Reologia_e_tipos_de_fluidos

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28 Parte Um: Introdução 
 
 
 
Fenômenos de Transporte para Cursos Técnicos e Tecnológicos 
Tabela II.3 – Tensão superficial de líquidos a 20oC. 
Líquido 
γγγγ 
[mN/m]
 
 Líquido 
γγγγ 
[mN/m]
 
 Líquido 
γγγγ 
[mN/m]
 
Acetato de etila 23,9 Acetona 23,7 Água 72,7 
Álcool metílico 22,6 Álcool etílico 22,7 Benzeno 28,8 
Éter etílico 17,0 n-Hexano 18,4 Tetracloreto de carbono 26,9 
Tolueno 28,5 Mercúrio 465,0 Glicerina 63,1 
 
Por causa da tensão superficial, a superfície livre de um líquido tende sempre a se contrair, já que 
o estado de menor energia (maior estabilidade) para um dado volume de líquido ocorre quando sua 
área superficial é mínima. Isto corresponde ao menor número de moléculas superficiais com alta 
energia. 
Outro fenômeno relacionado à tensão superficial é a capilaridade, que ocorre 
quando um líquido se eleva num tubo capilar imerso parcialmente neste liquido. A 
elevação capilar depende da tensão superficial e da relação entre a adesão líquido-
sólido e a coesão do líquido. Um líquido que molha o sólido (ângulo de contato 
θ < π/2) tem uma adesão maior que a coesão, e nesse caso, observa-se que devido à 
tensão superficial o líquido se eleva, de uma altura h, no interior do tubo capilar, de diâmetro d, que 
está parcialmente imerso no líquido. Para líquidos que não molham o sólido, como o mercúrio, a 
tensão superficial causa um rebaixamento do menisco num tubo capilar. 
ESFORÇOS NOS FLUIDOS 
Forças de Corpo e de Superfície. 
De uma maneira geral, as forças podem ser classificadas em duas classes: 
• Forças de corpo ou de campo – aquelas que se manifestam através da interação com um 
campo e atuam sem a necessidade de um contato entre as superfícies dos corpos. São 
exemplos: o peso, devido ao campo gravitacional; e a força eletromagnética, devido a um 
campo eletromagnético. 
• Forças de superfície ou de contato – aquelas que atuam sobre um sistema através de contato 
com a fronteira deste. São exemplos: as forças de atrito; as forças devidas à pressão; e as 
forças devidas às tensões cisalhantes nos escoamentos. 
As forças de corpo são proporcionais ao volume V dos corpos, enquanto que as forças de 
superfície são proporcionais à área A da superfície sobre a qual atuam. No fluido em repouso não há 
esforços tangenciais. 
Esforços de Superfície. 
Nos fluidos, as forças ou esforços de superfície se desenvolvem pelo contato 
físico entre as partículas fluidas ou entre estas e o sólido em contato. Estas forças se 
classificam em: força de tração, força de compressão e força de cisalhamento. 
A tração é extremamente pequena nos fluidos, podendo ser desprezada: os líquidos resistem à 
tração de apenas 40 N/m2, que é cerca de 10 milhões de vezes menor que a do aço. A compressão é 
reduzida nos líquidos, embora seja elevada nos gases. 
A resultante dos esforços de superfície, F
r
∆ , tendo uma direção qualquer em relação à superfície 
elementar ∆A, pode ser decomposta numa componente normal à superfície (esforço de compressão), 
N
r
∆ , e numa componente tangencial à superfície (esforço cisalhante), Tr∆ . 
 Capítulo II: Propriedades e Escoamento dos Fluidos 29 
 
 
 
BUARQUE, H.L.B. 
Tensão em um ponto. 
O conceito de tensão, envolve uma força de contato e a área da superfície na qual ela atua. Para 
se especificar as componentes da tensão, que têm a dimensão de força por unidade de área, 
necessitamos da indicação da direção da componente da força e, também, da indicação da orientação 
da superfície onde atua a tensão (um elemento de área tem orientação dada pelo vetor unitário normal 
à superfície). As componentes da tensão atuando na direção i, ijτ , sobre o elemento infinitesimal de 
área ∆Aj circunscrevendo um dado ponto, podem ser definidas como: 
 
j
i
Aji A
Flim
j ∆
∆
=
→∆ 0
τ . (II.9) 
onde ∆Fj é a componente da força F
r
∆ atuando sobre o ponto na direção 
i. Nesta notação, se os índices forem iguais (i = j), tem-se uma 
componente de tensão normal ou de compressão, enquanto se os índices 
forem distintos (i ≠ j), tem-se uma componente de tensão tangencial 
(tensão de cisalhamento). 
Para um sistema de coordenadas cartesiano, a tensão em um 
ponto, T
vr
, pode ser especificada pelas nove componentes da seguinte 
matriz, conhecida como tensor tensão: 
 










=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
τττ
τττ
τττ
T
rr
. (II.10) 
Se um fluido estático exerce uma pressão contra a sua vizinhança (e.g., paredes de um 
recipiente), então sua vizinhança exercerá uma reação sobre o fluido que será de compressão, e assim, 
 iP ii
rr
⋅τ−= . (II.11) 
REOLOGIA DE FLUIDOS. 
O termo Reologia foi inventado pelo professor Bingham para definir o “estudo do escoamento 
ou deformação da matéria”. Esta definição foi aceita quando a American Society of Rheology foi 
fundada em 1929. O conhecimento de Reologia é essencial, nos dias de hoje, nos mais variados 
campos envolvendo profissionais atuantes em indústrias de tintas, detergentes, óleos, plásticos, etc., 
bem como profissionais acadêmicos com interesse em diversas áreas. A Reologia tem como objetivo 
predizer a força necessária para causar uma dada deformação ou escoamento em um corpo, ou então, 
predizer a deformação ou escoamento resultante da aplicação de um dado sistema de forças em um 
corpo. Dessa maneira, a Reologia nos permite analisar quantitativamente o comportamento de um 
fluido em interação com um sistema de processamento, através da formulação e resolução de equações 
que descrevem o processo. 
Fluidos Newtonianos. 
De maneira geral, a partir de um estudo reológico, os fluidos podem ser classificados em fluidos 
newtonianos e fluidos não newtonianos. No fluido newtoniano existe uma relação linear entre o valor 
da tensão de cisalhamento aplicada e a taxa de deformação resultante e assim, a viscosidade tem valor 
constante1 no sistema, dependendo somente da natureza do fluido. 
 
1
 Valor constante com relação à taxa de cisalhamento. 
30 Parte Um: Introdução 
 
 
 
Fenômenos de Transporte para Cursos Técnicos e Tecnológicos 
Fluidos Não Newtonianos. 
Nos fluidos não newtonianos a relação entre a tensão cisalhante e a taxa de 
cisalhamento é não linear. O tipo de relação não linear é utilizado para classificar 
os diversos tipos de fluidos não newtonianos. Para os fluidos não newtonianos, o 
quociente entre a tensão cisalhante e a taxa de deformação é denominada 
viscosidade aparente. 
Enquanto nos fluidos newtonianos, um valor de viscosidade caracteriza o fluido, para o não 
newtoniano, o valor desta grandeza varia com a força aplicada produzindo diferentes tipos de 
comportamento em função da tensão cisalhante. As curvas da tensão de cisalhamento como função da 
taxa de deformação para alguns deste tipos são mostradas na figura ao lado. 
Quando um aumento da tensão aplicada diminui a fluidez do sistema, diminuindo a viscosidade 
do fluido independentemente do tempo de surgimento da força, ter-se-á um fluido denominado 
pseudoplástico. Ao cessar a causa da deformação, o fluido volta a ter a viscosidade aparente inicial. 
No caso oposto, quando um fluido sob agitação aumenta sua resistência ao movimento 
(viscosidade aparente) por efeito de uma força uniforme aplicada ao fluido, voltando à viscosidade 
aparente inicial ao cessar a força aplicada, independente do tempo de aplicação da força, tal fluido é 
denominado fluido dilatante. 
Em outros casos, nos quais os efeitos produzidos pela aplicação da força externa de deformação 
perduram parcialmente quando cessa a força aplicada sobre o fluido, isto é, o fluido demora um tempo 
maior ao de aplicação da força para retornar ao seu estado inicial de viscosidade aparente, ele é 
denominado fluidonão newtoniano dependente do tempo, podendo ser classificado como fluido 
tixotrópico ou reopético. 
Algumas espécies não deformam sob a ação de pequenas forças externas, sendo portanto, 
semelhantes a um sólido que pode escorrer quando é tencionado, exibindo plasticidade. Estas espécies 
somente são postas em movimento quando a tensão cisalhante aplicada excede um determinado valor 
τo. Embora tais espécies não se enquadrem estritamente na definição de fluido, muitos autores as 
consideram fluidos plásticos, denominando-as fluidos de Bingham. São exemplos de fluidos 
Binghamianos o purê de batata, a mostarda, o catchup e o chocolate. 
Fluidos Pseudoplástico e Dilatantes. 
O efeito pseudoplástico é um dos mais encontrados em fluidos não newtonianos e caracteriza-se, 
em linhas gerais, pela diminuição da viscosidade com o aumento da taxa de cisalhamento em 
escoamentos cisalhantes estacionários. Dá-se normalmente de maneira que se possa caracterizar 
matematicamente como não linear a relação entre as grandezas anteriores. Tal efeito pode estar 
acompanhado por outros fenômenos como certa elasticidade do fluido. Muitos fluidos biológicos 
exibem este efeito como, por exemplo, o sangue que apresenta diversos graus de pseudoplasticidade de 
acordo com a geometria em que esteja escoando e com a sua composição, basicamente, protéica. 
O efeito contrário à pseudoplasticidade, muito raramente encontrado é denominado dilatância. 
Para os fluidos dilatantes, observa-se o aumento da viscosidade com o aumento da taxa de deformação 
em escoamentos estacionários. Para os fluidos pseudoplásticos e dilatantes, existe uma faixa muito 
grande de taxas de cisalhamento para as quais as curvas são linhas retas, sendo conveniente descrever 
seu comportamento pela seguinte expressão: 
 
n
zx
zd
vd






⋅Κ=τ x (II.12) 
em que a n é frequentemente chamado de índice de comportamento do escoamento e K é o índice de 
consistência. 
 Capítulo II: Propriedades e Escoamento dos Fluidos 31 
 
 
 
BUARQUE, H.L.B. 
A Eq. (II.12) não se aplica a trabalhos precisos sobre uma grande faixa de dux/dz; entretanto, é de 
grande utilidade para muitas aplicações em engenharia. Para fluidos newtonianos, os quais incluem 
todos os gases e a maioria dos líquidos de baixos pesos moleculares, n é unitário e K é desta maneira, 
igual a viscosidade. Quando n é menor que a unidade, o fluido é pseudoplástico; quando n é maior que 
a unidade o fluido é dito dilatante. 
Fluidos Tixotrópicos e Reopéticos. 
Fluidos dependentes do tempo são aqueles para os quais rearranjos estruturais ocorrem durante a 
deformação do fluido. Como resultado, a tensão cisalhante varia com o tempo. 
Fluidos tixotrópicos, tais como a maionese, fluidos de perfuração, e algumas tintas, exibem, para 
uma velocidade de deformação constante, uma diminuição da tensão de cisalhamento com o tempo. O 
tixotropismo pode ser atribuído a ligações de hidrogênio entre micelas coloidais rompidas pela 
agitação e que voltam a se formar no sistema em repouso. 
O comportamento reopético é o oposto do tixotrópico, e assim, a tensão cisalhante aumenta com 
o tempo em uma taxa de deformação constante. Tal comportamento pode ser observado em sóis de 
bentonita, sóis de pentóxido de vanádio, em suspensões de sulfato de cálcio em água, bem como em 
algumas soluções de poliéster. 
TIPOS DE FLUIDOS. 
Além da classificação óbvia dos fluidos, quanto ao seu estado de agregação: em líquidos e gases 
(ou vapores), e também quanto ao seu comportamento reológico: fluidos newtonianos e não 
newtonianos, é oportuno conceituar outros tipos de fluidos reais e idealizados: fluidos viscosos e não 
viscosos, fluidos compressíveis e não compressíveis e fluidos ideais ou perfeitos. 
Fluidos Viscosos e Não Viscosos. 
Todos os fluidos possuem viscosidade não-nula (fluidos viscosos) e, consequentemente, os 
escoamentos de fluidos viscosos são de grande importância no estudo da Mecânica dos Fluidos dos 
meios contínuos. Entretanto, para fins de simplificação, é bastante comum analisar o escoamento de 
um fluido, admitindo-se a hipótese deste fluido ter viscosidade nula (fluido não viscoso), chegando-se 
muitas vezes nesta análise a resultados satisfatórios. Embora tal fluido realmente não exista, alguns 
gases com viscosidades muito pequenas podem ser adequadamente tratados como não viscosos. 
Fluidos Ideais e Fluidos Reais. 
A hipótese do fluido ideal ou perfeito estabelece que: a pressão e a velocidade, em um ponto 
qualquer da corrente fluida, não variam com o tempo; a viscosidade do fluido é nula (fluido não 
viscoso); a pressão atua na direção normal à superfície; nenhum trabalho é requerido para modificar a 
forma do fluido. Vale destacar que o fluido ideal não existe na natureza. No entanto, para facilitar os 
estudos da cinemática dos fluidos, esta hipótese é normalmente adotada. 
O fluido real, como o próprio nome diz, é aquele encontrado nas aplicações práticas, tendo as 
seguintes características: geralmente as partículas fluidas deslocam-se segundo trajetórias curvilíneas e 
irregulares; entrecruzam-se de tal modo que é impossível identificar suas trajetórias; o fluido é viscoso; 
e a distribuição das pressões não seguem as leis da Fluidoestática (ver Capítulo III). 
32 Parte Um: Introdução 
 
 
 
Fenômenos de Transporte para Cursos Técnicos e Tecnológicos 
DEFINIÇÃO DE ESCOAMENTO E A CINEMÁTICA DOS FLUIDOS. 
O cisalhamento (esforço cortante) deforma o fluido, fazendo com este escoe, ou seja, mude de 
forma facilmente. Deste modo, pode-se definir escoamento com a fácil mudança de forma do fluido 
sob a ação do esforço tangencial. É a chamada fluidez. O escoamento orientado do fluido, isto é, seu 
deslocamento com direção e sentido bem determinados, é denominado corrente fluida. 
A cinemática dos Fluidos é a parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o escoamento dos 
líquidos e gases sem considerar suas causas. 
MÉTODO DE LAGRANGE E MÉTODO DE EULER. 
O Método de Lagrange. 
Um dos métodos de estudo na Cinemática dos Fluidos é o de Lagrange, que descreve o 
movimento de cada partícula acompanhando-a na trajetória total, e representando através de equações, 
num dado instante, a sua velocidade e demais características com relação a uma origem arbitrária. O 
observador desloca-se, simultaneamente, com a partícula. Para as partículas fluidas as trajetórias serão 
linhas, havendo uma correspondência biunívoca entre as partículas e as trajetórias, isto é, cada 
partícula corresponde a uma trajetória e vice-versa. A posição de cada partícula é perfeitamente 
determinada em cada instante. 
O método de Lagrange é bastante simples quanto à descrição do movimento das partículas, mas 
apresenta grandes dificuldades nas aplicações práticas. Além disso, na maioria dos casos, não interessa 
o movimento individual da partícula, mas sim o comportamento do conjunto de partículas no processo 
do escoamento. 
O Método de Euler. 
Outro método de estudo na Cinemática dos Fluidos é o de Euler, que consiste em adotar certo 
intervalo de tempo, escolher um ponto fixo no espaço e exprimir as grandezas características das 
partículas que passam por esse ponto. Corresponde a considerar as linhas de corrente num dado 
instante (ver tópico a seguir). No método de Euler o observador é fixo. Devido às facilidades que 
ocorrem na prática, este método é normalmente preferido para estudar o movimento dos fluidos. 
De modo geral, a velocidade e pressão exercida por cada partícula serão funções do tempo e das 
coordenadas espaciais; por sua vez, as coordenadas podem ser ou não dependentes do tempo. 
TRAJETÓRIAS, LINHAS E TUBO DE CORRENTE. 
Trajetórias. 
Independente da abordagem, uma trajetória se determina ao se traçar o caminho percorrido por 
uma partícula de fluido em movimento. 
Linhas de Corrente. 
No método de Euler, aotraçar a curva que seja tangente, 
em cada ponto, às velocidades das partículas, nos instantes 
considerados, no interior da massa fluida, obtém-se a curva 
conhecida como linhas de corrente ou linhas de fluxo. 
A linha de corrente é uma curva imaginária, tomada através do fluido, para indicar a direção da 
velocidade em diversos pontos. As linhas de corrente não podem se cruzar, pois em caso positivo, a 
 Capítulo II: Propriedades e Escoamento dos Fluidos 33 
 
 
 
BUARQUE, H.L.B. 
partícula que estivesse no ponto de interseção das linhas de corrente teria velocidades diferentes ao 
mesmo tempo, o que não é possível. Em cada instante e em cada ponto, passa uma e somente uma 
linha de corrente. Considerando um conjunto de linhas de corrente, em cada instante, o fluido move-se 
sem atravessá-las. 
Tubo e Filamento de Corrente. 
Supondo duas curvas fechadas S e S’, 
que não sejam linhas de corrente, formar-se-á 
um tubo de corrente ou veia líquida quando, ao 
se considerar todas as linhas de corrente que 
tocam naquelas curvas fechadas num dado 
instante, o campo de velocidades for contínuo 
nesse instante. Percebe-se que as curvas 
fechadas são a diretriz do tubo. Quando esta 
diretriz abrange uma área infinitesimal, a 
porção da corrente fluida tomada no interior do tubo de corrente é denominada de filamento ou filete 
de corrente no fluido. Neste caso, o eixo do tubo confunde-se com o próprio filamento de corrente. 
Nenhuma partícula de fluido pode penetrar no filamento de corrente nem dele sair. Quando a diretriz 
tende a zero, cada filamento de corrente se transforma em uma linha de corrente. 
TIPOS DE ESCOAMENTO. 
Os escoamentos de fluidos podem ser classificados, segundo aspectos geométricos, de trajetória, 
tempo, rotação e comportamento do fluido. A seguir são descrito alguns tipos principais de 
escoamentos. 
Escoamentos unidimensional, bidimensional e tridimensional. 
O escoamento unidimensional é aquele cujas propriedades e características podem ser expressas 
como função do tempo e de apenas uma coordenada espacial. Este tipo de escoamento constitui, em 
rigor, uma abstração, pois os movimentos dos fluidos não são, exatamente, unidimensionais. Embora, 
na prática, possa se chegar ao escoamento unidimensional ao estabelecer que: a variação da seção 
transversal é gradual, as linhas de corrente são retilíneas ou de pequena curvatura, a curva de 
distribuição das velocidades é constante nas seções transversais da corrente. 
Quando as grandezas do escoamento variam em duas coordenadas espaciais, além de poder 
variar com o tempo, este escoamento pode ser denominado bidimensional. 
Caso as propriedades do escoamento variem em função do tempo e das três coordenadas 
temporais, diz-se que este escoamento é tridimensional. O tratamento matemático destes dois tipos de 
escoamento apresenta um maior grau de complexidade que o unidimensional, fornecendo, na maioria 
das vezes, sistemas sem solução analítica. 
Escoamentos Laminar e Turbulento. 
No escoamento laminar as partículas do fluido 
percorrem trajetórias paralelas. O escoamento 
laminar é também conhecido como escoamento 
lamelar, tranquilo ou de Poiseuille. 
No escoamento turbulento, as trajetórias dos 
fluidos são bastante irregulares, isto é, as trajetórias 
se entrecruzam formando uma série de redemoinhos. 
34 Parte Um: Introdução 
 
 
 
Fenômenos de Transporte para Cursos Técnicos e Tecnológicos 
Neste caso, há trajetórias erráticas, cuja previsão de traçado é impossível. Em cada ponto da corrente 
fluida, a velocidade varia em módulo, direção e sentido. Industrialmente, o escoamento dos fluidos 
quase sempre é turbulento. 
No estudo da Mecânica dos Fluidos freqüentemente se identificam parâmetros adimensionais 
relacionando as forças presentes nos fluidos em movimento (forças devidas à inércia, à viscosidade, à 
pressão, à gravidade, à tensão superficial e à compressibilidade). 
Na década de 1880, o engenheiro britânico Osborne Reynolds, estudando a transição entre o 
escoamento laminar e o turbulento, percebeu que o parâmetro adimensional Re (número de Reynolds) 
constitui o critério pelo qual pode ser determinado o estado do escoamento. O número de Reynolds 
pode ser expresso como: 
 
µ
⋅
=
⋅ LevRe ρ , (II.13) 
em que Re é o número de Reynolds, ρ é a massa específica do fluido, v é a velocidade média do 
fluido escoando, Le é o comprimento característico descritivo do campo de escoamento, e µ é a 
viscosidade absoluta do fluido. 
O número de Reynolds expressa a razão entre as forças de inércia e as forças viscosas. Números 
de Reynolds “elevados” caracterizam escoamentos turbulentos. Escoamentos para os quais as forças de 
inércia são “pequenas” comparadas às forças viscosas, são, tipicamente, escoamentos laminares. A 
Tabela 4 apresenta faixas típicas de valores de números de Reynolds para a transição entre o regime 
laminar e turbulento para alguns tipos de escoamentos. Vale salientar que, sob certas condições 
especiais, as faixas de valores apresentados podem não ser válidos. 
 
Tabela 4 – Faixas típicas de números de Reynolds para a transição entre escoamento laminar e 
turbulento*. 
Configuração do Escoamento Regime de Escoamento 
Laminar Transição Turbulento 
Escoamento no interior de tubos lisos Re < 2.100 2.100 ≤ Re ≤ 2.500 Re > 2.500 
Escoamento sobre placa plana Re < 2x105 2x105 ≤ Re ≤ 3x106 Re > 3x106 
Escoamento sobre bancos de tubos Re < 100 100 ≤ Re ≤ 500 Re > 500 
Escoamento em leitos de enchimento incompressíveis Re < 1 1 ≤ Re ≤ 104 Re > 104 
* Dados compilados de Bennett e Myers (1978) – ver bibliografia consultada. 
Escoamentos Permanente e Não-permanente. 
No escoamento permanente, a velocidade e a pressão, em determinado ponto, não variam com o 
tempo. A velocidade e a pressão podem variar de ponto a ponto do escoamento, mas são constantes em 
cada ponto imóvel do espaço, a qualquer tempo. Este escoamento é também denominado de 
estacionário e diz que a corrente fluida é “estável”. 
No caso contrário, isto é, quando a velocidade e a pressão de uma partícula fluida, variam com o 
tempo, em um determinado ponto de um escoamento, diz-se que este escoamento é não-permanente, 
variável, transitório ou transiente. Agora, neste caso, a pressão e a velocidade em um ponto dependem 
tanto das coordenadas espaciais como também do tempo. 
 Capítulo II: Propriedades e Escoamento dos Fluidos 35 
 
 
 
BUARQUE, H.L.B. 
Escoamentos Uniforme e Não-uniforme. 
Neste tipo de escoamento, todos os 
pontos da mesma trajetória têm a mesma 
velocidade. É um caso particular do 
escoamento permanente: a velocidade pode 
variar de uma trajetória para outra, mas na 
mesma trajetória, todos os pontos têm a 
mesma velocidade, ou seja, de um ponto a 
outra da mesma trajetória, a velocidade não 
varia (módulo, sentido e direção são 
constantes). 
No escoamento não-uniforme ou variado, os diversos pontos de uma mesma trajetória não 
apresentam velocidade constante no intervalo de tempo considerado. 
Escoamentos Rotacional e Irrotacional. 
Neste tipo de escoamento, cada partícula fluida está sujeita a uma velocidade angular em relação 
ao seu centro de massa. Usualmente, para simplificar o estudo da mecânica dos Fluidos, despreza-se a 
característica rotacional do escoamento, passando a considerá-lo irrotacional. No tipo irrotacional, as 
partículas de fluido não se deformam, pois se faz uma concepção matemática do escoamento, 
desprezando a influência da viscosidade. Em virtude da viscosidade, o escoamento dos fluidos reais é 
sempre do tipo rotacional. 
Escoamentos de Fluidos Compressíveis e Incompressíveis. 
Os escoamentos nos quais as variações das densidades dos fluidos são desprezíveis denominam-
se incompressíveis. Quando estas variações não são negligenciáveis, os escoamentos são ditos 
compressíveis.É muito comum querer-se afirmar, de um modo geral, que todos os escoamentos de líquidos são, 
essencialmente, incompressíveis e os de gases são compressíveis. Entretanto, esta afirmativa nem 
sempre é verdadeira, devendo-se avaliar a compressibilidade dos fluidos durante o escoamento para 
um tratamento correto do problema estudado. 
A maior parte dos escoamentos gasosos é compressível nos casos em que a velocidade do 
escoamento (v) é pequena com relação à velocidade do som no fluido (v’). Assim, tais escoamentos 
podem ser considerados incompressíveis quando o número de Mach (M), definido pela 
Equação (II.14), for menor que 0,3. 
 
v'
vM = . (II.14) 
Escoamentos Internos e Externos. 
Os escoamentos completamente limitados por superfícies sólidas são chamados escoamentos 
internos ou em dutos. Os escoamentos externos ocorrem ao redor de corpos imersos em massas fluidas 
ilimitadas. O escoamento de líquidos cujos condutos não estão completamente cheios – nos quais há 
uma superfície livre sujeita à pressão constante – é denominado escoamento em canal. 
36 Parte Um: Introdução 
 
 
 
Fenômenos de Transporte para Cursos Técnicos e Tecnológicos 
PROBLEMAS. 
1. Classificar os seguintes fluidos quanto ao seu comportamento reológico: 
 
(a) du/dy, rd/s 0 0,5 1,1 1,8 
 τ, N/m2 0 2 4 6 
 
(b) du/dy, rd/s 0 0,3 0,6 0,9 1,2 
 τ, N/m2 0 2 4 6 8 
 
(c) du/dy, rd/s 0 0,4 0,8 1,2 0,8 1,0 0,6 
 τ, N/m2 0 2 4 6 8 6 4 
 
Resposta: 
 
(a) fluido newtoniano. (b) fluido newtoniano. (c) fluido não-newtoniano. 
 
2. Explique por que as gotas de chuva são aproximadamente esféricas. 
3. A altitude elevada, o gelo e a neve desaparecem gradualmente sem derreter. Por quê? 
4. A uma dada temperatura, o álcool metílico evapora muito mais rapidamente do que o 
propilenoglicol (aditivo de alimentos). Qual dessas substâncias possui atrações intermoleculares 
mais fracas? 
5. O calor de vaporização da água é cerca de 1,5 vezes o do tetracloreto de carbono. Qual dos 
líquidos deve ter a maior tensão superficial? Explique. 
6. Dê uma explicação razoável para o fato de que o calor latente de vaporização ser maior para a 
água do que para o HF. 
7. Explique por que compostos com forças atrativas intermoleculares fortes têm pontos de ebulição 
mais altos que compostos com forças atrativas intermoleculares fracas. 
8. O calor de vaporização da água é 44.016 J/mol. O ponto normal de ebulição é 100oC. Estime o 
valor da constante p∞ da equação de Clausius-Clapeyron e determine a pressão de vapor da água a 
25oC. 
9. Uma tensão de cisalhamento de 4 dinas/cm2 causa, num fluido newtoniano, uma velocidade de 
deformação de angular de 1 rd/s. Qual é a viscosidade do fluido em centipoises? 
10. Marque (V) para verdadeira ou (F) para falsa nas afirmativas abaixo: 
 
( ) o escoamento de um fluido pode ser entendido com sua fácil mudança de forma; 
( ) corrente fluida é uma massa fluida em quantidade considerável; 
( ) no método de Euler o observador é fixo; 
( ) as linhas de corrente são curvas reais conhecidas também como linhas de fluxo; 
( ) as linhas de corrente só podem entrecruzar-se no escoamento turbulento; 
( ) no estudo da Mecânica dos Fluidos, é preferível tratar de escoamentos tridimensionais dada a 
simplicidade; 
( ) num dado ponto do escoamento transiente, as propriedades do fluido não variam com o 
tempo; 
( ) se um fluido tem suas partículas aceleradas pela gravidade, seu escoamento pode ser dito 
variado; 
( ) o escoamento de um gás ideal cuja pressão e temperatura duplicam é dito transiente e 
compressível; 
( ) um rio pode ter seu escoamento caracterizado como externo. 
 Capítulo II: Propriedades e Escoamento dos Fluidos 37 
 
 
 
BUARQUE, H.L.B. 
11. Chamamos de turbulento o regime nos tubos lisos em que: 
 
a) Re < 100; b) Re < 2.100; c) Re > 2.300; d) Re > 104. 
12. Um óleo, com viscosidade dinâmica igual a 98,9 cP e massa específica igual a 801,3 kg/m3, escoa 
no interior de um tubo de 24,55 cm de diâmetro. Calcular o número de Reynolds e através dele 
avaliar se o escoamento é laminar ou turbulento quando a velocidade média do fluido for de: 
 
a) 1 m/s; 
b) 6 m/s. 
13. Para os campos de velocidades ( v
r
) abaixo, determinar (a) se o escoamento é uni, bi, ou 
tridimensional; (b) se o escoamento é permanente ou não-permanente (x, y e z são as coordenadas 
espaciais cartesianas, t o tempo e as quantidades a, b e c são constantes): 
 
a) iˆ)ae( by−=vr ; d) kˆcyjˆby2 +=vr g) kˆ)czbyax( ++=vr 
b) kbyztiˆaxy )r −=v e) kˆcxyjˆbxiˆay 2 ++=vr h) kˆxtjˆa +=vr 
c) kˆ)czt(jˆbyiˆax −+−=vr f) kˆcyejˆyabiˆby2 t−++=vr i) jˆebxiˆax ct2 −+=vr 
14. Sabendo que para um escoamento tridimensional, com campo de velocidades dado por 
kˆjˆiˆ 321 vvvv ++=
r
, ser definido como irrotacional ele deve atender às seguintes condições: 
xy ∂
∂
=
∂
∂ 21 vv ; 
xz ∂
∂
=
∂
∂ 31 vv
 e 
yz ∂
∂
=
∂
∂ 32 vv
. Determine se os escoamentos com campos de velocidades 
a seguir são rotacionais ou irrotacionais: 
 
a) kˆyzjˆzyxiˆxyz 322 ++=vr ; 
b) kˆzjˆyiˆx 222 ++=vr ; 
c) jˆ)ee(Lneiˆ)ee(Lne yxyyxx +++=vr . 
15. Um certo óleo SAE-30 escoa com velocidade média de 1,8 m/s em um tubo de 300 mm de 
diâmetro. Nas condições do escoamento, uma amostra deste óleo foi analisada para se determinar 
sua densidade e viscosidade absoluta. Uma massa de 200 g da amostra ocupou um volume de 
222,1 cm3. Num viscosímetro, quando submetida a uma tensão cisalhante de 0,59 N/m2, a amostra 
teve uma taxa de deformação de 6,12 rad/s. Avalie através do número de Reynolds se o 
escoamento é laminar ou turbulento. 
16. Para escoamentos laminares totalmente desenvolvidos em tubulações lisas de seção circular, o 
coeficiente de atrito, f, pode ser expresso como f = 64/Re (Relação de Hagen-Poiseuille). Para 
escoamentos turbulentos, nestas tubulações, a relação empírica f = 0,316Re–1/4 (Fórmula de 
Blasius) pode ser frequentemente aplicada. 
 
Em um tubo hidraulicamente liso, com 25 mm de diâmetro e 3,3 m de comprimento, a água a 
20oC (ν = 10–6 m2/s) escoa com a velocidade de 2,2 m/s. 
 
Pede-se: 
 a) Calcular o número de Reynolds, Re, e classificar o regime de escoamento; 
 b) obter o coeficiente de atrito, f. 
17. Mostre que a distribuição (perfil) de velocidades (v) para um escoamento unidimensional, em 
regime estacionário, de um fluido newtoniano incompressível, no interior de um tubo cilíndrico e 
horizontal, de raio ro, pode ser expressa por ])/(1[ 2orr−= maxvv , onde vmax é a velocidade no 
centro da tubulação e r é a coordenada radial do tubo cilíndrico. 
 
Dica: um balanço de forças sobre o elemento cilíndrico de fluido, de raio r, resulta em 
(πr2).∆Px = (2πLr).τrx.