Apostila-Fundamentos-da-física

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CENTRO UNIVERSITÁRIO FAVENI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA FÍSICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GUARULHOS – SP 
 
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SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 3 
2 MEDIDAS ................................................................................................................ 4 
2.1 O que é física? ...................................................................................................... 4 
2.2 As grandezas físicas e suas unidades de medida ................................................ 4 
2.3 O processo de medição ........................................................................................ 9 
2.4 Medindo Grandezas ............................................................................................ 12 
2.5 Principais instrumentos de medição ................................................................... 13 
3 MOVIMENTO RETILÍNEO .................................................................................... 18 
3.1 Posição e Deslocamento .................................................................................... 19 
3.2 Média e Velocidade Escalar Média ..................................................................... 21 
3.3 Aceleração .......................................................................................................... 23 
3.4 Velocidade .......................................................................................................... 24 
3.5 Posição ............................................................................................................... 26 
3.6 Equação de Torricelli .......................................................................................... 27 
4 VETORES ............................................................................................................. 28 
4.1 Representação de um vetor ................................................................................ 29 
4.2 Operações envolvendo vetores .......................................................................... 32 
4.3 Multiplicação de vetores...................................................................................... 37 
4.4 Produto escalar ................................................................................................... 38 
4.5 Produto vetorial ................................................................................................... 40 
5 MOMENTO DE UMA FORÇA: ANÁLISE BIDIMENSIONAL E 
TRIDIMENSIONAL................ .................................................................................... 41 
5.1 Momento de uma força ....................................................................................... 41 
5.2 Princípio da transmissibilidade e forças equivalentes ......................................... 41 
 
2 
 
5.3 Momento de uma força em relação a um ponto .................................................. 43 
5.4 Momento de uma força em três dimensões ........................................................ 47 
5.5 Momento de binário ............................................................................................ 51 
5.6 Binários equivalentes .......................................................................................... 52 
5.7 Sistema de forças e momentos ........................................................................... 54 
6 FORÇA ................................................................................................................. 56 
6.1 Forças fundamentais .......................................................................................... 59 
6.2 Reconhecendo e representando forças .............................................................. 65 
7 TRABALHO E ENERGIA ...................................................................................... 67 
7.1 Potência .............................................................................................................. 69 
7.2 Teorema trabalho-energia cinética ..................................................................... 76 
7.3 Conservação da energia mecânica ..................................................................... 77 
8 CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA ....................................................... 79 
8.1 Energias cinética e potencial .............................................................................. 80 
9 MOMENTO ANGULAR E CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR ............. 89 
9.1 Momento angular de uma partícula .................................................................... 89 
9.2 A Segunda Lei de Newton para rotações............................................................ 91 
9.3 Momento angular de um corpo rígido girando em torno de um eixo ................... 92 
9.4 Conservação do momento angular ..................................................................... 95 
10 COLISÕES ELÁSTICAS ....................................................................................... 98 
10.1 O que são colisões elásticas? ........................................................................... 99 
10.2 Colisão entre dois corpos em movimento ........................................................ 101 
10.3 Colisões elásticas no cotidiano ........................................................................ 103 
11 ROTAÇÃO DE UM CORPO RÍGIDO EM TORNO DE UM EIXO FIXO .............. 105 
11.1 A velocidade no movimento de rotação ........................................................... 106 
11.2 Funções do movimento de rotação.................................................................. 109 
11.3 A energia cinética de rotação .......................................................................... 110 
3 
 
11.4 Casos particulares ........................................................................................... 113 
12 TORQUE ............................................................................................................. 116 
12.1 Definição de torque .......................................................................................... 116 
13 ROLAMENTO ..................................................................................................... 119 
13.1 Definição de rolamento .................................................................................... 120 
13.2 Casos particulares do rolamento ..................................................................... 122 
14 MOMENTO ANGULAR ....................................................................................... 124 
14.1 As características do momento angular ........................................................... 124 
14.2 As equações que definem o momento angular ............................................... 127 
14.3 Momento angular para um sistema de partículas discretas ............................. 130 
14.4 Momento angular de um corpo rígido .............................................................. 132 
15 MOMENTO LINEAR ........................................................................................... 135 
16 INÉRCIA ROTACIONAL ..................................................................................... 137 
16.1 O momento de inércia ..................................................................................... 137 
16.2 O momento de inércia para um corpo extenso ................................................ 141 
 
 
3 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Prezado aluno! 
 
O Grupo Educacional FAVENI, esclarece que o material virtual é semelhante 
ao da sala de aula presencial. Em uma sala de aula, é raro – quase improvável - um 
aluno se levantar, interromper a exposição, dirigir-se ao professor e fazer uma 
pergunta, para que seja esclarecida uma dúvida sobre o tema tratado. O comum é 
que esse aluno faça a pergunta em vozalta para todos ouvirem e todos ouvirão a 
resposta. No espaço virtual, é a mesma coisa. Não hesite em perguntar, as perguntas 
poderão ser direcionadas ao protocolo de atendimento que serão respondidas em 
tempo hábil. 
Os cursos à distância exigem do aluno tempo e organização. No caso da nossa 
disciplina é preciso ter um horário destinado à leitura do texto base e à execução das 
avaliações propostas. A vantagem é que poderá reservar o dia da semana e a hora 
que lhe convier para isso. 
A organização é o quesito indispensável, porque há uma sequência a ser 
seguida e prazos definidos para as atividades. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 MEDIDAS 
2.1 O que é física? 
A ciência e a engenharia se baseiam em medições e comparações. Assim, 
precisamos de regras para estabelecer de que forma as grandezas devem ser 
medidas e comparadas, e de experimentos para estabelecer as unidades para essas 
medições e comparações. Um dos propósitos da física (e também da engenharia) é 
projetar e executar esses experimentos. Assim, por exemplo, os físicos se empenham 
em desenvolver relógios extremamente precisos para que intervalos de tempo 
possam ser medidos e comparados com exatidão. O leitor pode estar se perguntando 
se essa exatidão é realmente necessária. Eis um exemplo de sua importância: se não 
houvesse relógios extremamente precisos, o Sistema de Posicionamento Global (GPS 
— Global Positioning System), usado atualmente no mundo inteiro em uma infinidade 
de aplicações, não seria possível. 
2.2 As grandezas físicas e suas unidades de medida 
Metrologia é a área do conhecimento que estuda a medição de variáveis e suas 
aplicações. Com o advento da Revolução Industrial e a interligação cada vez maior 
da economia e da indústria, fez-se necessária a criação de conceitos e definições 
padronizados para se garantir a intercambialidade, a padronização de unidades de 
medida e a realização correta das medições em qualquer lugar do planeta. O 
documento que reúne esses conceitos é denominado Vocabulário Internacional de 
Metrologia (VIM), o qual passa por atualizações periódicas e orienta laboratórios de 
metrologia em todo o mundo (FERNANDO et al., 2018; LINCK, 2017; LIRA, 2014). 
Segundo o VIM, alguns conceitos importantes relacionados com a medição e as 
grandezas físicas são definidos da seguinte forma: 
 
 Grandeza física: característica ou propriedade de um fenômeno físico, de uma 
substância ou de um corpo que pode ser verificada e expressa de forma 
quantitativa. 
 
5 
 
 Unidade de medida: padrão de referência adotado por convenção que permite 
a medição numérica de uma grandeza e sua comparação com outras 
grandezas de mesma natureza, como, por exemplo, o metro (m), unidade de 
medida que permite a medição de comprimento em diversas situações. 
 Sistemas de unidades: conjunto de unidades adotadas por convenção e regras 
específicas para um grupo de grandezas físicas. 
 Medição: conjunto de operações que visam a determinar a medida de uma 
grandeza. 
 Instrumento de medição: dispositivo ou equipamento utilizado para realizar 
medições. Para cada tipo de grandeza, existe um conjunto de instrumentos 
adequados. 
 Resolução: o menor valor que um instrumento é capaz de fornecer. 
 Incerteza: estimativa da faixa de valores na qual se localiza o valor verdadeiro 
de uma grandeza. 
 
É importante ressaltar que grandeza física e unidades de medida são conceitos 
que se relacionam, mas possuem definições distintas. A grandeza física refere-se à 
propriedade a ser verificada (p. ex., o comprimento de uma barra), ao passo que a 
unidade de medida é o padrão de referência que dá sentido ao valor da grandeza (se 
a barra tem dimensões em metros, centímetros ou milímetros). A unidade de medida 
permite a comparação quantitativa de propriedades de uma mesma natureza (p. ex., 
conjunto de barras medidas em centímetros e a definição de qual é a maior delas). 
O conhecimento das grandezas envolvidas e de suas unidades de medida é 
fundamental para um bom desenvolvimento de projeto (medição de componentes de 
um conjunto mecânico) ou um controle correto de um processo produtivo (se as peças 
de um lote produzido estão com as suas medidas dentro do especificado). Na 
engenharia, existem dois tipos de grandezas (FERNANDO et al., 2018): grandeza 
vetorial, em que o valor verificado está associado a uma direção e ao sentido do 
fenômeno analisado (velocidade ou aceleração de um corpo, força aplicada em um 
objeto); e grandeza escalar, em que o valor medido é suficiente para determinar a 
quantidade da propriedade (temperatura, tempo, comprimento). 
Por meio da 11ª Conferência Geral de Pesos e Medidas de 1960, cientistas e 
pesquisadores chegaram a um consenso sobre as principais grandezas físicas 
 
6 
 
importantes para o desenvolvimento da ciência e da tecnologia, padronizando as suas 
respectivas unidades de medida por meio da implementação do chamado Sistema 
Internacional de Unidades (SI). O Quadro 1, a seguir, apresenta principais grandezas 
(grandezas de base) para o SI. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Posteriormente, o SI avançou na padronização de grandezas e unidades e 
instituiu as unidades derivadas, descrevendo e identificando fenômenos e 
propriedades relacionados às unidades de base. O Quadro 2, a seguir, apresenta 
algumas grandezas e unidades de medidas utilizadas em processos de engenharia 
de controle e automação (FERNANDO et al., 2018). 
 
7 
 
Para facilitar a indicação de medidas com muitas casas decimais, o SI também 
prevê a padronização e a utilização de prefixos que substituem as casas decimais em 
certas situações. Esses prefixos são definidos como múltiplos e submúltiplos do SI. O 
Quadro 3, a seguir, apresenta os prefixos mais utilizados na engenharia de controle e 
automação (FERNANDO et al., 2018). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Além do uso de prefixos, outro aspecto importante para a correta leitura é a 
determinação e a utilização de algarismos significativos. De forma genérica, os 
algarismos significativos referem-se à quantidade de dígitos utilizados na indicação 
de uma medida, conforme apresentado no Quadro 4. Neste capítulo, você verá que 
existe uma relação entre os algarismos significativos e a resolução dos instrumentos 
 
8 
 
de medição, sendo esse um indicativo da capacidade de certos instrumentos de 
mostrar medidas cada vez mais exatas (FERNANDO et al., 2018). 
 
 
 
 
Embora o SI tenha se expandido de forma a ser utilizado pela maioria dos 
países, algumas regiões do mundo, como Estados Unidos e Inglaterra, utilizam o 
chamado Sistema Imperial (Sistema Inglês). Uma vez que esses países são grandes 
produtores e exportadores de máquinas e equipamentos, é importante que os 
engenheiros saibam identificar as unidades de medidas desses sistemas para a 
realização correta de medição de grandezas e calibração de dispositivos (LINCK, 
2017; LIRA, 2014). O Quadro 5, a seguir, apresenta as principais unidades de medida 
utilizadas no Sistema Inglês. 
 
9 
 
 
2.3 O processo de medição 
Conforme definido pelo VIM, o processo de medição se caracteriza pelo conjunto 
de operações de um instrumento ou dispositivo para se verificar a medida de um 
parâmetro. Além do entendimento sobre os tipos de instrumentos e os seus métodos 
de funcionamento (algo que você aprenderá nos próximos capítulos do curso), 
existem conceitos que são importantes para a realização de qualquer tipo de medição. 
Linck (2017) propõe uma metodologia baseada em perguntas para a determinação 
 
10 
 
correta durante a seleção de um instrumento ou dispositivo de medição de acordo 
com o parâmetro que se deseja verificar (Figura 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Primeiramente, ao realizar uma medição, deve-se ter clarezade que ela pode 
ser de dois tipos: medição direta, em que o instrumento indica o valor obtido por meio 
de um display ou escala; e medição indireta, em que a medida é obtida por meio da 
comparação com outra medida de referência. Além disso, todo instrumento deve 
possuir precisão e acurácia (ou exatidão). A precisão é definida pela capacidade do 
instrumento de garantir a repetibilidade de um valor obtido. Ou seja, ao verificar 
repetidas vezes a mesma dimensão, o instrumento aponta sempre valores iguais ou 
muito próximos, e quanto menor for a dispersão das medidas obtidas, maior será a 
precisão desse instrumento. Já a exatidão é a capacidade do instrumento de indicar 
uma medição o mais próximo possível do valor verdadeiro ou real do parâmetro 
verificado (FERNANDO et al., 2018; LINCK, 2017). 
 
11 
 
 É possível verificar a diferenciação entre precisão e exatidão de um 
instrumento utilizando como analogia o exemplo do tiro ao alvo (Figura 2), pensando-
se no centro do alvo como a medida verdadeira a ser verificada. Na situação A o 
atirador apresentou uma dispersão (distância) grande entre os tiros e o centro do alvo, 
o que indica uma baixa precisão. Em contrapartida, todos os tiros possuem a mesma 
distância com relação ao centro do alvo, o que indica uma boa exatidão. Na situação 
B, além de apresentarem dispersão grande (baixa precisão), os tiros também 
apresentaram diferentes distâncias com relação ao centro do alvo (baixa exatidão). Já 
na situação C, os tiros estão muito próximos um dos outros, indicando boa precisão, 
mas estão distantes do centro do alvo, indicando baixa exatidão. Por último na 
situação D, tem-se uma boa precisão e boa exatidão, já que todos os tiros estão muito 
próximos um dos outros e todos estão no centro do alvo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Existem características das grandezas a serem medidas que remetem à 
capacidade de medição de um instrumento, principalmente os valores mínimos e 
máximos que um dispositivo é capaz de medir. Na maioria das vezes, os projetos em 
engenharia determinam a tolerância de certas medidas, ou seja, os valores mínimo e 
máximo que uma grandeza pode apresentar. Se a tolerância de uma medida 
apresentar valores de milésimos de milímetros, um instrumento com resolução de 
centésimos de milímetros não poderá indicar o valor real daquele parâmetro. Em 
termos comparativos, essa ideia também serve para a faixa de medição de um 
instrumento. Se a medida de uma peça é de 160 mm, mas o instrumento disponível 
 
12 
 
consegue medir, no máximo, 150 mm, então deve-se obrigatoriamente substituir esse 
instrumento por outro, com uma faixa de medição maior (LINCK, 2017; LIRA, 2014). 
2.4 Medindo Grandezas 
Descobrimos a física aprendendo a medir e comparar grandezas como 
comprimento, tempo, massa, temperatura, pressão e corrente elétrica. Medimos cada 
grandeza física em unidades apropriadas, por comparação com um padrão. A unidade 
é um nome particular que atribuímos às medidas dessa grandeza. Assim, por 
exemplo, o metro (m) é uma unidade da grandeza comprimento. 
O padrão corresponde a exatamente 1,0 unidade da grandeza. Como vamos 
ver, o padrão de comprimento, que corresponde a exatamente 1,0 m, é a distância 
percorrida pela luz, no vácuo, durante certa fração de um segundo. Em princípio, 
podemos definir uma unidade e seu padrão da forma que quisermos, mas é importante 
que cientistas em diferentes partes do mundo concordem que nossas definições são 
ao mesmo tempo razoáveis e práticas. Depois de escolher um padrão (de 
comprimento, digamos), precisamos estabelecer procedimentos por meio dos quais 
qualquer comprimento, seja ele o raio do átomo de hidrogênio, a largura de um skate, 
ou a distância de uma estrela, possa ser expresso em termos do padrão. Usar uma 
régua de comprimento aproximadamente igual ao padrão pode ser uma forma de 
executar medidas de comprimento. Entretanto, muitas comparações são 
necessariamente indiretas. É impossível usar uma régua, por exemplo, para medir o 
raio de um átomo ou a distância de uma estrela. 
Grandezas Fundamentais: Existem tantas grandezas físicas que não é fácil 
organizá-las. Felizmente, não são todas independentes; a velocidade, por exemplo, é 
a razão entre as grandezas comprimento e tempo. Assim, o que fazemos é escolher, 
através de um acordo internacional, um pequeno número de grandezas físicas, como 
comprimento e tempo, e definir padrões apenas para essas grandezas. Em seguida, 
definimos as demais grandezas físicas em termos dessas grandezas fundamentais e 
de seus padrões (conhecidos como padrões fundamentais). A velocidade, por 
exemplo, é definida em termos das grandezas fundamentais comprimento e tempo e 
seus padrões fundamentais (LINCK, 2017; LIRA, 2014). 
 
13 
 
Os padrões fundamentais devem ser acessíveis e invariáveis. Se definimos o 
padrão de comprimento como a distância entre o nariz de uma pessoa e a ponta do 
dedo indicador da mão direita com o braço estendido, temos um padrão acessível, 
mas que varia, obviamente, de pessoa para pessoa. A necessidade de precisão na 
ciência e engenharia nos força, em primeiro lugar, a buscar a invariabilidade. Só então 
nos preocupamos em produzir réplicas dos padrões fundamentais que sejam 
acessíveis a todos que precisem utilizá-los. 
2.5 Principais instrumentos de medição 
Existe uma imensa quantidade de instrumentos de medição disponíveis na 
indústria. Com o avanço dos seus estudos, você será capaz de identificar a grandeza 
a ser medida e selecionar, de acordo como os critérios apresentados neste capítulo, 
o instrumento mais adequado para realizar medições ou controles de processos. A 
seguir, você conhecerá rapidamente os principais instrumentos utilizados para a 
verificação de algumas grandezas físicas importantes para a engenharia de controle 
e automação. 
 
Medição de comprimento 
 
As medidas de comprimento são de grande importância durante a montagem 
de conjuntos mecânicos, máquinas e equipamentos, principalmente quando as peças 
e os componentes operam transmitindo movimento (peças de motores de automóveis, 
engrenagens, polias, eixos). Existem diversos instrumentos para esse tipo de 
verificação, os quais devem ser selecionados de acordo com a tolerância das 
medidas, a geometria das peças e a precisão necessária. 
Os instrumentos mais comuns são réguas graduadas, paquímetro, micrômetro 
(Figura 3) e relógio comparador, pois são versáteis, de fácil uso e podem ser 
transportados até o local da produção (LINCK, 2017; LIRA, 2014). 
 
 
 
 
14 
 
 
 
 Medição de massa e esforços mecânicos 
 
Um dos instrumentos mais antigos da civilização, a medição de massa é 
realizada por meio de balanças de diferentes tipos, das mais antigas até as mais 
precisas e sofisticadas, com sistemas eletrônicos. Contudo, as grandezas derivadas 
da massa, como força e torque, são de grande importância para o desempenho de 
máquinas operatrizes, robôs, equipamentos de ensaios de materiais, atuadores 
industriais e uma série de equipamentos na área de automação. As células de carga 
captam esforços e deformações em componentes mecânicos e transformam essas 
informações em sinais elétricos, possibilitando a verificação rápida e precisa dessas 
grandezas (Figura 4). (LINCK, 2017; LIRA, 2014). 
 
 
 
15 
 
 
 
Medição de pressão 
 
A medição de pressão é muito utilizada, principalmente no controle de 
processos industriais de refino e na indústria baseada em sistemas de automação 
hidráulica e pneumática (mesas transportadoras, linhas de ar comprimido, tubulações 
hidráulicas, bombas e vasos de pressão). O manômetro é o instrumento mais aplicado 
para a verificação de pressão (Figura 5). (LINCK, 2017; LIRA, 2014). 
 
 
 
 
16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medição de nível e volume 
 
No projeto de sistemas automatizados, é muito comum a verificação de volume 
de líquidose sólidos a partir da verificação da variação de nível (altura) combinado 
com as dimensões estabelecidas de tanques e reservatórios. (LINCK, 2017; LIRA, 
2014). No caso de gases, ocorre a determinação do volume a partir da variação de 
pressão dentro de um reservatório de dimensões conhecidas. Esses medidores 
podem ser desde os mais simples, com visores para leituras locais, até os mais 
sofisticados, com sensores e transmissão de sinais elétricos que são transmutados 
por instrumentos na indicação de volume (Figura 6). 
 
Medição de vazão 
 
A exemplo das grandezas de pressão e volume, a vazão de fluidos 
(descolamento de volume por unidade de tempo) é de suma importância para o 
funcionamento de processos baseados em automação hidráulica ou pneumática, bem 
como em processos produtivos de fluxo contínuo (refino de combustível, produção de 
bebidas e alguns processos químicos). Os medidores industriais de vazão mais 
comuns na engenharia de automação e controle podem ser: mecânicos, magnéticos, 
por pressão diferencial e ultrassônicos (Figura 7). 
 
17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medição de velocidade 
 
O instrumento tacômetro é muito utilizado no monitoramento de máquinas 
rotativas, principalmente em motores. (LINCK, 2017; LIRA, 2014). Em sua maioria, os 
tacômetros servem para a medição de velocidade de giro (rotações por minuto), 
embora alguns modelos consigam fazer a verificação de velocidade linear (metros por 
segundo ou quilômetros por hora). Eles são instrumentos portáteis e podem ser do 
tipo mecânico ou com sensores eletrônicos (Figura 8). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 MOVIMENTO RETILÍNEO 
O mundo, e tudo que nele existe, está sempre em movimento (HALLIDAY; 
RESNICK; WALKER, 2016). Mesmo objetos aparentemente estacionários, como uma 
estrada, estão em movimento por causa da rotação da Terra, da órbita da Terra em 
torno do Sol, da órbita do Sol em torno do centro da Via Láctea e do deslocamento da 
Via Láctea em relação às outras galáxias. A classificação e comparação dos 
movimentos (chamada de cinemática) pode ser um desafio. O que exatamente deve 
ser medido? Com que deve ser comparado? Antes de tentar responder a essas 
perguntas, vamos examinar algumas propriedades gerais do movimento 
unidimensional, restringindo a análise de três formas: 
Vamos supor que o movimento se dá ao longo de uma linha reta. A trajetória 
pode ser vertical, horizontal ou inclinada, mas deve ser retilínea. 
O objeto está se movendo cada vez mais depressa? Cada vez mais devagar? 
O movimento mudou de direção? Se o movimento está mudando, a mudança é brusca 
ou gradual? 
Vamos supor que o objeto em movimento é uma partícula (ou seja, um objeto 
pontual, como um elétron), ou um objeto que se move como uma partícula (isto é, 
todas as partes do objeto se movem na mesma direção e com a mesma velocidade). 
Assim, por exemplo, podemos imaginar que o movimento de uma criança que desliza 
 
19 
 
passivamente em um escorrega é semelhante ao movimento de uma partícula, mas 
não podemos dizer o mesmo de uma folha de papel levada pelo vento (HALLIDAY; 
RESNICK; WALKER, 2016). 
3.1 Posição e Deslocamento 
Localizar um objeto significa determinar a posição do objeto em relação a um 
ponto de referência, quase sempre a origem (ou ponto zero) de um eixo, como o eixo 
x da Fig. 2-1. O sentido positivo do eixo é o sentido em que os números (coordenadas) 
que indicam a posição dos objetos aumentam de valor. Na grande maioria dos casos, 
esse sentido é para a direita, como na Fig. 2-1. O sentido oposto é o sentido negativo. 
Assim, por exemplo, uma partícula pode estar localizada em x = 5 m; isso 
significa que ela está a 5 m da origem no sentido positivo. Se estivesse localizada em 
x = −5 m, estaria também a 5 m da origem, mas no sentido oposto. Uma coordenada 
de −5 m é menor que uma coordenada de −1 m, e ambas são menores que uma 
coordenada de +5 m. O sinal positivo de uma coordenada não precisa ser mostrado 
explicitamente, mas o sinal negativo deve sempre ser mostrado. 
A uma mudança da posição x1 para a posição x2 é associado um deslocamento 
Δx, dado por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(O símbolo Δ, a letra grega delta maiúscula, é usada para representar a 
variação de uma grandeza, e corresponde à diferença entre o valor final e o valor 
inicial.) Quando atribuímos números às posições x1 e x2 da Eq. 2-1, um deslocamento 
no sentido positivo (para a direita na Fig. 2-1) sempre resulta em um deslocamento 
positivo, e um deslocamento no sentido oposto (para a esquerda na figura) sempre 
 
20 
 
resulta em um deslocamento negativo. Assim, por exemplo, se uma partícula se move 
de x1 = 5 m para x2 = 12 m, Δx = (12 m) − (5 m) = +7 m. O resultado positivo indica 
que o movimento é no sentido positivo. Se, em vez disso, a partícula se move de x1 
= 5 m para x2 = 1 m, Δx = (1 m) − (5 m) = −4 m. O resultado negativo indica que o 
movimento é no sentido negativo (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016). 
O número de metros percorridos é irrelevante; o deslocamento envolve apenas 
as posições inicial e final. Assim, por exemplo, se a partícula se move de x = 5 m para 
x = 200 m e em seguida volta para x = 5 m, o deslocamento é Δx = (5 m) − (5 m) = 0. 
Sinais: O sinal positivo do deslocamento não precisa ser mostrado, mas o sinal 
negativo deve sempre ser mostrado. Quando ignoramos o sinal (e, portanto, o sentido) 
do deslocamento, obtemos o módulo (ou valor absoluto) do deslocamento. Assim, por 
exemplo, a um deslocamento Δx = −4 m corresponde um valor absoluto de 4 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O deslocamento é um exemplo de grandeza vetorial, uma grandeza que possui 
um módulo e uma orientação, mas tudo de que necessitamos no momento é a ideia 
de que o deslocamento possui duas características: (1) o módulo, que é a distância 
(como, por exemplo, o número de metros) entre as posições inicial e final; (2) a 
orientação, que é a direção e o sentido de uma reta que liga a posição inicial à posição 
final, e pode ser representada, no caso de um movimento ao longo de um único eixo, 
por um sinal positivo ou negativo. O que se segue é o primeiro dos muitos testes que 
o leitor encontrará neste livro. Os testes consistem em uma ou mais questões cujas 
respostas requerem um raciocínio ou cálculo mental e permitem verificar a 
 
21 
 
compreensão do ponto discutido. As respostas aparecem no final do livro (HALLIDAY; 
RESNICK; WALKER, 2016). 
3.2 Média e Velocidade Escalar Média 
Uma forma compacta de descrever a posição de um objeto é desenhar um 
gráfico da posição x em função do tempo t, ou seja, um gráfico de x(t). [A notação x(t) 
representa uma função x de t e não o produto de x por t.] Como exemplo simples, a 
Fig. 2-2 mostra a função posição x(t) de um tatu em repouso (tratado como uma 
partícula) durante um intervalo de tempo de 7 s. A posição do animal tem sempre o 
mesmo valor, x = −2 m. 
A Fig. 2-3 é mais interessante, já que envolve movimento. O tatu é avistado em 
t = 0, quando está na posição x = −5 m. Ele se move em direção a x = 0, passa por 
esse ponto em t = 3 s e continua a se deslocar para maiores valores positivos de x. A 
Fig. 2-3 mostra também o movimento do tatu por meio de desenhos das posições do 
animal em três instantes de tempo. O gráfico da Fig. 2-3 é mais abstrato, mas revela 
com que rapidez o tatu se move. 
 
Na verdade, várias grandezas estão associadas à expressão “com que 
rapidez”. Uma é a velocidade média v méd , que é a razão entre o deslocamento Δx 
e o intervalo de tempo Δt durante o qual esse deslocamento ocorreu: 
 
 
 
22 
 
A notação indica que a posição é x1 no instante t1 e x2 no instante t2 . A 
unidade de vméd no SI é o metro por segundo (m/s). Outras unidades são usadas 
neste livro, mas todas têm a forma de comprimento/tempo. Gráficos. Em um gráfico 
de x em função det, vméd é a inclinação da reta que liga dois pontos da curva x(t): 
um dos pontos corresponde a x2 e t2 , e o outro corresponde a x1 e t1 . Da mesma 
forma que o deslocamento, vméd possui um módulo e uma orientação (também é uma 
grandeza vetorial). O módulo é valor absoluto da inclinação da reta (HALLIDAY; 
RESNICK; WALKER, 2016). 
Um valor positivo de vméd (e da inclinação) significa que a reta está inclinada 
para cima, da esquerda para a direita; um valor negativo de vméd (e da inclinação) 
significa que a reta está inclinada para baixo, da esquerda para a direita. A velocidade 
média vméd tem sempre o mesmo sinal do deslocamento Δx porque Δt na Eq. 2-2 é 
sempre positivo. A Fig. 2-4 mostra como determinar vméd na Fig. 2-3 para o intervalo 
de tempo de t = 1 s a t = 4 s. Traçamos a linha reta que une os pontos correspondentes 
ao início e ao final do intervalo de tempo considerado. Em seguida, calculamos a 
inclinação Δx/Δt da linha reta. Para o intervalo de tempo dado, a velocidade média é 
 
 
 
 
A velocidade escalar média sméd é uma forma diferente de descrever “com que 
rapidez” uma partícula está se movendo. Enquanto a velocidade média envolve o 
deslocamento da partícula, Δx, a velocidade escalar média é definida em termos da 
distância total percorrida (o número de metros percorridos, por exemplo), 
independentemente da direção. Assim, 
 
 
 
 
 
Como velocidade escalar média não depende da orientação do movimento, ela 
é sempre positiva. Em alguns casos, sméd é igual a vméd . Entretanto, como é 
mostrado no Exemplo 2.01, as duas velocidades podem ser bem diferentes. 
 
23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3 Aceleração 
O estudo do MRUV de uma partícula é o estudo de corpos que, sujeitos a uma 
aceleração constante, movimentam-se em linha reta (HALLIDAY; RESNICK; 
WALKER, 2016). O objetivo aqui é determinar como as quantidades posição (x) e 
velocidade (v) variam ao longo do tempo (t), quando a aceleração (a) é constante, isto 
é, a taxa de variação da velocidade ao longo do tempo não muda, como expresso na 
Equação (1): 
 
 
 
 
 
 
24 
 
O fato de a aceleração ser constante também é expresso graficamente. O 
gráfico da aceleração contra o tempo, mostrado na Figura 1, demonstra que o seu 
valor não muda conforme o tempo passa. A partir de (1), podemos encontrar as 
equações para v(t) e x(t). 
 
3.4 Velocidade 
Para determinar v(t), deve-se partir de (1), escrevendo: 
 
 
 
De modo que, integrando em ambos os lados, obtém-se: 
 
 
 
 
 
Em que v0 = v(0). v0 = v(0). Integrando ambos os lados, o resultado é 
 
25 
 
 
 
 
 
 
A Equação (2) nos mostra que a relação entre a velocidade e o tempo é linear, 
de modo que o gráfico será uma reta, com a aceleração, a, desempenhando o papel 
da inclinação dessa reta, ou seja, se a > 0, a inclinação é positiva (Figura 2a), mas se 
a < 0, a inclinação é negativa (Figura 2b). (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
3.5 Posição 
A posição da partícula pode ser determinada de maneira análoga à velocidade. 
Lembrando que a velocidade instantânea é a dada pela derivada da posição com 
respeito ao tempo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo x0 = x(0). No caso da posição, a relação com a variável tempo é 
quadrática, de modo que o seu gráfico será uma parábola, cuja concavidade muda de 
sentido de acordo com a aceleração. Se a aceleração é positiva, a concavidade do 
gráfico é voltada para cima, como mostrado na Figura 3a; caso seja negativa, a 
concavidade é voltada para baixo, como mostrado na Figura 3b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
3.6 Equação de Torricelli 
No caso em que não temos informações sobre o tempo transcorrido no 
movimento, existe a possibilidade de determinar a velocidade de uma partícula a partir 
da sua posição, caso seja conhecida. Para obtermos uma equação independente do 
tempo, podemos pensar em dividir a Equação (1) pela Equação (3), o que nos resulta 
em: 
 
 
 
Mesmo sendo uma forma simplificada de obter a equação, a equação é válida. 
Então, resolvendo, temos esta equação diferencial separável: 
 
 
 
 
 
 
que é conhecida como Equação de Torricelli. 
 
28 
 
 
4 VETORES 
Quando um corpo se movimenta de forma retilínea, podemos representar esse 
movimento de forma muito simplificada, adotando, por exemplo, para as grandezas 
envolvidas (distância, velocidade e aceleração), os sinais positivos, para 
deslocamento à direita, e negativo, para deslocamento à esquerda. Com essa simples 
convenção, é possível descrever muito bem movimentos retilíneos. Entretanto, 
quando o movimento não se dá de forma retilínea, essa convenção simples de sinais 
 
29 
 
não é suficiente, devido à possibilidade de o corpo se deslocar em mais direções. 
Exemplos são o deslocamento em um plano, em que um corpo pode se movimentar 
na horizontal e na vertical, e o deslocamento no espaço tridimensional. Para trabalhar 
com grandezas que necessitam mais do que uma intensidade e um sinal, utilizamos 
os vetores e chamamos essa grandeza de vetorial, pois, nesse caso, será necessário 
um módulo (intensidade) e uma orientação (HEWITT, 2015). 
 As grandezas vetoriais não se limitam apenas ao deslocamento, como 
velocidade e aceleração, podendo-se também representar forças, campos elétricos e 
campos magnéticos por meio de vetores. Um vetor pode ser definido como um 
segmento de reta orientado. Todo vetor possui um ponto inicial, uma origem e um 
ponto final, chamado de extremidade. A direção de um vetor é da sua origem para a 
sua extremidade. Caso a direção seja invertida, ou seja, da extremidade para a 
origem, teremos um vetor em direção contrária. As operações com vetores são 
diferentes das operações escalares, mas podem ser feitas somas e produtos entre 
vetores. Para isso, é necessário conhecer as regras para essas operações, bem como 
dominar a representação de um vetor e de seus componentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fonte: www.conhecimentocientifico.com.br 
4.1 Representação de um vetor 
Os vetores são normalmente representados por setas. O comprimento da seta 
será a intensidade, e a ponta mostrará o sentido; com isso, podemos indicar o módulo, 
a direção e o sentido do vetor. Na Figura 1, são mostrados dois vetores, u e v, que 
podem ser decompostos em coordenadas no eixo x e no eixo y. Esses vetores têm 
como ponto inicial a origem (0,0). Podemos, assim, definir as coordenadas dos vetores 
como: 
 
30 
 
 
Podemos calcular os módulos dos dois vetores utilizando o teorema de 
Pitágoras, visto que as componentes do vetor são ortogonais. Sendo assim, os 
módulos dos vetores são: 
 
 
 
Um vetor é composto por uma componente em x e outra em y. No caso de um 
vetor no plano, por meio de relações trigonométricas, podemos decompor um vetor 
em x e y (HEWITT, 2015). Vejamos a decomposição para o vetor u: 
 
 
 
 
Por relação trigonométrica de tangente, podemos calcular o ângulo do vetor em 
relação ao eixo x do plano cartesiano: 
 
31 
 
Exemplo 1: 
 Um vetor F⃗ possui módulo de 10 N e está orientado a 60º em relação ao eixo x. 
Determine as componentes em x e y desse vetor. 
 
Solução: 
Usaremos as relações trigonométricas, conforme as equações 2 e 3: 
 
 
 
 
 
Os vetores não precisam necessariamente se encontrar na origem, podendo 
ser definidos entre dois pontos no plano cartesiano, onde é definido o caminho — a 
orientação. Vamos tomar como exemplo os vetores a e b representados na Figura 2. 
Podemos ver que os vetores, mesmo sendo definidos em pontos diferentes do plano, 
têm a mesma orientação e a mesma intensidade. Sendo assim, podemos dizer que 
os vetores são iguais (HEWITT, 2015). 
 
 
 
32 
 
4.2 Operações envolvendo vetores 
Soma de vetores 
A soma de vetores não é como a soma algébrica, em que somente asintensidades e os sinais importam. No caso dos vetores, deve-se conhecer as 
intensidades e orientações. Existe mais de uma forma de se somar vetores, podendo 
ser utilizado o método geométrico ou a soma das componentes de um vetor. Na soma 
de vetores, algumas propriedades devem ser consideradas, conforme descrito a 
seguir. 
 
Soma pelo método geométrico 
A seguir, vamos somar dois vetores, u e v, que resultam no vetor w. Para 
realizar a soma dos vetores, devemos representar graficamente u e, em sua 
extremidade, definiremos a origem de v. O resultado dessa soma será um vetor com 
origem na origem de u e ponta na extremidade de v (Figura 3). Podemos representar 
a relação dos três vetores como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Uma propriedade interessante na soma de vetores é que a sequência da soma 
não altera o resultado; portanto, o vetor w será o mesmo ao se somar v e u ou u e v. 
Trata-se da chamada propriedade comutativa (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 
2016). A Figura 4 mostra que o vetor resultante é o mesmo, independentemente da 
sequência a ser somada. 
 
33 
 
 
Muitas vezes, é necessário somar mais de dois vetores. Para tanto, podemos 
utilizar o mesmo processo, em que cada novo vetor tem sua origem fixada na 
extremidade de outro vetor. A Figura 5 ilustra a soma de três vetores a, b e c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para se somar mais de dois vetores, podemos, também, realizar a soma 
parcial de vetores e, depois, somar o restante (HEWITT, 2015). A Figura 6 mostra a 
soma dos vetores a, b e c, em que os vetores a e b são somados primeiro, para, então, 
serem somados ao vetor c. 
 
34 
 
Existe uma propriedade na soma de mais de dois vetores chamada de 
propriedade associativa, que indica que a associação de vetores em uma soma não 
altera o seu resultado (Figura 7). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Subtração de vetores 
 
 A subtração de um vetor pelo outro segue as mesmas propriedades da soma. 
Nesse caso, precisamos entender o negativo de um vetor, pois a subtração é a soma 
de um vetor ao negativo do outro (HEWITT, 2015). A representação gráfica do 
negativo de um vetor será um vetor de mesmo módulo, porém, em orientação 
contrária, conforme mostra a Figura 8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ao somarmos o vetor a ao vetor –b, estamos subtraindo do vetor a o vetor b e 
obtendo um vetor resultante c. 
 
35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Já vimos nas equações (1) e (2) a decomposição de um vetor em suas 
componentes ortogonais. Agora, vamos trabalhar com um vetor de módulo unitário, 
que aponta em uma determinada direção e que não possui dimensão nem unidade 
(HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016). Esse vetor tem como função especificar 
uma orientação. Os vetores unitários servem para indicar a direção positiva dos eixos 
x, y e z, sendo representados, respectivamente, como î, ĵ, k̂. Nesse caso, o símbolo ^ 
é utilizado no lugar da seta para, assim, mostrar que se trata de um vetor unitário. Na 
Figura 1, são retratados dois vetores (u e v); podemos utilizar os vetores unitários para 
descrever as componentes desses vetores. 
 
 
 
 
 
 
Soma de vetores por componentes 
 
 A soma de vetores, até então, foi realizada por meio geométrico, ou seja, 
desenhando-se os vetores em escala correta, para somá-los ou subtraí-los. 
Entretanto, esse método se torna muito desvantajoso, pois é necessário desenhar os 
vetores de maneira fidedigna e fazer as devidas medições, o que acarreta erros 
quando não é realizado da maneira adequada. Existe a possibilidade de se somar um 
 
36 
 
vetor, fazendo a soma das componentes em cada eixo. Vamos considerar a seguinte 
equação de soma de vetores: 
 
 
 
 
 O vetor c é igual à soma dos vetores a e b. Para realizar a soma dos vetores, 
podemos utilizar as componentes: 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo assim, cada componente do vetor c é igual à soma das componentes, 
no mesmo eixo, de a e b. Em outras palavras, dois vetores são iguais se as 
componentes correspondentes forem iguais (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016). 
Podemos ver na Figura 10 que, ao se somar o valor das componentes dos vetores a 
e b, o vetor resultante tem componentes que são iguais às componentes dos vetores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
Exemplo 2: 
 
 Um vetor A⃗ possui módulo de 100 N, está orientado a 30º em relação ao eixo 
x e é somado a um vetor B⃗ de módulo 80 N, orientado a 150º em relação ao eixo x. 
Determine o módulo e a orientação do vetor C⃗, sabendo que C⃗ = A⃗ + B⃗. 
Solução: Usaremos as relações trigonométricas, conforme as equações 2 e 3, 
para definir as componentes dos dois vetores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.3 Multiplicação de vetores 
Podemos multiplicar um vetor por um escalar. Existem duas formas de se 
multiplicar dois vetores; uma forma resulta em um escalar, chamado de produto 
escalar, e a outra resulta em um novo vetor, chamado produto vetorial. Ao 
multiplicarmos um vetor por um escalar, vamos alterar o módulo do vetor. Manter sua 
direção e seu sentido dependerá do sinal do escalar. Se o escalar é positivo, mantém-
se o sentido; se o escalar é negativo, inverte-se o sentido do vetor. Esse produto, 
consequentemente, altera as componentes do vetor, pois o módulo não é mais o 
mesmo. A divisão de um vetor por um escalar será igual à multiplicação do vetor pelo 
inverso do escalar (HEWITT, 2015). 
 
38 
 
Exemplo 3: 
 
Um vetor A⃗ possui módulo de 100 N e está orientado a 30º em relação ao eixo 
x. É realizada uma multiplicação desse vetor pelo escalar −10. Determine as 
componentes dessa operação. Solução: Multiplicaremos o módulo de A⃗ por −10: 
 
 
 
 
 
4.4 Produto escalar 
O produto escalar de dois vetores é uma operação entre vetores que resulta em 
um escalar. O produto escalar pode ser interpretado como a projeção de um vetor r 
multiplicado por um vetor s (TIPLER; MOSCA, 2009). Tomando como exemplo os 
vetores da Figura 11, vemos que o produto escalar entre os vetores pode ser definido 
como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
 Como o produto escalar envolve apenas o produto entre os módulos e o 
cosseno do ângulo entre os vetores, ele apresenta a propriedade comutativa — ou 
seja, a ordem não interfere no produto. Sendo assim, podemos escrever a seguinte 
equação: 
 
 
 O produto escalar também pode ser realizado por meio das componentes dos 
vetores. Nesse caso, não é necessário conhecer o ângulo entre os vetores. 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: 
Um vetor A⃗ possui módulo de 100 e está orientado a 30º em relação ao eixo x 
e o produto escalar A⃗ · B⃗ = 3.500. Sabe-se que o vetor B⃗ possui módulo de 70. 
Determine a orientação de B⃗. 
 
Solução: O produto escalar pode ser calculado como: 
 
 
 
 
Com isso, conseguimos encontrar o ângulo entre os dois vetores: 
 
 
 
 
Isolando-se cos θ: 
 
 
 
 
 
40 
 
Note que o ângulo encontrado é o ângulo entre os vetores, e não a orientação 
de B⃗. A orientação desse vetor será: 
 
 
 
 
4.5 Produto vetorial 
O produto vetorial de r⃗ e s⃗ é escrito como r⃗ × s⃗ (se lê r vetor s) e resulta em 
um novo vetor t ⃗. O módulo desse vetor é igual a: 
 
 
 
 
onde o ângulo θ é o menor ângulo entre os vetores r⃗ e s⃗. Por se tratar de um seno, 
quando o ângulo entre os vetores é 0º ou 180º, o produto escalar é zero (HEWITT, 
2015). 
O vetor resultante t ⃗ é perpendicular ao plano definido pelos vetores r⃗ e s⃗. O sentido 
do vetor t ⃗ é definido pela regra da mão direita. Podemos realizar o produto vetorial 
entre as componentes: 
 
 
 
 
O produto vetorial não apresenta propriedade comutativa. Sendo assim, a 
ordem dos vetores importa na operação. 
 
 
 
41 
 
5 MOMENTO DE UMA FORÇA: ANÁLISE BIDIMENSIONAL E TRIDIMENSIONAL 
5.1 Momento de uma força 
Para começar, vamos fazer uma experiência: pegue seu celular e coloque 
sobre a mesa, posicionea lateral maior alinhada com você. Agora, usando apenas o 
dedo indicador, posicionado na extremidade direita da base, empurre o celular e 
observe seu movimento. Para que lado ele se moveu? Repita a experiência, agora 
posicionando seu dedo na extremidade esquerda do aparelho e observe. Nesse caso, 
para que lado ele se move? Essa experiência simples ajuda você a compreender o 
conceito de momento de uma força (HEWITT, 2015). 
 Quando você empurrou a extremidade direita, o celular iniciou um movimento 
de rotação para esquerda, ou seja, no sentido anti-horário, não é mesmo? Já quando 
você empurrou a extremidade esquerda, ele tendeu a girar para no sentido horário, 
certo? A grandeza momento de uma força traduz exatamente essa tendência que um 
corpo tem de girar em torno de um ponto ou de um eixo quando submetido à ação de 
uma determinada força F. Provavelmente, duas questões lhe vêm à mente: Que 
ponto/eixo é esse? Por que, se eu empurrar no centro, e não em uma das 
extremidades, o celular não gira, apenas se desloca para frente? Para responder a 
essas questões, vamos estudar mais detalhadamente essa grandeza. 
5.2 Princípio da transmissibilidade e forças equivalentes 
Com a experiência do celular que você realizou, pôde observar que, 
dependendo do ponto onde é aplicada a força, o resultado muda. Isso porque você foi 
levado a aplicar forças em linhas de ação diferentes. Agora, pensando em apenas 
uma das extremidades (direita ou esquerda), se você tivesse posicionado seu dedo 
ao longo daquela lateral (direita ou esquerda), ao invés de posicioná-lo na 
extremidade, o resultado seria o mesmo, pois você estaria aplicando a força na 
mesma linha de ação. 
O princípio da transmissibilidade se refere, exatamente, a esse fato. Observe 
seu enunciado 
 
42 
 
[...] as condições de equilíbrio ou de movimento de um corpo rígido 
permanecem inalteradas se a força F, aplicada num dado ponto do corpo 
rígido, for substituída por uma força F ́com a mesma intensidade, a mesma 
direção e o mesmo sentido, aplicada num outro ponto, desde que estas duas 
forças tenham a mesma linha de ação (BEER et al., 2012, p. 77). 
 
Observe a Figura 1, considerando que você posicione seu dedo no lado 
esquerdo do celular: 
 
 
 
Você pôde verificar o princípio da transmissibilidade quando repetiu o 
experimento posicionando seu dedo na lateral do celular, não é mesmo? Ou seja, se 
a força aplicada tiver a mesma direção, o mesmo sentido, a mesma intensidade e for 
aplicada em outro ponto sobre a mesma linha de ação da primeira, ela vai gerar o 
mesmo resultado sobre o corpo e, por isso, pode ser considerada uma força 
equivalente. O vetor que representa essa força F, por poder se deslocar ao longo de 
uma linha de ação, é dito deslizante (HEWITT, 2015). 
 
43 
 
 
5.3 Momento de uma força em relação a um ponto 
A força aplicada sobre um corpo rígido pode ser representada por um vetor em 
um ponto específico do corpo. O efeito que essa força gera no corpo rígido depende 
do ponto no qual ela é aplicada. Esse ponto, que vamos chamar de ponto de 
aplicação, também pode ser representado por um vetor, chamado vetor posição. Mas 
essa posição refere-se a um outro ponto, no caso, aquele para o qual se deseja 
determinar o momento da força aplicada. Observe a Figura 3: 
 
 
 
 
44 
 
 
A força F é aplicada no ponto A do objeto ilustrado, que está a uma distância r 
do ponto O. O vetor r é o vetor posição de A em relação ao ponto O, para o qual se 
deseja determinar o momento de F, designado por (MO). Na Figura 3, você também 
tem representado: 
 
„ A linha de ação de F; 
„ A linha de ação de r; 
„ O plano definido por r e F; 
„ O momento de F em relação a O (MO); 
„ O ângulo (θ) formado entre F e a linha de ação de r; 
„ A distância (d) perpendicular de O até a linha de ação de F 
 
 
Os elementos ilustrados na Figura 3 nos permitem definir o momento de F em 
relação à O como o produto vetorial: 
 
 
 
 Mo é um vetor perpendicular ao plano definido entre r e F, cujo sentido pode ser 
dado pela regra da mão direita e cuja intensidade pode ser calculada com base na 
relação a seguir: 
 
45 
 
Por convenção, quando a tendência do corpo sob a ação da força é girar no 
sentido horário, atribuímos o sinal negativo ao momento (HEWITT, 2015). Por outro 
lado, quando a tendência do corpo sob a ação da força é girar no sentido anti-horário, 
atribuímos o sinal positivo. Ou seja: 
 
 Rotação no sentido horário: momento negativo; 
 Rotação no sentido anti-horário: momento positivo. 
 
 
 
 
 
46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A dimensão da grandeza momento, no sistema internacional de unidades, é 
dada em N.m, pois a força é em Newtons, e a distância, em metros. Observe que o 
momento depende da intensidade, da linha de ação e do sentido da força, mas não 
depende da posição do ponto de aplicação sobre essa linha de ação. Portanto, ele 
não caracteriza essa posição. Ou seja, conhecer o momento não lhe permite definir 
em que ponto a força foi aplicada, apenas estabelecer sua linha de ação: essa deve 
estar no plano que contém O, ser perpendicular à Mo, a distância d é obtida pelo 
quociente , e o sentido do momento define de que lado do ponto O está essa linha 
de ação da força (HEWITT, 2015). 
 Conhecendo, agora, o momento de uma força, você pode complementar seu 
conceito de forças equivalentes, acrescentando que elas devem, além de ter mesma 
 
47 
 
intensidade, mesma direção e mesmo sentido, ter momentos iguais em relação a um 
determinado ponto O. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.4 Momento de uma força em três dimensões 
Para determinar o momento de uma força em três dimensões, você precisa 
representar tanto a força quanto sua posição na forma vetorial cartesiana, pois isso 
facilita a resolução do produto vetorial que lhe resultará no momento: 
 
 
 
48 
 
Para resolver o produto vetorial acima, você pode montar o determinante, que 
envolve o vetor posição do ponto em questão: 
 
 
 
 
 
Calculando o determinante, você obtém o momento, que pode ser escrito na 
forma cartesiana: 
 
 
 
 De forma análoga, você pode determinar o momento de uma força, aplicada no 
ponto A, em relação a um outro ponto qualquer B. Basta você escrever o vetor posição 
rAB , ou seja, definir um vetor que una os dois pontos em questão, e considerá-lo 
como vetor posição. O momento será dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 Vamos analisar uma situação exemplo, pois, na prática, fica mais fácil de você 
entender como pensar os vetores posição: 
 
 
 
 
49 
 
 
 O momento de uma força também pode ser calculado em relação a um eixo. 
Para isso, você calcula o produto vetorial que lhe determina o momento (r x F) e 
multiplica pelo vetor unitário do eixo em questão (ue ). Essa relação pode ser descrita 
por: 
 
 
 
 
 
50 
 
Vejamos um exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
5.5 Momento de binário 
Sempre que temos um par de forças paralelas entre si, de mesma intensidade, 
de sentidos opostos e separadas por uma distância “d” atuando sobre um corpo 
dizemos que temos um binário de forças (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016). 
Quando um binário age sobre um objeto, gera uma rotação, ou uma tendência de 
rotação, para um determinado sentido. A Figura 9 ilustra um binário: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos ver uma situação representada graficamente para determinar o 
momento do binário (Figura 10): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
Como as forças agem simultaneamente, adicionando os momentos de cada 
uma delas, você encontra omomento de binário: 
 
 
 
Sua intensidade pode ser determinada pela relação: 
 
 
 
 
 
Onde d é a distância perpendicular entre as linhas de ação das forças que 
compõem o binário, e o sentido é dado pela regra da mão direita. 
Por se tratar de um vetor livre, uma vez que o vetor posição relativa não está 
vinculado a ponto nenhum, o momento de binário pode ser aplicado em qualquer 
ponto (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016). 
5.6 Binários equivalentes 
Dois binários são considerados equivalentes se produzem o mesmo momento. 
Para que isso aconteça, as forças do segundo binário devem estar no mesmo plano 
das forças do primeiro ou em um plano paralelo a ele, de forma que suas direções 
coincidam. 
Vamos ver uma aplicação prática no exemplo a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
 
 
 
54 
 
5.7 Sistema de forças e momentos 
 
Quando você tem várias forças agindo sobre um corpo rígido, 
consequentemente terá vários momentos, uma vez que cada força gera um momento, 
independente dele ser nulo ou não. Nesse caso, costumamos dizer que o corpo está 
sob a ação de um sistema de forças e momentos. Para trabalhar com um sistema de 
forças, você busca traduzi-las em uma única força resultante e representar o momento 
dessa força resultante, que será o momento do sistema (HALLIDAY; RESNICK; 
WALKER, 2016). Assim como a força resultante de um sistema é dada pela soma 
das forças que atuam sobre o corpo, o momento resultante corresponde à soma dos 
momentos das forças que atuam no sistema. Ou seja: 
 
 
 
 
Vamos verificar a atuação de um sistema de forças nos exemplos a seguir: 
 
Exemplo: 
Substitua as forças que atuam na viga ilustrada na Figura 13 por uma força e um 
momento resultante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Na Engenharia, um caso especial de sistemas de força e momento é muito 
utilizado: o torsor. Configura-se um torsor, quando a força resultante e o momento 
resultante do sistema, em relação a um mesmo ponto, não são perpendiculares entre 
si. Esse caso pode ser reduzido a um sistema de força e momento resultante 
colineares, que geram um efeito particular sobre o objeto no qual atuam: rotação e 
translação sobre seu eixo (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016). Observe a Figura 
15, ela ilustra o caso que nos conduz a um torsor: 
 
56 
 
 
 
Observe que, se você mover a resultante para um ponto P situado a uma 
distância d = M / FR , eliminará M , restando apenas M║, que pode ser movido para o 
ponto P, pois trata-se de um vetor livre. O eixo do torsor está na mesma linha de ação 
da força resultante, por isso o efeito rotação-translação é gerado. 
6 FORÇA 
Quando pensamos na definição de força, geralmente nos vem à mente a ideia 
de empurrar algum objeto. Porém, o conceito de força é um pouco mais abrangente. 
Empurrar e puxar podem explicar alguns tipos de força, mas estar em repouso, parar, 
acelerar objetos ou corpos, abrir, fechar, dentre tantas outras ações, compreendem 
outros tantos tipos de força. Na física newtoniana, aquela que estuda as três leis de 
Newton, o conceito de força é muito importante. Newton, em suas leis, relacionou 
força e movimento. Força é uma grandeza vetorial, possuindo módulo, direção e 
sentido. Sua unidade de medida no sistema internacional de unidades (SI) é o newton 
(N), em homenagem ao físico Isaac Newton (1642–1727). 
Como a força é uma grandeza vetorial, quando duas ou mais forças atuam 
sobre um mesmo corpo, torna-se necessário determinar o vetor resultante, ou a força 
resultante sobre o corpo (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016). A força total ( ), ou 
força resultante, será a soma vetorial das diversas forças aplicadas: 
 
 
 
57 
 
 
 Como as forças sobre o objeto da Figura 1 possuem a mesma direção, pois 
estão todas na horizontal, elas possuem somente a componente x. Assim, a força 
resultante que atua no objeto será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Dessa forma, conhecendo-se o módulo — 7 N —, a direção — horizontal — e 
o sentido da força — aponta para o lado positivo do eixo x (0º) —, é possível saber 
para onde o objeto vai se movimentar. Vale ressaltar que, para esse exemplo, foram 
consideradas somente as três forças presentes na Figura 1. 
 Todas as vezes que a força resultante for igual a zero, significa que o objeto 
permanece em repouso, ou em condição de equilíbrio (HEWITT, 2015). 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
 
 O conceito de força pode parecer um pouco abstrato. Porém, ao reconhecer 
os tipos de forças, além do melhor entendimento, fica mais fácil identificar as mesmas. 
Conhecer e entender todas as forças que podem atuar sobre um corpo torna mais 
completa a análise do comportamento dessas forças sobre os objetos. 
6.1 Forças fundamentais 
Além de descrever as principais leis da mecânica, as leis de Newton nos 
ajudam a descrever forças fundamentais presentes sobre os corpos em movimento 
ou em repouso. Comumente, ao se aplicar uma força sobre um corpo, isso causará 
nele uma aceleração. Basicamente, é o que descreve a segunda lei de Newton, que 
determina que a força (F⃗) é igual à massa (m) vezes a aceleração (a⃗). 
 
 
 
 
 Conforme a segunda lei de Newton, quando um objeto está caindo no chão, ele 
está sujeito à ação da gravidade. Assim, podemos descrever a força gravitacional (F⃗ 
G) como sendo: 
 
 
 
onde g⃗ é a aceleração da gravidade. O vetor g⃗ será sempre perpendicular ao solo, 
dirigido para baixo (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016). 
 Porém, a gravidade não age somente sobre corpos em queda. Tudo o que está 
apoiado sobre a superfície terrestre está sujeito a essa mesma gravidade: uma mesa, 
uma cadeira, você. Assim, chegamos ao conceito de peso. O peso de um corpo é 
igual ao módulo da força gravitacional que age sobre o mesmo. 
 
 
 
 
 
60 
 
 O peso de um corpo é o módulo da força necessária para impedir que o corpo caia 
livremente, medida em relação ao solo (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016). 
Suponha agora que você queira manter um laptop em sua mão, parado na mesma 
posição, como mostra a Figura 2. Nessa figura, você pode verificar dois vetores de 
força sobre o laptop. Uma delas é a força gravitacional; a outra é conhecida por força 
normal (N⃗). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Manter um laptop sobre a sua mão na mesma posição em relação ao solo exige 
que você faça uma força para cima, de igual módulo ao peso do objeto, evitando que 
a força gravitacional o puxe para baixo. Se a força gravitacional for maior, o laptop 
cairá no chão. Se a força feita pela mão, para cima, for maior, o laptop não ficará na 
mesma posição e tende a se afastar do chão (BAUER; WESTFALL; DIAS, 2012). Essa 
força que você precisa fazer para cima, vencendo a força gravitacional, é a força 
normal. Assim, 
 
 
 
 
 
 
61 
 
 O vetor da força normal, N⃗, será sempre perpendicular à superfície de contato. 
Outro tipo de força sempre presente quando estudamos movimentos é o atrito. De 
maneira geral, atrito é aquela força que dificulta sua ação de movimentar um móvel 
em sua casa, por exemplo (Figura 3). Quando a força do atrito é maior do que a força 
que você faz para arrastar esse móvel, devido à inércia do móvel, ele simplesmente 
não se move. Nessa situação, você vai perceber que, se imprimir uma força bem maior 
do que a feita inicialmente, vai conseguir tirar o móvel do repouso e, assim, 
movimentá-lo com um pouco mais de facilidade. Na realidade, você percebe que, para 
retirar o móvel do repouso, você faz uma força muito maior do que a necessária para 
mantê-lo em movimento. Nesse cenário corriqueiro, que pode já ter ocorrido com você, 
estamos descrevendo dois tipos diferentes de atrito: oatrito estático e o atrito cinético. 
Independentemente de o atrito ser estático ou cinético, ele tende a ser uma força 
oposta ao movimento (BAUER; WESTFALL; DIAS, 2012). 
 
 
 
 A força de atrito estático é aquela força que deve ser superada, a fim de que o 
objeto comece a se movimentar. Ela será sempre de mesmo módulo da força colocada 
para mover o objeto, até que a força de atrito estático atinja um limite, que é a força 
de atrito estático máxima. Assim, a força de atrito estático é descrita por: 
 
 
 
 
 
 
62 
 
 Em que f e max é o valor da força de atrito estático máxima, µe é o coeficiente de 
atrito estático, e |N⃗| é o módulo da força normal. Uma vez que essa força de atrito 
estático tem um limite, ela será sempre menor do que a força de atrito estático máxima 
do corpo: 
 
 
 
 
 
 Uma vez atingido esse limite, o atrito se transforma em atrito cinético. Nesse 
momento, o corpo, em movimento, pode ser movimentado com um módulo de força 
menor. A força de atrito cinético também é proporcional à força normal: 
 
 
 
 
 Onde |f ⃗ c | é o valor da força de atrito cinético, µc é o coeficiente de atrito 
cinético, e |N⃗| é o módulo da força normal. No Quadro 1, você pode verificar as 
relações de coeficientes de atrito estático e de atrito cinético entre dois materiais 
(BAUER; WESTFALL; DIAS, 2012). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Por sua vez, a força elástica é a força exercida por molas. A orientação da 
força elástica que uma mola exerce sobre um corpo vai depender de como essa 
mesma mola se encontra. Veja a Figura 4 
 
 
 
 
 
64 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando uma mola é esticada, por exemplo, por uma distância x, a força elástica 
(F⃗ E) será proporcional a essa distância: 
 
 
 
Em que k é conhecida como constante elástica da mola. O sentido negativo 
aparece porque a força será sempre contrária ao sentido do movimento executado na 
mola. 
 Essa relação é conhecida como lei de Hooke (TIPLER; MOSCA, 2009). Já 
quando uma corda ou um fio é utilizado para movimentar objetos, a força responsável 
pelo movimento/repouso será a força de tração ou força de tensão (Figura 5). O vetor 
tensão é representado por T ⃗. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65 
 
Para definir o cálculo de T ⃗, será necessário levar em consideração o sistema, 
ou cenário, em que ele está envolvido. Normalmente, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tomando conhecimento desses tipos de forças, consideradas forças 
fundamentais, você é capaz de olhar determinada situação e descrever as forças 
atuantes no objeto. Uma forma muito prática de relacionar as forças atuantes em um 
corpo, facilitando a obtenção da força resultante, é a confecção do diagrama de corpo 
livre, apresentado a seguir (TIPLER; MOSCA, 2009). 
6.2 Reconhecendo e representando forças 
Para determinar a força resultante que atua sobre determinado corpo ou objeto, 
você pode construir um diagrama de corpo livre. No diagrama de corpo livre, além de 
desenhar todas as forças que atuam no corpo, é possível apontar o sentido e a direção 
das mesmas, o que facilita o cálculo da resultante. Por exemplo, na Figura 6a, vemos 
uma situação em que uma caixa está sendo puxada por uma corda. Na Figura 6b, o 
diagrama de corpo livre é apresentado, demonstrando a força gravitacional, a força 
normal (que é perpendicular à superfície de apoio) e a força de tração (causada pela 
corda). 
 
 
 
 
66 
 
 
Para a situação mostrada na Figura 7a, suponha que o ginasta tenha 60 kg e 
esteja em repouso, pendurado em um par de argolas. Na Figura 7b, você pode 
verificar o diagrama de corpo livre, em que a força gravitacional aponta para baixo e 
a tração das cordas das argolas aponta para cima (TIPLER; MOSCA, 2009). 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
 Suponha que seja necessário determinar a tração nas cordas. Como as cordas 
possuem o mesmo tamanho e sustentam igualmente o ginasta: 
 
 
 
 Ou simplesmente T. Como o ginasta está em repouso na posição, a soma vetorial 
de todas as forças que atuam nele deve ser igual a zero, e todas as forças estão na 
direção de y: 
 
 
 
 
 
 
 
7 TRABALHO E ENERGIA 
Pode-se definir trabalho como o resultado do produto escalar entre os vetores 
força e deslocamento. Sendo assim, o trabalho é uma grandeza escalar que pode ser 
positiva, negativa ou zero (TIPLER, 2009). Sua unidade é o Joule [J]. O trabalho tem 
seu sinal dependendo de como a força é empregada. Caso a força seja aplicada no 
mesmo sentido que o deslocamento, não importa a convenção de sinais adotada para 
o deslocamento, dizemos que o trabalho é positivo. Caso o trabalho tenha sentido 
oposto ao deslocamento, o trabalho é negativo. No caso de não haver força ou 
deslocamento, o trabalho é zero. A Figura 1 uma construção, em que uma caixa de 
materiais é erguida por meio de um motor e sistemas de cabos. Logicamente, o motor 
deve exercer força sobre a caixa para esta ser suspendida. Considerando que o 
deslocamento é positivo para cima, definimos o trabalho exercido pelo motor como: 
 
 
 
 
 
68 
 
 
 Sendo o trabalho o resultado do produto escalar entre os vetores força e 
deslocamento, o ângulo entre os vetores influencia diretamente no trabalho realizado 
sobre um objeto (Figura 2). 
 
 
Exemplo 1 
Determine a diferença entre o trabalho realizado pela força F⃗ = 100 N da Figura 
2 em duas condições: com a força formando um ângulo de zero graus em relação ao 
deslocamento (D⃗ = 3 m) e formando um ângulo de 60°. (TIPLER, 2009). 
 
 
69 
 
Solução 
Na primeira condição, temos: 
 
 
 
Na segunda condição, temos: 
 
 
 
7.1 Potência 
 Outra grandeza relacionada ao trabalho é a potência, cuja unidade é o Joule por 
segundo [J/s], também chamado de Watt [W]. Também se trata de uma grandeza 
escalar, sendo a razão entre uma quantidade de trabalho por um período de tempo 
(TIPLER, 2009). 
 
 
 
 
 
 
 Podemos afirmar que, quanto maior a potência, mais rápido um trabalho será 
realizado, ou, ainda, mais trabalho será realizado em um período de tempo. 
 
 Exemplo 2 
 
Determine o tempo que o motor da Figura 1 leva para suspender a carga de 
200 kg a uma altura de 20 m. O motor tem uma potência de 1.500 W e g = 9,81 m/s². 
 
 
 
 
 
70 
 
Solução 
Para determinar o trabalho realizado pelo motor ao suspender a carga, deve-
se observar que o ângulo entre a força realizada pelo motor e o deslocamento é de 
zero graus, pois os dois vetores são paralelos. 
 
 
 
 
Tem-se que: 
 
 
 
 
 
Assim, podemos isolar o tempo para realizar o trabalho: 
 
 
 
 
 
Energia mecânica 
 
A energia é a grandeza que mede o estado de um ou mais corpos. Do ponto 
de vista da mecânica, existem duas formas de medir esse estado: com o corpo em 
movimento ou em repouso. A energia exprime a capacidade de o corpo realizar 
trabalho. Se isso pode ocorrer, e já que a energia é convertida em trabalho, a unidade 
da energia também é o Joule [J]. A energia mecânica, como mencionado 
anteriormente, é dividida em duas formas principais: a energia cinética e a energia 
potencial. Isso não quer dizer que essas energias são observadas de forma 
independente; em muitos casos, observa-se a soma das duas (TIPLER, 2009). 
 
 
 
 
71 
 
Energia cinética 
 
A energia cinética é a energia associada ao estado de movimento de um objeto 
(HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016). Essa forma de energia é diretamente 
proporcional à massa e ao quadrado da velocidade do objeto. Logo, uma pequena 
variação na velocidade resulta em uma variação muito maior na energia cinética. A 
energia cinética é dada por: 
 
 
 
 
 
Exemplo 3 
 
Nas rodovias do país, existem limites de velocidade que devem ser respeitados, 
combase no Código de Trânsito Brasileiro. Esses limites são considerados seguros 
de se trafegar. Um desses motivos está relacionado à energia cinética que os veículos 
adquirem quando trafegam na rodovia. Em uma rodovia, o limite é de 80 km/h, e o 
motorista do automóvel da Figura 3 trafega a 100 km/h. Determine a energia cinética 
em cada velocidade, sabendo que as massas do veículo e do motorista somam 1.200 
kg. 
 
 
 
 
 
 
72 
 
Solução 
 Primeiro, devemos converter as duas velocidades para o sistema internacional 
(SI): 
 
 
 
 
 
 
Calcular a energia para v1 e v2: 
 
 
 
 
 
 
Note que a diferença entre as velocidades é pequena em relação à diferença 
de energia cinética. 
 
Energia potencial 
 
Um objeto pode armazenar energia devido à sua posição. A energia 
armazenada e mantida pronta para ser usada é chamada de energia potencial 
(HEWITT, 2015). A energia armazenada tem a capacidade (potencial) de realizar 
trabalho. A energia potencial pode ser observada de várias formas. Um exemplo é 
uma queda d’água, que possui energia potencial gravitacional para mover uma turbina 
e, assim, gerar trabalho. Outro exemplo é um brinquedo que possui a chamada corda, 
que, no caso, é uma mola de torção; quando alguém dá corda, torce a mola, e a 
energia potencial elástica é armazenada para movimentar o brinquedo. 
 
 
 
 
 
73 
 
Energia potencial gravitacional 
 
 Quando um objeto, como a carga da Figura 1, é suspendido, o motor realiza 
trabalhos sobre ele, e esse trabalho é convertido em energia potencial gravitacional. 
Outro exemplo é um guincho, que, ao erguer um veículo, deve realizar trabalho, que 
será igual à energia potencial desse veículo. Pode-se citar ainda o exemplo de uma 
bola de futebol, que, ao atingir uma determinada altura (Figura 4), assume energia 
potencial gravitacional (HEWITT, 2015). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O trabalho realizado ao suspender um determinado objeto a uma altura h, em 
relação a uma cota de referência, é convertido em energia potencial gravitacional. 
Assim, podemos calcular a energia potencial gravitacional como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
74 
 
Exemplo 4 
 Determine a energia potencial que a carga da Figura 1 adquire após ser 
elevada a uma altura de 15 m em relação ao solo. Sabe-se que a carga possui uma 
massa de 200 kg e que g = 9,81 m/s². 
 
Solução 
 A energia potencial gravitacional que a carga adquire ao ser elevada é 
calculada utilizando-se a equação 5: 
 
 
 
 
Energia potencial elástica 
 
 O físico Robert Hooke demonstrou que a força aplicada a um material elástico 
é proporcional à sua deformação. A partir dessa análise, foram estabelecidas a 
constante elástica (k) e a lei de Hooke. 
 
 
 
 
 
Como o trabalho realizado é convertido em energia potencial, podemos calcular 
a energia potencial elástica como o trabalho realizado pela força elástica. Quando a 
mola é comprimida ou estendida, há deslocamento e, por haver força no sentido do 
deslocamento, a energia potencial elástica é proporcional ao quadrado do 
deslocamento (HEWITT, 2015). 
 
 
 
 
 
 
 
75 
 
Exemplo 5 
 
Um automóvel é dotado de um sistema de suspensão, que contém o elemento 
da Figura 5. Ao passar por um buraco, a mola se comprime, absorvendo a energia do 
impacto; então, essa energia é dissipada com o auxílio do amortecedor (HEWITT, 
2015). 
 
Suponha que o automóvel possui massa de 1.200 kg e distribuição de peso de 
60% nas rodas dianteiras e 40% nas rodas traseiras, o que requer molas com 
constantes elásticas diferentes na dianteira e na traseira. Ao passar por uma lombada, 
a dianteira do veículo se desloca em 0,05 m. Determine a energia dissipada após o 
carro passar pela lombada, sabendo que a constante elástica de cada mola da 
dianteira é kd = 8,83 MN/m. 
 
Solução 
A energia potencial elástica pode ser calculada pela equação 7: 
 
 
 
76 
 
A energia dissipada será duas vezes a calculada anteriormente, visto que o 
veículo possui duas rodas dianteiras. Sendo assim: 
 
 
7.2 Teorema trabalho-energia cinética 
A energia nunca é perdida e, da mesma forma, não pode surgir do nada. Logo, 
caso ocorra variação da energia em um sistema, é necessário que a energia seja 
removida ou inserida no sistema. Então, quando um corpo está em movimento, e 
ocorre alguma variação de velocidade que se reflete na energia cinética desse corpo, 
essa variação é o trabalho realizado pelo corpo ou o trabalho realizado no corpo. 
Como sabemos, a variação de velocidade é a aceleração, e, como o corpo tem massa, 
uma força resultante aparece (HEWITT, 2015). A aceleração pode ser calculada pela 
equação de Torricelli: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo a equação 9 em 10, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
77 
 
Na equação 11, podemos ver que o trabalho realizado pela força resultante F 
é igual à variação de energia cinética em um corpo de massa m. 
 
Exemplo 5 
A velocidade inicial de uma van de entregas é de 50 km/h; ao chegar em uma 
ladeira mais íngreme, sua velocidade cai para 30 km/h. O motorista, então, aumenta 
a alimentação do motor, ao acionar o acelerador, e, assim, o veículo retoma a 
velocidade, até atingir 50 km/h. A van carregada tem massa total de 3 toneladas. 
Determine o trabalho exercido pelo motor para essa retomada de velocidade. 
 
Solução 
Deve-se primeiramente converter as velocidades para o SI: 
 
 
 
 
 
 
 
O trabalho pode ser calculado pela equação 11: 
 
 
 
 
7.3 Conservação da energia mecânica 
Segundo a lei de conservação de energia, a energia não pode ser criada ou 
destruída; pode apenas ser transformada de uma forma para outra, com sua 
quantidade total permanecendo constante (HEWITT, 2015). Nesse caso, a energia 
mecânica se conserva, havendo a troca entre as energias cinética e potencial (Figura 
6). Vamos tomar como exemplo um pêndulo em sua altura máxima. Este possui 
velocidade zero e máxima altura; nesse caso, há apenas a energia potencial. Por outro 
 
78 
 
lado, no seu ponto mínimo, a velocidade é máxima, tendo apenas energia cinética. A 
soma da energia potencial e da energia cinética, mencionada anteriormente, resulta 
na energia mecânica. 
 
E = Energia potencial + Energia cinética 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 7 
O cabo que servia para suspender a carga da Figura 1 se rompe quando a carga 
de 200 kg para e atinge a altura de 40 m. Utilizando a conservação de energia, 
determine a velocidade no instante do choque com o solo (HEWITT, 2015). 
 
Solução 
Primeiramente, calcula-se a energia total quando a carga está a 40 m 
 
 
 
 
Como a energia se conserva no instante do impacto, a energia da carga é a 
mesma de quando o cabo se rompeu: 
 
 
 
79 
 
 
Isolando v, obtemos: 
 
 
8 CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA 
No cotidiano, energia é um conceito associado ao consumo de alimentos, à 
eletricidade, etc. Entretanto, se você realizar uma análise cuidadosa, descobrirá que 
esse conceito diz respeito à matéria-prima necessária para executar alguma tarefa e 
não define o que é energia. A energia está presente em nosso cotidiano de diversas 
formas, como energia mecânica, química, térmica, eletromagnética, nuclear, etc. Um 
bom exemplo é a bateria de um carro, cuja energia química deve ser convertida em 
energia elétrica para abastecer os sistemas eletrônicos do veículo (HEWITT, 2015). 
De fato, todos os processos que ocorrem no universo envolvem energia e a sua 
transferência ou transformação. Por isso, é fundamental compreender o conceito de 
energia, que em física é entendido como a capacidade de o sistema de realizar 
trabalho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: www.guiaestudos.com.br 
 
80 
 
8.1 Energias cinética e potencial 
O conceito de conservação da energia pode ser aplicado a sistemas dinâmicos 
sem recorrermos às leis de Newton. Porém, para que seja possível