Problemas de Integração

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108. **Problema:** Encontre \( \int \frac{x}{(1 + x^2)^2} \, dx \). 
 **Resposta:** \( -\frac{1}{2(1 + x^2)} - \frac{\arctan(x)}{2} + C \) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes. 
 
109. **Problema:** Calcule \( \int \frac{\cos(x)}{\sin^3(x)} \, dx \). 
 **Resposta:** \( -\frac{1}{2 \sin^2(x)} + C \) 
 **Explicação:** Usamos substituição. 
 
110. **Problema:** Determine \( \int \frac{x^2}{\sqrt{9 - x^2}} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{9 \sin^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)}{2} + \frac{x \sqrt{9 - x^2}}{2} + C \) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes e substituição trigonométrica. 
 
111. **Problema:** Encontre \( \int \frac{e^x}{(e^x + 1)^2} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{1}{e^x + 1} + C \) 
 **Explicação:** Usamos substituição. 
 
112. **Problema:** Calcule \( \int \frac{1}{x^2 + 4x + 8} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x + 2}{2}\right) + C \) 
 **Explicação:** Usamos substituição. 
 
113. **Problema:** Determine \( \int \frac{x}{x^2 + 4x + 8} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{1}{2} \ln(x^2 + 4x + 8) + C \) 
 **Explicação:** Usamos substituição. 
 
114. **Problema:** Encontre \( \int \frac{1}{x^4 + 1} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{\sqrt{2}}{4} \ln\left|\frac{x^2 - \sqrt{2}x + 1}{x^2 + \sqrt{2}x + 
1}\right| + C \) 
 **Explicação:** Usamos a decomposição em frações parciais. 
 
115. **Problema:** Calcule \( \int \frac{x^2}{(x + 1)^2} \, dx \). 
 **Resposta:** \( -\frac{x^2 - 1}{2(x + 1)^2} + C \) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes. 
 
116. **Problema:** Determine \( \int \frac{\cos(x)}{1 + \sin(x)} \, dx \). 
 **Resposta:** \( 2 \ln|1 + \sin(x)| + C \) 
 **Explicação:** Usamos substituição. 
 
117. **Problema:** Encontre \( \int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C \) 
 **Explicação:** Usamos substituição. 
 
118. **Problema:** Calcule \( \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \ln|x + \sqrt{x^2 + 4}| + C \) 
 **Explicação:** Usamos substituição. 
 
119. **Problema:** Determine \( \int \frac{1}{x^3} \, dx \). 
 **Resposta:** \( -\frac{1}{2x^2} + C \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da integral da função inversa. 
 
120. **Problema:** Encontre \( \int \sec^2(x) \tan(x) \, dx \). 
 **Resposta:** \( \sec^2(x) + C \) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes. 
 
121. **Problema:** Calcule \( \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \sqrt{x^2 + 1} + C \) 
 **Explicação:** Usamos substituição. 
 
122. **Problema:** Determine \( \int \frac{\ln(x)}{x^2} \, dx \). 
 **Resposta:** \( -\frac{\ln(x)}{x} + \frac{1}{x} + C \) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes.