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**Explicação:** Observando o padrão dos restos de \( 7^n \) divididos por 5, 
percebemos que segue um ciclo de 4: \( 7^1 \equiv 2 \), \( 7^2 \equiv 4 \), \( 7^3 \equiv 3 \), 
\( 7^4 \equiv 1 \). Portanto, \( 7^{999} \equiv 7^{3} \equiv 3 \) (o resto é 2). 
 
15. **Problema:** Resolva a equação \( \log_3 (x+1) - \log_3 x = 2 \). 
 **Resposta:** \( x = \frac{1}{8} \) 
 **Explicação:** Aplicando a propriedade dos logaritmos, temos \( \log_3 \left( 
\frac{x+1}{x} \right) = 2 \), o que implica que \( \frac{x+1}{x} = 9 \). Resolvendo para \( x \), 
encontramos \( x = \frac{1}{8} \). 
 
16. **Problema:** Qual é a soma das soluções da equação \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)? 
 **Resposta:** A soma das soluções é 5. 
 **Explicação:** Pela fórmula das soluções de uma equação quadrática \( ax^2 + bx + c 
= 0 \), a soma das raízes \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \). Neste caso, \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) implica 
\( x_1 + x_2 = 5 \). 
 
17. **Problema:** Se \( a + \frac{1}{b} = 4 \) e \( b + \frac{1}{a} = 4 
 
 \), encontre \( ab \). 
 **Resposta:** \( ab = 1 \) 
 **Explicação:** Multiplicando as duas equações, obtemos \( ab + 1 = 16 \). Portanto, \( 
ab = 1 \). 
 
18. **Problema:** Qual é o valor de \( \sqrt{17 + 12\sqrt{2}} \)? 
 **Resposta:** \( \sqrt{17 + 12\sqrt{2}} = 2 + 3\sqrt{2} \) 
 **Explicação:** Assumindo \( \sqrt{17 + 12\sqrt{2}} = a + b\sqrt{2} \), resolvendo as 
equações \( a^2 + 2b^2 = 17 \) e \( 2ab = 12 \), encontramos \( a = 2 \) e \( b = 3 \). 
 
19. **Problema:** Qual é o maior valor de \( x \) para o qual \( \log_{10} (x^2 - 3x - 4) \) é um 
número real? 
 **Resposta:** \( x > 4 \) 
 **Explicação:** A expressão \( x^2 - 3x - 4 \) deve ser positiva para que o logaritmo seja 
real. Resolvendo a inequação \( x^2 - 3x - 4 > 0 \), encontramos \( x > 4 \). 
 
20. **Problema:** Se \( x^2 + y^2 = 10x + 6y + 6 \), qual é o valor máximo de \( x + y \)? 
 **Resposta:** O valor máximo de \( x + y \) é 8. 
 **Explicação:** Completando o quadrado para \( x \) e \( y \), obtemos \( (x-5)^2 + (y-
3)^2 = 10 \). O máximo de \( x + y \) ocorre quando \( x-5 = \pm \sqrt{10} \) e \( y-3 = \mp 
\sqrt{10} \), resultando em \( x + y = 8 \). 
 
21. **Problema:** Encontre o valor de \( \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + 
\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} \). 
 **Resposta:** \( \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} 
+ \sqrt{4}} = 1 \) 
 **Explicação:** Simplificando cada termo, temos \( \frac{\sqrt{2} - \sqrt{1}}{1} + 
\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1} + \frac{\sqrt{4} - \sqrt{3}}{1} = 1 \). 
 
22. **Problema:** Se \( x + \frac{1}{x} = 3 \), encontre o valor de \( x^3 + \frac{1}{x^3} \). 
 **Resposta:** \( x^3 + \frac{1}{x^3} = 18 \) 
 **Explicação:** Elevando \( x + \frac{1}{x} = 3 \) ao cubo e usando a relação \( x^3 + 
\frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x}) \), encontramos \( x^3 + \frac{1}{x^3} = 18 
\). 
 
23. **Problema:** Se \( \sin^4 \theta + \cos^4 \theta = \frac{17}{16} \), qual é o valor de \( 
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \)? 
 **Resposta:** \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) 
 **Explicação:** Usando a identidade \( \sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + 
\cos^2 \theta)^2 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta \), podemos encontrar \( \sin^2 \theta + 
\cos^2 \theta = 1 \). 
 
24. **Problema:** Determine o valor de \( \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} 
\right) - \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) \). 
 **Resposta:** \( \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) - \left( \frac{1}{2} + 
\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) = \frac{11}{12} \) 
 **Explicação:** Simplificando, obtemos \( 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}, 1 + \frac{1}{2} + 
\frac{1}{3} = \frac{11}{6}, 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \ 
Claro, aqui estão 100 problemas desafiadores de Cálculo 2, cada um com resposta e 
explicação: 
 
1. **Problema:** Calcule a derivada da função \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} \). 
 - **Resposta:** \( f'(x) = \frac{2x(x-1) - (x^2 + 1)}{(x-1)^2} \).