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UNIDADE 2 
 
CAMPO ELÉTRICO 
 
Se uma corpo carregado se afastasse de você nesse exato momento você acredita 
que sentiria instantaneamente os efeitos de diminuição da força elétrica, como 
requer lei de Coulomb, ou como estabalece a lei de ação e reação na Mecânica 
Newtoniana? Certamente não, porque as interações eletromagnéticas se propagam 
no espaço com uma velocidade finita. Para remover essa dificuldade da ação à 
distância, será introduzido nesta unidade o conceito de campo elétric. Assim, a 
interação entre as cargas acontece através da interação com o campo criado pelas 
outras cargas, e não diretamente pelas força das cargas entre si. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
AULA 3: CAMPO ELÉTRICO 
 
OBJETIVOS 
• DEFINIR O VETOR CAMPO ELÉTRICO E ESTABELECER SUAS PROPRIEDADES 
• CALCULAR O CAMPO ELÉTRICO PARA UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS 
PUNTIFORMES E PARA UM DIPOLO EÉTRICO 
• UTILIZAR OS CONCEITOS DE LINHA DE FORÇA 
 
 
 3.1 DEFINIÇÃO E DISCUSSÃO FÍSICA DO CAMPO ELETROSTÁTICO 
 
As interações eletromagnéticas se propagam no espaço com uma velocidade 
finita. Isto significa que, quando uma carga elétrica, como por exemplo a da Figura 
3.1, se desloca no espaço, a força elétrica que ela exerce sobre outra carga B varia, 
mas não instantaneamente como requer a lei de Coulomb, ou como estabalece a lei 
de ação e reação na Mecânica Newtoniana. O processo de transmissão da 
informação (no caso o deslocamento da carga A) requer um certo intervalo de 
tempo, igual a cdt /=∆ para se propagar, em que d é a distância entre as cargas 
A e B e c é a velocidade da luz. 
 
Figura 3.1: Posição relativa de A e B em diferentes instantes. 
 
Na eletrostática, a posição relativa, e consequentemente a distância entre as 
cargas, é sempre constante; por isso, é razoável supor uma hipótese de ação 
instantânea entre essas cargas em repouso. Mas, no caso de cargas em 
movimento, temos que achar uma forma de resolver o problema da ação a 
distância. 
 
Se a força elétrica deixa de ser uma ação direta entre as cargas, torna-se 
necessária a existência de um agente físico responsável pela transmissão da 
informação (isto é, da força) entre uma carga e outra (no caso, de A para B). Esse 
57 
 
agente físico, com existência independente da presença de outra carga com a qual 
a carga original vai interagir, é o campo elétrico. 
 
Com a introdução do conceito de campo elétrico, podemos visualizar a 
interação entre as cargas A e B de uma maneira diferente da força de Coulomb, 
que é o resultado da interação direta entre cargas. Dizemos, então, que uma carga 
ou uma distribuição de cargas cria um campo elétrico nos pontos do espaço em 
torno dela e que este campo elétrico é responsável pelo aparecimento da força 
elétrica que atua sobre uma carga elétrica de prova colocada em qualquer desses 
pontos. 
 
Para verificar se existe um campo elétrico em um ponto P do espaço, 
utilizamos uma carga de prova positiva 0q , colocada nesse ponto; se houver um 
campo elétrico nele, a carga de prova vai reagir como se estivesse sob a ação de 
uma força de origem elétrica. A carga de prova (sempre positiva) deve ser 
suficientemente pequena para não alterar o campo neste ponto. 
 
A grandeza que mede o campo elétrico em um ponto P do espaço é o vetor 
campo elétrico ����, definido da seguinte forma (Figura 3.2): 
 
 
0
=
q
F
E PP
r
r
 (3.1) 
 
 
Figura 3.2: Campo elétrico em um ponto P, gerado por uma carga q. 
 
 
onde 0q é uma carga positiva colocada em P. A direção do vetor é a linha que une o 
ponto P à carga que gera o campo e o sentido é o mesmo que o da força elétrica, 
PF
r
, que atua sobre a carga 0q , e o sentido, o da força PF
r
. Note que o campo 
elétrico em um ponto P do espaço é a força por unidade de carga que atua neste 
ponto. Ele depende, portanto do meio em que as cargas que geram o campo estão 
58 
 
colocadas. 
 
A unidade de campo elétrico é obtida das unidades de força e de carga 
elétrica. No SI, ela é o Newton por Coulomb (N/C). 
 
O campo elétrico é uma grandeza vetorial, que depende do ponto no 
espaço onde se encontra. Na Física existem outros tipos de campos, como, por 
exemplo, o campo de pressão dentro de uma flauta que está sendo tocada. Uma 
diferença importante é que o campo de pressão ),,,( tzyxp , embora também 
dependa do ponto no espaço e do tempo, é um campo escalar, isto é, à ele não 
estão associados direção e sentido naquele ponto, como no caso do campo elétrico. 
 
EXEMPLO 3.1 
Calcular o campo elétrico gerado por uma carga positiva Q em um ponto P situado à 
distância r dela. 
Solução: Como a força elétrica exercida por uma carga Q sobre uma carga de prova 
positiva 0q , situada no ponto P, à distância r de Q, é: 
 
 
P
P
P r
r
qQ
F ˆ
4
1
= 2
0
0εpi
r
 
Da equação (3.1), temos, no ponto P da figura 3.2: 
 
 P
P
P
P
P
P r
r
Q
r
qr
qQ
q
F
E ˆ
4
1
=ˆ
1
.
4
1
== 2
00
2
0
00 εpiεpi
r
r
 
 
Note que a equação acima nos dá o módulo do vetor. A direção é a da reta que une P a 
Q .Como Q é positiva (e 0q , por definição é positiva), o campo tem sentido de Q 
para P. 
 
ATIVIDADE 3.1 
Qual é a expressão do vetor campo elétrico gerado por uma carga elétrica negativa 
no ponto P do Exemplo 3.1? 
 
59 
 
3.2 Distribuição de cargas elétricas 
 
Consideremos agora uma distribuição de cargas puntiformes como na figura 
3.3: 
 
Figura 3.3: Distribuição de cargas puntiformes. 
 
Devido ao Princípio da Superposição o campo elétrico sobre a carga de prova 
0q no ponto P é dado pela soma dos campos elétricos das cargas individuais, como 
se as outras não existissem: 
 
 ||)(4
1
ˆ)(4
1
= 2
1=0
2
1=0 ip
ip
ip
i
n
i
i
ip
i
n
i rr
rr
rr
q
r
rr
q
E rr
rr
r
−
−
−
=
−
∑∑
εpiεpi
 (3.2) 
 
onde irˆ é o vetor unitário da direção que une as cargas 0q e iq , com 
sentido da carga que gera o campo para a carga de prova, e é dado por: 
 
 ||=ˆ ip
ip
i
rr
rr
r rr
rr
−
−
 (3.3) 
 
Um erro muito comum ao resolver problemas envolvendo distribuições de 
carga é usar Pr
r
 (ou ir
r
) no lugar de ip rr
rr
− . A lei de Coulomb nos diz que a 
distância que deve ser colocada nesse denominador é a distância entre as duas 
cargas cuja interação está sendo considerada. E essa distância não é Pr
r
 ou ir
r
 mas 
a diferença desses vetores. Por isso, em todo problema de eletrostática é muito 
importante escolher um sistema de referência arbitrário e definir todas as 
60 
 
distâncias envolvidas no problema de forma consistente com essa escolha. 
 
Preste muita atenção na definição do vetor que localiza o ponto P (de 
observação, onde colocaremos a carga de prova), no ponto referente à carga que 
gera esse ir
r
 e na distância entre as cargas, que você vai usar na lei de Coulomb. 
Isto também vai ser igualmente importante quando estivermos calculando campos 
de distribuições contínuas de carga.EXEMPLO 3.2 
Dadas duas cargas 6102,0= −×Q C e 6101,0= −×q C, separadas pela distância 
1,0=L m. Determine o campo elétrico em um ponto P situado a uma distância 
0,50=x m de Q . 
 
Figura 3.4: Configuração de cargas para o exercício. 
 
SOLUÇÃO: Consideremos um eixo de coordenadas ao longo da linha Qq , com 
origem na carga Q e dirigido para a carga q . Seja iˆ o unitário do eixo (dirigido 
portanto para a direita na figura 3.4). Os vetores-posição das cargas Q e q, e do 
ponto P são, respectivamente: 
 ixrP ˆ=
r
 irQ ˆ0=
r
 iLrq ˆ=
r
 
Então: 
 ixrr QP ˆ=
rr
− e iLxrr qP ˆ)(= −−
rr
 
 
Note que, como Lx < , o vetor qP rr
rr
− é negativo e o seu unitário vale: 
 ii
Lx
Lx
rr
rr
ip
ip
ˆˆ|||| −=−
−
=
−
−
rr
rr
 
Temos, para os campos elétricos gerados por cada uma das cargas: 
 i
Lx
qEei
x
QE qQ ˆ)(4
1
=ˆ
4
1
= 2
0
2
0 −
−
εpiεpi
rr
 
61 
 
em que 50,0=x m é a distância de P à carga Q . 
Como as cargas são positivas, elas repelirão uma carga de prova. Então, o 
campo gerado pela carga Q está dirigido para a direita na figura 3.4, enquanto que 
o gerado pela carga q , está dirigido para a esquerda. Assim, temos, para o módulo 
do campo resultante em P: 
 
 i
Lx
q
x
QE ˆ)(4
1
4
1
= 2
0
2
0






−
−
εpiεpi
r
 
 
em que os termos entre colchete correspondem ao módulo do campo elétrico. 
Podemos obter uma outra solução com o desenho dos vetores campo elétrico e do 
eixo de coordenadas. O campo da carga Q está dirigido no mesmo sentido que o 
unitário i do eixo, enquanto que o campo da carga q, tem o sentido oposto, de 
modo que: 
 
 





−
−−






−
− 22
22
0
22
0 )(
)(
4
1
=)(4
1
=
Lxx
xqxLQ
Lx
q
x
QE
εpiεpi
 
 
Desenvolvendo o colchete, obtemos: 
 





−
+−−
22
22
0 )(
2)(
4
1
=
Lxx
LQxLQxqQE
εpi
 
Colocando os valores numéricos vem: ./103,6= 4 CNE × 
 
ATIVIDADE 3.2 
Suponha agora que a carga q no exemplo 3.2 seja negativa. Qual a intensidade do 
campo no ponto P? 
 
ATIVIDADE 3.3 
No Exemplo 3.2, calcule o ponto em que o campo elétrico é nulo. 
 
3.3 O DIPOLO ELÉTRICO 
 
Um dipolo elétrico é constituido por duas cargas elétricas iguais e de sinais 
62 
 
contrários, separadas por uma distância pequena em relação às outras distâncias 
relevantes ao problema. 
Determinemos uma expressão para a intensidade do campo elétrico no 
plano bissetor perpendicular de um dipolo (Figura 3.5). Para isso, vamos começar a 
calcular o vetor E
r
 em um ponto P neste plano bissetor. Antes de mais nada, 
conforme discutimos, vamos escolher um sistema de referência, localizar 
vetorialmente as cargas que geram o campo, localizar o ponto de observação e a 
distância que deve ser usada na lei de Coulomb, para cada carga. 
 
 
 Figura 3.5: O dipolo elétrico e seu campo elétrico no ponto P. 
 
 É muito importante desenhar os vetores campo elétrico no ponto e verificar 
(como é o caso aquí) se existe alguma simetria que possa facilitar o cálculo. No 
caso do dipolo elétrico, é fácil perceber que não haverá componente de campo 
resultante no eixo y, apenas na direção z , pois os módulos do campo gerado pela 
carga positiva ( +E
r
 ) e pela carga negativa (
−
E
r
 ) são idênticos e suas projeções 
sobre o eixo y são iguais e de sentidos opostos (o eixo x é bissetriz do eixo do 
dipolo elétrico). Vamos escrevê-los: 
 
 +
+
+ r
r
qE ˆ
4
1
= 2
0εpi
r
 (3.4) 
e 
 
−
−
−
r
r
qE ˆ
4
1
= 2
0εpi
r
 (3.5) 
 Em termos dos dados do problema, temos que: 
 22= ayrr P +≡ −+ (3.6) 
63 
 
 Vetorialmente, podemos escrever que: 
 kajyr P ˆˆ= −+ 
 ,ˆˆ= kajyr P +−
r
 
 
22
ˆˆ
==ˆ
ay
kajy
r
r
r
P
P
+
−
+
+
+
r
 (3.7) 
e 
 
22
ˆˆ
==ˆ
ay
kajy
r
r
r
P
P
+
+
−
−
−
r
 (3.8) 
 
 Substituindo essas expressões na expressão do campo resultante, obtemos: 
 k
ay
aqEEE
P
ˆ
)(
2
4
1
== 3/222
0 +
−+
−+ εpi
rrr
 
(3.9) 
 De fato, só haverá componente do campo na direção kˆ , como havíamos 
discutido. 
 
 Note que esta é a intensidade do campo elétrico no ponto P à distância Py 
do eixo do dipolo elétrico. O sinal negativo indica que o campo gerado pelas cargas 
tem sentido oposto ao eixo Oz. 
 
Dado o módulo das cargas q e a distância entre elas, a2 , o que significa 
dizer "distâncias do ponto P ao dipolo ( Py ) muito maiores do que a separação entre 
as duas cargas )(2a "? 
 
Esse tipo de limite é muito comum e importante em Física. No caso, isso 
pode ser dito matematicamente em termos de uma desigualdade: 
 1<<
Py
a
 (3.10) 
 Neste caso, a expressão anterior pode ser escrita como: 
 
 k
y
ay
qa
E
P
P
ˆ
1
12
4
1
= 3/2
2
230






+
−
εpi
r
 (3.11) 
 
64 
 
ou, com a condição acima temos que: 
 
 k
y
qaE
P
ˆ
2
4
1
3
0εpi
−≅
r
 
(3.12) 
 
 Isto é, o campo do dipólo elétrico é inversamente proporcional ao cubo da 
distância Py . Observe que esse mesmo resultado poderia ser obtido através da 
expansão binomial para ( ) nx −±1 válida para 12 <<x (veja o apêndice D). 
 
O termo aqp 2= é denominado momento do dipólo elétrico. Essa 
grandeza define o vetor momento do dipólo elétrico pr , que se situa na direção 
que as cargas e tem o sentido da carga negativa para a carga positiva. Em 
termos de p , podemos escrever que: 
 
 k
y
pE
P
ˆ
4
1
= 3
0εpi
−
r
 (3.13) 
 
 EXEMPLO 3.3 
O momento de dipólo elétrico de uma molécula de água é 30106,2= −×p C.m. 
Calcule o campo elétrico para um ponto Py localizado à 1,0m do dipólo. 
SOLUÇÃO: Utilizando a equação 3.13 obtém-se que 
 ( ) CNm
mC
y
pE
P
/106,5
0,1
.102,6
4
1
.
4
1
=
20
3
30
0
3
0
−
−
×=
×
−=−
εpiεpi
. 
 
 ATIVIDADE 3.4 
Verifique se o ponto myP 0,1= pode realmente ser considerado distante do dipólo? 
 
3.4 LINHAS DE FORÇA 
 
O conceito de linhas de força foi introduzido por Michael Faraday (1791 – 
65 
 
1867) como uma maneira de visualizar o campo elétrico. 
Como sabemos, uma carga puntual Q que, cria um campo radial no espaço 
à sua volta. Em cada ponto do espaço temos um vetor campo elétrico E
r, cujo 
módulo diminui à medida que nos afastamos da carga, conforme mostra a figura 
3.6. 
 
Figura 3.6: Linhas de força do campo elétrico de uma carga puntual positiva (lado 
esquerdo) e negativa (lado direito). 
 
 Se a carga que cria o campo elétrico for positiva, o vetor campo 
elétrico estará dirigido para fora, como pode se ver no lado esquerdo da 
figura 3.6. Se a carga que cria o campo elétrico for negativa, o vetor campo 
elétrico estará dirigido para a carga, como pode se ver no lado direito da 
figura 3.6. 
 
As linhas de força são linhas contínuas que unem os pontos aos quais o 
campo elétrico é tangente. É errado pensar que essas linhas possuem existência 
real, algo como fios elásticos ou cordas. Elas apenas ajudam a representar de uma 
forma diagramática a distribuição do campo no espaço e não têm mais realidade do 
que os meridianos e os paralelos do globo terrestre. 
No entanto, pode-se fazer com que essas linhas tornem-se "visíveis". Se 
fizermos uma solução de cristais isolantes num líquido viscoso e mergulharmos 
nesse líquido vários corpos carregados, os cristais localizados nas proximidades 
desses corpos irão formar cadeias ao longo das linhas de força. A figura 3.7 nos 
mostra as linhas de força geradas por duas cargas puntiformes, na região do 
espaço próxima a elas. 
66 
 
 
Figura 3.7: Linhas de força de um campo elétrico gerado por cargas de mesmo 
sinal (positivas; lado esquerdo) e cargas de sinais contrários (lado direito). 
Além de nos fornecer a direção e o sentido do campo elétrico, a densidade 
de linhas de força, isto é, o número de linhas de força por unidade de área 
dão informação sobre a intensidade do campo elétrico sobre uma certa 
superfície. No caso da carga puntiforme, como vemos na figura 3.6, se tomarmos 
uma superfície esférica de área 24 Rpi , a densidade de linhas sobre essa superfície 
será 2/4 RN pi , onde N é o número de linhas de força que atravessa a superfície. 
 
 ATIVIDADE 3.5 
Desenhe o vetor campo elétrico para vários pontos da figura 3.7. Existe algum 
lugar que o campo seja nulo? Qual seria a mudança nas linhas de força caso as 
cargas no lado esquerdo da figura 3.7 fossem negativas? 
 
 
3.5 CARGAS ELÉTRICAS EM UM CAMPO ELÉTRICO UNIFORME 
 
Um campo elétrico é uniforme em uma região do espaço quando em 
qualquer ponto dessa região o vetor campo elétrico é constante (em módulo, 
direção e sentido). Nesse caso, as linhas de força do campo na região considerada 
são linhas retas e paralelas entre si. 
 
Quando uma carga elétrica Q entra em um campo elétrico uniforme, ela 
sofre ação de uma força elétrica constante, cujo módulo é dado pela lei de 
Coulomb. Portanto, seu movimento é um movimento acelerado, com um vetor 
aceleração dado pela segunda lei de Newton: 
 
67 
 
 
m
EQ
m
F
a
rr
r
== (3.14) 
 
Note que a aceleração da carga tem a mesma direção do campo e, que, 
portanto, é constante em módulo e direção. O sentido da aceleração depende da 
carga ser positiva ou negativa. No primeiro caso, a aceleração tem o mesmo 
sentido que o campo elétrico; no segundo, tem o sentido contrário. 
 
Uma maneira de produzirmos um campo elétrico uniforme consiste em 
colocarmos duas placas planas e paralelas, carregadas com cargas elétricas de 
sinais opostos, uma próxima da outra, mas separadas de uma distância menor que 
as dimensões das placas. Por simetria, podemos ver que, na região entre as placas, 
o campo estará sempre dirigido da placa positiva para a negativa. Observe o 
Exemplo 3.4. 
 
EXEMPLO 3.4 
Uma carga elétrica positiva Q=2,0μC e massa de 0,50g é atirada horizontalmente 
em uma região entre duas placas planas e paralelas horizontais, com a placa 
positiva abaixo da negativa (Figura 3.8). A separação das placas vale d = 1,0 cm e 
a carga entra na região das placas a uma altura de d/2 da placa inferior. Se a 
velocidade da carga for na horizontal e de módulo 1,40 m/s e o campo elétrico 
entre as placas 2,40 x 10� N/C, qual a velocidade da carga elétrica quando ela se 
chocar com a placa negativa? 
 
 
 Figura 3.8: Carga lançada em um campo elétrico uniforme. 
 
Solução: Seja um sistema de coordenadas com origem na posição em que a carga 
elétrica entra na região entre as placas, com eixo Oy vertical e com sentido para 
cima (da placa positiva para a negativa); e eixo Ox perpendicular a Oy como 
mostra a figura 3.8. O campo elétrico está dirigido de baixo para cima, de modo 
que o vetor campo elétrico é: 
 
68 
 
��� = 0 �̂ + 2,40 � 10� �̂. 
 
Então a aceleração da carga está dirigida para cima (a carga é positiva) e vale: 
 
 .ˆ0,96ˆ
50,0
/1040,2100,2
ˆ= 2
46
j
s
mj
kg
CNCj
m
QE
a =
×××
=
−
r
 
 
O movimento da carga elétrica é idêntico ao de um projétil. O vetor velocidade 
inicial da carga é: 
 
.
ˆ40,1ˆ)(ˆ)(= 000 i
s
mjvivv yx =+
r
 
Como a aceleração é vertical, o movimento da carga ao longo de Ox é retilíneo e 
uniforme; ao longo de Oy ele é uniformemente acelerado no sentido positivo de 
Oy. Então, para um dado instante t depois da entrada no campo elétrico, temos: 
 
=xv xv )( 0 = 1,40 m/s == atvy
m
QE
= 96,0 t m/s 
Integrando cada equação de 0 até t pode se obter x(t) e y(t). Ou seja, 
 
ttvx x 40,1)( 0 == m 22 0,962
1
2
1
taty ×==
 m 
Para determinar a velocidade quando a carga se choca contra a placa negativa, 
temos que calcular o intervalo de tempo entre o instante em que a carga entra no 
campo (t=0) e o instante em que ela se choca (t). Para isso, basta observar que, 
quando a carga se choca com a placa negativa, ela percorreu uma distância 
vertical y=d/2. Levando esse valor na expressão de y(t) e resolvendo a equação 
para t, obtemos: 
 
 
./2/2/2 adadayt === 
Com este valor de y na expressão da componente yv da velocidade, obtemos: 
 
 
21050,00,96/ −××=== adadavy = 0,69 m/s. 
69 
 
O vetor velocidade da carga ao se chocar com a placa negativa é: 
 
 
)ˆ69,0ˆ40,1(ˆˆ jijvivv yx +=+=
r
m/s. 
O seu módulo é: 
 
56,1][ 2/122 =+= yx vvv m/s. 
O ângulo que a velocidade faz com o eixo Ox é: 
 
=v ==
x
y
v
v
tgθ 0,493, 
o que dá θ=26°,2. 
 
ATIVIDADE 3.6 
No Exemplo 3.4, qual a distância horizontal percorrida pela carga até se chocar 
com a placa? 
 
ATIVIDADE 3.7 
O Exemplo 3.4 sugere um método para separar cargas positivas e negativas de um 
feixe de cargas que contém uma mistura delas. Suponha que o feixe seja 
constituído por prótons e elétrons. Se as partículas tiverem a mesma velocidade 
inicial ao entrar na região entre as placas, onde o campo elétrico é uniforme, qual 
deles percorrerá maior distância dentro deste campo até se chocar com a placa? 
 
 
 
 
 
 
 
 
70 
 
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS 
ATIVIDADE 3.1 
 
O módulo do campo é calculado exatamente da mesma forma que no Exemplo 3.1, 
pois a carga Q , embora seja negativa agora, entra na fórmula em módulo. O que 
se modifica agora é que a força F é atrativa e, portanto, como o sentido do campo é 
o mesmo da força, o vetor campo elétrico passa a ter sentido de P para a carga Q . 
Então:.ˆ
4
1
= 2
0
r
r
QE
εpi
−
r
 
ATIVIDADE 3.2: 
 
Nesse caso, temos: 
 ,)(4
1
4
1
= 2
0
2
0 xL
q
x
QE
−
+
εpiεpi
 
pois a carga q irá atrair a carga de prova 0q colocada em P. Então: 
 .)(
)(
4
1
=)(4
1
= 22
22
0
22
0






−
+−






−
+
xLx
xqxLQ
xL
q
x
QE
εpiεpi
 
Desenvolvendo o colchete, obtemos: 
 .)(
2)(
4
1
= 22
22
0






−
+−+
xLx
LQxLQxqQE
εpi
 
Com os valores numéricos, temos: 
 ./104,3= 5 CNE × 
 
ATIVIDADE 3.3 
Como as cargas têm o mesmo sinal, o ponto em que a intensidade do campo 
elétrico é nula deve estar situado entre as cargas. Seja z a distância deste ponto à 
carga Q . Então, como no Exemplo 3.2: 
 ,0=)(4
1
4
1
= 2
0
2
0 xL
q
x
QE
−
−
εpiεpi
 
ou ainda: 
 .0=)(
2)(
4
1
= 22
22
0






−
+−+
xLx
LQxLQxqQE
εpi
 
Para que 0=E , basta que o numerador seja nulo. Assim: 
71 
 
 0=2)( 22 LQxLQxqQ +−+ 
que, desenvolvido e com os valores numéricos, dá: 
 0=2,04,02 +− zz 
O determinante dessa equação de segundo grau é 8=816= −∆ e as soluções são: 
 .0,59=
2
84
=3,4=
2
84
= 21
−+
zez 
Como z é a distância à carga Q , sua unidade é metro. A primeira raiz da equação 
não satisfaz ao problema porque o ponto com esta coordenada não está entre Q e 
q . Logo, a solução procurada é 0,59=z m. 
 
ATIVIDADE 3.4 
Para verificar se o ponto myP 0,1= pode realmente ser considerado distante do 
dipólo temos de verificar se a razão .1<<
Py
a
 Como a molécula de água tem 10 
elétrons (oito do oxigênio e dois dos hidrogênios) ela terá 10 cargas positivas. Se o 
momento de dipólo elétrico é dado por aqp 2= temos que: 
1<<10
0,1
)1060,110(2
.102,6
2 2019
30
−
−
−
≅
××
×
==
m
C
mC
y
q
p
y
a
PP
, 
 
validando o uso da equação 3.13. Como pode se ver, 1,0m é realmente muito 
distante do dipólo elétrico. 
 
ATIVIDADE 3.5 
 
O vetor campo elétrico deve estar sempre tangente à linha de força no ponto em 
questão, no mesmo sentido apontado pela linha de força. Nas regiões onde a 
densidade das linhas de força diminui, o tamanho do vetor campo elétrico também 
deverá diminuir. Por exemplo, à medida que se afasta das cargas a densidade das 
linhas de força diminui indicando que o valor do campo deve diminuir (e portanto o 
tamanho do vetor). 
 
O campo elétrico será nulo no ponto médio entre as cargas positivas no lado 
esquerdo da figura 3.7 (veja a densidade das linhas de força). Observe, no entanto, 
que à medida que se afasta das cargas o campo elétrico fica grande e direcionado 
radialmente para fora (maior adensamento das linhas de força). 
72 
 
 
No caso do dipolo no lado direito da figura 3.7 não há ponto onde o campo seja 
nulo. Observe que à medida que se afasta das cargas o campo do dipólo é pequeno 
e direcionado no sentido da carga positiva para a negativa (novamente observe o 
adensamento das linhas de força entre as cargas e sua diminuição longe delas). 
 
Se as cargas fossem negativas no lado esquerdo da figura 3.7 o sentido das setas 
ficaria invertido. 
 
ATIVIDADE 3.6 
Conhecido o intervalo de tempo t que a carga Q levou para se chocar contra a placa 
negativa, a distância horizontal percorrida por ela, do instante inicial t=0 até o 
instante t é: 
 
2
00 1001,10,96/0050,040,1/)()( −×=×=== advtvx xx m. 
 
ATIVIDADE 3.7 
 
A aceleração da carga é a = (QE)/m; portanto, diretamente proporcional ao valor 
da carga e inversamente proporcional à sua massa. As cargas do próton e do 
elétron são iguais, mas a massa do próton é cerca de 1800 vezes maior que a do 
elétron. Portanto, a aceleração do próton é menor que a do elétron e ele deve levar 
mais tempo para chegar à placa que o elétron. Como o movimento horizontal das 
duas cargas é o mesmo (retilíneo e uniforme), o próton deve se chocar contra a 
placa negativa mais longe que o elétron. 
 
PENSE E RESPONDA 
 
PR4.1) A Lua poderia ser usada como uma carga de prova para testar o campo 
gravitacional da Terra? Se não, por quê? 
 
PR4.2) As linhas de campo elétrico podem se cruzar? Explique! 
 
PR4.3) Duas cargas q1 e q2 de mesmo módulo estão separadas por uma distância 
de 10m. O campo elétrico ao longo da linha que as une é nulo em um certo ponto 
entre elas. O que você pode dizer sobre essas cargas? É possível ter campo elétrico 
nulo para algum outro ponto, exceto é claro, no infinito. 
 
PR4.3) Do que se trata o “Experimento da gota de óleo de Milikan”. Busque 
73 
 
informações na literatura e compartilhe com seus colegas no fórum. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
E3.1) Duas cargas, Q e 2Q são separadas por uma distância R. Qual é o campo 
elétrico gerado no ponto em que se localiza cada carga? 
 
E3.2) Considerando o raio orbital do elétron em torno do núcleo de Hidrogênio 
como 91029,5 −×=r cm qual seria o momento de dipolo do átomo de Hidrogênio se 
o elétron ficasse parado na sua órbita? 
 
E3.3) No Exemplo 3.3, se o campo elétrico for dado por: 
jiE ˆ1040,2ˆ1025,3 44 ×+×=r . Qual será a velocidade da carga elétrica ao se chocar 
com a placa?