Cap.1 Algebra vetorial

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Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
ÁLGEBRA VETORIAL
- TÓPICOS DAS AULAS -
1. Introdução.
2. Escalares e vetores.
3. Vetor unitário.
4. Soma e subtração de vetores.
5. Vetor posição e vetor distância.
6. Multiplicação vetorial.
7. Componentes de um vetor.
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Introdução
• O eletromagnetismo pode ser considerado como o estudo da 
interação entre cargas elétricas em repouso e em movimento.
• Os princípios do eletromagnetismo se aplicam em várias 
disciplinas afins, tais como: microondas, antenas, máquinas 
elétricas, comunicações por satélite, interferência e 
compatibilidade eletromagnética, conversão eletromecânica de 
energia e comunicações ópticas, por exemplo.
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Escalares e vetores
• Uma grandeza pode ser um escalar ou um vetor.
• Um escalar é uma grandeza que só tem magnitude. 
Exemplo: tempo, massa, distância, temperatura e população.
• Um vetor é uma grandeza que tem magnitude e orientação. 
Exemplo: velocidade, força, deslocamento e campo elétrico.
• Uma outra categoria de grandezas físicas é denominada de 
tensores, dos quais os escalares e os vetores são casos 
particulares.
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• A teoria do eletromagnetismo é essencialmente um estudo de 
campos particulares.
• Um campo é uma função que especifica uma grandeza particular 
em qualquer ponto de uma região.
• Se a grandeza é escalar, ou um vetor, o campo é dito escalar, ou 
vetorial.
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Vetor unitário
• Um vetor A tem magnitude e orientação.
• Um vetor unitário âA, ao longo de A, é definido como um vetor 
cuja magnitude é a unidade e a orientação é ao longo de A, isto é
dessa forma, podemos escrever A como
o que especifica completamente A em termos de sua magnitude e 
sua orientação.
→
→
=
A
AâA
AâAA
→→
=
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• Um vetor A, em coordenadas cartesianas, pode ser representado 
como
onde Ax, Ay e Az são denominadas de componentes de A, 
respectivamente nas direções x, y e z. âx, ây e âz são, 
respectivamente, os vetores unitários nas direções x, y e z.
( )
zzyyxxzyx ou,, âAâAâAAAA ++
Figura 1 Figura 2
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• A magnitude do vetor A é dada por
e o vetor unitário ao longo de A é dado por
2
z
2
y
2
x AAAA ++=
→
2
z
2
y
2
x
zzyyxx
A
AAA
âAâAâA
â
++
++
=
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Soma e subtração de vetores
• Dois vetores A e B podem ser somados para resultar em um 
outro vetor C, isto é
• A soma de vetores é feita componente a componente. Dessa 
forma, se A=(Ax, Ay, Az) e B=(Bx, By, Bz), temos que
→→→
+= BAC
( )
zzyyxx ,, BABABAC +++=
→
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• A subtração de vetores é feita de modo similar
• As três propriedades básicas da álgebra que são satisfeitas por 
quaisquer vetores dados A, B, e C, são as seguintes
– Comutativa:
onde k é um escalar.
( )
zzyyxx ,, BABABABABAD −−−=





−+=−=
→→→→→
kAAk
ABBA
→→
→→→→
=
+=+
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– Associativa:
– Distributiva:
onde k e l são escalares.
( )→→
→→→→→→
=





+




 +=




 ++
AklAlk
CBACBA
→→→→
+=




 + BkAkBAk
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Vetor posição e vetor distância
• Um ponto P, em um sistema de coordenadas cartesianas, pode 
ser representado por (x, y, z).
• O vetor posição rP, ou raio vetor, de um ponto P, é um vetor que 
começa na origem do sistema de coordenadas e termina no 
ponto P, ou seja,
• O vetor distância é o deslocamento de um ponto a outro.
zyxP zâyâxâOPOPr ++=−==
→→
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• Se dois pontos, P e Q, são dados por (xP, yP, zP) e (xQ, yQ, zQ), o 
vetor distância, ou vetor separação, é o deslocamento de P a Q, 
ou seja,
( )PQPQPQPQPQ ,, zzyyxxrrr −−−=−= →→→
Figura 3 Figura 4
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• Um campo vetorial é dito constante, ou uniforme, se não 
depende das variáveis de espaço x, y, e z.
• Por exemplo, 
é um vetor uniforme, visto que B é o mesmo em qualquer ponto 
do espaço, enquanto que o vetor
é não uniforme, pois A varia ponto a ponto no espaço.
zyx 1023 âââB +−=
→
z
2
y
2
x2 zâxâyxyâA −+=
→
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Exercícios
1. Dados os vetores A = âx + 3 âz e B = 5âx + 2ây - 6âz, determine:
a) A magnitude de A + B.
b) O vetor 5A – B.
c) A componente de A ao longo de ây.
d) Um vetor unitário paralelo a 3A + B.
2. Dados os pontos P (1, -3, 5), Q (2, 4, 6) e R (0, 3, 8), determine:
a) Os vetores posição de P e R.
b) O vetor distância rQR.
c) A distância entre os pontos Q e R.
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Multiplicação vetorial
• Quando dois vetores, A e B, são multiplicados entre si, o 
resultado pode ser um escalar ou um vetor, dependendo de 
como eles são multiplicados.
1. Produto ponto ou escalar:
― É definido, geometricamente, como o produto das 
magnitudes de A e B e do cosseno do ângulo entre eles, ou 
seja,
onde θAB é o menor ângulo entre os vetores A e B.
ABcos θ
→→→→
=⋅ BABA
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― Se A=(Ax, Ay, Az) e B=(Bx, By, Bz), temos que
― Dois vetores A e B, são ditos ortogonais, ou perpendiculares, 
um em relação ao outro, se A.B=0.
― O produto escalar satisfaz as seguintes propriedades:
zzyyxx BABABABA ++=⋅
→→
→→→→
⋅=⋅ ABBA
2→→→
→→→→→→→
=⋅
⋅+⋅=




 +⋅
AAA
CABACBA
Comutativa
Distributiva
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2. Produto cruzado ou vetorial:
― É uma quantidade vetorial cuja magnitude é a área do 
paralelogramo formado por A e B e cuja orientação é dada 
pelo avanço de um parafuso de rosca direita à medida que A
gira em direção a B.
Figura 5
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― Dessa forma,
onde θAB é o menor ângulo entre os vetores A e B e ân é um 
vetor unitário normal ao plano que contém A e B.
― A orientação de ân é tomada como a orientação do polegar da 
mão direita quando os dedos da mão direita giram de A até
B.
nABsen âBABA θ
→→→→
=×
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― Se A=(Ax, Ay, Az) e B=(Bx, By, Bz), então
zyx
zyx
zyx
BBB
AAA
âââ
BA =×
→→
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0=×
→→
AA
→→→→→→→
×+×=




 +× CABACBA É distributivo
→→→→
×−=× ABBA
→→→→→→
×




×≠





×× CBACBA
Não é comutativo
Não é associativo
― O produto vetorial tem as seguintes propriedades:
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3. Produto escalar triplo:
― Dados três vetores A, B e C, definimos o produto escalar 
triplo como
― Se A=(Ax, Ay, Az), B=(Bx, By, Bz) e C=(Cx, Cy, Cz), então o 
produto escalar triplo pode ser entendido como o volume de 
um paralelepípedo tendo A, B e C como arestas.






×⋅=





×⋅=





×⋅
→→→→→→→→→
BACACBCBA
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― Esse volume é obtido da seguinte forma
zyx
zyx
zyx
CCC
BBB
AAA
CBA =





×⋅
→→→
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4. Produto vetorial triplo:
― Para os três vetores A, B e C, definimos o produto vetorial 
triplo como






⋅−





⋅=





××
→→→→→→→→→
BACCABCBA
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Componentes de um vetor
• Dado um vetor A, definimos a componente escalar AB de A, ao 
longo do vetor B, como
• A componente vetorial AB de A, ao longo de B, é simplesmente a 
componente escalar AB multiplicada por um vetor unitário ao 
longo de B, isto é
BB âAA ⋅=
→
BBBBB ââAâAA 





⋅==
→→
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Exercícios
3. Se A = âx + 3 âz e B = 5âx + 2ây - 6âz, determine θAB.
4. Sejam E = 3ây + 4âz e F = 4âx - 10ây + 5âz, determine:
a) A componente de E ao longo de F.
b) O vetor unitário ortogonal a E e F, simultaneamente.
5. Se P1 é (1, 2, -3) e P2 é (-4, 0, 5), determine:
a) A distância P1 P2.
b) A equação vetorial da linha P1 P2.
c) A menor distância entre a linha P1 P2 e o ponto P3 (7, 1, 2).