Geometria Espacial

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Geometria Espacial Métrica e de Posição
Poliedros Convexos
Relação de Euler: V + F = A + 2
• Vale para todo poliedro convexo
• Cálculo do número de arestas de um 
poliedro convexo
A =
n.F
2
=
m.V
2
❖n = número de lados de cada face
❖m = número de arestas de cada vértice 
poliédrico
Soma das medidas dos ângulos internos:
• S = (V – 2).360º
Poliedros de Platão
• Todas as faces têm o mesmo nº de arestas
• Cada vértice é extremidade do mesmo 
número de arestas
• Vale a relação de Euler
• Apenas 5: Tetraedro, Hexaedro, Octaedro, 
Dodecaedro e Icosaedro
Poliedros Regulares
• Suas faces são polígonos regulares e 
congruentes
• Seus ângulos poliédricos são congruentes
• Todo poliedro regular é poliedro de Platão, 
mas nem todo poliedro de Platão é poliedro 
regular
Posições Relativas entre duas Retas
Coplanares: pertencem ao mesmo plano.
• Concorrentes: possuem um único ponto 
em comum. r ∩ s = P
❖Perpendiculares: formam ângulos retos 
entre si.
❖Oblíquas: não formam ângulos retos 
entre si.
• Paralelas:
❖Distintas: não possuem pontos em 
comum. r ∩ s = Ø
❖Coincidentes: possuem todos os pontos 
em comum. r ∩ s = r (ou s) 
Reversas: não pertencem ao mesmo plano. 
r ∩ s = Ø
• Ortogonais: formam ângulos retos entre si.
• Não ortogonais: não formam ângulos retos 
entre si.
Posições Relativas entre Reta e Plano
Paralelos: não possuem nenhum ponto em 
comum. r ∩ α = Ø
Secantes: possuem um único ponto em 
comum. r ∩ α = P
• Perpendiculares: a reta forma ângulos 
retos com quaisquer retas contidas no 
plano.
• Oblíquas: não são perpendiculares.
Contida: todos os pontos da reta estão 
contidos no plano. r ∩ α = r
Posições Relativas entre dois Planos
Secantes: possuem uma única reta em 
comum. α ∩ β = r
• Perpendiculares: se um deles contém uma 
reta perpendicular ao outro. 
Paralelos:
• Distintos: não possuem pontos em comum. 
α ∩ β = Ø
• Coincidentes: possuem todos os pontos 
em comum. α ∩ β = α (ou β) 
Projeção Ortogonal 
Ponto Figura
Reta
Segmento
Pirâmide
• Área Lateral: A𝑙 = σAfaces laterais
• Área Total: AT = A𝑙 + ABase
• Volume: V =
1
3
. ABase. h
Classificação
• Pirâmide oblíqua: as suas arestas laterais 
não são congruentes entre si. 
• Pirâmide reta: as suas arestas laterais são 
congruentes entre si. 
• Pirâmide regular: a base é um polígono 
regular.
Pirâmide Regular
• m’² = m² + h²
• 2p = medida do perímetro da base
• m = medida do apótema da base
• m’ = medida do apótema da pirâmide
• Área Lateral: A𝑙 = p.m′
• Área Total: AT = p. (m + m′)
• Volume: V =
1
3
. p.m. h
Cilindro
• Área lateral: A𝑙 = 2. π. r. h
• Área total: AT = 2. π. r. h + r
• Volume: V = π. r2. h
Classificação
• Cilindro circular oblíquo: Se as geratrizes 
são oblíquas aos planos das bases
• Cilindro circular reto: Se as geratrizes são 
perpendiculares aos planos das bases
❖É um sólido de revolução: pode ser 
obtido através da rotação de um 
retângulo ao redor de um dos seus lados
Cilindro Equilátero
• É um cilindro cuja seção meridiana é um 
quadrado
• h = 2r
• Área da Secção Meridiana: A = 2. r. h
Esfera
• Área da Superfície: A = 4. π. r2
• Volume: V =
4
3
. π. r3
Hemisfério (Meia Esfera)
• Área total: ATH =
1
2
. Aesfera + Abase
• Volume: VH =
1
2
. Vesfera
Fuso Esférico
• α em graus: Afuso =
α
360
. Aesfera =
π.r2.α
90
• α em rads: Afuso =
α
2π
. Aesfera = 2. r2. α
Cunha Esférica
• Volume : Vcunha =
α
360
. Vesfera =
π.r3.α
270
Secção Plana de uma Esfera
• s2 = r2 − d2
a
c
b
Cone
• Área Lateral: Al = π. r.g
• Área Total: AT = π. r. (g + r)
• Volume: V =
1
3
. ABase. h
• Ângulo Central: θ =
2.π.r
g
rad =
360.r
g
graus
Classificação
• Cone circular oblíquo: Se a reta VO é 
oblíqua ao plano da base 
• Cone circular reto: Se a reta VO é 
perpendicular ao plano da base
❖É um sólido de revolução: pode ser 
obtido através da rotação de um triângulo 
retângulo ao redor do seu eixo
❖A geratriz (g) de um cone circular reto é 
também dita apótema do cone.
Cone Equilátero
• É um cone cuja seção meridiana é um 
triângulo equilátero
• g = 2.r
• h = r 3
• g2 = h2 + r2
b
B
m
M
m’
Troncos
Tronco de Pirâmide de bases paralelas
• AT = AL + AB + Ab
• V =
h
3
AB + AB × Ab + Ab
Tronco de pirâmide regular
• AL = P + p .m′
• P = semiperímetro de B
• p = semiperímetro de b
• AT = P + p .m′ + P.M + p.m
Tronco de Cone de bases paralelas
• V =
π.h
3
. R2 + R × r + r2
• AL = π R + r . g
• AT = π R g + R + r g + r
Tronco de Prisma Triangular
• V = Aseção reta
a + b + c
3
Prismas
• Área Lateral: A𝑙 = σAfaces laterais = 2p. a
• Área Total: AT = A𝑙 + 2.ABase
• No Prisma Reto: Al = 2p. h
• No prisma regular: ABase= p.m
❖AT = 2p. (h + m)
- 2p = perímetro; m = medida da apótema
• Volume → V = ABase. h
Classificação:
• Oblíquo: as arestas são oblíquas aos planos 
das bases. 
• Reto: as arestas laterais são perpendiculares 
aos planos das bases.
• Regular: as bases são polígonos regulares.
Paralelepípedo
• Área Total: AT = 2. a. b + a. c + b. c
• Volume: V = a. b. c
• Diagonal: d = a2 + b2 + c2
Cubo
• Área da base: ABase = a2
• Área lateral: A𝑙 = 4. a2
• Área total: AT = 6. a2
• Volume: V = a3
• Diagonal da face: d = a 2
• Diagonal do cubo: D = a 3
Sólidos Semelhantes
Razão de Semelhança
• Entre Segmentos
ai
Ai
=
li
Li
=
h
H
= K
•
Amenor
Amaior
= K2 =
h
H
2
•
Vmenor
Vmaior
= K3 =
h
H
3
Inscrição e Circunscrição de Sólidos
• 1º Passo: Analise a Seção Transversal dos 
sólidos 
• 2º Passo: Trace as intersecções entre os 
sólidos
• 3º Passo: Se for usar a diagonal, lembre-se 
que tem que usar a do sólido
• 4º Passo: Resolva como se fossem figuras 
planas, mas sem deixar de considerar os 
elementos das figuras espaciais/ sólidos
= pontos de interseção entre os sólidos
Obs: 
• Inscrito = dentro
• Circunscrito = fora
Obs: 
• Em alguns casos será necessário analisar 
pela base ao invés da Secção Transversal. 
Ex: Cilindro e Prisma; Cone e Pirâmide
• Nesse caso, usará os elementos das figuras 
planas presente na base, inclusive a diagonal.
D
D