Cálculo Aplicado

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Cálculo 
Aplicado 
 
Sumário 
1. POTÊNCIA DE DEZ ..................................................................................................................................4 
1.1 Notação Científica .................................................................................................................................4 
1.2 Notação de Engenharia ........................................................................................................................4 
1.3 Exercícios ................................................................................................................................................7 
2. PORCENTAGEM .......................................................................................................................................8 
2.1 Exercícios ................................................................................................................................................9 
3. ÁREA E VOLUME .................................................................................................................................. 10 
3.1 Área do Retângulo .............................................................................................................................. 10 
3.2 Área do Quadrado .............................................................................................................................. 10 
3.3 Área do Triângulo ............................................................................................................................... 10 
3.4 Área do Paralelogramo ...................................................................................................................... 10 
3.5 Área do Losango ................................................................................................................................. 11 
3.6 Área do Trapézio ................................................................................................................................ 11 
3.7 Área do Círculo ................................................................................................................................... 11 
3.8 Volume do Paralelepípedo reto retangular ..................................................................................... 11 
3.9 Volume do Cubo ................................................................................................................................. 12 
3.10 Volume do Cilindro ............................................................................................................................. 12 
3.11 Exercícios ............................................................................................................................................. 12 
4. FUNÇÃO DO 1º GRAU .......................................................................................................................... 13 
4.1 Gráfico da função do 1º Grau: .......................................................................................................... 13 
4.2 Exercícios ............................................................................................................................................. 14 
5. FUNÇÃO DO 2º GRAU .......................................................................................................................... 14 
5.1 Raízes da função do 2º Grau: ........................................................................................................... 14 
5.2 Gráfico da função do 2º Grau: .......................................................................................................... 15 
5.3 Vértices da parábola: ......................................................................................................................... 16 
5.4 Exercícios ............................................................................................................................................. 16 
6. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ............................................................................................ 17 
6.1 Equações Lineares ............................................................................................................................. 17 
6.2 Sistemas lineares: .............................................................................................................................. 17 
6.3 Resolução de sistemas lineares: ...................................................................................................... 17 
6.4 Exercícios ............................................................................................................................................. 17 
7. MATRIZ .................................................................................................................................................... 19 
7.1 Determinante ....................................................................................................................................... 20 
7.2 Determinante de Matriz 2x2 .............................................................................................................. 20 
7.3 Determinante de Matriz 3x3 .............................................................................................................. 20 
7.4 Regra De Cramer ................................................................................................................................ 22 
7.5 Exercícios ............................................................................................................................................. 23 
8. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ....................................................................................................... 25 
 
8.1 Ciclo trigonométrico ............................................................................................................................ 25 
8.2 Arco de circunferência ....................................................................................................................... 25 
8.3 Unidades de Arco: .............................................................................................................................. 25 
8.4 Função Seno ....................................................................................................................................... 26 
8.5 Função Cosseno ................................................................................................................................. 27 
8.6 Ângulos notáveis ................................................................................................................................. 28 
8.7 Redução ao 1º Quadrante ................................................................................................................. 29 
8.8 Trigonometria No Triângulo Retângulo ........................................................................................... 29 
8.9 Teorema de Pitágoras ........................................................................................................................ 30 
8.10 Exercícios ............................................................................................................................................. 30 
9. NÚMEROS COMPLEXOS .................................................................................................................... 33 
 
 
 
 
 
 
4 
1. POTÊNCIA DE DEZ 
Números muito grandes e muito pequenos são frequentemente encontrados na prática científica. Para 
facilitar a manipulação de números de magnitudes tão variadas, costuma-se usar Potências de Dez. A 
notação utilizada para representar números que são potências inteiras de dez são: 
0
1
2
3
1 10
10 10
100 10
1000 10




 
1
2
3
4
0,1 10
0,01 10
0,001 10
0,0001 10








 
Observe que números com são maiores que 1 estão associados a potênciapositiva de dez, 
enquanto números menores que 1 estão associados a potências negativas de dez. 
 
1.1 Notação Científica 
A notação científica requer que a vírgula apareça logo após o primeiro algarismo maior ou igual a 
1, mas menor que 10. 
Ex: 
11 3,333 10
3
x  2
1
6,25 10
16
x  3
2300
1,15 10
2
x 
 
Para determinar a potência de dez, basta determinar a posição da virgula. Conte então o número 
de casas deslocadas, para a esquerda ou para a direita, até chegar no algarismo maior ou igual a 1, 
mas menor que 10. 
Ex: 
 
1.2 Notação de Engenharia 
A notação de engenharia requer que todas as potências de dez devem ser 0 ou múltiplos de 3, e a 
mantissa deve ser maior ou igual a 1, mas menor que 1.000. 
Ex: 
31 0,3333 333,3 10
3
x   3
1
0,0625 62,5 10
16
x   3
2300
1150 1,15 10
2
x  
Para determinar a potência de dez, basta determinar a posição da virgula. Desloque a vírgula a cada 
três casas. Posicione a vírgula de modo que a mantissa esteja ente 1 e 999. Caso não esteja, desloque 
mais três casas. 
 
 
 
 
5 
Ex: 
 
1.1 Prefixos 
 
 
 
 
 
 
 
6 
Exemplos de aplicação dos prefixos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
1.3 Exercícios 
1) Escreva os números abaixo em notação cientifica e de engenharia: 
a) A distância média entre o Sol e a Terra é de 149 600 00Km 
b) A massa do Sol é de aproximadamente 1 989 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Kg 
c) O diâmetro do Sol é 1 390 000 Km 
d) A velocidade da luz é de aproximadamente 300 000 000 m/s 
e) O raio de um átomo é de 0,00000000005 mm 
2) Informações da revista Super Interessante: “O homem produz 8 trilhões de espermatozoides 
durante a vida. Em cada ejaculação, são liberados entre 250 000 e 500 000. A mulher nasce com 
400 000 óvulos nos dois ovários. Desses, só uns 500 vão maturar. Os que não forem fertilizados 
serão eliminados pela menstruação.” Escreva em notação científica e de engenharia o número 
aproximado de: 
a) espermatozoides que o homem produz durante a vida 
b) espermatozoides liberados durante a ejaculação 
c) óvulos que a mulher nasce nos dois ovários 
d) óvulos que não vão maturar 
3) (Unesp) Considere os três comprimentos seguintes: 
d1= 0, 521 km d2= 5, 21 x 10-2 m d3=5,21x10-6 mm 
a) Escreva esses comprimentos em ordem crescente 
b) Determine a razão d3/d2 
4) A carga de um elétron é - 0,00000000000000000016C. Escreva esse número em notação 
científica. E de engenharia. 
5) A massa do sol é cerca de 1,99x1030 kg. A massa do átomo de hidrogênio, constituinte principal 
do sol é 1,67x10-27 kg. Quantos átomos de hidrogênio há aproximadamente no sol? 
6) O fluxo total de sangue na grande circulação, também chamado de débito cardíaco, faz com que 
o coração de um homem adulto seja responsável pelo bombeamento, em média, de 20 litros por 
minuto. Qual a ordem de grandeza do volume de sangue, em litros, bombeado pelo coração em um 
dia? 
7) A nossa galáxia, a Via Láctea, contém cerca de 400 bilhões de estrelas. Suponha que 0,05% 
dessas estrelas possuam um sistema planetário onde exista um planeta semelhante à Terra. O 
número de planetas semelhantes à Terra, na Via Láctea é? 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
2. PORCENTAGEM 
Porcentagem é uma razão centesimal ou porcentual em que o denominador é igual a 100. Exemplo: 
25% (lê-se “vinte e cinco por cento”), que pode ser representado também por: 
 
 
 ou 0,25. 
Podemos representar as razões centesimais na forma decimal e em taxas percentuais, como mostrado 
a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Um colégio tem 2.000 alunos. Quantos por cento do total de alunos representa a 5ª série A, que tem 
40 alunos? 
Solução: 
 
 
 
A 5ª séria A representa 2% do total de alunos do colégio. 
 
2) Em uma cidade, 30% da população são homens e 40% são mulheres. Sabendo-se que há 4.500 
crianças, pergunta-se: qual a quantidade de homens e mulheres e qual a população da cidade? 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
2.1 Exercícios 
1) (UFSC) Ao vestibular de 1982 da UFSC, inscreveram-se 15.325 candidatos, dos quais 14.099 
concluíram todas as provas. Qual foi o percentual de abstenção? 
2) (UFR-RJ) Das 100 pessoas que estão em uma sala, 99% são homens. Quantos homens devem 
sair para que a porcentagem dos homens na sala passe a ser 98%? 
3) (UFSC) Se eu tivesse mais 20% da quantia que tenho, poderia pagar uma dívida de R$ 92,00 e 
ainda ficaria com R$ 8,80. Quanto possuo atualmente? 
4) João comprou uma TV e resolveu pagar à prazo, pois não podia pagar à vista. Sabendo que o 
valor à vista é de R$ 1500,00 e que o valor total à prazo é 15% maior que o valor à vista, 
responda: Quanto João vai pagar no total? 
5) Ana tem 20 anos e morou durante 5 anos nos Estados Unidos, 4 anos na Austrália e o resto no 
Brasil. Em porcentagem, quantos anos ela morou nos Estados Unidos? 
6) Maria comprou um vestido à vista para ganhar um desconto de 5% no valor original dele. Se o 
vestido custa R$ 60,00, quanto Maria pagou? 
7) Mercedes vendeu uma bicicleta por R$ 300,00, tendo um lucro nessa transação de 30% sobre a 
venda. Quanto ela pagou pela bicicleta? 
8) Vendi um aparelho eletrônico por R$ 300,00 com prejuízo de 25% do preço de custo. Quanto eu 
havia pago por ele? 
 
 
 
 
 
10 
3. ÁREA E VOLUME 
A área equivale a medida da superfície de uma figura geométrica plana. 
3.1 Área do Retângulo 
 
 
 
 
3.2 Área do Quadrado 
 
 
 
 
3.3 Área do Triângulo 
 
 
 
 
 
Triângulo equilátero: 
 
 √ 
 
 
 
3.4 Área do Paralelogramo 
 
 
 
 
 
 
11 
3.5 Área do Losango 
 
 
 
 
 
 
 
3.6 Área do Trapézio 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
3.7 Área do Círculo 
 
 
 
ou 
 
 
 
 
 
Em geral, o volume de sólidos refere-se à capacidade desse sólido e é calculado levando-se em 
consideração suas três dimensões. Em geral temos que: 
 
3.8 Volume do Paralelepípedo reto retangular 
 
 
 
 
 
 
 
12 
3.9 Volume do Cubo 
 
 
 
 
 
3.10 Volume do Cilindro 
 
 
 
 
 
3.11 Exercícios 
1) Um terreno tem a forma de um trapézio de bases 20m e 14m, e a altura 11m. Nesse 
terreno, construiu-se uma piscina retangular de 8m por 5m. No restante do terreno foram 
colocadas pedras. Qual área foi utilizada para colocar pedra? 
2) Para ladrilhar totalmente uma parede de 27m2 de área foram usadas peças quadradas de 
15cm de lado. Quantas peças foram usadas? 
3) Determine a área das figuras pintadas. 
 
 
4) Qual o volume de concreto necessário para fazer uma laje de 20cm de espessura em uma 
sala de 3m por 4m? 
5) Um cilindro circular reto tem 10cm de altura e sua base tem 12cm de diâmetro. Determine 
seu volume. 
 
 
 
13 
4. FUNÇÃO DO 1º GRAU 
As funções do 1º grau estão presentes em diversas situações do dia-a-dia. Vejamos este exemplo. 
Uma loja de eletrodomésticos contrata vendedores com as seguintes condições salariais: um fixo de R$ 
100,00 mais 5% sobre as vendas efetuadas. Vamos procurar uma fórmula que forneça o salário no final 
de cada mês. Lembremos que: 5% = 0,05. Chamemos o total do salário de y. Se o vendedor fizer uma 
venda de R$ 500,00, receberá: 
 
Portanto, a função que determina o seu salário ao final do mês será de: 
 
Chama-se de função do 1º Grau a função definida por y = ax + b, com a e b números reais e a≠0. a 
é o coeficiente angular da reta e determina sua inclinação, b é o coeficiente linear da reta e determina a 
interseção da reta com o eixo y. 
4.1 Gráfico da função do 1º Grau: 
Determine o gráfico de cada uma das funções a seguir. 
a) y = 2x + 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) y = -2x + 4 
 
 
 
 
 
 
Determine a equação para o gráfico a seguir: 
 
 
 
 
 
 
14 
4.2 Exercícios 
1) Esboce o gráfico para a função y = 3x+ 1. 
2) Determine a função para cada gráfico a seguir: 
 
3) Um caminhoneiro gasta, mensalmente, uma quantia fixa de R$ 800,00 na manutenção de seu 
caminhão. Além disso, sabe-se que esse caminhão consome, em média, 20 litros de diesel a cada 
100km rodados e que 1 litro de diesel custa R$ 0,60. Determine a expressão que permite calcular a 
sua despesa mensal D, em reais, em função do número x de quilômetros percorridos pelo caminhão 
no mês. 
4) Na locadora Loka Dora, a locação de uma fita tem preço único. Maria retirou uma fita por dois dias e 
pagou R$ 11,50. Aline retirou outra por um dia e pagou R$ 6,00. A lei que expressa o preço (y) da 
locação de uma fita em função do número de dias (x) de aluguel é dada por uma função do primeiro 
grau do tipo y = ax + b, onde b representa a parte fixa e a o valor único da locação por dia. 
a) Descubra a lei que relaciona y com x. 
b) Quantos reais se pagaria por 4 dias de locação? 
c) Se Bruno pagou R$ 17,00 pela locação de uma fita, durante quantos dias ele ficou com essa 
fita? 
 
5. FUNÇÃO DO 2º GRAU 
Chama-se função do 2º grau ou função quadrática, de domínio r e contradomínio r, a função 
y = ax
2
+ bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. a é o coeficiente de x
2, 
b é o coeficiente de x e 
c é o termo independente. Chama-se função completa aquela em que a, b e c não são nulos, e função 
incompleta aquela em que b ou c são nulos. 
5.1 Raízes da função do 2º Grau: 
Analogamente à função do 1º grau, para encontrar as raízes da função quadrática, devemos igualar f(x) 
a zero. Teremos então: 
 
A expressão assim obtida denomina-se equação do 2º grau. As raízes da equação são determinadas 
utilizando-se a fórmula de Bhaskara: 
 
 √ 
 
 ,onde 
Temos três casos para o ∆: 
 
 
 
15 
 
5.2 Gráfico da função do 2º Grau: 
Dada a função quadrática , cujo gráfico é uma parábola, se: 
 
Considerando os sinais do discriminante (Δ) e do coeficiente de x2, teremos os gráficos que seguem 
para a função : 
 
 
 
 
 
 
16 
5.3 Vértices da parábola: 
Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima ou um ponto de ordenada mínima. Esse ponto é 
chamado de vértice da parábola, é indicado por V(xv,yx) e tem coordenadas dadas por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.4 Exercícios 
1) Resolva as equações do 2º Grau: 
 
2) Oscar arremessa uma bola de basquete cujo centro segue uma trajetória plana vertical de equação 
 
 
 
 
 
 
 , na qual os valores de x e são dados em metros. 
 
Oscar acerta o arremesso e o centro da bola passa 
pelo centro da cesta, que está a 3m de altura. Qual é 
o valor da distância do centro da cesta ao eixo y? 
 
 
 
 
3) Considerando o gráfico a seguir, determine a lei da função. 
 
4) A frente de uma construção tem a forma de um arco de parábola, conforme a figura a seguir. 
 
Estabeleça um sistema cartesiano que tenha o eixo x passando pelo ponto A e que tenha o eixo y 
passando em V. Ache a lei da função correspondente. 
 
 
 
17 
 
6. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
6.1 Equações Lineares 
Toda equação do 1º grau que possui uma ou mais incógnitas é uma equação linear. 
a) X + y = 1 
b) 2x – 3y = 6 
c) X – 2y + 3z = 0 
6.2 Sistemas lineares: 
Sistema linear é todo sistema formado por equações lineares. 
a) {
 
 
 
6.3 Resolução de sistemas lineares: 
a) {
 
 
 
1º - Método da Substituição: 
 
 
 
 
 
 
2º - Método da adição: 
 
 
 
 
 
6.4 Exercícios 
1) Resolva os sistemas lineares a seguir: 
a) 
5 2 6
3 8
x y
x y
 

 
 
b) 
6 1
3 2 7
x y
x y
  

 
 
c) 
2 2 6
3 4 6
x y
x y
 

   
 
 
 
 
18 
 
 
 
 
19 
7. MATRIZ 
Uma matriz é uma tabela de números reais dispostos segundo linhas horizontais e colunas verticais. 
Para indicarmos uma matriz, usamos a seguinte notação: 
 
As matrizes são classificadas de acordo com o seu número de linhas e de colunas. Assim, a matriz 
representada ao lado é denominada matriz do tipo, ou ordem, 3 x 4 (lê-se três por quatro), pois tem três 
linhas e quatro colunas. 
 
Para indicar uma matriz qualquer, de modo genérico, usamos a seguinte notação: 
[ ]ij mxnA a , onde i representa a linha e j a coluna onde o elemento se encontra. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
20 
7.1 Determinante 
O determinante é um número real associado a uma matriz quadrada. 
Para indicar o determinante, usamos barras. Seja A uma matriz quadrada de ordem n, indicamos o 
determinante de A por: 
 
7.2 Determinante de Matriz 2x2 
Em uma matriz de 2ª ordem, obtém-se o determinante por meio da diferença do produto dos elementos 
da diagonal principal pelo produto dos elementos da diagonal secundária. Exemplo: 
 
Exemplo: 
1) Calcule o determinante das seguintes matrizes: 
 
 
 
 
 
 
7.3 Determinante de Matriz 3x3 
O determinante de uma matriz quadrada de 3ª ordem pode ser obtido pela Regra de Sarrus. Considere 
a seguinte matriz: 
 
A regra de Sarrus consiste em: 
a) Repetir as duas primeiras colunas à direita do determinante: 
 
 
 
 
21 
 
b) Multiplicar os elementos da diagonal principal e os elementos que estiverem nas duas 
paralelas a essa diagonal, conservando os sinais desses produtos. 
 
c) Efetuar o produto dos elementos da diagonal secundária e dos elementos que estiverem 
nas duas paralelas à diagonal e multiplicá-los por 1. 
 
d) Somar os resultados dos itens b e c. 
 
Exemplo: 
1) Calcule o determinante das seguintes matrizes. 
a) 
4 5 2
1 2 1
2 3 2
 
 
 
 
  
 
b) 
6 5 3
1 0 1
4 3 2
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
OBS: O determinante de uma matriz de ordem 3 ou superior pode 
ser calculada também pelo teorema de Laplace. Fique à vontade 
para aprender esse teorema. 
 
 
 
22 
 
7.4 Regra De Cramer 
Para resolver um sistema linear em que o número de equações é igual ao número de incógnitas 
podemos usar a Regra de Cramer. Veja como proceder para o caso de um sistema linear de duas 
equações com duas incógnitas. 
Vamos determinar os valores de x e y no seguinte sistema: 
3 4
2 5 6
x y
x y
  

 
 
1º Passo: calcular o determinante da matriz incompleta do sistema, também conhecida como a matriz 
dos coeficientes. 
3 1
(3.5) (1.2) 15 2 13
2 5
D       
OBS: caso o determinante da matriz incompleta for igual a zero, esse sistema não possui 
solução. 
 2º Passo: calcular o determinante da matriz que se obtém quando substituímos, na matriz incompleta, 
os coeficientes de x pelos termos independentes. Esse determinante ó chamado de determinante da 
incógnita x. 
4 1
( 4.5) (1.6) 20 6 26
6 5
xD

         
3º Passo: calcular o determinante da matriz que se obtém quando substituímos, na matriz incompleta, 
os coeficientes de y pelos termos independentes. Esse determinante ó chamado de determinante da 
incógnita y. 
3 4
(3.6) ( 4.2) 18 8 26
2 6
yD

       
Pela regra de Cramer a solução do sistema é dada por: 
xDx
D

 
yD
y
D

 
Portanto, temos que: 
26
2
13
Dx
x
D

    e 
26
2
13
Dy
y
D
   
 
 
 
 
 
23 
 
7.5 Exercícios 
1) Considerando o valor de a determinante indicada a seguir, calcule o valor de X. 
|
 
( ) 
| 
2) Após efetuar a análise de um circuito elétrico, você chega a seguinte matriz de coeficientes: 
[
 
 
 
] 
Qual será o determinante da matriz indicada? 
3) Qual o valor de X na matriz a seguir de modo que o determinante da mesma seja igual a -5? 
[
 
 
 ( ) 
] 
4) Calcule o determinante das seguintes matrizes: 
 
3 3
4 5
A
 
  
  
 
2 1 3
1 7 4
2 1 3
A
 
 
 
 
  
 
 
3 2 4
5 5 1
2 3 8
M
 
 
 
 
  
 
 
5) Resolva a equação 6
5
x x
x
  
6) Uma loja de departamentos, para vender um televisor, um DVD e um aparelho de som, propôs a 
seguinte oferta: o televisor e o DVDcustam juntos R$ 1200,00; o DVD e o aparelho de som custam 
juntos R$ 1100,00; o televisor e o aparelho de som custam juntos R$ 1500, 00. Quanto pagar a um 
cliente que comprar os três produtos anunciados? 
7) O diretor de uma empresa, o Dr. Antônio, convocou todos os seus funcionários para uma reunião. 
Com a chegada do Dr. Antônio à sala de reuniões, o número de homens presentes na sala ficou quatro 
vezes maior que o número de mulheres também presentes na sala. Se o Dr. Antônio não fosse à 
reunião e enviasse sua secretária, o número de mulheres ficaria a terça parte do número de homens. A 
quantidade de pessoas, presentes na sala, aguardando o Dr. Antônio é? 
8) Um joalheiro tem em seu estoque de joias: anéis, pingentes e pulseiras. Cada pingente pesa 3g e 
custa 10 reais; cada anel pesa 5g e custa 20 reais; cada pulseira custa 50 reais e pesa 9g. No total o 
estoque conta com 100 peças, num total de 600g e está avaliado em 2800 reais. A quantidade de anéis 
que o joalheiro tem em estoque é. 
 
 
 
24 
 
 
 
 
25 
8. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
8.1 Ciclo trigonométrico 
Chamamos de ciclo trigonométrico toda circunferência orientada, em que: 
 O centro é a origem do plano cartesiano 
 O raio (r) é unitário (r = 1) 
 O sentido positivo é o anti-horário 
 O sentido negativo é o sentido horário 
 O ponto A é a origem do ciclo 
trigonométrico. 
 
 
8.2 Arco de circunferência 
Tomando dois pontos distintos sobre uma circunferência, estamos determinando dois arcos: 
 
Um ângulo com vértice no centro de uma circunferência é chamado ângulo central (α). Portanto, unindo 
as extremidades dos arcos ao centro da circunferência encontramos o ângulo central α correspondente 
ao arco QP. 
 
8.3 Unidades de Arco: 
 GRAU (º) 
Obtém-se um grau (1º) dividindo a circunferência em 360 partes iguais. 
 RADIANOS (rad) 
Obtém-se um radiano (1 rad) tomando sobre a circunferência um arco que tenha a mesma medida que 
o raio. 
 
 
 
26 
 
Para fazer a conversão entre as unidades, podemos utilizar a seguinte relação: 
 
Exemplo: 
1) Converta para radianos: 
a) 30º 
30º*
180º 6
RAD
 
  
b) 120º 
120º* 2
180º 3
RAD
 
  
2) Converta para graus: 
a) 
3
2

 
3
*180
2 270ºGRAUS


  
b) 
4

 
*180
4 45ºGRAUS


  
 
8.4 Função Seno 
Considerando um arco AP, cuja medida é o número real x, denominamos seno do arco AP o valor da 
ordenada do ponto P. 
 
 
 
( )y sen x
 
1 ( ) 1sen x   
 
 
 
27 
 
Sinais da função seno: 
 
Gráfico da função seno: 
 
 
8.5 Função Cosseno 
Considerando um arco AP, cuja medida é o número real x, denominamos seno do arco AP o valor da 
abscissa do ponto P. 
 
 
cos( )y x
 
1 cos( ) 1x   
 
 
 
 
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
y = sen(x) 
 
 
 
28 
Sinais da função cosseno: 
 
Gráfico da função cosseno: 
 
 
8.6 Ângulos notáveis 
 
 30º 45º 60º 
sen(x) 
1
2 
2
2
 
3
2 
cos(x) 
3
2
 
2
2 
1
2 
tg(x) 
3
3
 1 3 
 
 
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
y=cos(x) 
 
 
 
29 
8.7 Redução ao 1º Quadrante 
Seno e cosseno dos arcos múltiplos de 30º: 
 
Seno e cosseno dos arcos múltiplos de 45º: 
 
 
8.8 Trigonometria No Triângulo Retângulo 
Chamamos de triângulo retângulo aquele que possui um ângulo reto (ângulo de 90º). No triângulo 
retângulo, os lados recebem nomes específicos: catetos e hipotenusa. 
cos
catetooposto a
sen
hipotenusa
cateto adjacente a
hipotenusa
catetooposto
tg
cateto adjacente








 
 
 
 
30 
8.9 Teorema de Pitágoras 
Em todo triângulo retângulo o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das 
medidas dos catetos. 
 
 
2 2 2 2 2c a b c a b    
 
 
 
 
Exemplo: 
Determine o valor do seno, cosseno e tangente para os ângulos α e β. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.10 Exercícios 
1) Preencha a tabela a seguir com os valores faltantes: 
ϴ em º ϴ em rad sen ϴ cos ϴ 
30º 
45º 
120º 
135º 
220º 
 
2) Determine o gráfico da função y = sen(2x) no intervalo 0<x<2π. 
3) Calculando-se o valor da expressão: 
 (
 
 ) (
 
 )
 (
 
 )
 
 
 
 
31 
Encontramos qual valor? 
4) Uma escada está apoiada em um muro de 2m de altura, formando um ângulo de 45º.Forma-se, 
portanto, um triângulo isóscele. Qual é o comprimento da escada? 
5) Usando os triângulos retângulos a seguir, determine as razões trigonométricas para o ângulo x. 
 
 
6) No exercício anterior, o que podemos concluir sobre o ângulo x? Quanto mede esse ângulo? 
7) Observe a figura a seguir e determine a altura “h” do edifício, sabendo que AB mede 25m e cosϴ 
= 0,6. 
 
8) Em certa hora do dia, os raios do Sol incidem sobre um local plano com uma inclinação de60° em 
relação à horizontal. Nesse momento, o comprimento da sombra de uma construção de 6m de altura será 
aproximadamente igual a? 
9) A figura representa um barco atravessando um rio, partindo de A em direção ao ponto B. A forte correnteza 
arrasta o barco em direção ao ponto C, segundo um ângulo de 60º. Sendo a largura do rio de 120 
m, qual a distância percorrida pelo barco até o ponto C? 
 
10) Para permitir o aceso a um monumento que está em um pedestal de 2m de altura, vai ser 
construída uma rampa com inclinação de 30°com o solo, conforme a ilustração. Qual deve ser o 
comprimento da rampa? 
 
 
 
 
32 
 
 
11) Um foguete é lançado sob um ângulo de 30 º. A que altura se encontra depois de percorrer 12 km 
em linha reta? 
12) O triangulo a seguir representa a relação entre as 
potências em um sistema de tensão alternada. Ao realizar a 
medição das potências deste sistema, um técnico obteve 
uma Potência Ativa P=200W e uma Potência Reativa 
Q=50VAR. Qual será o valor da Potência Aparente neste 
sistema? 
13) Um técnico tem a sua disposição um alicate amperímetro capaz de medir as potências aparente e 
ativa, porém, para realizar a correção do fator de potência, será necessário obter a potência reativa de 
uma determinada máquina. Ao realizar as medidas possíveis, o técnico obteve as seguintes 
informações: Potência Aparente S=12kVA e Potência Ativa P=10kW. Considerando o mesmo triangulo 
das potências da questão 1, determine o valor da Potência Reativa Q. 
14) Ao consultar a etiquete de um motor elétrico, um técnico verifica que, devido a ocorrência de uma 
avaria, a informação sobre a Potência Ativa do um motor já não está mais visível. Ele percebe então 
que as potências Aparente S=12KVA e Reativa Q=1,5kVAR ainda estão presentes na etiqueta. O 
objetivo do técnico é verificar qual a potência útil do motor (Potência Ativa), dado este que já não se 
encontra presente. Considerando o triangulo das potências da questão 1, determine o valor da 
Potência Ativa deste motor. 
15) Sabe-se que no triangulo das potências ilustrado ao 
lado, o valor do fator de potência é dado pelo cosseno do 
ângulo ᵠ. Sendo os valores das potências Aparente 
S=700kVA, e Reativa Q=100kVAR, qual será o fator de 
potência deste circuito? 
 
 
 
 
 
 
33 
9. NÚMEROS COMPLEXOS 
Considere a seguinte equação: 
2 2 5 0x x   (1) 
Para encontrar as raízes dessa equação, usaremos a formula de Bhaskara: 
2 24 2 4.1.5 4 20 16b ac            
2 16
2 2
b
x
a
     
  
Quanto vale a 16 ? Essa raiz não existe no conjunto dos números reais. Por isso, para que esse tipo 
de equação tivesse solução, os matemáticos ampliaram o campo dos números, criando um novo 
número, não real, chamado de unidade imaginária (i). Onde: 
1i   
Assim, todas as raízes quadradas de números negativos podem ser escritas a partir de i. 
Agora podemos encontrar as raízes da equação (1): 
2 16 2 16. 1 2 4
1 2
2 2 2 2
b i
x i
a
          
       
OBS: nos estudos da Eletricidade, substituímos a letra i pela letra j parta representar a unidade 
imaginaria. Portanto, a partir desse momento temos que: 1j  São usadas duas formas de representar um número complexo: forma retangular e a forma polar. 
 
9.1 Forma Retangular 
 C x jy  
 
Onde: 
C = numero complexo 
x = parte real 
y = parte imaginária 
 
 
 
 
34 
Exemplos: 
Represente os seguintes números no plano complexo. 
a) 3 4C j  
 
 
b) 0 6C j  
 
c) 10 20C j   
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
9.2 Forma Polar 
C Z   
 
 
Onde: 
C = numero complexo 
Z = módulo 
θ = ângulo formado entre o vetor e o eixo real. 
 
Exemplos: 
Represente os seguintes números no plano complexo. 
a) 5 30ºC   
 
b) 7 120ºC   
 
c) 4,2 60ºC    
 
 
 
36 
 
 
 
 
 
37 
9.3 Conversão entre formas 
 Retangular para Polar: 
2 2Z x y 
 
1 ytg
x
 
 
  
  
 Polar para Retangular: 
cosx  y sen
 
 
 Uso da Calculadora (sequência baseada no modelo CASIO fx-82MS e similares): 
Primeiro a calculadora deve estar no modo DEG (graus). Para isso, aperte a tecla MODE duas vezes. A 
seguinte tela será exibida: 
 
Aperte a tecla correspondente ao numero 1. 
 Retangular para Polar: 
Exemplo: Converter 3 4Z j  para polar: 
1º - Aperte a tecla (POL 
2º - Insira a parte real do número complexo. No exemplo, a parte real vale 3. 
3º - Separando por vírgula 
,
 insira a parte imaginária. No exemplo, a parte imaginária vale 4. 
 
4º - Pressione a tecla de igualdade  . O primeiro resultado corresponde ao módulo do número 
complexo. 
 
Nesse exemplo, o módulo vale 5. 
 
 
 
38 
5º - Para determinar o ângulo formado entre o vetor e o eixo real, pressione a tecla RCL seguida 
da tecla tan . F corresponde ao ângulo θ. 
 
Portanto o número 3 4Z j  na forma retangular corresponde ao número 5 53,13ºZ   na forma 
polar. 
 Polar para Retangular: 
Exemplo: Converter 10 30ºZ   para polar: 
1º - Aperte as teclas SHIFT (POL . 
2º - Insira o módulo do número complexo. No exemplo, o módulo vale 10. 
3º - Separando por vírgula 
,
 insira o ângulo. No exemplo, o ângulo vale 30º. 
 
4º - Pressione a tecla de igualdade  . O primeiro resultado corresponde à parte real do número 
complexo. 
 
Nesse exemplo, a parte real vale 8,66. 
5º - Para determinar a parte imaginária do número complexo, pressione a tecla RCL seguida da 
tecla tan . F corresponde a parte imaginária. 
 
 
 
 
39 
Portanto o número 10 30ºZ   na forma polar corresponde ao número 8,66 5Z j  na forma 
polar. 
9.4 Operações com números complexos 
As operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão podem ser realizadas com 
facilidade com os números complexos. 
 Adição e Subtração: 
Essas operações serão feitas com os números complexos na forma RETANGULAR. 
Para somar ou subtrair um número complexo, para somar ou subtrair as partes reais e imaginárias 
separadamente. Por exemplo, se: 
   1 1 1 2 2 2C x jy e C x jy    
Então: 
1 2 1 2 1 2( ) ( )C C x x j y y     
Exemplo: 
Considere os seguintes números complexos. 
1
2
3
5 2
3 4
2 6
C j
C j
C j
 
  
 
 
Faça as operações a seguir: 
a) C1+C2 
1 2 (5 2) ( 3 4) (5 3) (2 4) 2 6C C j j j j            
b) C2 - C3 
2 3 ( 3 4) (2 6) ( 3 2) (4 6) 5 10C C j j j j              
c) C3 + C1 
3 1 (2 6) (5 2) (2 5) ( 6 2) 7 4C C j j j j            
 Multiplicação: 
Em formato polar, os valores são multiplicados e os ângulos são somados algebricamente. Por exemplo, para 
1 1 1 2 2 2C Z e C Z     
Então: 
1 2 1 2 1 2. .C C Z Z     
Exemplo: 
Considere os seguintes números complexos. 
1
2
3
10 60º
5 45º
2,5 30º
C
C
C
 
 
 
 
Faça as operações a seguir: 
 
 
 
40 
a) C1.C2 
   1 2. 10 60º . 5 45º 10.5 60º 45º 50 15ºC C         
 
b) C2.C3 
   2 3. 5 45º . 2,5 30º 5.2,5 45º 30º 12,5 15ºC C         
 Divisão: 
Em formato polar, os valores são divididos e os ângulos são subtraídos algebricamente. Por exemplo, para 
1 1 1C Z   e 2 2 2C Z   
Então: 
1 1
1 2
2 2
C Z
C Z
    
Exemplo: 
Considere os seguintes números complexos. 
1
2
3
10 30º
2 60º
5 45º
C
C
C
 
 
 
 
Faça as operações a seguir: 
a) C1/C3 
1
3
10 30º 10
30º 45º 2 15º
5 45º 5
C
C

     

 
b) C2/C1 
2
1
2 60º 2
60º 30º 0,2 90º
10 30º 10
C
C

     

 
c) C3/C2 
3
2
5 45º 5
45º ( 60º ) 2,5 105º
2 60º 2
C
C

      

 
 
 
 
 
 
 
41