AULA 5 - INTRODUÇÃO ÀS INTEGRAIS

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD DISCIPLINA: MATEMÁTICA APLICADA 
 
NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA - NEAD Página | 59 
Professor: MSc Robson da Silva – robsonfisica75@bol.com.br 
CAPÍTULO 5 
 
 
INTEGRAIS 
 
Como as derivadas, as integrais podem ser interpretadas de duas formas: 
 
(i) Estudar a integral como ferramenta utilizada para reverter o processo de 
derivada, ou seja para que uma função volte a seu status inicial, após sofrer 
diferenciação(derivada), ela deve passar pelo processo de integração. 
 
(ii) Estudar e aplicar a integral como ferramenta para calcular a área abaixo da 
curva de uma função. 
 
 
5.1 Integral indefinida 
 
As integrais indefinidas, são integrais que não possuem limites de integração, 
ela reverte o processo de derivação acrescentando na função uma constante indeter-
minada. 
Definição: Uma função )(xF é chamada uma primitiva da função )(xf em um 
intervalo I ,se, para todo Ix temos )()(' xfxF = . 
Como nas derivadas, algumas integrais podem ser facilmente calculadas com 
auxílio da tabela de integrais. A tabela de integrais apresentam as integrais mais utili-
zadas que podem ser calculadas de forma imediata. Destas apenas seis devem fazer 
parte do dia a dia de um estudante de exatas. 
 
De modo geral toda integral indefinida possui a estrutura apresentada na 
equação 5. 
 
 += CxFdxxf )()( (5) 
 
 
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5.1.1 Integral de uma constante 
 
 += Cudu 
 
Exemplo 5.1 
 
Calcule a integral indefinida  dx3 
 
Resolução: 
 
Essa é uma integral imediata basta aplicar a definição. 
 
Cxdx += 33 
 
5.1.2 Integral de uma potência 
 
 ++
=
+
C
a
u
duu
a
a
1
1
 
 
Exemplo 5.2 
 
Calcule a integral indefinida  dxx²5 
 
Resolução: 
 
Essa é uma integral imediata basta aplicar a definição. 
 
C
x
C
x
dxx +=+
+
=
+
 3
³5
12
5
²5
12
 
 
 
 
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Exemplo 5.3 
 
Calcule a integral indefinida  −+ dxxx )625(
3 
 
Resolução: 
 
Neste exemplo vamos aplicar as definições 5.1.1 e 5.1.2. 
 
Cxx
x
Cx
xx
dxxx +−+=+−+=−+ 6²4
56
2
²
2
4
5)625(
44
3 
 
 
5.1.3 Integral da função exponencial 
 
 += Cedue
uu 
 
Exemplo 5.4 
 
Calcule a integral indefinida  dxe
x2 
 
Resolução: 
 
Essa é uma integral imediata basta aplicar a definição. 
 
Cedxe xx += 22 
 
 
5.1.4 Integral da função racional 
 
 += Cuu
du
ln 
 
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Exemplo 5.5 
Calcule a integral indefinida  x
dx
 
 
Resolução: 
 
Essa é uma integral imediata basta aplicar a definição. 
 
 += Cxx
dx
ln 
 
5.1.5 Integral da função cosseno 
 
 += Cusenduu )()cos( 
 
Exemplo 5.5 
 
Calcule a integral indefinida  dxx)cos(3 
 
Resolução: 
 
Essa é uma integral imediata basta aplicar a definição. 
 += Cxsendxx )(3)cos(3 
 
5.1.6 Integral da função seno 
 
 +−= Cuduusen )cos()( 
 
Exemplo 5.6 
 
Calcule a integral indefinida  dxxsen )(5 
 
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Resolução: 
 
Essa é uma integral imediata basta aplicar a definição. 
 +−= Cxdxxsen )cos(5)(5 
As demais integrais imediatas consultem a tabela, que pode ser encontrada em 
qualquer livro de cálculo 1. 
 
5.2 Exercícios 
 
Resolvas as integrais 
 
 dxxa ²) R: x³+c 
𝒙³
𝟑
+ 𝒄 
( ) + dxxb 53) R: 
3
2
𝑥2 + 5𝑥 + 𝑐. 
( ) +−+− dxxxxxc 72²9³85)
4
 R: 𝑥5 − 2𝑥4 − 3𝑥3 − 𝑥2 + 7𝑥 + 𝑐 
𝑑) ∫ (2𝑥 + 4𝑠𝑒𝑛𝑥 −
5
𝑥
) 𝑑𝑥 
 
R: 𝑥2 − 4𝑐𝑜𝑠𝑥 − 5𝑙𝑛𝑥 + 3 + 𝑐 
e) ∫(10𝑒𝑥 − 3)𝑑𝑥 
 
R:10𝑒𝑥 − 3𝑥 + 𝑐 
f) ∫ 2𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑑𝑥 
 
R: 2𝑡𝑔𝑥 + 𝑐 
g) ∫
2
√4−4𝑥²
𝑑𝑥 
 
R: 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑐 
 
h) ∫ (6 𝑐𝑜𝑠𝑥 +
1
1+𝑥²
) 𝑑𝑥 
 
R: 6𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝑐 
 
i) ∫ (2𝑥
2+3 −
4
𝑥
) 𝑑𝑥 
 
R:
2𝑥
2+3
𝑙𝑛2
− 4𝑙𝑛𝑥 + 𝑐 
 
j) ∫
4
√9𝑥2−9
𝑑𝑥 
 
R:
4
3
𝑙𝑛|𝑥 + √𝑥2 − 1| + 𝑐