Bernoulli livro

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Aula 4
Equação da Conservação da Energia 
(Bernoulli sem perdas)
Introdução
Muitos problemas envolvendo o movimento dos fluidos
exigem que a primeira lei da termodinâmica, também
chamada equação da energia, seja usada para relacionar
as quantidades de interesse. Ex.:
Calor transferido a um dispositivo(caldeira ou compressor);
Trabalho feito por um objeto ( bomba ou turbina);
Relacionar pressões e velocidades quando a equação de
Bernoulli não é aplicável (efeitos viscosos e escoamentos
em tubulações ou em canal aberto ).
Introdução
Os únicos caminhos para variar a energia de um
sistema fechado são através da transferência de energia por
meio do trabalho ou calor. Um aspecto fundamental do
conceito de energia é que a energia se conserva, chamamos
esse fato de primeira lei da termodinâmica.
Equação da Energia
Para um sistema a formulação da primeira lei da
termodinâmica será:
A forma da taxa do balanço de energia expressa em 
palavras:







WQ
dt
dE
sistema
variação
da quantidade
de energia 
contida no
sistema 
durante um
certo intervalo
de tempo
quantidade líquida
da energia transferida
para dentro através
da fronteira do
sistema por
transferência de
calor durante o
intervalo de tempo
quantidade líquida
da energia 
transferida para 
fora através
da fronteira do
sistema por
trabalho durante o
intervalo de tempo
= -
Equação da Energia
 Como no tempo inicial o volume de controle e sistema
coincidem, podemos expressar a equação da energia na forma
de volume de controle . Aplicando o Teorema de Transporte de
Reynolds, com N=E e =e , temos:
Em que a energia específica e inclui a energia cinética
V²/2, a energia potencial gz e a energia interna u, isto é:

dAVede
t
WQ
SCVC





 
ugz
V
e 
2
2
Equação da Energia
 Portanto, a Equação da Energia para volume de controle pode 
ser expressa:
Sendo:
: transferência da taxa de energia devido a diferença de temperatura.
: taxa de trabalho realizado (ex. presença de bomba/turbina, efeitos
viscosos, trabalho devidos às forças de pressão, cisalhamento).
dAVugz
V
dugz
V
t
WQ
SCVC

















 
22
22

Q

W
Equação da Energia
Considerações:
1. Escoamento isotérmico (sem variação de temperatura);
2. Sem realização de trabalho (sem presença de
bomba/turbina e efeitos viscosos desprezíveis);
3. Regime permanente (propriedades não variam no
tempo);
dAVugz
V
dugz
V
t
WQ
SCVC

















 
22
22
Zero (1) Zero (2) Zero (3)
Equação da Energia
 A equação anterior pode ser expressa:
Note que foi adicionado o termo P/ρ , relacionado ao
trabalho devido às forças de pressão que foi mudando
para o lado direito e é tratado como termo de fluxo de
energia
dAV
P
ugz
V
SC








 
2
0
2
Equação da Energia
 Da equação anterior podemos fazer mais algumas
considerações:
1. Considerar escoamento em dois pontos ao longo de uma 
linha de corrente.
2. Escoamento Uniforme;
3. Variação da energia interna u entre a entrada e saída 
desprezível;
0
22
2
2
222
1
2
111 











 gz
VP
AVgz
VP
AV 
Equação da Energia
Como
 Chegamos na equação da energia, dadas as
considerações anteriores:
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
ctegz
VP
gz
VP













2
2
1
2
22 massa) da oconservaçã (mAVρAV 222111 
Eq. de Bernoulli
• Regime permanente
• Escoamento incompressível 
• Escoamento sem atrito
• Escoamento ao longo de uma linha de corrente 2
2
1
2
22 












 gz
VP
gz
VP

Unidade: energia por unidade de massa  J/kg 
Ou velocidade ao quadrado m2/s2
1.) Um grande tanque de água tem um pequeno orifício, à
distância h da superfície da água, conforme a figura
abaixo. Achar a velocidade de escoamento da água
através do orifício.
2.) Uma caixa d’água de 1,0 m de altura está apoiada sobre
uma lage de 4,0 m de altura e alimenta a tubulação de um
chuveiro. Considerando que o diâmetro da tubulação próximo
ao chuveiro na seção (2) é ½ polegada e que esta seção está a
2,0 m do solo, determinar para fluido ideal:
a) A vazão em volume de água;
b) A vazão em volume de água considerando que a altura da
lage é 10 m.
3.) A pressão no ponto S do sifão não deve cair abaixo de 25
Kpa (abs). Desprezando as perdas, determinar:
a) velocidade do fluido;
b) a máxima altura do ponto S em relação ao ponto (A);
Dados: P atm = 100 KPa; Peso específico água é 10.000
N/m³
4.) Um tubo de Venturi tem um diâmetro à entrada de 0.6
m e é projetado para lidar com 6 m3/s de ar. Qual deverá
ser o diâmetro do estrangulamento para que um
manómetro diferencial ligado à entrada e ao
estrangulamento indique um diferença de carga
equivalente a 10 cm de álcool?
Tubo de Pitot
O tubo de Pitot é um instrumento que permite determinar a
velocidade de um escoamento de fluido. No ponto de
estagnação, no cento da parte frontal do instrumento, onde
o ar é freado bruscamente, tem-se a pressão total P
(pressão de estagnação). Já o escoamento que passa
pelas laterais do Tubo de Pitot, tem sua pressão estática
sentida nos orifício de pressão estática.
5) Num tubo de seçao circular com diamêtro de 10 cm , um
tubo de pitot foi instaladado para medir a velocidade no
eixo do tubo. Sendo o fluido manomêtrico o mercúrio
(Hg). Determine a vazão do tubo em litros/segundo.
Adote : ρ Hg = 13.600 Kg/m³, ρ água = 1000 Kg/m³ e
g=10m/s²
Aula 5
Bernoulli e Presença de Máquina 
(bomba/turbina)
2
2
1
2
22 












 z
g
V
g
P
Hz
g
V
g
P
m 
 Se procura a energia fornecida pela turbina ou requerida pela
bomba, deve-se usar a eficiência de cada dispositivo:
A potência gerada pela turbina, com eficiência é:
A potência gerada pela bomba, com eficiência é:
Potência : [watts, ft-lb/s, HP]. 1 C.V=735,5 W
T TTT gQHN 
B B
B
B
QH
gN

 opostaemjog
util
N
N

gQHN 
Potencial 
do fluido