Pontos e Coordenadas

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7 Determinar o ponto médio do segmento AB em cada 
um dos casos.
a) A(10, 6) e B(4, 2)
b) A(25, 7) e B(1, 0)
c) A @ 23, 2 __ 
5
 # e B @ 25, 1 __ 
4
 # 
9 Em um paralelogramo ABCD, A(0, 8) e C(4, 16) são 
vértices opostos e B(1, 7). Determinar o vértice D.
8 Obter o simétrico do ponto P(1, 3) em relação ao 
ponto T(4, 6).
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
Resolução
 Seja M(xM, yM) o ponto médio do segmento AB em 
cada um dos casos.
a) xM 5 10 1 4 _______ 
2
 5 7 e yM 5 6 1 2 ______ 
2
 5 4
 } M(7, 4)
b) xM 5 25 1 1 _______ 
2
 5 22 e yM 5 7 1 0 ______ 
2
 5 7 __ 
2
 
 } M @ 22, 7 __ 
2
 # 
c) xM 5 
23 1 (25)
 __________ 
2
 5 24 e yM 5 
 2 __ 
5
 1 1 __ 
4
 
 ______ 
2
 5 13 ___ 
40
 
 } M @ 24, 13 ___ 
40
 # 
Resolução
 O ponto M, comum às duas diagonais de um para-
lelogramo, é ponto médio de cada uma delas.
Resolução
 O simétrico de P(1, 3) em relação a T(4, 6) é o 
ponto Pe(xPe, yPe) tal que T é o ponto médio do seg - 
mento PPe:
P(1, 3) T (4, 6) P�(xP�
, yP�
)
 Como M é ponto médio de AC, temos:
 xM 5 
xA 1 xC _______ 
2
 5 0 1 4 ______ 
2
 5 2
 yM 5 
yA 1 yC _______ 
2
 5 8 1 16 _______ 
2
 5 12
 Como M também é ponto médio de BD, temos:
 xM 5 
xB 1 xD _______ 
2
 5 2 ] 
1 1 xD _______ 
2
 5 2
 } xD 5 3
 e
 yM 5 
yB 1 yD _______ 
2
 5 12 ] 
7 1 yD _______ 
2
 5 12
 } yD 5 17
 Concluímos, então, que D(3, 17).
 
3 1 yPe
 _______ 
2
 5 6 ] yPe 5 9
 Logo, o simétrico do ponto P em relação ao ponto T 
é Pe(7, 9).
A(0, 8)
B(1, 7) C(4, 16)
D(xD, yD)
M(xM, yM)
 Baricentro de um triângulo
As	 três	 medianas	 de	 um	 triângulo	 interceptam-se	 em	 um	 mesmo	 ponto	 G que divide 
cada	mediana,	a	partir	do	vértice,	na	razão	2	para	1.	O	ponto	G é chamado de baricentro do 
triângulo.
A
CB
G
N (ponto médio de AC u)P (ponto médio de ABu)
M (ponto médio de BCu)
 
AG
 ____ 
GM
 5 
BG
 ___ 
GN
 5 
CG
 ___ 
GP
 5 
2
 __ 
1
 
 Assim, temos:
 
1 1 xPe _______ 
2
 5 4 ] xPe 5 7
62
C
a
p
ít
u
lo
 2
	•	
G
e
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m
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	a
n
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	r
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.
CAP 02.indb 62 04.10.10 13:53:02
Com base nessa propriedade e conhecendo as coordenadas dos vértices de um triângulo, 
podemos determinar as coordenadas de seu baricentro, conforme mostra o teorema a seguir.
Se A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) são vértices de um triângulo, então o baricentro G(xG, yG) desse 
triângulo é tal que:
xG 5 
xA 1 xB 1 xC
 ____________ 
3
 e yG 5 
yA 1 yB 1 yC
 ____________ 
3
 
Demonstração
Qualquer que seja a posição do triângulo ABC no plano cartesiano, haverá pelo menos uma mediana 
não paralela a nenhum dos eixos coordenados. Suponha que AM seja essa mediana e G(xG, yG) seja o 
baricentro desse triângulo, em que A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), com xM . xG . xA e yM . yG . YA (para 
qualquer outra posição do triângulo, a demonstração é análoga).
yG
yM
xA xG
yA
y 
A
O
M
C
B
A�
G
G�
xxM
M�
As retas paralelas AAe, GGe e MMe concorrem com as retas AM e AeMe; portanto, pelo teorema de 
Tales:
 
2
 __ 
1
 5 
xG 2 xA
 ________ xM 2 xG
 ] xG 2 xA 5 2xM 2 2xG
3xG 5 xA 1 2 3 
xB 1 xC
 _______ 
2
 ] 3xG 5 xA 1 xB 1 xC
Como M é ponto médio de BC, podemos substituir xM por 
xB 1 xC
 _______ 
2
 e, portanto:
Raciocinando de modo análogo em relação ao eixo Oy, temos também:
yG 5 
yA 1 yB 1 yC
 ____________ 
3
 
} xG 5 
xA 1 xB 1 xC
 ____________ 
3
 
} 3xG 5 xA 1 2xM
Substituímos (II) em (I), obtendo:
 
AG
 ____ 
GM
 5 
2
 __ 
1
 (II)
Como G é baricentro, temos:
 
AG
 ____ 
GM
 5 
AeGe
 _____ 
GeMe
 ] 
AG
 ____ 
GM
 5 
xG 2 xA
 ________ xM 2 xG
 (I)
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 V3_P1_CAP_02A.indd 63 3/17/11 2:12:22 PM
10 Determinar o baricentro G do triângulo ABC em que 
A(4, 2), B(1, 5) e C(7, 23).
11 Um triângulo ABC é tal que A(1, 6), B(7, 1) e o bari-
centro é G(2, 24). Determinar o vértice C(xC, yC).
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
Resolução
 As coordenadas (xG, yG) do baricentro do triângulo 
ABC são:
 xG 5 
xA 1 xB 1 xC ____________ 
3
 5 4 1 1 1 7 __________ 
3
 5 4
 yG 5 
yA 1 yB 1 yC ____________ 
3
 5 
2 1 5 1 (23)
 _____________ 
3
 5 4 __ 
3
 
 Então, concluímos que G @ 4, 4 __ 
3
 # .
Resolução
 O baricentro G(xG, yG) 5 G(2, 24) é tal que:
 xG 5 
xA 1 xB 1 xC ____________ 
3
 ] 2 5 
1 1 7 1 xC __________ 
3
 
 } xC 5 22
 e
 yG 5 
yA 1 yB 1 yC ____________ 
3
 ] 24 5 
6 1 1 1 yC __________ 
3
 
 } yC 5 219
 Concluímos, então, que o vértice C é C(22, 219).
12 Determine o ponto médio M do segmento AB em 
cada um dos casos.
a) A(5, 9) e B(1, 13)
b) A @ 2, 3 __ 
2
 # e B(21, 2)
c) A @ dll 2 , 1 1 dll 3 # e B @ 1 2 dll 2 , dll 3 2 1 # 
15 Dois vértices opostos de um quadrado ABCD são 
os pontos A(2, 5) e B(2, 9). Obtenha os outros dois 
vértices.
16 Dois vértices consecutivos de um paralelogramo 
ABCD são os pontos A(1, 6) e B(3, 8). Determine 
os vértices C e D, sabendo que as diagonais desse
 paralelogramo se cruzam no ponto P @ 3 __ 
2
 , 5 # .
17 Determine o simétrico do ponto A em relação ao 
ponto Q, nos seguintes casos:
a) A(3, 6) e Q(5, 9)
b) A(23, 8) e Q @ 2, 4 __ 
3
 # 
19 Obtenha o baricentro G do triângulo ABC nos se-
guintes casos:
a) A(1, 3), B(8, 1) e C(6, 5) 
b) A @ 3 __ 
2
 , 4 # , B @ 1 __ 
4
 , 2 
1 __ 
2
 # e C @ 2, 5 __ 
6
 # 
13 As bases AD e BC de um trapézio são tais que 
A(0, 8), B(1, 6), C(21, 2) e D(24, 0). Calcule o compri-
mento da base média desse trapézio.
 (Nota: A base média do trapézio é o segmento que 
une os pontos médios dos lados não paralelos.)
18 O segmento AM é mediana e o ponto G é baricentro 
do triângulo ABC representado a seguir. Determine 
as coordenadas do vértice A.
14 Calcule o comprimento da mediana AM do triângulo 
ABC, em que A(3, 7), B(28, 8) e C(2, 10).
20 Para estudar o movimento de um astro que se 
desloca com velocidade constante em trajetória 
retilínea, um astrônomo fixou um plano cartesiano, 
contendo essa trajetória, e adotou nos eixos coor-
denados uma unidade conveniente para grandes 
distâncias. Em certo momento, o cientista observou 
que o astro estava no ponto A(3, 6) e quatro minutos 
depois estava no ponto B(5, 8).
EXERCÍCIOS pROpOStOS
Resolva os exercícios complementares 13 a 19.
2
4
5 7
yA
xA
A
G
M
C
B
O x
y
 Luneta 
astronômica 
a) Qual era a posição do astro dois minutos após a 
passagem pelo ponto A?
b) Qual era a posição do astro um minuto após a 
passagem pelo ponto A?
64
C
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	•	
G
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