.
d) 6√ 5 cm
e) 12√ 2 cm
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
12 A37 • Conceitos Iniciais
Um carro se desloca por uma rampa inclinada.
Essa rampa possui 60 metros de comprimento e
altura máxima de 10 metros, conforme a imagem:
A distância x entre o ponto A e B é de
aproximadamente:
a) 45 metros
b) 50 metros
c) 55 metros
d) 58 metros
e) 59 metros
Com relação a uma televisão plana de 40
polegadas, é correto afirmar que sua largura e sua
altura são, respectivamente:
a) 60 cm e 45 cm 
b) 80 cm e 60 cm
c) 64 cm e 48 cm 
d) 68 cm e 51 cm
(IFG 2020) O desmatamento tem sido uma
problemática crescente no Brasil. Supondo que,
ao efetuar o desmatamento de uma determinada
área, um madeireiro se depara com uma árvore
que já se encontra quebrada; parte do tronco da
árvore que se manteve fixa ao solo mede 3 m e
forma com este um ângulo de 90º; a ponta da
parte quebrada que toca o solo encontra-se a 4 m
de distância da base da árvore. Qual era a altura
da árvore antes de se quebrar:
a) 5 m
b) 7 m
c) 8 m
d) 9 m
(ENEM 2020) O proprietário de um apartamento
decidiu instalar porcelanato no piso da sala. Essa
sala tem formato retangular com 3,2 m de largura e
3,6 m de comprimento. As peças do porcelanato
têm formato de um quadrado com lado medindo
80 cm. Esse porcelanato é vendido em dois tipos
de caixas, com os preços indicados a seguir. 
• Caixas do tipo A: 4 unidades de piso, R$ 35,00;
• Caixas do tipo B: 3 unidades de piso, R$ 27,00.
Na instalação do porcelanato, as peças podem
ser recortadas e devem ser assentadas sem
espaçamento entre elas, aproveitando-se ao
máximo os recortes feitos. A compra que atende
às necessidades do proprietário, proporciona a
menor sobra de pisos e resulta no menor preço é
a) 5 caixas do tipo A.
b) 1 caixa do tipo A e 4 caixas do tipo B.
c) 3 caixas do tipo A e 2 caixas do tipo B.
d) 5 caixas do tipo A e 1 caixa do tipo B.
e) 6 caixas do tipo B.
Questão 21
Questão 22
(IFG 2019) Considere que o tamanho de uma
televisão, dado em polegadas, corresponde ao
comprimentoda sua diagonal e que, no caso de
televisores de tamanho normal, a largura e a altura
seguem, ordenadamente, a relação 4 : 3. Observe
a figura abaixo e considere 1 polegada = 2,5 cm.
Questão 23
Questão 24
13
RESOLUÇÕES - AULA 37
A37 • Conceitos Iniciais
Questão OI Questão 05 - alternativa B
Pitágoras tágoras
C
153 + 28 =x D
S x = 52+ 123
=>
D
15 225 + 400 =
2
3 = 25 + 144
2 2 12 1 x2 = 169
To 625=
A 20 B x = 13
25 = T
Questão 06 - Alternativa C
Questão 02
2 -Pitágoras
Pitágoras 2
c= 22 + 72
10m
x + 62 = 102 To
x = 4 + 49
D x2 + 36 = 100
7
2 = 33
7 6m x2 = 64 72= 49
x = 7
,
3m
2 Im x = S 82 = 64
altura = 9m
Questão 07-alternativa B
Questão 03 - alternativa
X
Mitágoras
18 DC
7
7 + 102 = x Pitágoras
F 49 + 600 = X2
if
S sc = 102 + 82
20
649 = Xh x = 100 + 64
Veja :
Xv 2
164
I
2 e = 164
~12, 1 x =
4 . 46
12
2
= 644
↓
x = 241
132 = 169
Questão 08 -
alternativa C
Questão 04 - alternativa B
Pitágoras
Pitágoras
D 7m c = 72+ 242 2,
7
1
,
S
1
,
8+ d2 = 2
,
72
T x = 49 + 376 T
3.24 + d2 = 7
,
29
24m d2= 7
,
29 - 3
,
24
x2 = 625 d
x = 25m
d2 = 4
,
05
d = 2
RESOLUÇÕES - AULA 37
14 A37 • Conceitos Iniciais
Questão 09-alternativa B Questão 13 - alternativaD
Pitágoras Passo 1 : Descobrir a diagonal
X 60 c = 602 + 803 do terreno :
F x= 3600 + 6400
x2= 10 .
000 Pitágoras
80
x = 100 am X
12m 12
2
+ 162 = X2
-
Questão 10 - AlternativaD Tr 144 + 256 = x2
16m 400 = X2
Pitágoras
20 = X
x 2x = 22 + 42 <e = 4 + 16
J x = 20 7x = 20 Passo 2 : Metade da dragonal = 10
4 x = m - x = 2 . 5
Pitágoras
x = 2 . 2
,
24 = ( = 4
,
48
242 + 102 = y
2
Questão 11 - Alternativa B i 576 + 100 = y
2
676 = y
c= 202 +2 26 = y
x
28 x = 846 4 cabos x 26 = 104m
To
2 x = 29
Questão 14-alternativa B
aname =D29 + 21+ 20 = 70
Pitágoras
70 . 4 = 280 X
3
x
- 32+ 42
X2= 9 +16 = 25
Questão 12-alternativa B 4
X = E
2 dobras
......
12
24 5 +5 + 4 = 14m
com 4 dobras termos :
6 x 6 , sendo possível guardar
15
RESOLUÇÕES - AULA 37
A37 • Conceitos Iniciais
Questão 15 alternativa B Questão 17 - AlternativaD
-
Pitágoras
600
800
X = 1000
08
...Y7 x
↑
Y
X X2= 6002 + 8002
↳D
Ele : 2000 x
Ela : 600 + 800 = 1400 (400 a mais
Questão 16 -
alternativaC cabeça
⑧V
D
h
y 2
,
9
--- ·
08 +3x
-E
7
#
=
I
43(I .
10 40 -
I
⑧
I
H 1,1 + 2y
c = h2 + 10 Pitágoras no I 0
,
3
y = h2 + 402 Pitágoras no # 0
.8
+ 3x = 2
,9
3x = 2
,
1
X = 0
.
7
50 = c+ y2 Pit no grandão
2
,
1 + 2y = 2
,
9 + 0
,
3
Passo de somar I e#I
11 + 2y = 3
,
2 2y = 2
,
2
x = n2 + 102
+ y = 1
,
05
S yz = n2 + 402
X + y = 0
,
7 + 1
,
05 = 1
,
75
x + y2 = n2 + n2 + 102 + 40
substituir a esquerda e +y"= 30
x + y2 = n2 + n2 + 102 + 40
502 = 242 + 100 + 1600
2500 = 242 + 1700
2500 - 1700 = 242
800 = 242
400 = h2 20 = h
RESOLUÇÕES - AULA 37
16 A37 • Conceitos Iniciais
2Questão 18 - alternativa A A = a .
2+25
2
Progusão G .
2
a
e (a , b ,
c)
A = a2 2+25
=I (a
,
a . q ,
a .q) 4
b
-Por Pitágoras :
Questão 19 alternativa C
a+ b
=
= c = a + (a - q) = (a - q)"
V
a + aq = aqu
1 + q = q" = q - q -1= 0 Quanto maior o ângulo maior área
q = m =Dm - m -1= 0 Logo, ele será maior que 90
1 = 1 + 4 = 5
m = 1 =5 Questão 20 - alternativaD
F 2
= 1- (não convem) 12
2
1 +M 7q =c = q
=π X
6
área do triângulo Pitágoras 1802
A = a . b = a . 0 . q x2= 122 + 62 90 2
2 453
x
2
= 144 + 36
2. 5A =
a q = a . It X2 = 180
Is
2 2
2
X = 2 . 3 . 5
A = a .
1 + 3(x2)
X = 652 (x2)
2
A = a 2+25
4
2
17
RESOLUÇÕES - AULA 37
A37 • Conceitos Iniciais
Questão 21- alternativa C x2 = 4 . 100
X = 2 . 10
2 360 X = 20 em
115200 em
altura : 3 . 20 = 60em
320 largura : 4 . 20 = 80em
80 Questão 23-alternativa C
6400em 80 3+5 = 8
S
a
3115200 = 1152
= 18 3 3m d
6400 64
>
4m
Serão necessários 18 pisos.
Por Pitágoras :
compramos 3 lotes com 4
e 2 lotes com 3 (total Ispisos) 32+ 42 = x =DX = 5m
Questão 24 - alternativa E
Questão 22- alternativa B
60m
100em 10m
3x
-
To
A B
4x
AB2 + 102 = 602
40pol = 40 · 2
, 5
= 100em
-
AB2 + 100 = 3600
Por Pitágoras :
AB2 = 3500
(3x) + (4x)2 = 1002 AB = 35 . 100
9x
2
+ 16x2 = 100 - 100 AB = 10 · 55 = 10 · 5
,
9
25x2 = 100. 100
AB = 59 metros
a
b
c
Hipotenusa
Cateto adjacente
ao ângulo de 30°
Cateto oposto ao
ângulo de 30°
(30º
Cateto Oposto
Cateto Adjacente
Cateto Adjacente
Hipotenusa
Cateto Oposto
Hipotenusa
Seno → sen 30° = 
Cosseno → cos 30° = 
Tangente → tg 30° =
3
4
5
(α
E
F G
sen α = 3
5
cos α = 4
5
tg α = 3
4
)
)
P Q
O
50º
40º
)
)
β β
r
s
(
(
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
AULA 38 - RELAÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS
1) Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Exemplo:
São ângulos cuja soma é 90°. Os ângulos 40º e
50º são complementares.
3) Ângulos Suplementares
São ângulos cuja soma é 180°. Os ângulos 140° e
40° são suplementares.
4) Ângulos Replementares
São ângulos cuja soma é 360°. Os ângulos 210° e
150° são replementares.
5) Ângulo Reto
É o ângulo cuja medida é 90°.
6) Ângulo Agudo
São os ângulos cuja medida é menor 90°.
7) Ângulo Obtuso
São os ângulos cuja medida é maior 90°.
8) Ângulos Opostos pelo Vértice (OPV)
Os ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
9) Retas Paralelas ( r//s )
São retas que não possuem nenhum ponto em
comum.
18 A38 • R. Trigonométricas
2) Ângulos Complementares
10) Teorema das Retas Paralelas
r
s
α
βθ
δ
α = β e δ = θ
Lembre-se que aqui você utiliza outra propriedade
para chegar em outros ângulos iguais (ângulos
opostos pelo vértice são iguais).
3
7 7
Triângulo Isósceles
Aquele que possui 2
lados iguais e 1
diferente (base)
10
75 Triângulo Escaleno
Aquele que possui 3
lados diferentes
33
3
Triângulo Equilátero
Aquele que possui 3
lados iguais
ANGULOS NOTÁVEIS
30º 45º 60º
SEN
COS
TG
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
As outras ideias de ângulos iguais, você pode
deduzir todas pelos ângulos opostos pelo vértice.
Caso você tenha aprendido de outra forma, com
vários nomes difíceis de decorar, saiba que
apenas isso é suficiente para resolver as
questões.
Mas fique a vontade caso queira continuar usando
os nomes que aprendeu.
11) Classificação dos Triângulos
Classificação em relação aos lados.
Classificação em relação aos ângulos.
19A38 • R. Trigonométricas
1
Notas
Triângulo Retângulo
Aquele que possui 1
ângulo de 90º
(
( 135º
25º 20º
Triângulo Obtusângulo
(
Aquele que possui 1
ângulo maior que 90º
Triângulo Acutângulo(
(
(
60º
70º 50º
Aquele que possui os
3 ângulos menores
que 90º
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
Questões da Aula 38
Questão 1
Questão 2
Questão 3
Questão 4
Um engenheiro foi contratado para calcular a
altura de um prédio sem subir nele. A uma
distância de 40 metros, constatou-se que era
possível construir o seguinte triângulo retângulo:
Podemos afirmar que a altura do prédio é de,
aproximadamente:
(Dado: use √3 = 1,7)
a) 20 m
b) 21,5 m
c) 22,7 m
d) 23 m
e) 23,8 m
As torres Puerta de Europa, construídas numa
avenida de Madri, na Espanha, são inclinadas uma
contra a outra. A inclinação das torres é de 15° com
a vertical, e elas têm, cada uma, altura de 114 m (a
altura é indicada na figura como o segmento AB).
Essas torres são um bom exemplo de um prisma
oblíquo de base quadrada, e uma delas pode ser
observada na imagem.
Utilizando 0,26 como valor aproximado para a
tangente de 15° e duas casas decimais nas
operações, descobre-se que a área da base
desse prédio ocupa na avenida um espaço
a) menor que 100 m².
b) entre 100 m² e 300 m².
c) entre 300 m² e 500 m².
d) entre 500 m² e 700 m².
e) maior que 700 m².
Durante uma partida de futebol, o jogador 1 faz um
lançamento para o jogador 2 com um ângulo de
48°. Qual a distância que a bola deverá percorrer
até chegar ao jogador 2?
Considere:
sen 48° = 0,74
cos 48° = 0,66
tan 48° = 1,11
Um telhado é tido como de duas águas quando há
dois caimentos. Em uma obra, está sendo
construído um telhado no qual o encontro de suas
duas águas esteja exatamente no meio da laje. O
ângulo de inclinação de cada água em relação a
laje é de 30°. A laje possui 24m de comprimento.
Para encomendar as telhas antes mesmo da
estrutura que irá sustentar o telhado estar
concluída, é preciso conhecer o comprimento de
cada água. Qual será o comprimento de casa
água?
20 A38 • R. Trigonométricas
Disponível em: www.flickr.com. Acesso em: 27 mar. 2012.
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
Questão 5
Entre duas serras, os moradores de dois vilarejos
tinham que percorrer um duro caminho de descida e
subida. Para resolver a situação, foi decidido que
uma ponte seria construída entre os vilarejos A e B.
Para isso, seria preciso calcular a distância entre
os dois vilarejos pela linha reta em que a ponte
seria esticada. Como os moradores já conheciam
a altura das cidades e os ângulos de subida, essa
distância poderia ser calculada.
Com base no esquema abaixo, e sabendo que a
altura das cidades era de 100 m, calcule o
comprimento da ponte.
Questão 6
Um avião decola de um ponto B, sob inclinação
constante de 15° com a horizontal. A 2 km de B,
se encontra a projeção vertical C do ponto mais
alto D de uma serra de 600 m de altura, conforme
a figura. 
Dados: cos 15° = 0,97; sen 15° = 0,26; tg 15° = 0,27
É correto afirmar que:
a) Não haverá colisão do avião com a serra 
b) Haverá colisão do avião com a serra em 540 m
de altura.
c) Haverá colisão do avião com a serra em D.
d) Haverá colisão do avião com a serra em 320 m.
Um edifício comercial tem 48 salas, distribuídas
em 8 andares, conforme indica a figura. O edifício
foi feito em um terreno cuja inclinação em relação
à horizontal mede α graus. A altura de cada sala é
3 m, a extensão é 10 m, e a altura da pilastra de
sustentação, que mantém o edifício na horizontal,
é 6 m.
α
Usando os dados da tabela, a melhor
aproximação inteira para α é
a) 4°
b) 5°
c) 6°
d) 7°
e) 8°
Questão 7
Questão 8
Na figura abaixo, as retas que contêm os
segmentos PQ e RS são paralelas, e os ângulos
PQT e SQT medem 15º e 70º, respectivamente. 
21A38 • R. Trigonométricas
Nessa situação, é correto afirmar que o ângulo
TSQ medirá
a) 55º.
b) 85º.
c) 95º.
d) 105º.
80
m
X
45º
sombra
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
Qual é o comprimento da sombra de uma árvore
de 5 m de altura quando o sol está 30º acima do
horizonte?
Questões de Treinamento Questão 4
Apenas três degraus dão acesso à porta de uma
escola, sendo que cada um tem 20 cm de altura.
Para atender portadores de necessidades
especiais, será construída uma rampa, respeitando
a legislação em vigor. A rampa deve formar, com o
solo, um ângulo de 6°, conforme mostra a figura a
seguir.
O comprimento C desta rampa, em metros, será
de, aproximadamente, :
Dados: sen 6° ≈ 0,1045, cos 6° ≈ 0,9945
a) 5,57
b) 5,74
c) 6,53
d) 8,26
e) 8,84
Questão 5
A figura mostra a disposição das casas de três
amigos: Paulo, Nelson e Fábio.
22 A38 • R. Trigonométricas
Questão 1
Uma pipa é presa a um fio esticado que forma um
ângulo de 45º com o solo. O comprimento do fio
é 80 m. Determine a altura da pipa em relação ao
solo.
Questão 2
Questão 3
Para determinar a altura de um edifício, um
observador coloca – se a 30 m de distância e,
assim, o observa segundo um ângulo de 30º,
conforme mostra a figura. Calcule a altura do
edifício medida a partir do solo horizontal,
sabendo que o observador tem 3 m de altura.
Calcule, em metros, o comprimento de fio
telefônico necessário para ligar a casa de Fábio à
casa de Nelson, sabendo-se que foram gastos
800 m de fio para ligar a casa de Paulo à casa de
Fábio.
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
Questão 6
Uma telha, na entrada do restaurante, quebrou. Em
dias chuvosos, uma goteira produz no chão,
embaixo da telha quebrada, uma pequena poça
d'água, a 0,95 m de uma das paredes da entrada
do restaurante, conforme mostra a figura abaixo.
Desconsiderando a espessura do telhado, a altura
(h), em metros, da telha quebrada ao chão é
a) 3,05.
b) 3,10.
c) 3,15.
d) 3,20.
e) 3,25.
Questão 7
(PUC-PR) Um determinado professor de uma das
disciplinas do curso de Engenharia Civil da PUC
solicitou como trabalho prático que um grupo de
alunos deveria efetuar a medição da altura da
fachada da Biblioteca Central da PUC usando um
teodolito. Para executar o trabalho e determinar a
altura, eles colocaram um teodolito a 6 metros da
base da fachada e mediram o ângulo, obtendo
30º, conforme mostra figura abaixo.
Se a luneta do teodolito está a 1,70 m do solo,
qual é, aproximadamente, a altura da fachada da
Biblioteca Central da PUC?
Dados (sen 30º = 0,5, cos 30º = 0,87 e tg 30º =
0,58)
a) 5,18 m.
b) 4,70 m.
c) 5,22 m.
d) 5,11 m.
e) 5,15 m.
23A38 • R. Trigonométricas
Questão 8
(FAMERP 2024) A figura mostra os triângulos MEP
e REP, que compartilham o lado EP.
A área do triângulo MER, em cm², é igual a 
a) 6 (√3 + 3)
b) 12 (√3 + 3)
c) 24 (√3 + 3)
e) 48 (√3 + 3)
e) 3 (√3 + 3)
( 30º
6 metros
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
Na figura a seguir, é apresentada parte de um
projeto de garagem para um edifício. Foram
projetadas vagas para automóveis e uma vaga
para moto, no formato de paralelogramo, com
ângulo α de medida 60°. 
Após a vaga da moto, restou um espaço na
garagem. Os responsáveis pela obra estão
avaliando a possibilidade de colocar algum objeto
que possa ser utilizado pelos condôminos do
edifício. Qual a medida do segmento destacado
(tracejado) nesse espaço? 
a) 0,75 m 
b) 1,15 m 
c) 1,25 m 
d) 2,20 m 
e) 2,25 m
24 A38 • R. Trigonométricas
Questão 9
(FUVEST 2024) No Código de Obras e Edificações
da Prefeitura de São Paulo, encontra-se a
regulamentação para vagas de estacionamento
em um edifício para diferentes tipos de veículos.
De acordo com o código, as dimensões de uma
vaga de estacionamento são estabelecidas de
acordo com o tipo de veículo, conforme a
seguinte tabela: 
Questão 10
Um observador vê um edifício construído em
terreno plano, sob um ângulo de 60º. Se ele se
afastar do edifício mais 30 m, passará a vê-lo sob
um ângulo de 45°. Calcule a altura do edifício.
Questão 11
João possui um terreno no formato de um triângulo
retângulo e pretende dividi-lo em dois lotes, por
meio de uma cerca feita na metade da hipotenusa,
formando um ângulo de 90º, com o objetivo de
presentear seus dois filhos, Maria Renata e Rafael,
respectivamente, com os lotes I e II, conforme
mostra a figura abaixo.
Sabendo-se que os lados AC e BC desse terreno
medem, respectivamente, 80 m e 100 m, podemos
afirmar que o perímetro do lote de Maria Renata (I)
é igual a:
a) 100 m
b) 150 m
c) 110 m
d) 165 m
e) 125 m
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
O número de degraus dessa escada é 
a) 24. d) 20. 
b) 28. e) 25. 
c) 30. 
Considere os seguintes valores das razões
trigonométricas: 
A altura AB, em metros, é igual a: 
a) 212,0 c) 232,0 
b) 224,6 d) 285,6
25A38 • R. Trigonométricas
Questão 12
(FAMEMA 2024) A figura indica o perfil de uma
escada com degraus de mesmas alturas. As
extensões dos degraus também são iguais, cada
uma medindo 18 cm. Sabe-se também que a
medida de PQ é 9 m e que o ângulo de vértice P e
lados PQ e PR mede 60º. 
(UERJ 2022) Admita que uma pessoa na posição P
avista o ponto A mais alto de um morro sob um
ângulo de 40°. Ao caminhar 100 m sobre a reta
horizontal PB, até a posição Q, ela avista o mesmo
ponto sob o ângulo de 50°. O esquema a seguir
representa essa situação, sendo AB a altura do
morro em relação à reta horizontal PB.
Questão 13
Questão 14
(ENEM 2010) Um balão atmosférico, lançado em
Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na
noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira
em Cuiabá Paulista, na região de Presidente
Prudente, assustando agricultores da região. O
artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus,
desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra
e Itália, para a medição do comportamento da
camada de ozônio, e sua descida se deu após o
cumprimento do tempo previsto de medição.
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010.
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o
balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do
balão e o avistousob um ângulo de 60º; a outra
estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada
com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê
na figura, e o avistou sob um ângulo de 30º.
Qual a altura aproximada em que se encontrava o
balão?
a) 1,8 km
b) 1,9 km
c) 3,1 km
d) 3,7 km
e) 5,5 km
Questão 15
Podemos utilizar a trigonometria dos triângulos
retângulos para resolvermos problemas cuja
modelagem matemática utilize triângulos que não
sejam retângulos. Por exemplo, qual é a distância
entre os vértices B e C do triângulo abaixo?
RESOLUÇÕES - AULA 38
26 A38 • R. Trigonométricas
Questão I Questão Os
V
800
80
x senliso
te
en 30
°
=
800 130
X
7458 To
X
X = 40 =
Questão 2 X =1600
3
+930 =
Emb Questão 06-alternativa A
= Tamb 2
X
Sombra 45 2
somb= 0
,
95
E
Sombras 2 2
Questão 3
+945 =
3 + y
= 2=
7300 Ihi +g30= y = 1
,05
Is = +g45 = Y = 1=
I I
30m hi = 10
X = 1
,
05
altura = 105 + 3
h = X+ 2 = 1
,
05 + 2 = 3
,
05
Questão 07-Alternativa A
Questão 04 - alternativaB
X
sen6°= (300
C
60
0
,
1045 = Go 1
,
70
6m 1
,
70
6m
160 F
C = 574cm
X
+930 =
6
-> 0
.
58 =
X
C = 5
,
74m 6
X = 3
,
48
logo, a altura é : 3
,
48 +1
,
70 = 5
,
18 m
RESOLUÇÕES - AULA 38
27A38 • R. Trigonométricas
Questão os - alternativa Questão 10
E
sose
x
To ①43 60
:
#
M 45 P 12 R
30 y-
+g43 =E =
EP = 12
+945=
y
= 1
+g30 = A = P MP =4
x = 30 + y
=D y = X - 30
Área =
MR . EP
=
(45 +12) · 12
2 2 +960=
Área = G . (45 +12) = 24(1 + 3)
X
3 =
X - 30
Questão 09- alternativa C
3 . X - 383 = X
2
,
2
3 . X - X = 303
X(3 - 1) = 303
4,
3 2
,
5
303
X =
3 - 1
200 F
2
,
2 1 X X=
cos6o =
+ X = = X = 90 + 303
4
,
5 2
1+ x = 2
,
25
X = 45 + 153
X = 1
,
25
RESOLUÇÕES - AULA 38
28 A38 • R. Trigonométricas
Questão 1 alternativaD
758 = 20MN1 -
S
MN = Es
B 2
So 100
Passo 3 : Permetro
N
↑7[⑧ -
J
50 / 60 + 30 + 2+
. & S
⑳
A M
C
110 + 220 = 110 + 55
80-
4
Passo 1 : Pitágoras = 165
802 + AB2 = 1002
6400 + AB2 = 10 .000 AB = 3600
Questão 12- alternativa E
AB = 60
Passo 2 : trgonometria 9
triângulo grande ABC 160
%
losx = 80 S 4
100
=
To x
Xtriângulo pequeno MNC
cos60
°
= G
cosx =
50
MC E =
4
=
50 250
5 MC
-> MC =
4 X =
4
,
5m
X = 450cm
logo AM = 80-250 = t4
triângulo grande ABC quantidade de degraus :
senx = 60 b 3
100
=
To 450 = 25 degraus
IS
triângulo pequeno MNC
unx =
MN =M250
I
RESOLUÇÕES - AULA 38
29A38 • R. Trigonométricas
Questão 13 - alternativaD Questão 14-alternativa
C
h
X
30
417
7 501 40 of 60 o 30- I
x ↳100 D
1 ,8 A 3 ,7 B
Passo 1 :
+g5p" = h ->
1
,
19 = 4 Resolução 1 :
1
,
19 . X = h Perceber que o S
ABC
é
Passo 2 : usales e
,
assim
,
AB = AC.
h
+940 =
x400 > 0
,
84 =
X+ 100 Por Pitágoras :
2substituir o h 1
,
82+ h2 = 3
,
7
0
,84 =
1
, 19X
X + 100 h= 3
,
1km
0
.84(x + 100) = 1
.
19x
2 Resolução :
0
.84x + 84 = 1
, 19X - 84 = 1
,
19X - 0
.
84x
84 = 0
,
35x -> X =
84
tg60:= 3
0
,
35
X = 240
.: h = 1
,85
voltar e descobrir h
h = 1
, 19x
n = 1
, 8 · 1
,
7 = 3
,
1 km
h = 1
,
19 . 240 = 285 ,6
RESOLUÇÕES - AULA 38
30 A38 • R. Trigonométricas
Questão 15
Passo 1 : fazer tiângulos retângulos
⑨
25 n
1 50-X60 1..
↓
sen 60
°
=
h =25
n =
25
2
10s60 =
s
=
X = 23
25
60 1..
=
↳
Pitágoras
Z Z
2
= 255 75
Y t
2 Z
y2 = 1875 + 5625
4
y2 = 7500 7 y = 250
y
= 1875
y = 253
a + b + c = 180°
) )
)
a b
c
α
β θ 
X
X = α + β
Maior Lado
M
en
or
 L
ad
o
110º
40º 30º
| b - c | < a < b + ca
b
c
) )
)
β β
a
γ
a
e
) )
)
θ θ 
b
α
b
c
Esses dois rostinhos são congruentes, o que é a
mesma coisa que dizer que eles são exatamente
iguais, em todos os sentidos, é uma copia, tudo
de um é igual no outro.
Em triângulos, acontece a mesma coisa: se um
triângulo é congruente a outro, então todos seus
lados e ângulos são coincidentes.
31
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
A39 • Prop e Congruência
AULA 39 - PROPRIEDADES E
CONGRUÊNCIAS
2) O ângulo externo de um triângulo vale a soma
dos internos não adjacentes.
Propriedades dos Triângulos
1) A soma dos ângulos internos de um triângulo é
sempre 180°.
3) O maior ângulo de um triângulo se opõe ao
maior lado, ao passo que o menor ângulo se opõe
ao menor lado.
4) Existência de um Triângulo
Qualquer lado em um triângulo é necessariamente
maior que a diferença dos outros dois, e
necessariamente menor que a soma dos outros
dois lados.
5) No triângulo isósceles, os ângulos da base são
iguais.
6) Se todos os lados de um triângulo são iguais,
então todos os ângulos também são iguais. Se
todos os ângulos de um triângulo são iguais, então
todos os lados também são iguais. Isso configura
um triângulo equilátero.
Congruência de Triângulos
7) Se todos os lados são diferentes, então todos
os ângulos também são diferentes. E se todos os
ângulos são diferentes, então todos os lados são
diferentes.
) )
)
a
bc
C
A
B
) )
)
a
bc
F
D
E
Os dois triângulos acima são congruentes porque
possuem os mesmos lados.
Critérios para Congruência
1) LLL - Lado-Lado-Lado
Quando dois triângulos tem os 3 lados iguais,
podemos concluir que são congruentes.
2) LAL - Lado-Ângulo-Lado
Quando dois triângulos tem dois lados e o ângulo
entre eles iguais, podemos concluir que são
congruentes.
OBSERVAÇÃO: Possuir os mesmos ângulos não
garante que dois triângulos sejam congruentes. No
próximo tópico, veremos que esse é um critério
de semelhança.
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
32 A39 • Prop e Congruência
Questões da Aula 39
Questão 1
(ENEM 2010) Um arquiteto está fazendo um
projeto de iluminação de ambiente e necessita
saber a altura que deverá instalar a luminária
ilustrada na figura:
Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma
área circular de 28,26 m², considerando π ≅ 3,14,
a altura h será igual a:
a) 3 m.
b) 4 m.
c) 5 m.
d) 9 m.
e) 16 m.
(ENEM 2011) Para determinar a distância de um
barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte
procedimento: a partir de um ponto A, mediu o
ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P
da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele
seguiu até um ponto B de modo que fosse
possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto
sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa
situação:
Questão 2
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo
α = 30º e, ao chegar ao ponto B, verificou que o
barco havia percorrido a distância AB = 2000 m.
Com base nesses dados e mantendo a mesma
trajetória, a menor distância do barco até o ponto
fixo P será:
a) 1000 m.
b) 1000 • √3 m.
c) 2000 • √3 / 3 m
d) 2000 m.
e) 2000 • √3 m.
(ENEM 2012) Um professor, ao fazer uma atividade
de origami (dobraduras) com seus alunos, pede
para que estes dobrem um pedaço de papel em
forma triangular, como na figura a seguir, de modo
que M e N sejam pontos médios respectivamente
de AB e AC, e D, ponto do lado BC, indica a nova
posição do vértice A do triângulo ABC.
Se ABC é um triângulo qualquer, após a
construção, são exemplos de triângulos isósceles
os triângulos:
a) CND e NDM.
b) CAD e ADB.
c) CMA e CMB.
d) NAM e NDM.
e) CND e DMB.
Questão 3
(ENEM 2016) Pretende-se construir um mosaico com o formato de um triângulo retângulo, dispondo-se de
três peças, sendo duas delas triângulos retângulos congruentes e a terceira um triângulo isósceles. A
figura apresenta cinco mosaicos formados por três peças.
33
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
A39 • Prop e Congruência
Questão 4
(ENEM 2012) Durante seu treinamento, um atleta
percorre metade de uma pista circular de raio R,
conforme figura a seguir. A sua largada foi dada na
posição representada pela letra L, a chegada está
representada pela letra C e a letra A representa o
atleta. O segmento LC é um diâmetro da
circunferência e o centro da circunferência está
representado pela letra F.
Sabemos que, em qualquer posição que o atleta
esteja na pista, os segmentos LA e AC são
perpendiculares. Seja θ o ângulo que o segmento
AF faz com segmento FC.
Quantos graus mede o ângulo θ quando o
segmento AC medir R durante a corrida?
a) 90 graus.
b) 30 graus.
c) 120 graus.
d) 15 graus.
e) 60 graus.
Questão 6
Na figura,o mosaico que tem as
características daquele que se
pretende construir é o:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
(ENEM 2014) Um artista deseja pintar em um
quadro uma figura na forma de triangulo equilátero
ABC de lado 1 metro. Com o objetivo de dar um
efeito diferente em sua obra, o artista traça
segmentos que unem os pontos médios D, E e F
dos lados BC, AC e AB, respectivamente,
colorindo um dos quatro triângulos menores,
como mostra a figura.
Qual é a medida da área pintada, em metros
quadrados, do triângulo DEF?
a) 1/16
b) √3/16
c) 1/8
d) √3/8
e) √3/4
Questão 5
Calcule a medida da altura relativa à base BC do
triângulo isósceles a seguir.
A medida α do ângulo AEB é:
a) 60º
b) 65º
c) 70º
d) 75º
e) 80º
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
34 A39 • Prop e Congruência
Questões de Treinamento
Determine o valor do ângulo alfa a seguir.
Questão 2
Quanto às classificações de triângulos, assinale a
alternativa correta.
a) Um triângulo isósceles possui dois lados com
comprimentos iguais, entretanto, não é possível
afirmar nada sobre seus ângulos.
b) Um triângulo equilátero possui todos os lados
com comprimentos iguais, entretanto, não é
possível afirmar nada sobre seus ângulos.
c) Um triângulo retângulo é aquele que possui dois
ângulos retos.
d) Um triângulo acutângulo é aquele que possui
apenas um ângulo agudo.
e) Um triângulo obtusângulo é aquele que possui
apenas um ângulo obtuso.
Questão 3
Questão 1
As medidas, em grau, dos ângulos internos de um
triângulo são x, 2x, 3x. Quanto mede o menor
ângulo interno desse triângulo?
Questão 4
Determine a medida do ângulo externo relativo ao
vértice C do triângulo abaixo:
Questão 5
Um triângulo equilátero AEF está inscrito em um
quadrado ABCD, conforme mostra a figura. 
Questão 6
35
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
A39 • Prop e Congruência
A menor distância, em metros, entre duas dessas
retas, traçadas para o plantio das sementes, é
igual a: 
a) 1,3 
b) √2 
c) 1,5 
d) √3
(UNICAMP 2024) Um agricultor dividiu um terreno
plano em retas paralelas e plantou sobre elas
sementes de determinada árvore frutífera. Para
obter uma boa colheita, essas sementes foram
dispostas a uma distância de 2 metros entre si. A
imagem a seguir ilustra a plantação após um tempo. 
Questão 7
(ENEM 2021) O instrumento da percussão
conhecido como triângulo é composto por uma
barra fina de aço, dobrada em um formato que se
assemelha a um triângulo, com uma abertura e
uma haste, conforme ilustra a Figura 1.
Questão 8
Uma empresa de brindes promocionais contrata
uma fundição para a produção de miniaturas de
instrumentos desse tipo. A fundição produz,
inicialmente, peças com o formato de uma
triângulo equilátero de altura h, conforme ilustra a
Figura 2. Após esse processo, cada peça é
aquecida, deformando os cantos, e cortada em um
dos vértices, dando origem à miniatura. Assuma
que não ocorram perdas de material no processo
de produção, de forma que o comprimento da
barra utilizada seja igual ao perímetro do triângulo
equilátero representado na Figura 2.
Considere 1,7 como valor aproximado para √3.
Nessas condições, o valor que mais se aproxima
da medida do comprimento da barra, em
centímetro, é
a) 9,07.
b) 13,60.
c) 20,40.
d) 27,18.
e) 36,24.
(ENEM PPL 2022) Uma empresa de publicidade
está criando um logotipo que tem o formato
indicado na figura. O círculo menor está inscrito no
quadrado ABCD, e o círculo maior circunscreve o
mesmo quadrado. Considere S1 a área do círculo
menor e S2 a área do círculo maior.
Questão 9
A razão da área do círculo maior para o círculo
menor é igual a
a) √2
b) 1/2
c) 2
d) 8
e) 16
Uma artesã confecciona um quebra-cabeça como
o descrito, de tal modo que a menor das peças é
um triângulo retângulo isósceles cujos catetos
medem 2 cm. 
O quebra-cabeça, quando montado, resultará em
um quadrado cuja medida do lado, em centímetro,
é
a) 14
b) 12
c) 7√2
d) 6 + 4√2
e) 6 + 2√2
(ENEM PPL 2021) Uma indústria recortou uma placa
de metal no formato triangular ABC, conforme
Figura 1, com lados 18,14 e 12 cm. 
Posteriormente, a peça triangular ABC foi dobrada,
de tal maneira que o vértice B ficou sobre o
segmento AC, e o segmento DE ficou paralelo ao
lado AC, conforme Figura 2.
Sabe-se que, na Figura 1, o ângulo ACB é menor
que o ângulo CÂB e este é menor que o ângulo
ABC, e que os cortes e dobraduras foram
executados corretamente pelas máquinas.
Nessas condições, qual é o valor da soma dos
comprimentos, em centímetro, dos segmentos DB,
BE e EC? 
a) 19 d) 23
b) 20 e) 24
c) 21
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
36 A39 • Prop e Congruência
Questão 10
(ENEM 2018) Um quebra-cabeça consiste em
recobrir um quadrado com triângulos retângulos
isósceles, como ilustra a figura.
Questão 11
(ENEM PPL 2021) Um brinquedo muito comum em
parques de diversões é o balanço. O assento de
um balanço fica a uma altura de meio metro do
chão, quando não está em uso. Cada uma das
correntes que o sustenta tem medida do
comprimento, em metro, indicada por x. A
estrutura do balanço é feita com barras de ferro,
nas dimensões, em metro, conforme a figura.
Questão 12
Nessas condições, o valor, em metro, de x é igual
a
a) √2 − 0,5
b) 1,5
c) √8 − 0,5
d) √10 − 0,5
e) 8
Calcule a medida x, em grau, de cada uma das
figuras abaixo:
a)
b)
c)
d)
37
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
A39 • Prop e Congruência
Questão 13
e)
f)
g)
(ENEM 2016) Um senhor, pai de dois filhos, deseja
comprar dois terrenos, com áreas de mesma
medida, um para cada filho. Um dos terrenos
visitados já está demarcado e, embora não tenha
um formato convencional (como se observa na
Figura B), agradou ao filho mais velho e, por isso,
foi comprado. O filho mais novo possui um projeto
arquitetônico de uma casa que quer construir,
mas, para isso, precisa de um terreno na forma
retangular (como mostrado na Figura A) cujo
comprimento seja 7 m maior do que a largura.
Questão 14
Para satisfazer o filho mais novo, esse senhor
precisa encontrar um terreno retangular cujas
medidas, em metro, do comprimento e da largura
sejam iguais, respectivamente, a
a) 7,5 e 14,5
b) 9,0 e 16,0
c) 9,3 e 16,3
d) 10,0 e 17,0
e) 13,5 e 20,5
Questão 15
(IFSP) Um restaurante foi representado em sua
planta por um retângulo PQRS. Um arquiteto dividiu
sua área em: cozinha (C), área de atendimento ao
público (A) e estacionamento (E), como mostra a
figura abaixo.
Sabendo que P, H e R são colineares, que PH
mede 9 m e que SH mede 12 m, a área total do
restaurante, em metros quadrados, é
a) 150
b) 200
c) 250
d) 300
e) 350
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
38 A39 • Prop e Congruência
Questão 16
(ENEM 2017) Um marceneiro recebeu a encomenda de uma passarela de 14,935 m sobre um pequeno
lago, conforme a Figura I. A obra será executada com tábuas de 10 cm de largura, que já estão com o
comprimento necessário para a instalação, deixando-se um espaçamento de 15 mm entre tábuas
consecutivas, de acordo com a planta do projeto na Figura II.
Desconsiderando-se eventuais perdas com cortes durante a execução do projeto, quantas tábuas, no
mínimo, o marceneiro necessitará para a execução da encomenda?
a) 60 
b) 100 
c) 130
d) 150
e) 598
Questão 17
(ENEM 2020) Considere o guindaste mostrado nas figuras, em duas posições (1 e 2). Na posição 1, o braço
de movimentação forma um ângulo reto com o cabo de aço CB que sustenta uma esfera metálica na sua
extremidade inferior. Na posição 2, o guindaste elevou seu braço de movimentação e o novo ângulo
formado entre o braço e o cabo de aço ED, que sustenta a bola metálica, é agora igual a 60°.
Assuma que os pontos A, B e C, na posição 1, formam o triângulo T₁ e que os pontos A, D e E, na posição
2, formam o triângulo T₂, os quais podem ser classificados em obtusângulo, retângulo ou acutângulo, e
também em equilátero, isósceles ou escaleno. 
Segundo as classificações citadas, os triângulos T₁ e T₂ são identificados, respectivamente, como 
a) retângulo escaleno e retângulo isósceles.
b) acutângulo escaleno e retânguloisósceles.
c) retângulo escaleno e acutângulo escaleno.
d) acutângulo escaleno e acutângulo equilátero.
e) retângulo escaleno e acutângulo equilátero.
39
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
A39 • Prop e Congruência
Nessas condições, a área a ser calçada
corresponde
a) à mesma área do triângulo AMC.
b) à mesma área do triângulo BNC.
c) à metade da área formada pelo triângulo ABC.
d) ao dobro da área do triângulo MNC.
e) ao triplo da área do triângulo MNC.
A área máxima que o retângulo DGFH pode
assumir, em cm², é igual a: 
a) 5,75 
b) 6,25 
c) 7,45 
d) 8,15
Sobre a congruência de triângulos, julgue as
afirmativas a seguir:
I – Ao comparar dois triângulos, se a medida dos
ângulos for congruente, então, podemos afirmar
que esses triângulos são congruentes pelo caso
Ângulo, Ângulo e Ângulo.
II – Dois triângulos equiláteros podem não ser
congruentes.
III – Ao comparar dois triângulos, se as medidas
dos lados forem congruentes um a um, então,
podemos afirmar que esses triângulos são
congruentes.
Assinale a alternativa correta:
a) Somente a I é verdadeira.
b) Somente a II é verdadeira.
c) Somente a III é verdadeira.
d) Somente a II é falsa.
e) Somente a I é falsa.
Questão 18
(UERJ 2022) A figura a seguir representa um
quadrado ABCD de lado igual a 5 cm. Nele,
observa-se o quadrado AEFG, cujo lado mede x
cm, sendo 0 < x < 5. 
Questão 19
(ENEM 2010) Em canteiros de obras de construção
civil é comum perceber trabalhadores realizando
medidas de comprimento e de ângulos e fazendo
demarcações por onde a obra deve começar ou
se erguer. Em um desses canteiros foram feitas
algumas marcas no chão plano. Foi possível
perceber que, das seis estacas colocadas, três
eram vértices de um triângulo retângulo e as
outras três eram os pontos médios dos lados
desse triângulo, foram indicadas por letras. A
região demarcada pelas estacas A, B, M e N
deveria ser calçada com concreto.
Questão 20
B
P
A C
M
N
RESOLUÇÕES - AULA 39
40 A39 • Prop e Congruência
Questão 01 Questão 6- alternativa D
5 B
X To 2
E
7
4 B
c +
42 = 5
x2 + 16 = 25 G()
c = 9 ->
X = 3
Questão 02 B + b + 60 = 90
%
2p = 30.: B = 15
y 1X+ x + 78 = 180-
J X = 550 a + B = 900 : a = 750
Yx 2x+ y + 90 = 180
Fo 55 + y = 90
7 201770 Questão 07- alternativaD
y = 39
A menor distância entre dois pontos
Questão 03 é uma reta.
Menor distância
a) errado, também tem 2 ângulos nguais · -
b) errado, também tem 3 ângulos nguair 160)
2
n
2
h = 11
·
2
c) errado, apenas 1. 7
d) errado, os três devem ser agudos 2 n = 25
2
e) correto.
h = ⑮
Questão 4 Questão 08 - AlternativaD
x + 2x + 3x = 180
n = 15 - 8 =
15
6x = 180 X = 300 2 2
16 = em -
l= -
QuestãoS
l= - l = 11 ,
7
2x + 700 = 100 + X 3.
X = 300 A pergunta quer os 3 lados :
ang ext : 2 . 30 + 70 = 1300 3. 16 . 17
= 16 . 1
,7 = 27 , 18
3
RESOLUÇÕES - AULA 39
41A39 • Prop e Congruência
Questão 09-alternativa C Questão 11 - alternativa A
Pitágoras
R = r +r
R
⑧
M
R2= 2r2 *-M
↑maior
Amenor
Questão 10 - alternativaB Pitágoras 1 : 2 + 2 = x -> X=
maior ladomenor
-
médio Pitágoras 2 : (5) (5) = y2
lado ângulo
↓ e
menor
angulo
8 +8 = y
( ( 16 = yz -> y = 4
↑ maior
angulo lado Pitágoras 3 : 42+ 42= 22 -> z = 52
médio Pitágoras 4 : (52) + let? = w- w = S
121 24
14
g
g
6
18 TA -
4
6 + 14 = 20
RESOLUÇÕES - AULA 39
42 A39 • Prop e Congruência
Questão 12 -
alternativa C d X+30
·
a altura é [
X+38
3 X 3 composta por
X + 0
,
3 usando 1100
a lateral . (x- 10 70/2
0
,
3
& &
X+ 30 + X - 10 +70
= 180
Pitágoras : 2x + 90 = 1800X = 43
(x + 0
,
5) + 12 = 32
(x + 0
,
3) + 1 = 9 * 2x + 20
(x + 0
,
3) = S X + 0
.
5=
X↳
X = m - 0
,
5
(X+1060
Questão 13 O angula amarelo é ângulo
externo :
a 93 + 2x + 10 + x = 180
2 +20 + X = X+ 10 + 120
3x = 75 X = 23
3x + 20 = X+ 130
B
2x = 110 X = 550
*
[u
So X +50 = 90
soh X = 40 f 600
748 Fo
1300 Tot 60%
c2x + 25 = 65 + y
X = 40 3x= 60 X = 20
RESOLUÇÕES - AULA 39
43A39 • Prop e Congruência
G Questão 15 - AlternativaD
-
20. P
E 300 29
&
* Y Z
12
①x + y + z = 180
② 20 + y + 30 + z + 85 = 180 S R
y + z + 135 = 180 Passo 1 : Pitágoras
y + z = 430 92+ 12 = (PS) -> 81 + 144 = 1PS)2
Voltando em I
225 = (PB) -> 15 = P
X + y + z = 180
Passo 2 : Qual a tangente de < ?
X + 430 = 180
+
ga=
X = 1350
Passo 3 : Aplicar a tangente no Agrande
Questão 14-alternativaB
tga =R =
área do retângulo : X . (x+ 7) ·SR = 12
. 13
- BR = 20
área da figura B :
A = 15 . 15
+ 21
. 3
Passo 4 : Área Perguntada
21 2
15 . 20 = 300
13
7
↳
3
A = 225 + 63
15 A = 288 = 144
2
Igualando :
X . (x + 7) = 144 -> x2+ 7x - 144 = 0
1 = 49 + 4 . 144 = 625
X == 7 + 25
> X = 9
2
medidas da pergunta : 9 e 16
RESOLUÇÕES - AULA 39
44 A39 • Prop e Congruência
Questão 16-alternativa 2 Il-Correto. Mesmo sendo equilateros
poderá ter lados diferentes.
quantidade de tabuas:
#-Correto. É o critério Lado-hado-lado.
quantidade de espaços : -
Questão 19-AlternativaB
Conversões :
15mm = 1
,
5em C
14 ,
935 = 1493
,
3 em
x
x
10· x + 1 ,
3 · (x -1) = 493
,
3
10x + 1 , 5x - 113 = 1492 ,
5 x
16
,
3x = 1495 5 - X 5 X
X = 1495 1x = 130 X
S Área = (5-X) . X
Questão 17-alternativa E Área = 3x-x
to :
A
12
↳
C
Retângulo AmaA16 escaleno
Questão 20 - alternativa E
B
↓: 12 L C
a
60
of
160
12 Equilátero b ↳ a=>
C C
126 of 3)
b D
Questão 18 - Alternativa C
& errado, somente os ângulos não note que se formam 4
S
1
garante congruência triangulos iguais .
5 ou seja, a área é o triplo
s diferentes
[
da aña do triângulo.
60
->
& CL P
160 70
Exemplo de semelhança de triângulos
Determinar a medida de AB no triângulo abaixo,
sabendo que o ângulo BAC e DBC são iguais:
Separando os triângulos ABC e BDC, e observando
que BAC = DBC e BCA = BCD (C é ângulo comum
aos dois triângulos), concluímos que:
ABC é semelhante a BDC, pelo caso AAA.
Marcando os ângulos congruentes com o mesmo
número de ‘arquinhos’, temos os triângulos abaixo.
x 6
4
=
3
4 • 6 = 3 • x
x = 8
) )
)
a
bc
C
A
B
α
β γ
) )
)
d
ef
F
D
E
α
β γ
r =
a
d
=
b
e
c
f
=
45
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
A40 • Semelhança de Δ 
AULA 40 - SEMELHANÇA DE
TRIÂNGULOS
Semelhança de Triângulos
Esses dois rostinhos são semelhantes, o que é a
mesma coisa que dizer que eles têm a mesma
FORMA, porém, têm tamanhos diferentes. 
Mas, apesar de ter tamanhos diferentes, existe
uma semelhança. Por exemplo, se a boca do
menor tiver metade do tamanho da boca do maior,
podemos concluir que:
O nariz do menor tem metade do tamanho do
nariz do maior; e
O olho do menor tem metade do tamanho do
olho do maior; e
Qualquer outra parte do menor terá a metade
do tamanho do maior.
Com isso, surge uma razão de semelhança, que
nada mais é do que a proporção de um tamanho
para outro. Neste caso, a razão (r) seria: r = 1/2
Critérios para Semelhança
1) AAA - Ângulo-Ângulo-Ângulo (2 ou 3 ângulos
iguais)
Lembre-se: se dois ângulos de um triângulo são
iguais, o terceiro também é.
2) LAL - Lado-Ângulo-Lado
Quando dois triângulos têm dois lados
proporcionais e o ângulo entre eles iguais,
podemos concluir que são semelhantes.
3) LLL - Lado-Lado-Lado
Se os três lados de um triângulo forem
proporcionais aos lados de um segundo triângulos,
podemos concluir que são semelhantes
Razão de Semelhança
Fazendo a proporção entre os lados
correspondentes:
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
46 A40 • Semelhança de Δ 
Teorema de Tales
Consideremos três retas paralelas, p, q, r,
“cortadas” por duas transversais, s e t, conforme
a figura abaixo.
Exemplo: determinar a medida de x na figura
abaixo:
9 x
12
=
8
9 • 8 = 12 • x
x = 6
1) Altura: é o segmento de reta que liga,
perpendicularmente, um vértice à reta que contém
o lado oposto a esse vértice.
Elementos do Triângulo
2) Bissetriz interna: é o segmento de reta que
parte de um vértice, dividindo o ângulo ao meio.
3) Mediana: é o segmento de reta que liga um
vértice ao ponto médio do lado oposto.
4) Mediatriz: é a reta perpendicular a um dos
lados, que passa pelo ponto médio desse lado.
A D
B E
C F
s t
p
q
r
AB
BC
= DE
EF
Pontos Notáveis doTriângulo
1) Encontro das Alturas - Ortocentro
47
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
A40 • Semelhança de Δ 
Sobre o Ortocentro:
encontra-se na região interna do triângulo, se
este é acutângulo;
coincide com o vértice do ângulo reto, se for
retângulo;
encontra-se fora do triângulo, no caso deste
ser obtusângulo.
2) Encontro das Bissetrizes - Incentro
O Incentro é o centro de uma circunferência
inscrita no triângulo. Assim sendo, fica à mesma
distância de todos os seus lados.
3) Encontro das Medianas - Baricentro *Mais
Importante*
O baricentro é o centro de gravidade do triângulo. 
Se suspendermos um triângulo pelo seu
baricentro, ele fica em equilíbrio. Este ponto está a
uma distancia de dois terços da mediana em
relação ao vértice correspondente.
4) Encontro das Mediatrizes - Circuncentro
O circuncentro é o centro de uma circunferência
circunscrita no triângulo. Assim sendo, está à
mesma distância dos três vértices.
5) No triângulo isósceles, os pontos notáveis
estão alinhados.
6) No triângulo equilátero, todos os pontos
coincidem.
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
48 A40 • Semelhança de Δ 
O prédio projeta no solo uma sombra de 30 m de
extensão no mesmo instante em que uma pessoa
de 1,80 m projeta uma sombra de 2,0 m. 
Pode-se afirmar que a altura do prédio é igual a
a) 27 m d) 36 m
b) 30 m e) 40 m
c) 33 m
A ilustração a seguir representa uma mesa de
sinuca retangular, de largura e comprimento iguais
a 1,5 e 2,0 m, respectivamente. Um jogador deve
lançar a bola branca do ponto B e acertar a preta
no ponto P, sem acertar em nenhuma outra antes.
Como a amarela está no ponto A, esse jogador
lançará a bola branca até o ponto L, de modo que
a mesma possa rebater e colidir com a preta.
Se o ângulo da trajetória de incidência da bola na
lateral da mesa e o ângulo de rebatimento são
iguais, como mostra a figura, então, a distância de
P a Q é, em cm, aproximadamente
a) 67
b) 70
c) 74
d) 81
Um terreno com formato de um triângulo retângulo
será dividido em dois lotes por uma cerca feita na
mediatriz da hipotenusa, conforme mostra figura.
Sabe-se que os lados AB e BC desse terreno
medem, respectivamente, 80 m e 100 m. Assim, a
razão entre o perímetro do lote I e o perímetro do
lote II, nessa ordem, é
a) 5/3
b) 10/11
c) 3/5
d) 11/10
Questões da Aula 40
Questão 1
Um estudante posicionou-se a 50 m de distância
de um prédio e colocou, a 16 cm de seus olhos,
uma haste vertical de 20 cm de comprimento, tal
que a haste e o prédio ficassem sob o mesmo
ângulo visual, conforme a figura.
A partir dessa situação, o jovem calculou a altura
do prédio. Qual é essa altura, em metro?
Questão 2
Questão 3
Questão 4
49
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
A40 • Semelhança de Δ 
Questão 5
Questão 6
Marcelo deseja construir uma piscina retangular
em um terreno triangular, como mostra a figura
abaixo. Determine as dimensões máximas da
piscina, sabendo que um de seus lados deve
medir o dobro do outro.
Questão 7
Um quiosque quadrado será construído em um
terreno triangular, como mostra a figura abaixo. 
Determine a dimensão máxima do lado a do
quiosque.
Questões de Treinamento
Questão 1
(UFPel-RS) A geometria métrica, através de suas
relações, proporciona que possamos descobrir
medidas desconhecidas. 
Usando as relações convenientes, é correto
afirmar que o perímetro do triângulo ABC, abaixo,
equivale a:
a) 24 cm
b) 34 cm 
c) 35 cm
d) 48 cm
e) 45 cm 
O saque é o primeiro ataque em uma partida de
tênis e, para obter êxito nesse fundamento, é
necessário bastante treino. A figura a seguir ilustra
um jogador efetuando um saque em uma quadra
de tênis.
Com base nos dados fornecidos e considerando
a trajetória retilínea da bola, a altura da rede é, em
centímetros, aproximadamente, igual a 
a) 45. 
b) 55. 
c) 65. 
d) 75. 
e) 85.
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
50 A40 • Semelhança de Δ 
Qual é a medida aproximada da altura dessa
árvore?
a) 6,8 m.
b) 8,4 m.
c) 9,2 m.
d) 7,9 m.
Questão 2
A figura abaixo nos mostra duas avenidas que
partem de um mesmo ponto A e cortam duas
ruas paralelas. Na primeira avenida, os
quarteirões determinados pelas ruas paralelas
tem 80 m e 90 m de comprimento, respec-
tivamente. Na segunda avenida, um dos
quarteirões determinados mede 60 m. 
Qual o comprimento do outro quarteirão? 
Questão 3
Uma antena de TV é colocada sobre um bloco de
concreto, como mostra a figura. Esse bloco tem
1 m de altura. Em certo instante, a antena projeta
uma sombra de 6 m, enquanto o bloco projeta
uma sombra de 1,5 m. 
Nessas condições, qual é a altura da antena?
Questão 4
Renata precisava medir a altura de uma árvore.
Para isso, colocou um pedaço de cano enterrado
no chão, formando um ângulo de 90º com o solo.
Depois, mediu os comprimentos das sombras da
árvore do cano, obtendo as medidas indicadas na
figura abaixo.
Questão 5
A figura a seguir se constitui de dois triângulos
retângulos em A e B, sendo as medidas dos
segmentos AB = 3, AE = 700 e BC = 200 unidades
de comprimento. 
Nessas condições, é CORRETO afirmar que a
medida do segmento DB, em unidades de
comprimento, é igual a: 
a) 2/3
b) 5/3
c) 7/3
d) 4/3
< < < << < < <
6 m 1,5 m
1 m
A que distância da tela deve ser colocado o
projetor para que o retângulo projetado tenha 2 m
de altura?
51
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
A40 • Semelhança de Δ 
A área do triângulo ABC, em cm², é igual a 
a) 9/5
b) 33/20
c) 27/16
d) 5/3
e) 81/50
(FAMEMA 2024) O perímetro de um retângulo é
de 18 cm. Esse perímetro foi dividido em 18
segmentos de 1 cm e, em seguida, foram
traçados AE e BD para a construção do triângulo
ABC, como mostra a figura. 
Questão 6
Um projetor, colocado a 9 m de distância de uma
tela, projeta um retângulo de altura 6 m. 
Questão 7
O esquema abaixo, fora de escala, representa
uma pessoa em frente a uma máquina fotográfica
cuja base é paralela ao piso plano e horizontal.
Questão 8
Se a distância entre a pessoa e o diafragma da
máquina é 3 m, a distância entre o diafragma e o
filme é 6 cm e a altura da pessoa é 1,75 m, calcule
a altura, em centímetro, da imagem da pessoa
projetada no filme.
Questão 9
Em uma noite de lua cheia, Paulo e Renata
realizaram a seguinte experiência: Paulo fechou
um dos olhos e Renata segurou uma moeda de
2,5 cm de diâmetro entre a Lua e o olho aberto de
Paulo, de modo que o jovem visse a moeda
coincidindo com a imagem do disco lunar. A
seguir, mediram a distância entre a moeda e o
olho aberto de Paulo, obtendo 290 cm. Sabendo
que a distância da Terra à Lua é 400.000 km, os
jovens estimaram a medida do diâmetro da Lua.
Com esses dados, que medida, em quilômetro,
obtiveram para o diâmetro da Lua?
(PROVÃO PAULISTA 2023) Na figura, o triângulo
ABC é retângulo, com ângulo reto no vértice B,
possuindo área igual a 24 cm², e o quadrilátero
DEFG é um retângulo de área igual a 12 cm².
Sabendo que AF = FB = x + 1 e BG = GC = x, a área
hachurada é igual a 
a) 3 cm². 
b) 4 cm². 
c) 5 cm². 
d) 2 cm². 
e) 6 cm². 
Questão 10
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
52 A40 • Semelhança de Δ 
Questão 11
Um homem de 1,80 m de altura, sobe uma
ladeira, conforme mostra a figura. No ponto A
está um poste vertical de 5 metros de altura, com
uma lâmpada no ponto B. 
Calcule o comprimento da sombra do homem
depois que ele subiu 4 m ladeira acima. 
Questão 12
Determine a medida x em cada figura, onde
temos sempre r // s // t:
a)
b)
c)
d)
(PROVÃO PAULISTA 2023) A aranha constrói sua
teia fazendo primeiro os raios, em seguida
preenche a teia com arestas ligando os raios,
chamadas de amarrações. Na figura a seguir, tem-
se a representação de uma teia:
Nesta teia, os ângulos entre os raios são iguais e
as amarrações que ligam os mesmos dois raios
são paralelas. Suponha que as seis primeiras
amarrações são construídas a partir de um ponto
no raio que está a uma distância de 2 mm do
centro da teia e que as amarrações seguintes que
ligam os mesmos raios são construídas a partir de
pontos no raio que estão separados por 1 mm de
distância. 
Usando a aproximação √3 = 1,7, quantas
amarrações aaranha deverá fazer para construir
uma teia de 2,55 cm³? 
a) 60. 
b) 70. 
c) 45. 
d) 84. 
e) 54.
Questão 13
53
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
A40 • Semelhança de Δ 
(Santa Casa 2022) A figura indica o projeto de
construção de uma arena de esportes, sendo AB
a representação de uma luminária cujo ponto mais
próximo do chão está a 5,5 m.
Questão 14
O comprimento de AB, em metros, é igual a 
a) 3√37 
b) 2√37 
c) 2,5√37 
d) 21,5 – 2√37 
e) 21,5 – √37
Questão 15
(ENEM PPL 2018) Uma empresa de construção
comprou um terreno de formato retangular por
R$ 700.000,00. O terreno tem 90 m de
comprimento e 240 m de largura. O engenheiro
da empresa elaborou três projetos diferentes
para serem avaliados pela direção da
construtora, da seguinte maneira: 
Projeto 1: dividir o terreno em lotes iguais de
45 m x 10 m, sem ruas entre os lotes, e
vender cada lote por R$ 23.000,00; 
Projeto 2: dividir o terreno em lotes iguais de
20 m x 30 m, deixando entre lotes ruas de
10 m de largura e 240 m de comprimento, e
vender cada lote por R$35.000,00; 
Projeto 3: dividir o terreno em lotes iguais de
35 m x 20 m, deixando entre lotes ruas de
20 m de largura e 240 m de comprimento, e
vender cada lote por R$45.000,00. 
A direção da empresa decidiu dividir o terreno e
utilizar o projeto que permitirá o maior lucro, sendo
que este será igual ao valor obtido pela venda dos
lotes, menos o valor da compra do terreno. Nesse
caso, o lucro da construtora, em real, será de 
a) 380.000,00. 
b) 404.000,00. 
c) 1.104.000,00. 
d) 1.120.000,00. 
e) 1.460.000,00.
Questão 16
Pedro quer calcular a altura x, em metros, de uma
caixa d’água. Com a ajuda de seu primo, ele
avaliou que, em certa hora do dia, sua sombra
mede 0,75 m, enquanto a sombra da caixa d’água
mede 2,5 m. Se Pedro mede 1,8 m, qual é a altura
da caixa?
Determine o valor de x na figura abaixo, sabendo
que as partes em destaque são três quadrados
apoiados lado a lado, e sabendo seus lados
medem, respectivamente, 9, x e 4 cm.
Questão 17
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
54 A40 • Semelhança de Δ 
Questão 18
O topo de uma escada de 25 m de comprimento
está encostado na parede vertical de um edifício.
O pé da escada está a 7 m de distância da base
do edifício, como mostra na figura.
Se o topo da escada escorregar 4 m para baixo ao
longo da parede, qual será o deslocamento do pé
da escada?
Questão 19
(ENEM 2009) A rampa de um hospital tem na sua
parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um
paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que
se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de
0,8 metro. 
A distância em metros que o paciente ainda deve
caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é
a) 1,16 metros.
b) 3,0 metros.
c) 5,4 metros.
d) 5,6 metros.
e) 7,04 metros.
(UERJ 2023) Nos triângulos retângulos PQR e PST,
representados a seguir, o ponto Q pertence ao
segmento de reta PS e o ponto R pertence ao
segmento de reta PT. As medidas dos segmentos
PQ, QR e PS são, respectivamente, 41 cm, 9 cm e
100 cm.
Questão 20
A medida do segmento ST, em centímetros, é
igual a: 
a) 18 
b) 22,5 
c) 26 
d) 30,5
55
RESOLUÇÕES - AULA 40
A40 • Semelhança de Δ
Questão 01 -
alternativa D Questão 06 - alternativa C
3
Xi = 1 = X = 3 IX
Y 3
4
9 Pitágoras
2
3 - X
9
66 + 122= y = y = 20
-
124 Perimetro S
66 +212 + 20 = 48
3 =
31 x = 3 . (3 -x) = 5x
Questão 02
9 - 3x = 5x 9 = 8x
170
=
60 + X
>
170 . 60
= 60 + X
9
80 60 80 X =
8
127
, 5 = 60 + X -> X = 67
,
5m Área =
Base . altura
2
Questão A = 3 A=03 26
in Questão 7
6 Is 5m = h
6 2
17,5
->
'x
I I
Questão 04 - alternativa E 9
H
=
3
,
4 x = 209 = 3
4
,
40
.
6
-> H =
3
,
4.2
,4 =0
,
6 6
H = 7
,
93m
Questão s
Questão 05 - alternativa A
6
3 - X
E 700 =
x ↑
h 3 Es
700
7( e -
A 3 -XD 7
B 700x = 600 - 200 X h= 3
,
50em
200 900X = 600
·C X = 600-
I
3m "Jem'
RESOLUÇÕES - AULA 40
56 A40 • Semelhança de Δ 
Questão 9 Gem
d 12cm
2 ,5em
I I Anachurada = total - Branco
290em
I a
↑nachurada = 24-12-6 = 6 um
2
40000 km
t
4. 103 km = 4010"m
Questão 11
5Por Semelhança
1
,
8
d
I
4 . 1010 d =
2
,
5 . 4 . 1010 1
,
8 S
5.x = 7
,
2 + 1
,
8x
2
,
5 298 290 x
d 10.1000
d = 100
4m
3
,
2x = 7
,
2
290 X = 2
,
25m
d =
100 d = 3
,
5 . 108 cm
29·
108 Questão 12
d = 3
,
5 - 103km d = 3500 km
a X
I 8 X =80=9 & 2
-
Questão 10 - Alternativa E
Veja que o SBFG possui meta-
B = 2x = 6 .12x
-
de dos lados do ABC
e por
tanto terá da área
, formal 2x = 72 - 6x 8x =72X= 9
mente :
2
c =
IBFG ABFG x
2 ABFG
l ABC
=
AABC
=
2x
-
24 f0(x +1) = 8(x + 2)
10x+ 10 = 8x + 16
12
=
ABFG =D =
ABra
-
2 24
24 2x = 6 X = 3
24
= ABFG =D Gar = ABFC
d â = 4 x
2 =
36
4 X = 6
57
RESOLUÇÕES - AULA 40
A40 • Semelhança de Δ
3) Amarrasou.
> Sem = 10 mm
-> usamos 2mm para o 1
°
e sobre
smm para or próximas 8 amarrações,·de avizin total = 9 amarrações.
I
S
->Como temos 6 partes
total = 9x6 = 54 amarrações.
em 6 partes iguais : Questão 14 - alternativa C
2.35
= 0
,
425 um em cada uma **
2) Es ângulos das 6 partes são
3 IS 3
ignais :
5
360 = 60
3 15 3
3) Os lados são ignais , logo ,
tere I I
mos triângulos equilateros.
21
4) Qual o lado de um triângulo
Semelhança
x
equilátero com área 0
,
455 %
jo,
h
A = 12
=0 ,
425 =
22 . 1
.
7
3 23
T
4 4
S
0
,
425 . 4 = 2. 1
.
7 1
,
7 = 22 · 67 = h =
2
= -> 1 = ↳ L = dum
Pitágoral
c = 15 + (2)
c = 225 + 4
RESOLUÇÕES - AULA 40
58 A40 • Semelhança de Δ 
Projeto 3
4-9=
t
35
2om
2
35
x = 2
,
537
20 20 20
Questão 15- alternativa B 248
= 12
+2x2 = 24 lotes
-
20
Projeto 1
24· 43000 = 6080000
45
O projeto 1 é o mais vanta-
43
joso e tem lucro de :
10 10 10
=
240
= 24 & 104000 - 700000 = 404000
10
Serão 24x2 = 48 lotes Questão 16
48 . 23000 = 1104000 x2,
5
> x =
2
,
5 . 1
,
8
-
1
, 8 0
.
75
0
.
75
Projeto 2 :
x = 6
30 30 30
20 Questão 17
20
30
gx
xx
4
20 20 20 28 X
240
= 8
8 . 2 = 16 lotes X 4
30
Semelhança :
240
= 12 12 lotes 9 - X
= Y = 36 - 4x = x - 4x
20
X - 4
total de 28 lotes
x = 36 -> X= 6
28· 35000 = 980
.
000
59
RESOLUÇÕES - AULA 40
A40 • Semelhança de Δ
Questão 18 Questão 20- alternativa B
Situação antes
Pitágoras ·
25
x 252 = x2 + 72
40 R
x
625 = X2 + 49
⑧75 x2= 576
P
IIIA
41
B(
⑨
⑧
·
X = 24
Situação depois Pitágoras
I
200
I
25 = 202+ y2
23
20 623 = 400 + y2
Por Pitágoras :
223 = y2 PR2 + 92 = 412
-
Y 15m = Y PR2 + 8 - = 1681
A escada desloca (15-7 = Sm) PR = 1600 > PR = 40
Questão 19- alternativa D Semelhança
& oposto aoB oposto ao
3 ,
2m
0
.8m
2
,
2m
grande
- grande
-
pequeno pequeno
3,2 + X
=
2
,
2
3
,
2 0
,8 100
=
x
3,2 . 2
,
2 = 0.8(3 ,
2 +x) 40 9
7, 04 = 2
,
56 + 0
.8x 900
0
,
8x =
4
, 48 X = 3
,
6m
40
= X -> X = 22
,
3
Note que o triângulo ABC é isósceles, pois dois de
seus lados são raios da circunferência e, portanto,
se M for ponto médio de AB, então MC será a
altura do triângulo.
A
M
B
C•
)
A
α
B
O
αβ =
2
)
A
α
B
) β α
A
θ
B
••
A
θ
B
••
O triângulo inscrito na circunferência que possui
como um dos lados o diâmetro, é
necessariamente retângulo.
Um ângulo inscrito de 90° está associado a um
arco de 180°
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
60 A41 • Circunferência
1) Propriedade das Cordas
2) Ângulo Central de uma Circunferência
3) Ângulo Inscrito em uma Circunferência
3.1) Consequência 1:
Como o arco AB tem 180°, quando formarmos o lado
AB será justamente o diâmetro da circunferência.
Portanto, todo triângulo retângulo inscrito em uma
circunferência tem a sua hipotenusa como
diâmetro.
O ângulo inscrito tem medida igual a metade do
ângulo central correspondente.
3.2) Consequência 2:
Note, na figura abaixo, que M é o centro da
circunferência e é, também, o ponto médio da
hipotenusa (lado AB). Assim como vemos que CM
é uma mediana do triângulo.
AULA 41 - CIRCUNFERÊNCIAS
diâmetrodiâmetro
A B
•
C
M
Agora, note que todos os segmentos MA, MB, MC
representam a distância do centro até um ponto 
da circunferência, ou seja, o raio.
A B
•
C
M
|| ||
||
Conclusão: o comprimento da mediana relativa à
hipotenusa deum triângulo retângulo, corresponde
exatamente à metade do comprimento da sua
hipotenusa.
a
b
c d
PASSO 1: Notar que formamos 3 segmentos iguais
destacados na figura e, portando, formamos dois
triângulos isósceles.
C
C
•
||
||
A
B
P
61
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
A41 • Circunferência
4) Reta Tangente a uma Circunferência
MUITO IMPORTANTE!!
A reta tangente a circunferência é uma reta que
encosta em um único ponto. A propriedade é que
essa reta faz um ângulo reto com o raio da
circunferência.
Propriedade:
Se P é um ponto exterior a uma circunferência e os
pontos A e B pertencem a ela, de modo que PA e
PB são tangentes à circunferência, então PA = PB.
Quadrilátero Circunscrito
a + b = c + d
Exercício Resolvido!
Descubra o valor do ângulo x na figura, sabendo
que C é o centro da circunferência:
PASSO 2: notar que os ângulos da base do
triângulo isósceles são iguais.
PASSO 3: Como o triângulo é retângulo, sabemos
que:
70 + x = 90 e, portanto, 
x = 20
5) Relações Métricas na Circunferência
5.1 Cordas
a • c = b • d
d
a
b
c
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
62 A41 • Circunferência
Exemplo
Calcular o valor de x:
24 • 8 = 6 • x :(6)
4 • 8 = x
32 = x
5.2 Secantes
a • (a + b) = c • (c + d)
x • (x + 42) = 10 • (10 + 30)
x² + 42x = 400
x² + 42x - 400 = 0
x' = 8
x'' = -50 (não convém)
5.3 Secante e Tangente
a² = b • (b + c)
x² = 6 • (6 + 18)
x² = 6 • 24
x² = 6 • 6 • 4
x² = 36 • 4
x = 6 • 2
x = 12
24 x
6 8
a
c
d
b
Exemplo
Calcular o valor de x:
42 x
30
10
a
c
b
Exemplo
Calcular o valor de x:
x
6
18
6) Área das partes do Círculo
6.1 Setor Circular
Já vimos que a área do círculo é A = πr². Agora
vamos ver algumas variações. Para calcular a área
do setor, podemos fazer uma regra de três entre
todo o círculo e apenas a parte do setor
representada pelo ângulo alfa.
.
A
B
Ca
R
R
Para calcular a área da coroa circular, podemos
fazer a diferença entre área do círculo maior e a
área do círculo menor.
6.2 Coroa Circular
= -R R RR R
Setor Circular Triângulo
R
Não é necessário memorizar
as fórmulas, apenas entenda
o processo para realizar os
cálculos das áreas.
R
r
Para calcular a área de um segmento circular,
devemos calcular, inicialmente, a área do setor
circular correspondente e subtrair a área do
triângulo.
63
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
A41 • Circunferência
6.3 Segmento Circular
Para calcular a área, vamos supor um setor de
ângulo alfa.
Notas
C
B
A
9 x
4 8
21 x
15
5
C
55º (
x (
7 cm
C
4
 c
m
9 c
m
•
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
64 A41 • Circunferência
Questão 2
Questão 3
Descubra o valor do ângulo x da figura, sabendo
que C é o centro da circunferência
Na figura abaixo, calcule o valor de x, usando as
propriedades das cordas.
Questões da Aula 40
Questão 1
Calcule a área do triângulo ABC, sabendo que a
corda AB vale 8 e a raio da circunferência vale 5.
Questão 4
Calcule o valor de x na figura abaixo usando as
propriedades métricas na circunferência.
Questão 5
Calcule a área do setor circular abaixo.
Questão 6
Calcule a área da coroa circular abaixo.
Questão 7
Calcule a área do segmento circular abaixo
Questão 8
Um parque de diversões está construindo uma
roda gigante com 22 metros de diâmetro. Uma
estrutura de aço na forma de circunferência está
sendo construída para fixar os assentos. 
Se cada assento está a 2 m de distância do
próximo, e considerando π = 3, o número máximo
de pessoas que poderão brincar de uma só vez
neste brinquedo é
a) 33.
b) 44.
c) 55.
d) 66.
o
9 cm
120º
(
A figura mostra a porta de uma casa com 150
centímetros de largura. A parte superior dessa
porta é limitada por um arco de circunferência,
cuja flecha é de 45 centímetros. 
α = 30º)
A
B
C
65
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
A41 • Circunferência
Questão 10
Questão 11
Questão 12
O Planeta Terra possui um raio aproximado de
6378 km. Suponha que um navio esteja em
trajetória retilínea se deslocando no Oceano
Pacífico entre os pontos B e C.
(UFRGS 2015) Quatro círculos de raio r foram
traçados de forma que sejam tangentes entre si
dois a dois, como na figura abaixo. As distâncias
entre os centros de dois círculos não tangentes
entre si têm a mesma medida.
A distância entre os centros de dois círculos não
tangentes entre si é:
a) 2r.
b) r².
c) r√2
d) 2r√2
e) r²√2
Questão 9
Uma bicicleta está equipada com rodas de 26
polegadas, medida do diâmetro. A distância
percorrida em metros após dez giros completos
das rodas é de
Dados: 1 polegada = 2,54 cm; π = 3.
a) 6,60 m
b) 19,81 m
c) 33,02 m
d) 78,04 m
Tomando a Terra como uma circunferência
perfeita, considere que o deslocamento angular
do navio foi de 30º. Nestas condições, e
considerando π = 3, a distância, em quilômetros,
percorrida pelo navio foi de
a) 1 557 km
b) 2 364 km
c) 2 928 km
d) 3 189 km
O raio da circunferência, em centímetros, formada
por esse arco, é:
a) 10
b) 20
c) 30
d) 40
e) 85
150 cm
45 cm
Questões de Treinamento
Calcule as áreas destacadas nas figuras a seguir:
Questão 1
o 6 cm
80º(
5 cm
C 3 cm
5 cm
•
a)
b)
c)
C
P
B
2R
3R
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
66 A41 • Circunferência
A distância, em metro, do observador em O até o
ponto P é:
a) 30 
b) 35 
c) 40 
d) 45 
e) 50
Questão 2
Determine a medida x, em grau, em cada uma das
circunferências:
a)
b)
c)
Questão 3
Uma costureira pretende aplicar uma tira de renda
no perímetro de uma toalha circular com 2 m de
diâmetro. Quantos metros de renda serão
necessários? 
Questão 4
Em uma estrada de ferro, a distância entre duas
estações, A e B, é 12,56 km. Quantas voltas dá
cada roda de um trem para ir de A até B, se cada
roda tem 0,5 m de raio? 
Dado: π = 3,14
Questão 5
(VUNESP) Um observador situado num ponto O,
localizado na margem de um rio, precisa determinar
sua distância até um ponto P, localizado na outra
margem, sem atravessar o rio. Para isso, marca,
com estacas, outros pontos do lado da margem
em que se encontra, de tal forma que P, O e B
estão alinhados entre si e P, A e C também. Além
disso, OA é paralelo a BC, OA = 25 m, BC = 40 m e
OB = 30 m, conforme mostra a figura.
Questão 6
Um dos tipos de janela usados na construção civil
é o modelo denominado janela Norman (retângulo
com um semicírculo no topo). Uma dessas janelas
possui semicírculo de raio R = 60 cm, conforme
figura abaixo. 
Calcule a quantidade de
metro quadrado de madeira
necessária para fechar
totalmente essa janela.
Questão 7
A circunferência representada a seguir tangencia
os três lados do triângulo retângulo ABC. Calcule
a medida do raio dessa circunferência.
67
A CONQUISTA DA MATEMÁTICA
A41 • Circunferência
No triângulo equilátero ABC de lado 6 cm, abaixo,
P e Q são pontos médios dos lados AB e AC,
respectivamente, e o arco de circunferência PQ
tem centro A. Calcule a área da região cinza na
figura.
B
A
C
P Q
A partir dessas informações, pode-se concluir que:
a) a entidade I recebe mais material do que a
entidade II.
b) a entidade I recebe metade de material do que a
entidade III.
c) a entidade II recebe o dobro de material do que a
entidade III.
d) as entidades I e II recebem, juntas, menos
material do que a entidade III.
e) as três entidades recebem iguais quantidades de
material.
O maior valor possível para R, em metros, deverá
ser
a) 16.
b) 28.
c) 29.
d) 31.
e) 49.
Questão 8
Questão 9
(ENEM 2015) Uma empresa produz tampas
circulares de alumínio para tanques cilíndricos a
partir de chapas quadradas de 2 metros de lado,
conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa
produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas. As
sobras de material da produção diária das tampas
grandes, médias e pequenas dessa empresa são
doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III,
para efetuarem reciclagem do material.
(ENEM 2015) O proprietário de um parque aquático
deseja construir uma piscina em suas
dependências. A figura representa a vista superior
dessa piscina, que é formada por três setores
circulares idênticos, com ângulo central igual a 60°.
O raio R deve ser um número natural. O parque
aquático já conta