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2a Lista de Exercícios de Álgebra Linear
Profa. Melissa Weber Mendonça
2015.1
1. Seja U o subespaço de ’3 gerado por (1, 0, 0), e W o subespaço de ’3 gerado por (1, 1, 0) e
(0, 1, 1). Mostre que ’3 = U ⊕W.
2. Sejam
W1 = {(x, y, z, t) ∈ ’4 : x + y = 0 e z − t = 0}
W2 = {(x, y, z, t) ∈ ’4 : x − y − z + t = 0}
subespaços de ’4.
a) Determine W1 ∩W2.
b) Exiba uma base para W1 ∩W2.
c) Determine W1 +W2.
d) W1 +W2 é soma direta? Justifique.
e) W1 +W2 = ’4?
3. Prove que se A, B : E → F são transformações lineares e α ∈ ’, então A + B e αA são
transformações lineares.
4. Seja A : ’2 → ’2 a projeção sobre o eixo x, paralelamente à reta y = ax (a , 0). Isto significa
que, para todo v = (x, y), temos que Av = (x′, 0), tal que Av−v pertence à reta y = ax. Exprima
x′ em função de x e y e escreva a matriz de A relativamente à base canônica do ’2.
5. Dados os vetores u1 = (2,−1), u2 = (1, 1) u3 = (−1,−4), v1 = (1, 3), v2 = (2, 3) e v3 = (−5,−6),
decida se existe ou não um operador linear A : ’2 → ’2 tal que Au1 = v1, Au2 = v2 e Au3 = v3.
Mesma pergunta com v3 = (5,−6) e v3 = (5, 6).
6. Seja A : ’2 → ’3 uma transformação linear tal que A(−1, 1) = (1, 2, 3) e A(2, 3) = (1, 1, 1).
Encontre a matriz de A relativamente às bases canônicas do ’2 e ’3.
7. Quais das transformações abaixo são lineares?
a) A : ’3 → ’3, (x, y, z) 7→ (x, 2y, 2z)
b) A : ’4 → ’3, (x, y, z,w) 7→ (x − w, y − w, x + z)
c) A : ’2×2 → ’2×2,
[
a b
c d
]
7→
[
a c
b d
]
d) A :M2×2 → ’,
[
a b
c d
]
7→ det
[
a b
c d
]
1
e) A : ’→ ’, x 7→ |x|.
8. Se R(x, y) = (2x, x − y, y) e S (x, y, z) = (y − z, z − x), ache R ◦ S e S ◦ R.
9. Seja A : ’3 → ’3 dado por A(x, y, z) = (ay + bz, cz, 0). Mostre que A3 = 0.
10. Dado o operador A : ’2 → ’2 com A(x, y) = (3x − 2y, 2x + 7y), ache um vetor não nulo
v = (x, y) tal que Av = 5v.
11. Sejam A, B : E → E operadores lineares. Suponha que existam vetores u, v ∈ E tais que Au e
Av sejam linearmente dependentes. Prove que BAu e BAv também são linearmente dependen-
tes.
12. Seja A : E → E um operador linear. Para quaisquer vetores u ∈ N(A) e v ∈Im(A), prove que
se tem Au ∈ N(A) e Av ∈Im(A).
13. Escreva a expressão de um operador A : ’2 → ’2 cujo núcleo seja a reta y = x e cuja imagem
seja a reta y = 2x.
14. Defina um operador A : ’2 → ’2 que tenha como núcleo e imagem o eixo x.
15. Considere a transformação linear A : ’4 → ’3 dada por
A(x, y, z, t) = (x + y + z + 2t, x − y + 2z, 4x + 2y + 5z + 6t).
Encontre um vetor b ∈ ’3 que não pertença à imagem de A e com isso exiba um sistema linear
de três equações com quatro incógnitas que não tem solução.
16. Determine uma base para a imagem e uma base para o núcleo de cada uma das transformações
lineares abaixo e indique quais são sobrejetivas:
(a) A : ’2 → ’2, A(x, y) = (x − y, x − y)
(b) B : ’4 → ’4, B(x, y, z, t) = (x + y, z + t, x + z, y + t)
(c) C : ’3 → ’3, C(x, y, z) = (x + y2 , y + z2 , z + x2 )
(d) E : Pn → Pn+1, E(p(x)) = xp(x).
17. Dê, quando possível, exemplos de transformações lineares satisfazendo:
a) T : ’3 → ’2 sobrejetora
b) T : ’3 → ’2 com N(T ) = {0}
c) T : ’3 → ’2 com Im(T ) = {0}
d) T : ’2 → ’2 com N(T ) = {(x, y) ∈ ’2 | x = y}
e) T : ’3 → ’3 com N(T ) = {(x, y, z) ∈ ’3 | z = −x}
18. Sem fazer hipóteses sobre as dimensões de E e F, sejam A : E → F e B : F → E transforma-
ções lineares. Se AB é inversível, prove que A é sobrejetiva e B é injetiva.
19. Prove ou dê um contra-exemplo: Se A, B : E → F são operadores de mesmo posto r, então o
produto BA tem posto r.
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20. (Desafio) Seja A : E → E fixo, e seja C(A) o conjunto de todos os operadores lineares X :
E → E que comutam com A (ou seja, AX = XA). Prove que C(A) é um subespaço vetorial e
que se X,Y ∈ C(A), então XY ∈ C(A).
21. (Desafio) Seja E = C0(’) o espaço das funções contínuas f : ’ → ’. Defina o operador
linear A : E → E que associa, a cada f ∈ E, A f = ϕ, onde
ϕ(x) =
∫ x
0
f (t)dt, x ∈ ’.
Determine o núcleo e a imagem do operador A.
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