Lista 5c - Coordenadas e calculo de area - Exercicios Resolvidos

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA
CAMPUS FLORIANÓPOLIS
DEPARTAMENTO ACADÊMICO DA CONSTRUÇÃO CIVIL
DISCIPLINA: Topografia Professor: Elódio Sebem
Exercícios Resolvidos - Coordenadas e Cálculo de Área
Considere a figura abaixo para responder as questões XX a XX (considere que cada quadrado da grade
de coordenadas tem 4m²):
1 Qual é a distância existente entre as intersecções
da grade de coordenadas da figura?
Como cada quadrado representa uma área de
4m² podemos encontrar o tamanho do lado
pela fórmula da área do quadrado, assim:
mmlado
sejaouladomladoArea
24
,,4
2
222


O espaçamento da grade é de 2 em 2 metros.
2 Anote as coordenadas dos pontos:
A = ( 4 , 10 ) B = ( 6 , -8 ) C = ( 2 , 2 )
D = ( -2 , 4 ) E = ( -12 , -8 ) F = ( -4 , -4 )
3 Calcule a distância entre os pontos AF e EC.
Para calcular a distância entre os dois pontos no plano cartesiano utilizamos a fórmula abaixo:
            myyxxd AFAFAF 12,162601966414810444 222222 
            myyxxd ECECEC 20.172961001961014)8(2)12(2 222222 
4 Calcule a área formada pela sequência de vértices AEBC.
Para calcular a área entre por meio das coordenadas cartesianas utilizamos cálculo de
determinante. Utilizaremos uma regra prática para realizá-lo de tal forma que seja possível
calcular a área de qualquer figura geométrica sem limites para o número de pontos.
a) Listar as coordenadas dos pontos em duas colunas no meio da folha de calculo, assim:
Ponto X Y
A 4 10
E -12 -8
B 6 -8
C 2 2
b) Repetir as coordenadas do primeiro ponto após o último colocado na listagem:
Ponto X Y
A 4 10
E -12 -8
B 6 -8
C 2 2
A 4 10
c) Multiplicar o 1° X com o 2° Y, o 2° X com o 3° Y, e assim por diante até fazer o 4° X com o
1° Y, assim obteremos as duplas áreas da direita (D).
Ponto X Y Dupla Área da
Direita (D)
A 4 10
E -12 -8 = -32
B 6 -8 = +96
C 2 2 = +12
A 4 10 = +20
d) Multiplicar o 1° Y com o 2° X, o 2° Y com o 3° X, e assim por diante até fazer o 4° Y com o
1° X, assim obteremos as duplas áreas da esquerda (E).
Ponto Dupla Área da
Esquerda (E)
X Y Dupla Área da
Direita (D)
A 4 10
E -120 = -12 -8 = -32
B -48 = 6 -8 = +96
C -16 = 2 2 = +12
A 8 = 4 10 = +20
e) Somar as colunas “Dupla Área da Esquerda” e “Dupla Area da Direita”:
Ponto Dupla Área da
Esquerda (E)
X Y Dupla Área da
Direita (D)
A 4 10
E -120 = -12 -8 = -32
B -48 = 6 -8 = +96
C -16 = 2 2 = +12
A 8 = 4 10 = +20
E = -176 D = +96
f) A área será dada pelo módulo da diferença entre E e D dividido por dois, assim:
2136
2
272
2
96176
2
mDEÁreaAEBC 






5 Calcule a área formada pela sequência de vértices DBF.
Ponto Dupla Área da
Esquerda (E)
X Y Dupla Área da
Direita (D)
D -2 4
B 24 = 6 -8 = 16
F 32 = -4 -4 = -24
D 8 = -2 4 = -16
E = 64 D = -24
244
2
88
2
2464
2
)24(64
2
mDEÁreaDBF 






Antes de passarmos aos exercícios de cálculo de área nos levantamentos topográficos por irradiação
vamos fazer uma revisão de Geometra Analítica:
O Sistema de Coordenadas Ortogonais (como visto nos exercícios acima) possui 4 regiões
denominadas quadrantes. Diferentemente da matemática a topografia númera os quadrantes em
sentido horário, para que os eixos cartesianos coincidam com as linhas norte-sul e leste-oeste, para o
eixo y e x, respectivamente.
Assim teremos:
Quadrante Sinal de X Sinal de Y Exempo
1° + + P (7,6)
2° + - S (4,-6)
3° - - Q (-9,-9)
P 4° - + R (-5,4)
R N
y Coord. Polares:
yB
B Az = 53°07’49”
Az dAB = 5
5
Coord. Retangulares:
yA
A (2,1) e B (6,4)
A
x
xA xB
Para transformar coordenadas Polares em Retangulares e
vice-versa devemos considerar:
--> Podemos observar que o alinhamento AB forma em
relação aos eixos x e y um triângulo retângulo.
--> Este triângulo retângulo está formado por dAB, (xB-xA)
e (yB-yA).
S
Q
--> Podemos ainda observar que o Azimute de A para B (AzAB) apresentado na figura acima tem
a mesma amplitude angular que o Ângulo interno ao triângulo em B.
Das relações trigonométricas do triângulo retângulo podemos obter:
       22222
222
ABABABABABAB yyxxdyyxxd
adjacentecatetoopostocatetohipotenusa


AB
AB
d
xxAz
hipotenusa
opostocateto 
 sensen
AB
AB
d
yyAz
hipotenusa
adjacentecateto 
 coscos
AB
AB
yy
xxAz
adjacentecateto
opostocateto


 tantan
B
dAB yB-yA
A xB-xA
Por fim chegaremos as equações de transformação.
Coordenadas Polareas para Coordenadas Retangulares:
6507'49"sen532
:
sen


B
ABABAB
x
temosexemploNo
dAzxx
4507'49"cos531
:
cos


B
ABABAB
y
temosexemploNo
dAzyy
Coordenadas Retangulares para Coordenadas Polares:
   
    59161426
:
22
222


AB
ABABAB
d
temosexemploNo
yyxxd
"49'0753333333,1tan'
:tangentedainversoofazerDevemos
3333333,1
3
4
14
26'tan
:temosexemploNo
'tan
1 








AB
AB
AB
AB
AB
Az
Az
yy
xxAz
O Azimute calculado desta forma será sempre no primeiro
quadrante e devemos observar o seguinte:
Se (xB-xA) > 0 e (yB-yA) > 0 então Az = Az’.
Se (xB-xA) > 0 e (yB-yA) < 0 então Az = 180° - Az’.
Se (xB-xA) < 0 e (yB-yA) < 0 então Az = Az’ + 180°.
Se (xB-xA) < 0 e (yB-yA) > 0 então Az = 360° - Az’.
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
x
y
N
S
EW
1° Quadrante
2° Quadrante
3° Quadrante
4° Quadrante
5
4
3
2
1
-1
-1 1 2 3 4 5 6 7 8
6) Calcular a área do levantamento por irradiação abaixo
(considere as coordenadas XE1 = 100,00 e YE1 = 100,00):
Estação Ré Vante Azimute Distância (m) X Y
E1 NM 1 47º23’53” 15,23 111,210 110,309
2 156º01’31” 29,33 111,918 73,200
3 246º54’29” 19,97 81,630 92,168
4 308º34’08” 28,98 77,342 118,068
Cálculos das coordenadas:
X Y
mx 210,11123,15'53"32sen471001  my 309,11023,15'53"32cos471001 
mx 918,11133,29'31"01sen1561002  my 200,7333,29'31"01cos1561002 
mx 630,8197,19'29"54sen2461003  my 168,9297,19'29"54cos2461003 
mx 342,7798,29'08"34sen3081004  my 068,11898,29'08"34cos3081004 
Cálculo da Área:
Ponto Dupla Área da Esquerda (E) X Y Dupla Área da Direita (D)
1 111,210 110,309
2 12.345,56 = 111,918 73,200 = 8.140,65
3 5.975,36 = 81,630 92,168 = 10.315,19
4 7.128,40 = 77,342 118,068 = 9.637,88
1 13.130,36 = 111,210 110,309 = 8.531,50
E = 38.579,68 D = 36.625,22
hamDEÁrea 097723,023,977
2
46,1954
2
22,625.3668,579.38
2
2 




Video auxiliar sobre coordenadas cartesianas:
https://www.youtube.com/watch?v=-4J55d39QOg
https://www.youtube.com/watch?v=-4J55d39QOg