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ANDRE, ANDRE, BRANQUINHO
Nome do professor
Nome da matéria
13 de Junho de 2022
Relatório 5
5.1.1
Objetivos
Nesta experiência serão estudadas a energia cinética, potencial elástica e potencial
gravitacional de um sistema massa-mola oscilando na vertical. Serão ignoradas as dissipações
causadas pela resistência do ar, e deformações da mola entre seu comprimento inicial e
comprimento final.
5.1.2
Introdução
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A energia mecânica de uma partícula de massa m submetida a forças conservativas pode
ser descrita como a soma de duas contribuições: energia cinética e energia potencial. Este último
está relacionado ao trabalho realizado no sistema
Para um sistema massa-mola suspenso verticalmente, existem duas forças conservativas
em ação: a gravidade e a força elástica produzida pela mola. Para o trabalho realizado por cada uma
dessas forças, o termo de energia potencial da partícula pode ser ligado. A energia potencial
gravitacional pode ser escrita como Eg = mgh, onde h é a posição vertical da partícula medida a
partir de uma altura de referência escolhida arbitrariamente. A energia potencial elástica associada
à compressão ou expansão de uma mola é dada por Ee = 1/2k(L - Lo)², onde k é a constante elástica
da mola e L - Lo é seu alongamento em relação ao comprimento descarregado Lo . Portanto, a
energia mecânica total da partícula em qualquer local é dada por:
E = Ec + Eg + Ee = 1/2mv² + mgh + 1/2 k(L - Lo)²
Para calcular a energia, é necessário tomar um referencial e determinar os valores da
distância h e L - Lo e velocidade v. Na prática, usaremos corpos rígidos em vez de massas pontuais.
A altura e a velocidade v que devem ser utilizadas correspondem ao centro de massa do corpo.
Energia mecânica durante o movimento
Se uma massa suspensa se afasta de sua posição de equilíbrio, por exemplo, é puxada para
baixo para esticar uma mola e depois solta do repouso, o sistema vibrará verticalmente.
Nesta prática, a energia mecânica total do sistema massa-mola será medida em dois locais
diferentes durante a oscilação. A energia total do sistema nesta configuração é:
Ea = mgha + 1/2k(La - Lo)².
Se a massa for liberada, a força da mola causará aceleração vertical. Em algum instante b, a
energia total será:
Eb = 1/2mv² + mghb + 1/2k(Lb - Lo)², onde v é a velocidade nesse instante.
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A energia mecânica total deve ser conservada se nenhuma outra força estiver atuando no
sistema. A energia em ambas as configurações pode ser determinada a partir de medidas de
alongamento da mola, as coordenadas e velocidade do centro de massa do corpo e o valor da
constante elástica k.
Dispersão de erros
A existência de erros aleatórios pode tornar os resultados numéricos xi obtidos da medição
da grandeza física X irreprodutíveis quando o experimento é repetido. Desta forma, uma série de N
medições pode mostrar a dispersão dos valores. Quando a dispersão é aleatória, valores acima e
abaixo do valor verdadeiro ocorrem com igual probabilidade. Portanto, ao calcular a média
aritmética de xi, dada pela equação X = SOMATORIO(xi)/N//EQ (1) PG 24, os erros aleatórios
tendem a se anular. Para medições suficientes, podemos esperar que x se aproxime do valor
verdadeiro e os resultados do experimento se tornem cada vez mais precisos. O desvio médio é
simplesmente a média aritmética do desvio de cada dado experimental da média, no módulo, como
segue: SOMATÓRIO |xi - x|/ N// EQ (2) PG 25 .O desvio padrão tem um significado semelhante,
usando uma função quadrada (também sempre positiva) em vez da magnitude do desvio:
sqrt(SOMATORIO(x1 - x2)²/N - 1)//EQ (3) PG 25 a raiz quadrada garante que sigma tenha as
mesmas unidades da grandeza X.
Assim o resultadodo experimento com sua incerteza, deve ser representado da seguinte
forma
x +- sigma// (4) PG 25
ou, de forma menos rigorosa:
x +- delta// (5) PG 25
Portanto, é importante entender que o resultado de um experimento não é apenas um
número x (o valor mais provável), mas um intervalo de confiança que dá uma ideia da magnitude do
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erro aleatório que afeta o experimento. Os experimentos mais precisos são aqueles com o menor
desvio padrão. Observe que um experimento preciso não é necessariamente um experimento exato.
Devemos lembrar que a precisão das medições é limitada pela precisão do próprio
instrumento. Portanto, quando o valor calculado de sigma ou delta for menor que a precisão do
instrumento D, a incerteza será dada pelo próprio valor de D.
Quando uma grandeza z determinada indiretamente é função de vários valores medidos,
suas respectivas incertezas, de forma direta, sua incerteza será determinada pela incerteza da
grandeza medida. Existe uma maneira sistemática de calcular a propagação da incerteza em
qualquer operação ou função matemática básica. Supondo uma grandeza física, medida
indiretamente está determinada para uma função z = f(x,y,...), das várias grandezas medidas
diretamente com suas respectivas incertezas, a incerteza (delta)z pode ser calculada utilizando
ferramentas do cálculo diferencial e integral, como mostrado a seguir
(TABELA DA PAG 28)
Nos cálculos de propagação de erros, constantes físicas bem conhecidas ou números
irracionais são considerados sem erro. Nesse caso, o número de algarismos significativos utilizados
deve ser suficiente para que o efeito do truncamento seja desprezível diante das incertezas
experimentais.
Quando por meio de um cálculo, obtemos valores de x, sigma ou delta são originados
números com vários dígitos. Tendo em conta que são resultados experimentais, medidos com
instrumentos de precisão D e afetados por erros aleatórios, é lógico pensar que muitas casas
decimais obtidas são irrelevantes. Sabemos que a incerteza é o tamanho de um intervalo
probabilístico. Portanto a extensão desse intervalo fica essencialmente definida quando
especificamos a primeira casa significativa. O valor x já está associado a um erro, este então pode
ser truncado e arredondado na mesma ordem de grandeza de seu erro.
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Suponha que você queira comparar dois resultados incertos, x1 +- sigma e x2 +- sigma, com
relação a diferentes medidas da mesma quantidade física. Você pode comparar a diferença entre os
valores mais prováveis relacionados ao erro. Portanto, consideramos os resultados x1 e x2
equivalentes quando: |x1 - x2 < 2 (sigma1 + sigma2)|//EQ (9) PG 31
Essa relação mostra que a separação entre os valores é no máximo duas vezes maior que a
combinação de incertezas. Por outro lado, os resultados serão considerados desiguais nos
seguintes casos: |x1 - x2| > 3(sigma1 + sigma2)// EQ (10) PG 31.
Método dos mínimos quadrados
Um método analítico para encontrar a melhor linha representando N dados experimentais
(xi, yi), onde i = 1,2,...,N, independente dos critérios do observador. A ideia básica é definir o valor
ótimo com a menor distância vertical em relação aos dados experimentais. Este método leva em
consideração a soma dos quadrados das distâncias
S = SOMATORIO(Yci - Yi)² // EQ (7) PG 49
onde yci é o valor calculado para o iésimo datum a partir da equação da melhor reta yci =
axi + b. O processo de minimização de S dá as seguinte expressões:
coeficiente angular: a = SOMATORIO(Xi - x^_)Yi/ SOM(Xi - X^_)²//EQ (8) PG 49
coeficiente linear: b = Y^_ - (aX^_)// EQ (9) PG 49
O método também dá a incerteza destes parâmetros delta(a) e delta(b), que estão
diretamente relacionados com a dispersão média delta(y) dos dados experimentais respeitados
diretamente.
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dispersão média do ajuste: delta(y) = sqrt(SOM(aXi + b - yi)² / N-2)// EQ (10) PG 50
incerteza coeficiente angular: delta(a) = delta(y) / sqrt(SOM(Xi - X^_)²) // PG 50
incerteza do coeficiente linear: delta(b) = sqrt(SOMXi² / N*SOM(Xi - X^_)²)*delta(y)// PG
50
Tabela Pag(52) ( copiar o título até equações)
Desenhar a tabela
Quando os dados são afetados apenas por erro aleatório, isso significa que sua dispersão,
em relação à linha de melhor ajuste, também deve ser aleatória.
Figura (pag51) - Utilizandoo método dos mínimos quadrados buscamos encontrar a melhor
reta para a relação linear entre x e y.
5.2
Materiais utilizados para calcular os parâmetros da mola:
01 Balança Digital;
01 Mola;
Pesos de Massas diferentes;
Trena;
Materiais utilizados na medida da energia mecânica:
01 Balança Digital;
01 Mola;
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Pesos de Massas diferentes;
Trena;
Massa com abas;
Detector de luz ligado a um cronômetro(medir o tempo que a aba da massa obstruí a
passagem de luz);
Laser(para produzir o feixe de luz);
Fita Crepe(anotar a posição que iremos soltar a massa com abas para medir a velocidade);
Gancho.
5.3.1
Metodologia
Para calcular a energia potencial elástica em um sistema massa-mola, é necessário saber
os valores da constante elástica k da mola e seu comprimento inicial Lo. Esses valores podem ser
determinados empiricamente, medindo o comprimento da mola L para diferentes valores de
pesos suspensos em sua extremidade livre. A relação deve ser do tipo linear:
P = k(L - Lo)
Do gráfico de P por L é possível determinar os parâmetros desejados: a inclinação da
reta é o coeficiente angular k, e o ponto onde a reta corta o eixo x em y=0, corresponde a Lo.
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Desse modo, para efetuar o cálculo do coeficiente angular e descobrir onde o eixo x é cortado em
y=0 ,utilizaremos o método dos mínimos quadrados.
Além disso, para a medida da energia mecânica, será necessário medir a velocidade do
corpo (v tracinho em cima), para poder calcular a contribuição da energia cinética. O corpo
suspenso é um cilindro de comprimento D, com abas de borracha. A certa altura hb, em relação
ao solo, é posicionado um feixe laser, que incide sobre um sensor óptico acoplado a um
cronômetro digital. Quando o corpo interrompe o feixe laser, o cronômetro é ativado e mede a
duração t da interrupção. A velocidade média pode ser calculada como v = D/ t. Se D e t são
suficientemente curtos, pode-se dizer que a velocidade média é uma boa aproximação da
velocidade instantânea.
5.3.2
Parâmetros da mola:
Utilizando o esquema abaixo:
Figura(enumerar)copiar a explicação” Sistema massa-mola vertical…”)
Figura pag 102
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A princípio, colocamos um peso Pi, e medimos a distensão Li da mola com a trena, o
processo foi repetido 10, aumentamos o peso a cada medição. Os dados foram todos organizados
em uma tabela.
Utilizamos os valores anotados da tabela para fazer o gráfico de P(N) por L(m), e calcular
pelo método dos mínimos quadrados a melhor reta que passaria por esse gráfico.
Como sabemos que a força que age na mola é do tipo P = k(L - Lo), podemos dizer que:
o coeficiente angular da mola; e que o coeficiente linear b = Lo/k.
Conclusão
Resultados:
Prática dos parâmetros da mola
Tabela (numero da tabela)- Tabela para organização dos dados para os cálculos de
mínimos quadrados.
CÁLCULOS DOS PARÂMETROS DA MOLA.
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Portanto temos que:
Prática da medida da energia mecânica:
Tabela(numero da tabela)- Tabela do tempo de obstrução da passagem do feixe de luz.
Cálculos da prática medida da energia mecânica (Não esquecer das
contas que mandei por foto)
Portanto temos que a energia mecânica foi conservada em ambos os experimentos.
Discussões:
Prática dos Parâmetros da mola
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Após concluir o experimento foi possível determinar o comprimento natural da
mola Lo e a constante da força k, utilizando o método dos mínimos quadrados. Para encontrar a
incerteza das medidas, foi feita a propagação de erros.
Prática da medida da energia mecânica:
Após realizar os cálculos, e utilizar o método de comparação de grandezas físicas
com incertezas em ambos os experimentos, foi possível determinar que a Ea equivale a Eb nos
dois experimentos, portanto, a energia mecânica é conservada em ambos os casos.
Portanto, concluímos que os resultados não mudam, a energia mecânica em a e b
em dois pontos distintos, para um mesmo sistema, quando comparadas utilizando o mesmo
referencial são constantes.
Bibliografia
Halliday, D., Resnick, R., Walker, J.. Fundamentos de Física.Vol 1. LTC
Tipler, P. A., Mosca, G.. Física para cientistas e engenheiros. Vol 1 . LTC.
Young, H. D., Freedman, R. A..Sears and Zemanski Física I. 12. ed. São Paulo: Addison Wesley,
2008.
Helene, O.; Vanin, V.. Tratamento estatístico de dados em física experimental. São Paulo:
Editora Edgard Blucher, 1981
Vuolo, J. E..Fundamentos da Teoria dos Erros. 2 ed. São Paulo: Editora Edgard Blucher, 1993.