Prévia do material em texto

- Explicação: Usa-se o princípio da inclusão-exclusão para contar os múltiplos de 2, 3 e 
5, subtraindo os sobrecontados. 
 
5. **Teoria dos Grafos** 
 - Problema: Qual é o número máximo de arestas que um grafo simples com 10 vértices 
pode ter? 
 - Resposta: 45 arestas. 
 - Explicação: Calcula-se \( \binom{10}{2} = 45 \), o número de combinações possíveis de 
pares de vértices. 
 
6. **Teorema de Euler** 
 - Problema: Quantas faces, arestas e vértices tem um poliedro convexo com 12 faces 
pentagonais? 
 - Resposta: 30 arestas, 20 vértices. 
 - Explicação: Usa-se a fórmula de Euler para poliedros: \( V - A + F = 2 \). 
 
7. **Funções Recursivas** 
 - Problema: Qual é o valor de \( f(5) \) se \( f(0) = 1 \) e \( f(n) = 2f(n-1) \)? 
 - Resposta: \( f(5) = 32 \). 
 - Explicação: Aplica-se a função recursiva até chegar a \( f(5) \). 
 
8. **Teoria dos Conjuntos** 
 - Problema: Dados conjuntos A e B, se \( |A| = 20 \), \( |B| = 30 \) e \( |A \cap B| = 10 \), qual 
é o tamanho de \( |A \cup B| \)? 
 - Resposta: \( |A \cup B| = 40 \). 
 - Explicação: Usa-se a fórmula \( |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \). 
 
9. **Recorrências** 
 - Problema: Qual é o valor de \( a_n \) na sequência definida por \( a_1 = 1 \), \( a_2 = 1 \) e 
\( a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \) para \( n \geq 3 \)? 
 - Resposta: \( a_n = F_{n+1} \), onde \( F_n \) é o \( n \)-ésimo número de Fibonacci. 
 - Explicação: A sequência definida é a sequência de Fibonacci deslocada. 
 
10. **Combinatória** 
 - Problema: De quantas maneiras podemos distribuir 10 bolas idênticas em 4 caixas 
distintas, de modo que cada caixa contenha pelo menos uma bola? 
 - Resposta: 510 maneiras. 
 - Explicação: Usa-se o método das estrelas e barras com ajuste para garantir pelo 
menos uma bola por caixa. 
 
11. **Teoria dos Grafos** 
 - Problema: Qual é o número mínimo de cores necessárias para colorir um grafo 
bipartido completo com 6 vértices? 
 - Resposta: 2 cores. 
 - Explicação: Um grafo bipartido completo é sempre 2-colorível. 
 
12. **Princípio da Indução** 
 - Problema: Prove por indução matemática que \( 1 + 3 + 5 + \ldots + (2n-1) = n^2 \). 
 - Resposta: A afirmação é verdadeira para todo \( n \in \mathbb{N} \). 
 - Explicação: Base da indução: para \( n = 1 \), \( 1 = 1^2 \). Passo da indução: supondo 
verdadeiro para \( n = k \), mostra-se verdadeiro para \( n = k+1 \). 
 
Continuarei gerando mais problemas até completar 110. 
Claro, aqui estão 110 problemas de matemática aplicada, cada um com resposta e 
explicação: 
 
1. **Problema:** Um ciclista percorre 150 km em 5 horas. Qual foi a sua velocidade 
média? 
 - **Resposta:** A velocidade média é \( \frac{150 \text{ km}}{5 \text{ h}} = 30 \text{ km/h} 
\). 
 - **Explicação:** A velocidade média é calculada dividindo a distância percorrida pelo 
tempo gasto. 
 
2. **Problema:** Uma loja vende um produto por $80 com um lucro de 20%. Qual é o 
custo do produto? 
 - **Resposta:** O custo do produto é $66.67. 
 - **Explicação:** Se o preço de venda inclui um lucro de 20%, então o custo pode ser 
calculado usando a fórmula \( \frac{\text{Preço de venda}}{1 + \text{Lucro em decimal}} \).