19 Aula

Prévia do material em texto

Instituto de Matemática – UFRJ
Cálculo I – Semipresencial
Aula 19 – Áreas e distâncias
Este material foi produzido no âmbito do projeto “Elaboração de material para disciplinas na
modalidade semi-presencial”, do Departamento de Matemática do IM/UFRJ.
Equipe:
Coordenação: Paulo Amorim
Participantes: Bruno Telch, Rafael Lobosco, Leonardo Damasceno
Um dos principais problemas que deu origem ao Cálculo foi o problema da área:
Encontrar a área da região S sob a curva y = f(x), onde x ∈ [a, b] e f(x) ≥ 0.
Antes de começar a resolver o problema, é necessário definir o que seria a área de uma
região. Para regiões planas como retângulos, triângulos e poĺıgonos em geral, é simples
obter uma expressão para a área. Entretanto, para figuras curvas não é tão fácil definir
esse conceito, mesmo tendo uma vaga ideia do que seria.
Assim como o caso da reta tangente a uma curva, trabalharemos com aproximações (retas
secantes no caso da reta tangente) e depois tomaremos o limite dessas aproximações. O
exemplo abaixo irá ilustrar esse procedimento.
Exemplo. Calcule a área da região sob a parábola y = x2, onde x ∈ [0, 1].
As aproximações funcionarão da seguinte forma: divida o intervalo [0, 1] em n subintervalos
[xk−1, xk], k ∈ {1, ..., n}, onde x0 = 0 e xn = 1, de mesmo comprimento ∆x = xk−xk−1 =
1− 0
n
. Dessa forma,
xk = xk−1 +
1
n
= x0 +
k
n
=
k
n
, para todo k ∈ {1, ..., n} .
Página 1 de 5
Cálculo I – Semipresencial
Aula 19 – Áreas e distâncias (continuação)
Para uma primeira aproximação, considere n retângulos rk, k ∈ {1, ..., n}, onde a base do
k-ésimo retângulo é o intervalo [xk−1, xk] e que possui altura f(xk−1) = x
2
k−1.
Assim, a área an da união dos retângulos rk é igual a
an =
n∑
k=1
f(xk−1)∆x =
1
n
n∑
k=1
(
k − 1
n
)2
=
1
n3
n∑
k=1
(k − 1)2 = 1
n3
n−1∑
k=0
k2.
Agora considere n retângulos Rk, k ∈ {1, ..., n}, com a mesma base [xk−1, xk] mas com
altura medindo f(xk) = x
2
k.
Página 2 de 5
Cálculo I – Semipresencial
Aula 19 – Áreas e distâncias (continuação)
A área An da soma dos rk retângulos é
An =
n∑
k=1
f(xk)∆x =
1
n
n∑
k=1
(
k
n
)2
=
1
n3
n∑
k=1
k2.
Para eliminar o somatório, utilizaremos a seguinte fórmula:
m∑
k=1
k2 =
m(m+ 1)(2m+ 1)
6
.
Assim,
an =
n−1∑
k=1
k2 =
(n− 1)n(2(n− 1) + 1)
6n3
=
(n− 1)(2n− 1)
6n2
e
An =
n∑
k=1
k2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6n3
=
(n+ 1)(2n+ 1)
6n2
.
Como
n⋃
k=1
rk ⊆ S ⊆
n⋃
k=1
Rk para todo n ∈ N,
(n− 1)(2n− 1)
6n2
= an ≤ A ≤ An =
(n+ 1)(2n+ 1)
6n2
, ∀n ∈ N.
Como
lim
n→∞
an = lim
n→∞
(n− 1)(2n− 1)
6n2
= lim
n→∞
1
6
(
1− 1
n
)(
2− 1
n
)
=
1
3
Página 3 de 5
Cálculo I – Semipresencial
Aula 19 – Áreas e distâncias (continuação)
e
lim
n→∞
An = lim
n→∞
(n+ 1)(2n+ 1)
6n2
= lim
n→∞
1
6
(
1 +
1
n
)(
2 +
1
n
)
=
1
3
,
segue do Teorema do Sandúıche que
A =
1
3
.
O método utilizado a seguir nos fornece uma forma de definir o que seria a área de uma
região mais geral: seja f uma função positiva definida no intervalo [a, b] e seja S a região
sob o gráfico da equação y = f(x).
Divida o intervalo [a, b] em n subintervalos [xk−1, xk], k ∈ N de mesmo comprimento
∆x = xk − xk−1 =
b− a
n
tal que x0 = a e xn = b. Então, para todo k ∈ N,
xk = x0 + k∆x = a+
k
n
(b− a).
Com esses retângulos, definimos retângulos Rk de base [xk−1, xk] e altura f(xk). Se o
valor dessas aproximações tenderem a um certo número quando n→∞, diremos que esse
número é a área de S.
Definição. Definimos a área A da região S sob o gráfico de uma função cont́ınua f como
sendo o limite da soma das áreas dos retângulos Rk,
A = lim
n→∞
n∑
k=1
A(Rk) = lim
n→∞
n∑
k=1
f(xk)∆x = lim
n→∞
(f(x1)∆x+ f(x2)∆x+ ...+ f(xn)∆x) .
Pode-se provar que o limite acima sempre existirá se f for uma função cont́ınua definida
em um intervalo [a, b]. Além disso, pode-se mostrar que o valor do limite não irá mudar
se, ao invés de escolher os retângulos Rk definidos anteriormente, escolhermos retângulos
Rk de base [xk−1, xk] e altura f(x
∗
k), onde x
∗
k ∈ [xk−1, xk] é um número qualquer, isto é,
A = lim
n→∞
n∑
k=1
f(x∗k)∆x.
Relação com velocidade e distância
Suponha agora que a função x2 cuja área sob o gráfico acabámos de calcular representa a
velocidade de um objeto em função do tempo x. Ou seja, no instante x, o objeto está se
movendo a uma velocidade x2.
Agora suponhamos que queremos reconstruir a distância percorrida pelo objeto a partir
do conhecimento de sua velocidade. Tomemos um valor de tempo x bem pequeno, por
exemplo x = 0,2. Será razoável afirmar que
posição(0,2) ' posição(0) + velocidade(0) · 0,2.
Página 4 de 5
Cálculo I – Semipresencial
Aula 19 – Áreas e distâncias (continuação)
Ou, por palavras, a posição no instante 0,2 é a posição no instante zero, mais o espaço
percorrido no intervalo de tempo entre 0 e 0,2. Este espaço percorrido, aproximamos
pelo tempo decorrido (0,2) vezes a velocidade no instante zero. No caso, e supondo que a
posição inicial é zero, obteŕıamos posição(0,2) ' 0. Continuando, podemos dizer que
posição(0,4) ' posição(0,2) + velocidade(0,2) · (0,4− 0,2)
' 0 + (0,2)2 · 0,2 = 0,008.
Procedendo da mesma forma, achamos
posição(0,6) = 0,008 + (0,4)2 · 0,2 = 0,04.
Mas agora podemos observar que cada valor sucessivo que estamos a calcular é o valor
anterior, mais a área de cada retângulo da segunda figura! Então, se avançarmos até x = 1,
vamos obter a mesma aproximação da área sob o gráfico da função x2 que calculámos na
segunda figura.
Isso sugere que achar a área sob um gráfico está relacionado com o processo de achar a
posição de um objeto a partir da sua velocidade.
Por outro lado, sabemos que achar a velocidade a partir da posição corresponde à operação
matemática de derivação.
Então, a conclusão é que existe alguma relação entre achar áreas sob o gráfico, e “fazer o
contrário da derivada”. Nas próximas aulas vamos mostrar que de fato é assim, e que esse
“contrário da derivada” se chama integral de uma função.
Exerćıcio
1. Utilize o método definido anteriormente para calcular a área sob o gráfico da função
f(x) = e−x, x ∈ [0, 2].
a) Divida o intervalo [0, 2] em n subintervalos [xk−1, xk] =
[
2
n
(k − 1), 2k
n
]
de mesmo
comprimento ∆x =
2
n
e calcule a soma da área dos retângulos Rk de base[
2(k − 1)
n
,
2k
n
]
e com altura f(xk) = f(2k/n) = e
− 2k
n . (Dica: O somatório será
uma soma de termos de uma PG com uma certa razão. Utilize a fórmula que dá
a soma de n termos de uma PG.)
b) Faça n→∞ para obter o valor da área.
2. É posśıvel adaptar o método para calcular a área do ćırculo de raio r > 0.
a) Seja An a área de um poĺıgono com n lados iguais inscrito num ćırculo de raio
r. Dividindo o poĺıgono em n triângulos congruentes com ângulo central de
2π
n
,
mostre que
An =
πr2
2
sen
(
2π
n
)
.
Página 5 de 5
Cálculo I – Semipresencial
Aula 19 – Áreas e distâncias (continuação)
b) Mostre que lim
n→∞
An = πr
2.
Página 6 de 5