apostila fundamentos da matematica

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Fundamentos da 
Matemática Elementar
CATALOGAÇÃO NA FONTE 
NÚCLEO DE COORDENAÇÃO DE BIBLIOTECAS – UNIGRANRIO
A447f Almeida, Vania Mara Ferreira de.
 Fundamentos da Matemática Elementar / Vania Mara Ferreira de Caxias, RJ: 
Almeida. – Duque de Caxias, RJ: UNIGRANRIO, 2020. 
 146 p. : il. ; 23 cm.
Referências: p. 145-146.
 ISBN: 978-65-89635-03-1
 1. Matemática. 2. Funções algébricas. 3. Coordenadas (Matemática). I. Título.
CDD – 510 
Núcleo de Educação a Distância 
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Produção: Gerência de Desenho Educacional - NEAD Desenvolvimento do material: Vania Mara Ferreira 
de Almeida
1ª Edição
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Pró-Reitoria Administrativa e Comunitária
Carlos de Oliveira Varella
Núcleo de Educação a Distância (NEAD)
Márcia Loch
Sumário
Sistemas Cartesianos e Relações Binárias
Objetivos ........................................................................................... 07
Introdução ......................................................................................... 09
1. Conceitos Básicos de Funções ................................................ 11
1.1 Plano Cartesiano ................................................................. 12
1.2 Par Ordenado ...................................................................... 13
1.3 Representação do Par Ordenado no Plano Cartesiano ................ 14
Referências Bibliográficas .................................................................... 19
Funções Reais
Objetivos ........................................................................................... 21
Introdução ......................................................................................... 23
1. Conceitos Básicos de Funções ................................................ 25
1.1 Definição ............................................................................ 25
1.2 Domínio e Contradomínio de uma Função ................................ 30
1.3 Formas de Representação de uma Função ............................... 32
1.4 Classificação das Funções ...................................................... 34
1.5 Composição de Funções ....................................................... 36
Referências Bibliográficas .................................................................... 39
Análise de Gráficos 
Objetivos ........................................................................................... 41
Introdução ......................................................................................... 43
1. Análise de Gráfico de Funções ............................................... 45
1.1 Domínio e Contradomínio de uma Função ............................... 46
1.2 Sinal de uma Função ........................................................... 47
1.3 Variação de uma Função ........................................................ 49
1.4 Máximo e Mínimo Local ........................................................ 50
Referências Bibliográficas .................................................................... 51
Análise de Gráficos 
Objetivos ........................................................................................... 53
Introdução ......................................................................................... 55
1. Função Afim ........................................................................ 57
1.1 Função Polinomial do 1º Grau ou Função Afim .......................... 57
2. Crescimento e decrescimento ................................................. 65
2.1 Sinal ................................................................................... 66
Referências Bibliográficas .................................................................... 69
Funções Quadráticas ou Polinomial do 2º Grau
Objetivos ........................................................................................... 71
Introdução ......................................................................................... 73
1. Funções Quadráticas ............................................................ 75
1.1 Gráfico da Função Quadrática ................................................. 76
1.2 Zero da Função Quadrática ................................................... 80
1.3 Máximo e Mínimo da Função Quadrática ................................. 84
1.4 Construção da Parábola ......................................................... 87
1.5 Estudo Final da Função Quadrática .......................................... 89
Referências Bibliográficas .................................................................... 95
Função Exponencial
Objetivos ........................................................................................... 97
Introdução ......................................................................................... 99
1. Função exponencial .............................................................. 101
Referências Bibliográficas .................................................................... 109
Logaritmos e Funções Logarítmicas
Objetivos ........................................................................................... 111
Introdução ......................................................................................... 113
1. O Surgimento dos Logaritmos ................................................ 115
1.1 Definição de Logarítmo .......................................................... 117
1.2 Propriedades Operatórias dos Logaritmos ................................. 120
Referências Bibliográficas .................................................................... 131
Funções Lineares e Grandezas Proporcionais 
Objetivos ........................................................................................... 133
Introdução ......................................................................................... 135
1. Função Linear e Grandezas .................................................... 137
1.1 Conceitos Básicos ................................................................. 138
2. Proporcionalidade e Funções Lineares ..................................... 139
Referências Bibliográficas .................................................................... 145
Sistemas Cartesianos e 
Relações Binárias
Objetivos
Ao final desta unidade de aprendizagem, você será capaz de:
 ▪ Assimilar os conceitos de plano cartesiano e de par ordenado;
 ▪ Identificar o plano cartesiano como um objeto matemático capaz 
de ilustrar pares ordenados geometricamente;
 ▪ Sistematizar a noção de função.
7Fundamentos da Matemática Elementar
Introdução
Nesta unidade, daremos início ao estudo do sistema de coordenadas 
cartesianas, mais conhecido como plano cartesiano. Este sistema foi criado 
pelo matemático René Descartes, que associava a geometria à álgebra por 
meio de representações gráficas. 
Além do sistema de coordenadas cartesianas, estudaremos também as 
relações binárias entre os dois conjuntos, possibilitando, assim, a compreensão 
entre diferentes associações em pares. Esses dois conceitos são fundamentais 
para que possamos avançar nos estudos de forma adequada. Ao longo do 
curso, trabalharemos com situações em que a representação gráfica se fará 
necessária, estabelecendo uma estreita relação entre o gráfico e oalgébrico. 
Além da construção com a utilização de lápis e papel, também é possível 
construir um gráfico utilizando alguns recursos computacionais, como por 
exemplo, o Geogebra, Winplot, Cabri entre outros. Portanto, é fundamental 
que você conheça a técnica de construção de gráficos por meio do lápis e papel, 
para que sirva de base para as representações em meios digitais.
9Fundamentos da Matemática Elementar
1. Conceitos Básicos de Funções 
Todos nós precisamos nos deslocar por diferentes trajetos em diferentes 
momentos, dos quais nem sempre conhecemos a localização. Os mapas e GPS 
representam um bom recurso de que podemos lançar mão para nos auxiliar. 
Para compreender melhor, vamos ver como exemplo o caso do estado do 
Rio de Janeiro, do qual destacamos a baixada fluminense, representada abaixo:
Mapa da Baixada Fluminense – Rio de Janeiro. 
Observe que o município de Belford Roxo está localizado entre as 
coordenadas G4,H4,G5 e H5. Já o município de Nilópolis ocupa os espaços 
G5 e G6.
Você consegue localizar no mapa quais são as coordenadas do município 
de São João? Quais cidades você encontra em E3?
11Fundamentos da Matemática Elementar
Essa mesma ideia poderá ser usada em situações que precisam de uma 
precisão maior. Nesses casos, é possível usar como artifício o par de eixos 
cartesianos representados por x e y.
Mapa da Baixada Fluminense – Rio de Janeiro. 
Utilizando como referência os eixos coordenados x e y, encontre a 
localização pelas coordenadas cartesianas dos municípios de Magé e Itaguaí. 
1.1 Plano Cartesiano 
É muito comum em diferentes situações referentes à localização 
utilizarmos o sistema de coordenadas cartesianas, que é formado por duas 
retas perpendiculares, uma horizontal, chamada eixo x, e outra vertical , 
chamada eixo y, que se interceptam num ponto chamado origem do sistema.
A cada ponto no eixo fazemos corresponder um número. Os números 
positivos estão à direita e acima da origem, e os negativos, abaixo e à esquerda 
da origem.
12 Fundamentos da Matemática Elementar
Todo ponto no plano cartesiano fica determinado por um par ordenado 
de números reais. Esses números são as coordenadas do ponto.
1.2 Par Ordenado 
É o conjunto ordenado de dois elementos, representado pelo símbolo 
(x; y) onde x e y são números reais, denominados respectivamente de abscissa 
e ordenada.
No Ponto A(2; 4), 2 é o primeiro elemento (abscissa) e 4 é o segundo 
elemento (ordenada).
13Fundamentos da Matemática Elementar
No ponto B(4; 2), 4 é o primeiro elemento (abscissa) e 2 é o segundo 
elemento (ordenada).
Exemplo: 
Observe que os pares (2; 5) e (5; 2) são diferentes entre si pela ordem 
de seus elementos: 
Dois pares ordenados (x, y) e (r, s) são iguais somente se x = r e y = s.
Exemplo: 
Determine o valor de x e y, de modo que se tenha 
(x, 7)=(4, y-3):
 
Primeiro elemento igual ao primeiro elemento: x = 4;
Segundo elemento igual ao segundo elemento: 7 = y - 3 → y = 10.
1.3 Representação do Par Ordenado no Plano Cartesiano 
O par ordenado é representado geometricamente no plano cartesiano 
e, a seguir, é descrito um roteiro da construção deste plano.
14 Fundamentos da Matemática Elementar
1. O plano cartesiano é formado por dois eixos perpendiculares: um 
horizontal x e o outro vertical y. O horizontal é chamado de eixo 
das abscissas, o vertical, eixo das ordenadas;
2. A interseção entre os dois eixos é usada como origem para cada 
eixo, isto é, tem valor igual a zero nos dois eixos. Este ponto é 
representado por O;
3. O eixo das abscissas tem sentido positivo para a direita, e o das 
ordenadas, para cima;
4. As quatros regiões delimitadas pelos eixos são classificadas em 
quadrantes, como é mostrado na figura.
Para representarmos o ponto P, dado pelas coordenadas do par ordenado (a; b), seguiremos 
os seguintes itens:
1º Passo – Traçamos pelo ponto a no eixo horizontal uma reta r paralela ao eixo vertical; 
2º Passo – Traçamos pelo ponto b no eixo vertical uma reta s paralela ao eixo horizontal; 
3º Passo – A interseção entre as retas r e s e o ponto P, que é obtido pelo par ordenado (a; b).
Importante
15Fundamentos da Matemática Elementar
= n (x) : n (y)
Produto Cartesiano 
Considerando A e B dois conjuntos não vazios, definimos o produto 
cartesiano de A por B como o conjunto cujos elementos são todos os pares 
ordenados (x, y) em que o primeiro elemento pertence a A e o segundo 
elemento pertence a B.
Indicamos o produto cartesiano de A por B por A 
X B. Simbolicamente temos A X B = {(x, y) / x A e y∈B}. 
Exemplo: 
Dados os conjuntos X = {1; 2} e Y = {5; 7; 9}, determine os produtos cartesianos X X Y e Y X X:
X x Y = {(1; 5); (1; 7); (1; 9); (2; 5); (2; 7); (2; 9)}
Y x X = {(5; 1); (5; 2); (7; 1); (7; 2); (9; 1); (9; 2)}
O número de elementos de um produto cartesiano X X Y é dado por: n(X):n(Y).
Neste exemplo, temos: n(X x Y) = n(X).n(Y) → n(X x Y) = 2.3 = 6
O produto cartesiano é definido quando os conjuntos X e Y são segmentos de reta, isto é, 
intervalos reais.
∈
16 Fundamentos da Matemática Elementar
 Exemplo: 
Sejam dados dois segmentos de reta MN e PQ, determine o produto cartesiano MN x PQ. 
Fica simples de resolver quando interpretamos como um retângulo, como mostra a figura a seguir: 
É muito comum escutarmos a fala “a ordem do produto não altera o resultado”. Portanto, 
isso depende da operação que estamos realizando. Na prática, o produto cartesiano trata-se 
de uma operação que não é comutativa como foi visto no exemplo.
Exemplo: 
Sejam dados os conjuntos X = {0, 1, 2} e Y = {1, 5, 9}, determine a relação R de X em Y, 
definida por y = 2x + 1, com x ∈X e y ∈ Y.
Primeiramente substitua os valores de x na relação:
y = 2.0 + 1 = 1 → (0,1)
y = 2.1 + 1 = 3 → (1, 3)
y = 2.2 + 1 = 5 → (2, 5)
Agora tomamos os pares ordenados obtidos que pertencem ao conjunto X x Y, pois a relação 
R deve ser subconjunto do produto cartesiano. Logo, a relação obtida é: R = {(0; 1); (2; 5)}
Importante
17Fundamentos da Matemática Elementar
Note que o par ordenado (1, 3) foi descartado por não pertencer ao conjunto X X Y.
Uma forma muito comum de representar as relações é utilizando o 
plano cartesiano ou diagrama de flechas. Observe a relação obtida no exemplo, 
utilizando o diagrama de flechas.
Importante
18 Fundamentos da Matemática Elementar
Referências Bibliográficas
GOLDSTEIN, Larry J.; LAY, David C.; SCHNEIDER, David I. Matemática 
aplicada: economia, administração e contabilidade. 12 ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2012. [Minha Biblioteca]
FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: 
funções, limite, derivação, integração. 6 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 
2007. [Biblioteca Virtual Pearson]
IEZZI, Gelson et al. Fundamentos de matemática elementar: conjuntos, 
funções. v.1. São Paulo: Atual, 1993-2013.
19Fundamentos da Matemática Elementar
Funções Reais
Objetivos
Ao final desta unidade de aprendizagem, você será capaz de:
 ▪ Identificar o domínio, contradomínio e imagem de uma função;
 ▪ Classificar uma função em injetiva,sobrejetiva ou bijetiva;
 ▪ Realizar os procedimentos para inverter e compor funções.
21Fundamentos da Matemática Elementar
Introdução
A ideia que temos hoje em dia do conceito de função foi construída ao 
longo do tempo por vários matemáticos. Entre eles, podemos citar:
 ▪ G.W. Leiniz (1646 - 1716) - Responsável por introduzir as palavras 
função, constante e variável na linguagem matemática;
 ▪ L. Euler (1707 - 1783) - Matemático suíço que introduziu a 
notação f(x) para indicar a lei de uma função;
 ▪ E P.G. Lejune Dirichlet (1805 - 1859) - Responsável por dar uma 
definição de função muito próxima da qual relembraremos nesta 
unidade.
Nesta unidade, conceituaremos os termos funções, domínio, 
contradomínio e imagem. O conceito atual de funções só foi possível no século 
XIX, após a criação da teoria de conjuntos.
 
Porém, antes de conceituarmos função, vamos pensar de forma intuitiva, 
através de uma situação do dia a dia, paraque a sua definição aconteça de forma 
mais concreta.
Estudaremos também os conceitos de função injetora, sobrejetora 
e bijetora, fundamentais para entendermos os procedimentos de inverter e 
compor funções.
23Fundamentos da Matemática Elementar
1. Conceitos Básicos de Funções 
No dia a dia utilizamos diferentes unidades de medidas. Para medir 
uma corda, por exemplo, usamos o metro (m); já a temperatura média corporal 
é medida por graus celsius (ºC); e para calcular uma área a ser construída, 
usamos o metro quadrado (m²). Toda característica que pode ser expressa por 
uma medida é chamada de grandeza.
A variação da medida de um grandeza associada a um determinado objeto 
normalmente está ligada à variação das medidas de outras grandezas. Vamos 
imaginar por exemplo, o preço a ser pago por uma peça de tecido. Este preço irá 
variar de acordo com a metragem comprada. Outro exemplo que podemos citar é 
a quantidade de horas que um automóvel leva para ir de uma cidade a outra. Essa 
hora vai depender da velocidade deste automóvel ao longo do trajeto. Mais um 
exemplo: o valor a ser resgatado em uma aplicação vai depender do tempo que 
este valor fica depositado. Podemos estudar todos esses exemplos recorrendo às 
equações matemáticas que relacionem as grandezas envolvidas.
1.1 Definição 
Considerando os conjuntos A e B não vazios e uma relação binária 
de A em B, dizemos que essa relação é função de A em B, se, e somente se, 
a cada elemento x do conjunto A corresponder a um único elemento y do 
conjunto B.
Simbolicamente:
f: A=>B (lê-se: f é função de A em B). Ou no caso de ser possível 
25Fundamentos da Matemática Elementar
escrever uma lei de correspondência através de uma expressão matemática: 
y=f(x) (lê-se: y é função de x, com x ∈ a A, e y ∈ a B.
Exemplo 1: 
Para prestar consultoria em empresas, um administrador cobra R$ 
1.000,00 a visita e um adicional de R$120,00 por cada hora de trabalho. 
1. Quanto o administrador deverá receber, se ele trabalhou seis horas 
em um dia? 
Vamos analisar a situação:
Pelo enunciado, sabemos que o administrador cobra R$1000,00 a 
visita, ou seja, independentemente do número de horas de trabalho, o valor 
da visita será o mesmo.
Valor fixo: R$1000,00
Porém, além da visita, o administrador cobra por hora trabalhada. 
Então, esse valor vai depender do número de horas trabalhadas, que neste 
caso, são seis horas.
Valor variável: nº de horas trabalhadas
 
Horas trabalhadas Valor a ser pago (R$)
0 1000
1 1000 + 1.120= 1000 + 120 = 1120
2 1000 + 2.120= 1000 + 240 = 1240
3 1000 + 2.120= 1000 + 360 = 1360
4 1000 + 4.120= 1000 + 480 = 1480
5 1000 + 5.120= 1000 + 600 = 1600
6 1000 + 6.120= 1000 + 720 = 1720
Logo, o valor a ser pago ao administrador será de R$1720,00.
26 Fundamentos da Matemática Elementar
2. Como podemos escrever uma lei matemática que exprima o total 
pago y por uma consultoria de x horas? 
Chamaremos de x o número de horas trabalhadas, ou seja, o valor variável.
Horas trabalhadas Valor a ser pago (R$)
0 1000
1 1000 + 1.120= 1000 + 120 = 1120
2 1000 + 2.120= 1000 + 240 = 1240
3 1000 + 2.120= 1000 + 360 = 1360
4 1000 + 4.120= 1000 + 480 = 1480
5 1000 + 5.120= 1000 + 600 = 1600
6 1000 + 6.120= 1000 + 720 = 1720
x 1000 + x.120 = 120.x + 1000
Para montarmos a lei, basta observarmos que temos um valor fixo, e 
outro valor que muda conforme o número de horas trabalhadas.
y = 120x + 1.000
Neste modelo matemático, x é a variável independente, e y é a variável 
dependente, ou seja, o valor recebido pelo administrador depende do número 
de horas trabalhadas.
3. Utilize a lei obtida no item 2 e resolva novamente o item 1.
y = 120x + 1.000 => y = 120.x + 1.000 = 1.720,00
Qual o número mínimo de horas necessário para que em uma visita, 
o administrador receba um valor superior a R$ 2.000,00?
 Vimos no item 2 que o valor a ser recebido será:
 f(x) = 120.x + 1000
27Fundamentos da Matemática Elementar
Queremos que f(x) seja maior que 2000, ou seja:
 
120.x + 1000 > 2000
120.x + 1000 – 1000 > 2000 – 1000 
120.x > 1000
x > 8,333…
Exemplo 2: 
André depositou R$ 4.000,00 em uma poupança que rende 2% ao 
mês. Diante disso, qual o saldo de sua conta após um mês de depósito?
Para calcularmos o saldo na poupança após um mês de depósito, 
precisamos:
1º) Encontrar o quanto esses R$ 4000,00 aplicados rendem em um 
mês, ou seja: 4000. 0,02= 80
2º) Encontrado o valor do rendimento, somamos esse valor aos 
R$4000,00 que foram aplicados: 4000 + 80 = 4080
Valor aplicado + rendimento = saldo
De foma proporcional, poderíamos calcular o saldo após um mês da 
seguinte forma:
4000. 1,02= 4080
 
Se abrirmos 1,02 como resultado de uma soma, teremos:
1,02 = 1 + 0,02 , então 4000. 1,02= 4000.(1+0,02)
Aplicando a distributiva, teremos: 
4000 + 4000. 0,02= 4000+ 80=4080
28 Fundamentos da Matemática Elementar
Porcentagem é um substantivo feminino que indica uma taxa ou proporção calculada em 
relação ao número 100 (por cem). A porcentagem consiste em uma fração em que o 
denominador é 100 e é representada pelo símbolo %. 
Logo, 2% = 2
100
 = 0,02
2. Qual o saldo após dois meses de depósito?
De forma semelhante ao calculado anteriormente, teremos:
1º mês …………. 4000 + 0,02. 4000 = 4000+80 = 4080
2º mês …………. 4080 + 0,02.4080 = 4080 +81,60 = 4161,60
Logo, o saldo após o segundo mês será de R$4161,60.
Para encontrarmos o saldo após dois meses, multiplicamos duas vezes 
por 0,02. Proporcionalmente, poderíamos calcular o saldo após dois meses 
usando: 
4000. 1,02. 1,02 =4000. (1,02)² = 4000. 1,0404 = 4161,60 
3. Qual o saldo após três meses de depósito?
Após três meses, teremos três aumentos sucessivos de 2%. Chamaremos 
S o saldo após t meses. Logo:
4000 x 1,02 x 1,02 x ... x 1,02 S = 4.000 (0,02)1 
onde S é o saldo, após t meses do depósito inicial.
Importante
t vezes
29Fundamentos da Matemática Elementar
4. Vamos utilizar a lei encontrada no item 3 para obtermos o saldo 
após cinco meses de depósito. 
S = 4000.(1,02)t
S = 4000. (1,02)5
S = 4000. 1,104080832
S = 4416,3232128 aproximado
S= 4416,32
1.2 Domínio e Contradomínio de uma Função
Definição 1 - Chama-se domínio da função f , o conjunto D 
de todos elementos x do conjunto A, chamado conjunto de partida. 
Matematicamente, temos:
 
 
Definição 2 – Chama-se contradomínio da função f , o conjunto CD 
de todos elementos de B. Esse conjunto, onde podem ser relacionado os 
elementos do domínio. Matematicamente, temos:
 
Definição 3 - Chama-se imagem da função f, o conjunto 
formado por todos elementos y de B pelos os quais existe x em , ou seja, 
todos os elementos efetivamente relacionados aos elementos do domínio. 
O conjunto de imagem Im é um subconjunto do contradomínio CD. 
Matematicamente, temos:
Vamos explicar melhor o que foi dito acima por meio de um diagrama. 
Neste caso temos:
( ) { | } ( )D f x x A D f A= ∈ ∀ ∈ → =
( ) {y | }CD f y B CD B= ∈ ∀ ∈ → =
( ) ( )Im f CD f⊂
30 Fundamentos da Matemática Elementar
In Imagem
Contradomínio 
ou conjunto 
de partida
Contradomínio 
ou conjunto 
de chegada
Exemplo 1:
Seja a função f: A=>B representada no diagrama abaixo, determine:
a. Domínio
Solução: D(f)= A= {1,2,3,4}
b. Contradomínio
Solução: Cd(f)= B={2,3,4,5}
c. Imagem
Solução: Im(f)= { 2,4,5}
31Fundamentos da Matemática Elementar
Exemplo 2:
Seja a função f:A=>B, f = 2 x - 1 onde A={0,1,4,5} e B={-1,0,1,2,3,4,5,7,9} 
e com x A∈ e y B∈ , determine o domínio, o contradomínio e a imagem.
Resolução
1º) O domínio é D ( f ) = A = {0, 1, 4, 5}
O contradomínio é Cd ( f ) = B = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} 
A imagem será determinada atribuindo a variável x a todos os 
valores do domínio na lei dada. Então, os seus resultados serão as imagens. 
Logo, temos:
Para x=0, temos: 
Para x=1, temos: 
Para x=4 , temos: 
Para x=5, temos: 
Logo, os resultados ou os valores numéricos que determinamos são as 
imagens. O conjunto é Im(f)= {-1,1,7,9}
1.3 Formas de Representação de uma Função
Podemos representar uma funçãoatravés de diagramas, tabelas, 
gráficos cartesianos ou equações.
(0) 2(0) 1 (0) 0 1 (0) 1f f f= − ↔ = − ↔ = −
(1) 2(1) 1 (0) 2 1 (0) 1f f f= − ↔ = − ↔ =
(4) 2(4) 1 (4) 8 1 (0) 7f f f= − ↔ = − ↔ =
(5) 2(5) 1 (5) 10 1 (5) 9f f f= − ↔ = − ↔ =
32 Fundamentos da Matemática Elementar
Vamos voltar ao exemplo apresentado no início desta unidade:
 
Para prestar consultoria em empresas, um administrador cobra R$ 
1.000,00 a visita, e um adicional de R$120,00 por cada hora de trabalho. 
Nomearemos de conjunto A, o conjunto com o número de horas trabalhadas, 
e conjunto B, o valor a ser recebido pelo administrador. Assim, temos uma 
f : A B , a qual podemos representar por: 
Diagramas: 
 A B
Tabelas:
Horastrabalhadas Valor a ser pago (R$)
0 1000
1 1120
2 1240
3 1360
4 1480
5 1600
6 1720
33Fundamentos da Matemática Elementar
Gráfico: 
Equação:
f(x) = 120x + 1000
1.4 Classificação das Funções
Uma função pode ser classificada em três possíveis casos, por meio da 
relação: uma única saída para cada entrada.
Funções injetoras - São funções em que cada elemento do conjunto 
de partida está associado a um único elemento do conjunto de chegada, isto 
é, uma relação um para um, entre os elementos do domínio e da imagem.
34 Fundamentos da Matemática Elementar
Os elementos do conjunto de chegada B só podem receber uma única 
flecha, e não há problema em existirem elementos que não estão associados 
ao conjunto de partida A.
Funções sobrejetoras - São funções em que todos os elementos do 
conjunto de chegada estão associados a algum elemento do conjunto de partida. 
Em outras palavras, isso significa que o conjunto imagem é igual ao contradomínio.
Funções bijetoras - São funções que são injetoras e sobrejetoras, isto é, 
todos os elementos do conjunto de partida estão associados a todos os elementos 
do conjunto de chegada, de forma um para um.
Função inversa: A inversa de uma função f: A => B é dada por uma lei 
de B em A. Esta relação é representada por f-1. Somente as funções bijetoras 
apresentam inversas, pois qualquer elemento do conjunto de partida tem um 
único correspondente no conjunto de chegada (injetividade), e este tem todos 
os seus valores relacionados uma única vez (sobrejetividade). Assim, podemos 
estabelecer uma relação inversa, transformando o conjunto de chegada no 
conjunto de partida e vice-versa.
35Fundamentos da Matemática Elementar
Exemplo: 
Determine a inversa das funções abaixo:
1) f(x)=2x-3 
Uma forma bem simples consiste em trocar x por f(x) e vice-versa, e 
em seguida, explicitar f(x).
f(x)=2x-3gx=2f(x)-3g f(x)=
2) g(x)=(4x+5)/10
3)h(x) =x² +6
h(x) =x²+6 trocando x por h(x), temos:
x = [h(x)]²+6
x - 6 = [h(x)]²
6x − = h(x)
1.5 Composição de Funções 
Composição de funções é uma operação que pode ser realizada com 
duas ou mais funções. Por exemplo, sejam dadas as funções f: A => B e g: 
x+3
2
4 5 4 ( ) 5 10 5( ) ( )
2 10 4
x g x xg x x g x+ + −− → − → −
36 Fundamentos da Matemática Elementar
B => C. Observe que a função f “vai de A em B” e a g “vai de B em C”, ou 
seja, para ir do conjunto A até o C são necessárias as duas funções f e g. 
Entretanto, é possível obtermos uma função h que faça a ligação de A em 
C, sem passar por B. Para isso, basta compor g com f, ou seja:
: ( ( ))h gof g f x= =
Exemplo:
Sejam dadas as funções:
- 3x+12 e 
1. fog= f(g(x)) 
 = 2g(x)-5
 = 2(-3x+12)-15
 = -6x+24-5
 = -6x+19 
2. fof= 2 f(x)-5
 =2(2x -5) - 5 
 =4x -10 -5 
 = 4x =15
3. foh= 2h(x) -5
 = 2(x² -1) - 5
 = 2x² - 2 - 5
 = 2x² -7
37Fundamentos da Matemática Elementar
Referências Bibliográficas
BEZERRA, Manoel Jairo. Matemática para o ensino médio. São Paulo: 
Scipione, 2004. 
CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Noções básicas de matemática comercial 
e financeira. 3 ed. rev. atual. e ampl. Curitiba: IBPEX, 2010.
FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: 
funções, limite, derivação, integração. 6 ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2006.
GOLDSTEIN, Larry J. et al. Matemática Aplicada: economia, administração 
e contabilidade. 10 ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
IAN, Jacques. Matemática para economia e administração. Tradução Regina 
Célia Simille de Macedo. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
 
IEZZI, G; MURAKAMI, C; MACHADO, N. J. Fundamentos de 
Matemática Elementar.V.1. Editora Atual, 1993.
LIMA, E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio. V. 1. Sociedade 
Brasileira de Matemática, 1997.
 
MACHADO, Antônio dos Santos. Matemática Temas e Metas. V. 1 – 
Conjuntos Numéricos e Funções. Editora Atual, 1988.
39Fundamentos da Matemática Elementar
Análise de Gráficos 
Objetivos
Ao final desta unidade de aprendizagem, você será capaz de:
 ▪ Reconhecer no gráfico domínio, imagem, variação, sinal e pontos 
de máximos/mínimos.
41Fundamentos da Matemática Elementar
Introdução
Nesta unidade de aprendizagem, iremos aprofundar nossos estudos 
sobre funções reais por meio de sua representação gráfica. Veremos que, com 
essa representação, é possível identificar domínio, contradomínio, imagem, bem 
como estudar a variação de sinal e pontos de máximos e mínimos em gráficos.
Podemos dizer que as primeiras “representações gráficas de funções” 
foram feitas por Nicolau de Oresme (1323-1382), matemático do século XIV. 
Essas representações eram conhecidas como latitude das formas, nas quais 
também pode ser encontrado o conceito de variação entre duas grandezas, 
relacionado com a noção de continuidade. Apesar do importante papel desta 
representação da latitude das formas na história da matemática, há argumentos 
de que o gráfico elaborado por Oresme não pode ser considerado como uma 
antecipação ao conceito de função, já que ele representava quantidades físicas. 
No entanto, podemos dizer que essa foi a primeira vez que foi utilizado um 
gráfico para representação de grandezas variáveis, que teve como primeiro 
exemplo um gráfico de velocidade-tempo.
43Fundamentos da Matemática Elementar
1. Análise de Gráfico de Funções 
Quem de nós nunca viu um gráfico ou até mesmo tentou compreender 
alguma situação por meio de gráficos? Fato é que, por meio deles, podemos 
obter muitas informações.
Observe o exemplo: Marta pratica exercícios todos os dias. Dentre as 
atividades que ela pratica está a corrida, que faz às segundas, quartas e sextas. 
Ela sempre corre do início até o final de uma avenida e depois retorna ao 
ponto de partida. O gráfico abaixo mostra a distância percorrida por Marta do 
ponto de partida (em km), em função do tempo (em minutos).
Distância
Tempo
Analisando este gráfico, podemos analisar as seguintes afirmações:
45Fundamentos da Matemática Elementar
 ▪ Nos primeiros 2,5km do percurso, Marta desenvolveu uma 
velocidade constante;
 ▪ Após percorrer esses 2,5km, ela ficou parada por 10 minutos;
 ▪ Em seguida, correu até o final da avenida, que mede 5km;
 ▪ Ao retornar ao ponto de partida, Marta manteve a mesma velocidade 
desenvolvida no trecho depois da parada.
Essas conclusões sobre a velocidade de Marta podem ser retiradas 
analisando a declividade dos segmentos de reta que formam o gráfico: quanto 
maior a declividade da reta, maior a velocidade de Marta naquele trecho do 
percurso. O patamar deste gráfico indica uma parada no trajeto: dos 20 aos 
30 minutos após a partida, a distância da maratonista ao início da avenida 
permaneceu a mesma.
Observe que, a partir do ponto 40,5, a distância de Marta ao ponto 
de partida, que estava aumentando, começa a diminuir. Isto significa que ela 
chegou ao final da avenida e começa a retornar ao seu início.
Este ponto (40,5) permite concluir, também, que a maior distância da 
atleta ao ponto de partida foi de 5km. Como ela correu do início até o final 
da avenida, concluímos que a avenida tem uma extensão de 5km e que Marta 
levou 40 minutos para chegar ao seu final. O percurso de ida e voltalevou 1 hora 
(60 minutos) e Marta percorreu uma distância total de 10km. Você imaginava 
que, a partir de um gráfico, poderíamos ter tantas informações e descrever 
todo o trajeto de Marta? No estudo dos gráficos de funções, podemos obter 
muitas informações a respeito do comportamento de uma função. Por meio 
dele, podemos ter uma visão do crescimento ou decrescimento da função, dos 
valores máximos ou mínimos que ela assume, de eventuais simetrias, do zero 
da função, bem como seu domínio, seu contradomínio e sua e imagem.
1.1 Domínio e Contradomínio de uma Função 
Uma função f, por mais simples ou complicada que seja, é sempre 
definida em um conjunto D, chamado de domínio de f, e os valores assumidos 
por f formam um conjunto Im, chamado de imagem. Quando representamos 
uma função real de duas variáveis no plano cartesiano, o domínio D é um 
46 Fundamentos da Matemática Elementar
subconjunto do eixo Ox e a imagem Im do Oy.
 ▪ Para obter o domínio D de uma função f a partir de seu gráfico, 
basta projetarmos o mesmo sobre o eixo Ox.
 ▪ Para obter imagem Im de uma função f a partir de seu gráfico, 
basta projetarmos o mesmo sobre o eixo Oy.
Exemplo:
Determine o domínio D e a imagem Im da função f:
Imagem
Domínio
O domínio da função f é D = [-4, + ];
O domínio da função f é Im = [-3,5].
1.2 Sinal de uma Função 
Estudar o sinal de uma função consiste em determinar os intervalos 
nos quais a função tem imagem negativa e imagem positiva. De forma bem 
simples, podemos dizer que toda parte do gráfico da f que está acima do eixo 
Ox tem sinal positivo e o que está abaixo, negativo.
47Fundamentos da Matemática Elementar
Os pontos de interseção do gráfico com o eixo Ox apresentam 
ordenadas nulas, ou seja, suas abscissas x0 são tais que f(x0) = 0. Essas abscissas 
x0 são os zeros ou as raízes da função f.
Os pontos do gráfico situados acima do eixo Ox apresentam ordenadas 
positivas (Y>0), ou seja, suas abscissas x0 implicam em f(x0) > 0.
Os pontos do gráfico situados abaixo do eixo Ox (Y<0) apresentam 
ordenadas negativas, ou seja, suas abscissas x0 implicam em f(x0) < 0.
Exemplo: 
Veja o estudo do sinal da função f:
 ▪ A função tem seus valores positivos nos intervalos: (-4,1) e 
(3,5);
 ▪ A função tem seus valores negativos nos intervalos: (1,3) e (5, 
+ );
 ▪ Os zeros da função {-4,1, 3, 5}, isto é, os pontos onde a função 
intercepta o eixo Ox f(-4)=0, f(1)=0, f(3)=0, e f(5)=0.
Enumerar todos os elementos de um conjunto nem sempre é possível. Por isso, quando 
queremos representar um intervalo numérico, usamos uma simbologia.
Importante
48 Fundamentos da Matemática Elementar
Veja agora a simbologia:
Sentença matemáticaRepresentação na reta real
Intervalo aberto:
Intervalo fechado:
Intervalo semiaberto à direita
Intervalo semiaberto à esquerda
Notações simbólicas
1.3 Variação de uma Função
Quando é estudada a variação de uma função em um intervalo (a; b) 
e R, são três as classificações possíveis: a função pode ter variação positiva, 
negativa ou nula.
 ▪ Se para quaisquer valores x1 e x2 de um intervalo (a; b), com x1 < x2, 
temos f(x1) < f(x2), então f é crescente em (a; b).
 ▪ Se para quaisquer valores x1 e x2 de um intervalo (a; b), com x1 > x2, 
temos f(x1) > f(x2), então f é decrescente em (a; b).
Se para quaisquer valores x1 e x2 de um intervalo (a; b), com x1 = x2, temos 
f(x1) = f(x2), então f é constante em (a; b).
Observe no gráfico: 
49Fundamentos da Matemática Elementar
Exemplo: uma função f é representada no gráfico abaixo:
1. Em qual(is) intervalo(s) do domínio a função f é crescente? A 
função é crescente nos intervalos [-4, -1] e [2, 4];
2. Em qual(is) intervalo(s) do domínio a função f é decrescente? A 
função é decrescente nos intervalos [-1, 2] e [4, 6];
3. Em qual(is) intervalo(s) do domínio a função f é constante? A 
função é constante no intervalo [6,+ ].
1.4 Máximo e Mínimo Local
Definição: dada uma função f, seja c ∈ D ( f )
 ▪ f possui um máximo local em c, se existe um intervalo aberto I 
contendo c, tal que f(c) ≥ f(x) para todo x em I D( f ).
 ▪ f possui um mínimo local em c, se existe um intervalo aberto I 
contendo c, tal que f(c) ≤ f(x) para todo x em I D( f ).
 ▪ Se f possui um máximo ou mínimo local em c, dizemos que f 
possui um extremo local em c.
Usa-se o termo local porque fixamos a nossa atenção em um intervalo 
aberto, suficientemente pequeno, contendo c, tal que f tome seu maior (ou menor) 
valor em c. Fora deste intervalo aberto, f pode assumir valores maiores (ou menores).
Às vezes usa-se o termo relativo em vez de local.
Exemplo: 1) f(x) = x3 – 3x2 + 5
50 Fundamentos da Matemática Elementar
Referências Bibliográficas
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos da matemática 
elementar: conjuntos e funções. São Paulo: Atual Editora, 2013.
LAPA, Nilton. Matemática aplicada – uma abordagem introdutória. São 
Paulo: Saraiva, 2012, p. 42-51.
51Fundamentos da Matemática Elementar
Análise de Gráficos 
Objetivos
Ao final desta unidade de aprendizagem, você será capaz de:
 ▪ Construir um gráfico a partir de uma função afim;
 ▪ Determinar a lei de associação a partir do gráfico de uma função;
 ▪ Identificar uma propriedade característica da função afim: o 
crescimento (ou decrescimento) linear;
 ▪ Analisar problemas do cotidiano e possíveis intervenções, com base 
no conhecimento sobre funções afim.
53Fundamentos da Matemática Elementar
Introdução
Nesta unidade, aprofundaremos nossos estudos sobre as funções, 
estudando, especificamente, as funções afins, também chamadas de funções 
polinomiais de 1º grau. Essas funções podem fornecer uma interessante gama 
de aplicações, motivando ainda mais os seus estudos por meio de exemplos e 
aplicações ao longo desta unidade de aprendizagem.
Você verá como um simples conceito matemático pode ser utilizado 
para resolver problemas variados do nosso dia a dia, constituindo modelos 
matemáticos para as questões referentes à proporcionalidade e alguns 
tópicos da matemática financeira, sendo, há séculos, um dos instrumentos 
matemáticos mais empregados nas aplicações e na teoria.
55Fundamentos da Matemática Elementar
1. Função Afim
O estudo de funções afim pode ser aplicado em diversas situações 
no dia a dia, seja para calcularmos o valor de uma corrida de táxi, ou para 
sabermos quanto pagamos pela compra de x quilos de carne etc. Antes de 
iniciarmos nossos estudos, vamos pensar a seguinte situação:
Um corretor recebe da empresa em que trabalha, mensalmente, um 
salário composto de duas partes:
 ▪ Uma parte fixa de R$880,00;
 ▪ Outra parte variável, que corresponde a um adicional de 2% sobre 
o valor das vendas realizadas no mês.
Em certo mês, as vendas somaram R$300.000,00. Sendo assim, responda:
 ▪ Qual será o salário líquido desse corretor no mês em questão?
 ▪ Expresse uma fórmula matemática que forneça o salário deste 
corretor para uma venda de x reais.
Para resolvermos situações desse tipo, podemos utilizar os conceitos 
que abordaremos a seguir.
1.1 Função Polinomial do 1º Grau ou Função Afim
Chamamos função polinomial de 1º grau, ou função afim, qualquer 
função f de 

 em 

, dada por uma lei f (x)=ax +b, em que a e b são números 
reais dados e a≠0.
f(x) = ax+b ou y = ax +b
57Fundamentos da Matemática Elementar
Na lei f(x) = ax +b, dizemos que os números a e b são os coeficientes 
da função.
Exemplos: 
1. f (x) = 2x + 3, onde a = 2 e b = 3; 
2. f (x) = -x - 7, onde a = -1 e b = -7; 
3. f (x) = 3x, onde a = 3 e b = 0; 
4. f (x) = x, onde a = 1 e b = 0.
Vamos ver algumas aplicações de funções afim?
O preço P a pagar por uma corrida de táxi é obtido por uma função 
afim P = ax + b, na qual x é a distância percorrida em quilômetros; o valor 
inicial b é chamado de bandeirada e o coeficiente a é o preço por cada 
quilômetro rodado. 
Um táxi de luxo, em certa cidade, cobra R$5,40 de bandeirada e 
R$1,10 por quilômetro rodado. Sendo assim:
a. Qual é o valor P que será cobrado em uma corrida de x quilômetros?Vamos analisar a situação:
Pelo enunciado, sabemos que o valor fixo ou bandeirada é de R$5,40, 
e o valor variável cobrado por km rodado é R$1,10.
Analogamente, podemos fazer a seguinte tabela:
Km rodados Valor a ser pago (R$)
0 P= 5,40
1 P= 5,40 + 1. 1,10= 5,40+ 1,10 = 6,50
2 P= 5,40 + 2. 1,10= 5,40+ 2,20 = 7,60
3 P= 5,40 + 3. 1,10= 5,40+ 3,30 = 8,70
58 Fundamentos da Matemática Elementar
4 P= 5,40 + 4. 1,10= 5,40+ 4,40 = 9,80
x P= 5,40 + 1,10.x
b. Se uma pessoa rodar por 100 km, quanto pagará por essa corrida?
Solução:
Na questão anterior, vimos que o valor P a ser pago por uma corrida 
é calculado pela lei:
P= 5,40 + 1,10x
Nesta situação, x=100km, então, para encontrarmos o valor de P, basta 
substituir “x” por 100, ficando assim:
P= 5,40 + 1,1.x
P= 5,40 + 1,1.100
P= 5,40+ 110
P= 115,40
Logo, o valor a ser pago por uma corrida de 100km será R$115,40.
No exemplo escrevemos a função afim P = ax + b, mas é claro que o valor 
da corrida é em função da distância percorrida, isto é, P = P(x).
 ▪ Esse número a da função afim f é chamado de coeficiente angular 
ou taxa de variação da função f; 
 ▪ O coeficiente b determina onde a função irá interceptar o eixo das 
ordenadas (y).
Vamos ver algumas aplicações de funções afim?
Características de uma função polinomial do 1º grau
 ▪ A função de 1º grau é uma função bijetora, ou seja, é injetora e 
sobrejetora ao mesmo tempo;
59Fundamentos da Matemática Elementar
 ▪ O domínio e a imagem são o conjunto dos números reais (IR);
 ▪ O gráfico de uma função de 1º grau é sempre uma reta;
 ▪ A função admite inversa.
Gráfico de uma função Polinomial do 1º grau
O gráfico de uma função afim f (x) = ax + b é uma reta. Para 
verificar esta afirmação, basta mostrar que três pontos quaisquer desse 
gráfico são colineares.
Para construirmos o gráfico de uma função do 1º grau, basta sabermos 
os dois pontos (pares ordenados) que fazem parte da função. Para isso, 
atribuímos valores aleatórios a x e encontramos o valor de y associado.
Exemplo: 
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
a. Para x = 0, temos y=3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1). 
b. Para y = 0, temos 0=3x-1; portanto, e outro ponto é .
Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os 
dois com uma reta:
x y
0 -1
1/3 0
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
1
3
x =
1 ,0
3
 
 
 
1 ,0
3
 
 
 
60 Fundamentos da Matemática Elementar
a. Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
b. Para y = 0, temos 0 = - 3x - 1; portanto, outro ponto é (1/3,0).
x y
0 -1
-1/3 0
Observe que a função f(x) = ax+b é crescente quando a > 0, e decrescente quando a <0.
Note que o ponto em que a reta toca o eixo y corresponde às coordenadas (0;b).
Taxa de variação da função afim
Dados x, x + h ∈ R, com h = 0, a taxa de variação de uma função f no 
intervalo [x, x + h] é o número:
( ) ( ) f x h f xa
h
+ −
=
Essa igualdade mostra que a função afim tem a mesma variação em 
todo seu domínio. Então, conhecendo essa variação, podemos classificar a 
função afim em:
Crescente – quando sua taxa de variação é positiva (a > 0);
Importante
61Fundamentos da Matemática Elementar
Decrescente – quando sua taxa de variação é negativa (a < 0);
Constante – quando sua taxa de variação é nula (a = 0).
Como a taxa de variação é única em cada função f, logo o coeficiente 
a pode ser obtido quando são conhecidos dois pontos f(x1) e f (x2) quaisquer 
desta função, isto é, f (x1) = ax1+b e f (x2)=ax2 +b; subtraindo as igualdades 
membro a membro, temos:
f (x2) - f (x1) = ax2 + b - ax1 - b
Anulando os coeficientes b, teremos:
f (x2) - f (x1) = ax2 - ax1 
Colocando coeficiente a em evidência:
f (x1) - f (x2) = a(x1 -ax2)
Logo,
Veja alguns exemplos: 
1. Obtenha a taxa de variação da função afim cujo gráfico passa pelos 
pontos (3, 12) e (1, 2).
2. Suponha que um ônibus, partindo do repouso, percorra uma 
distância de 300 metros em 30 segundos. Qual será a taxa de 
variação média desse ônibus, durante os 30 segundos?
Solução:
Observe que o ônibus parte do repouso, então, sua distância inicial é 
0 e o tempo também é zero. Perceba que há uma relação tempo x distância 
( ) ( )
 1
2 1 
2
 f x f x
a
x x
−
−
=
12 2 10 5
3 1 2
a −= = =
−
62 Fundamentos da Matemática Elementar
percorrida (t,d). Teremos, então, os pontos (0,0) e (30,300).
300 0
30 0
a −=
−
300 
30 
a =
10 /a m s=
Podemos concluir, então, que a taxa de variação média da distância do 
ônibus em relação ao tempo, no período considerado, é dada por 300 m/ 30 
s, isto é, 10 m/s. Neste exemplo particular, esta taxa de variação é definida 
como a velocidade média do ônibus, no mesmo período.
Zero de Função Afim
Chama-se zero ou raiz da função afim f, com o coeficiente diferente 
de zero, o número real x, tal que, f(x)= 0. 
Note que, quando colocamos e calculamos o valor de que satisfaça a 
igualdade, estamos resolvendo uma equação do primeiro grau.
Exemplo: 
Construir o gráfico da função f (x) = 2x - 6, utilizando sua raiz e seu 
coeficiente b. Raiz da equação:
Valor inicial:
( ) 0 0 bf x ax b x
a
= => + = => =−
6(0) 2 6 0 3 (3,0)
2
f x x= − = => = = =>
63Fundamentos da Matemática Elementar
Observe que os pontos encontrados são as interseções com os eixos 
(raiz da equação) e (coeficiente b).
 
Vejamos algumas aplicações:
1) As funções consumo e poupança de um operário de renda variável 
x são, respectivamente,
Consumo: C = 100 + 0,6x e
Poupança: S = 0,4x – 100
a. Qual o seu consumo e sua poupança, se ele ganhar R$ 480,00?
Solução: 
Consumo:
C = 100 + 0,6x 
C= 100 + 0,6.480
C = 100 +288
C = 388
Poupança:
S = 0,4x – 100
S = 0,4.480 – 100
S = 192 – 100
b. Qual o seu consumo, se sua renda for nula?
Solução: 
C = 100 + 0,6x
C= 100 + 0,6.0
C = 100 +0
C = 100
c. Qual a sua poupança, se sua renda for nula? 
S = 0,4x – 100 
64 Fundamentos da Matemática Elementar
S = 0,4.0 – 100
S = 0 – 100
S = – 100
2. Crescimento e decrescimento
Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores 
cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:
 x aumenta
 
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -10 -7 -4 -1 2 5 8
 y aumenta
 
Observamos novamente seu gráfico: 
Regra geral:
A função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de 
x é positivo (a > 0);
A função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente 
de x é negativo (a < 0).
65Fundamentos da Matemática Elementar
Justificativa:
 ▪ para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2.
Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2); 
 ▪ para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2.
Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2). 
2.1 Sinal
Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x), é determinar os 
valores de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e 
os valores de x para os quais y é negativo.
Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b, vamos estudar seu 
sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz .
Há dois casos possíveis:
1º) a > 0 (a função é crescente)
y > 0 ⇒ ax+b > 0 ⇒ x>   
y < 0 ⇒ ax+b < 0 ⇒ x>   
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é 
negativo para valores de x menores que a raiz.
bx
a
−
=
b
a
−
b
a
−
66 Fundamentos da Matemática Elementar
2º) a < 0 (a função é decrescente)
y > 0 ⇒ ax+b > 0 ⇒  
y > 0 ⇒ ax+b < 0 ⇒ 
Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é 
negativo para valores de x maiores que a raiz.
Algumas funções especiais
Função linear: trata-se de um caso particular de função afim, em que 
b=0. Nesse caso, temos uma função afim f de  em  dada pela lei f(x) = ax 
com a real e a≠0, que recebe a denominação especial de função linear.
Exemplos:
a) f (x) = x (a= 1 e b= 0)
 bx
a
<−
 bx
a
>−
67Fundamentos da Matemática Elementar
b) f(x) = -2x (a= -2 e b= 0)
Função constante: vimos que uma função afim f é uma função de  
em  dada pela lei y= ax+b, com a ≠ 0. Quando em y = ax +b, temos 
a = 0, essa lei não define uma função afim, mas, sim, outro tipo de função, 
denominada função constante. 
Portanto, chama-se função constante uma função f:R R dada pela 
lei y=0x+b, ou seja y = b para todo x.
Função identidade: uma função f de  em  recebe o nome de 
função identidade, quando associa, a cada elemento x ∈ o, próprio x, isto é 
f(x) = x.
68 Fundamentos da Matemática Elementar
Referências Bibliográficas
BEZERRA, Manoel Jairo. Matemática para o ensino médio. São Paulo: 
Scipione, 2004.
CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Noções básicas de matemática comercial 
e financeira. 3 ed. Curitiba: IBPEX, 2010.
FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: funções, 
limite, derivação, integração. 6 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
GOLDSTEIN, Larry J. et al. Matemática aplicada: economia, administração 
e contabilidade. 10 ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
IAN, Jacques. Matemática para economia e administração. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2010.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C.; MACHADO, N. J. Fundamentos de 
matemática elementar. Volume 1. Editora Atual, 1993.
LIMA, E. L. et al. A matemática do ensino médio. Volume 1. Sociedade 
Brasileira de Matemática, 1997.
MACHADO, Antônio dos Santos. Matemática, temas e metas. Volume 1 – 
Conjuntos Numéricos e Funções. Editora Atual, 1988.
69Fundamentos da Matemática Elementar
Funções Quadráticas ou 
Polinomial do 2º Grau
Objetivos
Ao final desta unidade de aprendizagem, você será capaz de:
 ▪ Identificar o domínio;
 ▪ Conceituar razão, proporção, proporcionalidade direta e inversa;
 ▪ Solucionar problemas utilizando a regra de três simples e composta.
71Fundamentos da Matemática Elementar
Introdução
Originalmente, a noção de função quadrática associa-se, à ideia de 
equações do 2º grau. Há registros deixados pelos babilônios, há aproximadamente 
4000 anos, de problemas envolvendo equações quadráticas com três termos. 
Esses estudos demonstram uma grande flexibilidade existente na Álgebra.
O estudo de funções quadráticas surge com o objetivo de descrever 
diferentes fenômenos físicos, químicos e biológicos. O mais comum é modelar, 
por meio de uma função polinomial do 2º grau, a trajetória de uma bola lançada 
em um jogo de basquete, até mesmo de futebol.
Outro exemplo clássico é a descrição de uma função horária que fornece 
o espaço percorrido em relação ao tempo: sua representação gráfica é uma 
parábola, ou seja, uma função polinomial do 2º grau.
Iniciaremos nossos estudos pensando em uma situação na qual podemos 
aplicar tal conceito. Em seguida, definiremos uma função polinomial do 2º grau, 
analisando seus pontos de máximo e mínimo, bem como as suas principais 
propriedades e os procedimentos a fim de solucionar problemas que envolvam 
esse tipo de função. 
73Fundamentos da Matemática Elementar
1. Funções Quadráticas 
Iniciaremos os nossos estudos com as funções polinomiais do 2º grau ou 
funções quadráticas. Para isso, vamos pensar na seguinte situação:
Um campeonato de futebol vai ser disputado por 12 equipes, pelo 
sistema em que todos jogam contra todos, em dois turnos. Sendo assim, 
quantos jogos serão realizados?
Solução:
Iniciaremos a nossa resolução contando o número de jogos que 
cada clube “fará” em casa, ou seja, no seu campo: 11 jogos. Como são 12 
equipes, teremos:
Número total 
de equipes
Número total 
de equipes (menos 1) Total de partidas
 12 * 11= 132
Se, assim como no Brasileirão, o campeonato fosse disputado por 
20 clubes, poderíamos calcular quantos jogos seriam realizados utilizando o 
mesmo raciocínio:
Número total 
de equipes
Número total 
de equipes (menos 1) Total de partidas
 20 * 19 = 380
Generalizando, para cada número de clubes (x), é possível calcular o 
número de jogos do campeonato (y). Então, podemos dizer que o valor de y 
é função de x, e a lei que define essa função é:
75Fundamentos da Matemática Elementar
Número total 
de equipes
Número total 
de equipes (menos 1) Total de partidas
 x * (x-1) = y
Ou seja, 
y= f(x) =x.(x-1)= x² - x
Esse é um exemplo de função polinomial do 2º grau ou função 
quadrática.
Chama-se função quadrática ou polinomial do 2º grau qualquer função f 
de  em  dada por uma lei da forma f (x) = ax2 + bx + c, em que a, b e c são 
números reais e a = 0. 
Veja alguns exemplos:
f (x) = 3 x2 -15x + 18, sendo a = 3, b = -15 e c = 18
f (x) = x2 - x, sendo a = 1, b = -1 e c = 0
f (x) = -x2 + 2, sendo a = -1, b = 0 e c = 2 
1.1 Gráfico da Função Quadrática
 
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau dada por 
y= ax² + bx + c, com a≠ 0 é uma curva chamada de parábola. 
Exemplo:
1. Vamos construir o gráfico da função y = - x2 
Solução:
Inicialmente, atribuiremos a x alguns valores. Depois, calcularemos o 
valor correspondente de y e, em seguida, ligaremos os pontos obtidos.
76 Fundamentos da Matemática Elementar
x -x2 y
-3 -(-3)² -9 A= (-3; -9)
-2 -(-2)² -4 B = (-2; -4)
-1 -(-1)² -1 C = (-1; -1)
0 -0² -0 D = (0; 0)
1 -1² -1 E = (1; -1)
2 -2² -4 F = (2; -4)
3 -3² -9 G = (3; -9)
77Fundamentos da Matemática Elementar
2. Vamos construir o gráfico da função f(x) = x²
Solução:
Inicialmente, atribuiremos a x alguns valores. Depois, calcularemos o 
valor correspondente de y e, em seguida, ligaremos os pontos obtidos:
x x2 y
-3 (-3)² 9 A= (-3; 9)
-2 (-2)² 4 B = (-2; 4)
-1 (-1)² 1 C = (-1; 1)
0 0² 0 D = (0; 0)
1 1² 1 E = (1; 1)
2 2² 4 F = (2; 4)
3 3² 9 G = (3; 9)
A figura a seguir mostra as duas possibilidades existentes para a 
parábola como uma curva originária de uma função quadrática: concavidade 
para cima (figura 1) ou para baixo (figura 2):
78 Fundamentos da Matemática Elementar
 a > 0 a < 0
Figura 1 Figura 2
Ao construir o gráfico de uma função quadrática dada por y= ax² + bx 
+ c, notamos sempre que:
 ▪ Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
 ▪ Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
Exemplo:
Os gráficos das funções dadas pelas leis seguintes são parábolas. Diante 
disso, quais são côncavas para cima e quais são côncavas para baixo?
1. f(x) = 3x2 -15x+18
2. f(x) = x2 - x
3. f(x) = - x2 + 2
4. f(x) = -2x2 
Solução: 
Nas funções dadas acima, temos:
Concavidade voltada para cima:
 
1. f(x) = 3x2 -15x+18 
2. f(x) = x2 - x; 
pois a = 3 e a = 1 respectivamente;
79Fundamentos da Matemática Elementar
Concavidade voltada para baixo:
3. f(x) = - x2 + 2
4. f(x) = -2x2; 
pois a = -1 e a = -2 respectivamente.
Desenvolveremos alguns conceitos, organizando-os de modo a tornar 
a construção do gráfico mais simples.
1.2 Zero da Função Quadrática 
Chamam-se raízes ou zeros da função polinomial do 2º grau dada 
por f(x) = ax2+ bx +c, os números reais x1 e x2, tais que f(x1) = 0 e f(x2) 
= 0. Portanto, os zeros são as raízes da equação do 2º grau ax2 + bx + c= 0.
Relembrando: para resolvermos uma equação do 2º grau, podemos 
utilizar a fórmula de Bháskara, dada por:
 
Δ= b² - 4.a.c, 
Vamos ver alguns exemplos:
1. Quais os zeros da função f(x) = x² - 5x + 6 ?
Vamos dividir a resolução em três etapas:
1. Destacar os coeficientes;
2. Calcular o discriminante; 
3. Calcular as raízes.
Etapa 1
a = 1, b = -5, c = 6
 
2.
bx
a
− ± ∆
=
80 Fundamentos da Matemática Elementar
Etapa 2
Δ= b² - 4.a.c=(-5)² - 4.1.6 =25 - 24=1
Etapa 3
( ) 5 1 5 1 
2. 2.1 2
bx
a
− − ±− ± ∆ ±
= = =
1
 5 1 6 3
2 2
x += = =
2
 5 1 4 2
2 2
x −= = =
Logo, as raízes da função são 2 e 3.
Discussão das raízes 
A existência das raízes de uma função quadrática fica condicionada ao 
fato da R∆ ∈ . Assim, temos três casos:
1º caso: Δ > 0 (positivo)
Quando Δ > 0, a função apresentará duas raízes reais distintas.
1
 
2.
bx
a
− + ∆
= e 2
 
2.
bx
a
− + ∆
=
2º caso: Δ =0 (nulo)
Nestecaso, . Assim temos que:
3º caso: Δ < 0 (negativo)
Quando Δ< 0, a função não apresentará raízes.
 0∆ =
1 2 2.
bx x
a
= =−
81Fundamentos da Matemática Elementar
Graficamente, podemos representar esses três casos da seguinte forma:
Relações entre coeficientes e raízes
Sendo x1 e x2 as raízes de uma função do 2º grau do tipo 
f(x) = ax² + bx + c, com a≠0, podemos afirmar que:
Estas relações são chamadas Relação de Girard e podem ser utilizadas 
para encontrar as raízes da equação do 2º grau, simplificando:
 ▪ Soma das raízes: S = -b/a 
 ▪ Produto das raízes: P = c/a 
A função quadrática tem sua forma fatorada dada por 
f(x) = a(x -x1)(x-x2), onde x1 e x2 são as raízes da equação do 2º grau. 
 1 .2 2 1 bx
a a
xx x ce+ == −
82 Fundamentos da Matemática Elementar
Exemplos:
1. Quais são as raízes da função f(x) = x2 - 5x + 6 ? Determine a forma 
fatorada da equação desta função.
Solução: 
O primeiro passo é descobrir a soma e o produto da função:
 ▪ Soma das raízes: S = -b/a => S = -(-5)/1 = 5
 ▪ Produto das raízes: P = c/a => P = 6/1 = 6
Agora, precisamos pensar em quais são os números cuja soma é igual 
a 5 e o produto é igual a 6.
Os números procurados são 2 e 3.
Encontradas as raízes, vamos à determinação da forma fatorada da função. 
Como na função quadrática, sua forma fatorada dada por f(x) = 
a(x -x1)(x-x2), onde são as raízes da equação do 2º grau, logo a forma 
fatorada é f(x) = (x - 2)(x - 3).
2. Encontre a função quadrática que tem seus zeros iguais 2 e -3 
e f(0) = 30.
Como os zeros são iguais a 2 e -3, usando a forma fatorada da função 
quadrática, teremos:
f (x) = a (x - 2) (x - 3)
Substituindo f(0)=30, ficamos com:
f (0) = a (0 - 2) (0 - 3)
Aplicando a distributiva e substituindo f(0) por 30, teremos:
83Fundamentos da Matemática Elementar
30 = 6a
 30 5
6
a = =
Logo, f (x) = -5 (x - 2) (x + 3) ou f (x) = 5x2 - 5x + 30
1.3 Máximo e Mínimo da Função Quadrática
Agora, vamos imaginar a seguinte situação:
O lucro (ou prejuízo) L de uma empresa é calculado pela diferença 
entre a receita (R) e o custo (C). Nessa empresa, a receita e o custo são dados, 
respectivamente, pelas funções R(x)= 180x - x² e C(x)= 30x + 1200, em reais, 
sendo que x representa a quantidade vendida mensalmente de determinados 
itens. Diante disso, qual é o lucro máximo, em reais, dessa empresa? 
Em situações como esta, em que procuramos encontrar o valor de 
máximo ou de mínimo em funções quadráticas, precisamos conhecer o seu 
ponto de máximo/mínimo ou as coordenadas do vértice.
Considere o gráfico abaixo da função polinomial do 2º grau definida 
por f(x) = ax² + bx + c:
84 Fundamentos da Matemática Elementar
O ponto V da função quadrática é chamado de vértice da parábola, 
podendo ser ponto de máximo (quando a < 0) ou ponto de mínimo (quando 
a >0). Como já sabemos, um ponto requer duas coordenadas, em particular, 
quando queremos determinar as coordenadas do vértice da parábola que será 
representado por V (xv; yv), onde:
V( , y2 4v v
bx
a a
− ∆
= = )
Demonstração:
2
2
( ) ²
( ) ( ² )
( ) ²
4 ² 4 ²
( )
2 4 ²
( )
2 4 ²
f x ax bx c
b cf x a x x
a a
b b b cf x a x x
a a a a
b b cf x a x
a a a
bf x a x
a a
= − +
= + +
 = + + − + 
 
  = + − +  
   
 ∆ = + −  
   
Observe que somente x é variável. Logo, concluímos que o valor de 
máximo/mínimo da parábola ocorre quando x = -b/(2a), pois o termo ao 
quadrado é sempre maior ou igual a zero.
A fatoração da função quadrática é denominada forma canônica. Além 
de ser utilizada para demonstrar o ponto de máximo/mínimo da parábola, 
também pode ser utilizada para demonstrar a fórmula que permite resolver a 
equação do 2 º grau.
Exemplos:
1. Agora que já sabemos como encontrar o vértice da função, vamos 
retomar a situação inicial:
85Fundamentos da Matemática Elementar
O lucro (ou prejuízo) L de uma empresa é calculado pela diferença 
entre a receita (R) e o custo (C). Nessa empresa, a receita e o custo são dados, 
respectivamente, pelas funções R(x)= 180x - x² e C(x)= 30x + 1200, em reais, 
em que x representa a quantidade vendida mensalmente de determinados 
itens. Diante disso, qual é o lucro máximo dessa empresa em reais?
Solução:
Para encontrarmos o lucro máximo, precisamos definir a função lucro 
(L). No enunciado, foi dito que a função lucro (L) é calculada pela diferença 
entre a receita (R) e o custo (C), ou seja:
Lucro = Receita - Custo
L(x) = R(x) - C(x)
L(x) = (180x - x²) - (30x + 1200)
L(x) = 180x -x² - 30x - 1200
L(x) = -x² + 150 x - 1200
Definida a função Lucro, precisamos encontrar yv. Como a função Lucro 
é L(x) = -x² + 150 x - 1200, teremos a = -1, b = 150 e c = 1200.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
[ ]
² ² 4. . [ 150 4 . 1 . 1200 
4. 4. 4. 1
 22500 4800 17700 4425
4 4
v
b a c
y
a a
− − − − − −−∆
= = =
−
− −
= = =
Logo, o lucro máximo será de R$4425,00.
2. Determine as coordenadas do vértice da parábola que representa 
graficamente a função f(x) = x² – 4x + 3.
86 Fundamentos da Matemática Elementar
Solução:
4 2
2 2
² 4 ( 4)² 4.1.3 1
4 4.3
v
v
bx
a
b acy
a
−
− = − = −
− − −
− = − = −
Então, V(-2, -1)
1.4 Construção da Parábola
É possível construir o gráfico de uma função quadrática sem montar a 
tabela de pares (x; y). Para isso, basta obedecer à seguinte sequência:
 ▪ O valor do coeficiente define a concavidade da parábola;
 ▪ O vértice V indica a localização do ponto de mínimo ou máximo 
da parábola;
 ▪ Os zeros reais definem o(s) ponto(s) em que a parábola intersecta 
o eixo x;
 ▪ A parábola intersecta o eixo das ordenadas, no ponto (0; c);
 ▪ A reta vertical que passa por V é o eixo de simetria da parábola.
Agora que já aprendemos a construir o gráfico de forma mais rápida, 
vamos a alguns exemplos:
1. Construa o gráfico da função f(x) = x2 -6x+5, utilizando o roteiro acima.
Solução:
Seguindo o roteiro apresentado acima, sabemos que:
 ▪ A parábola tem concavidade voltada para cima, pois a = 1;
 ▪ O vértice da parábola pode ser obtido pela fórmula:
87Fundamentos da Matemática Elementar
1 1
( 6) (( 6)² 4.1.5).
2.1 4
 y
.1
(x 3, 4)
v
v
− − − − − =  
 
= = = −
 ▪ Os zeros da função podem ser obtidos pela fórmula:
1 2
( 6) ( 6)² 4.1.5
2.1
 
6
 
16
2
5 1
x
x
x e x
− − ± − −
=
±
=
= =
 ▪ E o ponto em que a função intersecta o eixo y é facilmente obtido, 
fazendo f(0).
f (0)= 02 - 6.0 + 5 = 5 (0,5)
 Eixo de Simetria
88 Fundamentos da Matemática Elementar
1 2
( 6) ( 6)² 4.1.5
2.1
 
6
 
16
2
5 1
x
x
x e x
− − ± − −
=
±
=
= =
1.5 Estudo Final da Função Quadrática
Consideremos uma função quadrática dada por y=f(x)= ax² bx + c. 
Vamos determinar os valores de x para os quais y é negativo e de x para 
os quais y é positivo.
Para analisarmos de forma prática o sinal da função quadrática, iremos:
1. Igualar a função a zero e calcular as raízes ou zeros da função.
2. Marcar, na reta numérica, as raízes encontradas.
3. Fora das raízes tem o mesmo sinal do coeficiente de a. E dentro, isto 
é, entre as raízes, a função terá sinal contrário ao coeficiente de a.
De acordo com o valor do discriminante Δ= b² - 4.a.c , podem ocorrer 
três casos:
1. Se Δ>0, a função admitirá duas raízes reais distintas (x1≠x2) e a 
parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos. O sinal da função é 
indicado nos gráficos abaixo:
 quando a>0 quando a<0
 y>0⇔ (x<x1 ou x>x2) y<0⇔ x1<x<x2
 y<0⇔ x1<x<x2 y<0⇔ (x<x1 ou x>x2)
89Fundamentos da Matemática Elementar
Se Δ = 0, a função quadrática admite duas raízes reais iguais (x1=x2). 
Neste caso, a parábola tangencia o eixo Ox. O sinal da função é indicado nos 
gráficos a seguir:
 quando a>0 quando a<0
 y>0⇔ 1x x∀ ≠ y<0⇔ 1x x∀ ≠
 Não existe x tal que y<0 Não existe x tal que y>0
2. Se Δ< 0, a função quadrática não admiteraízes reais. Sendo assim, 
a parábola não intercepta o eixo Ox. O sinal da função é indicado 
nos gráficos abaixo:
Exemplos:
Vamos estudar o sinal da função: f(x)=x²-4x+3
Solução: 
O primeiro passo é calcularmos as raízes da função f(x)=x²-4x+ 3. Por 
meio da relação de Girard, obtemos:
 ▪ Soma das raízes: S = -b/a => S = -(-4)/1 = 4
 ▪ Produto das raízes: P = c/a => P = 3/1 = 3
90 Fundamentos da Matemática Elementar
Logo, as raízes são 3 e 1.
Agora, iremos marcar as raízes na reta e analisar:
Observe que, para x < 1 ou x > 3, vemos no gráfico que y > 0, já que 
estes pontos estão acima do eixo das abscissas.
Para x = 1 ou x = 3, a função é nula, isto é, f(x) = 0.
Para x > 1 e x < 3, vemos no gráfico que y < 0, visto que estes pontos 
estão abaixo do eixo das abscissas.
Então, para a função f(x)=x²-4x+3, temos:
A função é negativa para {x | x>1 e x<3};
A função é nula para {x | x=1 ou x=3}; 
A função é positiva para {x | x<1 ou x>3} ;
A representação também pode ser assim realizada:
 ▪ {x ∈ | 1<x<3} => f(x)<0
 ▪ {x ∈ | x=1 ou x=3} => f(x)=0
 ▪ {x ∈ | x<1 ou x>3} => f(x)>0
Aplicações do estudo do sinal da função
Retomemos ao exemplo do item 1.4, onde estudamos o ponto de 
máximo e de mínimo:
O lucro (ou prejuízo) L de uma empresa é calculado pela diferença 
entre a receita (R) e o custo (C). Nessa empresa, a receita e o custo são dados, 
∈
∈
∈
91Fundamentos da Matemática Elementar
respectivamente, pelas funções R(x)= 180x - x² e C(x)= 30x + 1200, em reais, em 
que x representa a quantidade vendida mensalmente de determinados itens. 
Diante disso, qual é o lucro máximo dessa empresa em reais?
Suponhamos que agora, ao invés do lucro máximo, a pergunta seja 
a seguinte:
Após obter lucro máximo, a partir de qual quantidade essa empresa 
começa a ter prejuízo?
Solução: 
Vimos que a função Lucro encontrada a partir da diferença entre a 
função receita e a função custo, foi L(x)=-x²+150x-1200.
Para fazermos essa análise, precisamos primeiramente encontrar as 
raízes dessa função, para, depois, fazermos o estudo do sinal. Calculando as 
raízes por Bháskara, temos:
Δ=(150)² - 4.(-1).(-1200)
Δ=22500 -4800
Δ= 17700
( )
 150 17700 
2. 1
x − ±=
−
 150 17700 
 2
x − ±=
−
x1 8,5 e x2  141,52
Agora, vamos marcar essas raízes para fazermos o estudo do sinal:
92 Fundamentos da Matemática Elementar
Observe que, a partir de 142 unidades, a empresa começa a ter prejuízo. 
Isto significa que, a partir de 142 unidades, seria necessário que essa empresa 
fizesse uma alteração na forma como ela produz.
Com esse exemplo, podemos ver o quanto o conceito de funções 
polinomiais pode auxiliar em diferentes situações, como ajudar a prever 
prejuízos em empresas, além de compreender a forma como uma função 
polinomial de 2º grau se comporta.
Agora que você já estudou os conceitos e suas aplicações, vamos 
aos exercícios!
93Fundamentos da Matemática Elementar
Referências Bibliográficas
BEZERRA, Manoel Jairo. Matemática para o ensino médio. São Paulo: 
Scipione, 2004.
CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Noções básicas de matemática comercial 
e financeira. 3 ed. Curitiba: IBPEX, 2010.
FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: 
funções, limite, derivação, integração. 6 ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2006.
GOLDSTEIN, Larry J. et al. Matemática aplicada: economia, 
administração e contabilidade. 10 ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
IAN, Jacques. Matemática para economia e administração. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2010
IEZZI, G. MURAKAMI; C. MACHADO, N. J. Fundamentos de matemática 
elementar. Volume 1. Editora Atual, 1993.
LIMA, E. L. et al. A matemática do ensino médio. Volume 1. Sociedade 
Brasileira de Matemática, 1997.
MACHADO, ANTÔNIO DOS SANTOS. Matemática temas e metas. Volume 
1 – Conjuntos Numéricos e Funções. Editora Atual, 1988.
95Fundamentos da Matemática Elementar
Função Exponencial
Objetivos
Ao final desta unidade de aprendizagem, você será capaz de:
 ▪ Identificar uma função exponencial e suas principais propriedades;
 ▪ Identificar problemas que possam ser modelados pelas funções 
exponenciais;
 ▪ Solucionar problemas modelados por uma função exponencial.
97Fundamentos da Matemática Elementar
Introdução
As funções exponenciais, as afins e as quadráticas são os modelos 
mais aplicados para resolver problemas elementares. Porém, é muito comum 
utilizarmos funções exponenciais para problemas mais complexos, como: 
crescimento populacional de bactérias, rendimentos obtidos em uma aplicação 
de juros compostos e o tempo que certa substância leva para degradar em 
determinado ambiente.
Os modelos exponenciais são aplicados em diversas áreas das ciências 
como: física, química, engenharias, economia, biologia e outras.
Nesta unidade aprofundaremos nossos estudos sobre a função 
exponencial, identificando suas características, os problemas modelados por 
elas e suas formas de resolvê-los.
99Fundamentos da Matemática Elementar
1. Função exponencial
Nesta unidade de aprendizagem iremos estudar as funções exponenciais. 
Esse tipo de função se aplica a várias situações do nosso cotidiano, inclusive 
em situações de transações financeiras. 
Imagine uma aplicação financeira na qual você investiu, inicialmente, 
R$2.000,00. Você terá rendimento mensal e taxa de juros de 2% ao mês. Qual 
será o valor acumulado em 8 meses?
Solução:
Sabemos que em transações bancárias operam o regime de juros 
compostos, ou seja, em um investimento com capitalização mensal, ao final 
de cada mês, o juro é acrescido ao montante do mês anterior. Nesta aplicação 
temos, então, o seguinte:
Mês 40 horas Juros(%) Montante (R$)Capital+juros
1 2.000 2% de 2.000=40 2.040,00
2 2.040 2% de 2.040=40,8 2.080,80
3 2.080,80 2% de 2.080,80=41,62 2.122,42
4 2.122,42 2% de 2.122,42=42,45 2.164,87
5 2.164,87 2% de 2.164,87=43,30 2.208,17
6 2.208,17 2% de 2.208,17=44,16 2.252,33
7 2.252,33 2% de 2.252,33=45,05 2.297,38
8 2.297,38 2% de 2.297,38=45,94 2.343,32
101Fundamentos da Matemática Elementar
Em situações como essa, podemos recorrer às funções exponenciais. 
Observe que o valor acumulado em 8 meses pela aplicação de R$2.000,00 à 
taxa mensal de 2% poderia ser expresso da seguinte forma, em que M é o 
valor acumulado e t é o tempo em meses:
M= 2.000 + 2.000 . 0,02= 2000 (1,02)¹
M= 2.000 (1,02)(1,02) = 2000 (1,02)² 
M= 2.000 . (1,02) (1,02) (1,02)…(1,02)
t vezes 
M= 2.000 . (1,02)t
Embora, neste caso, a variável t só possa assumir valores naturais, este 
é um exemplo de função exponencial.
Definição
Seja um número real positivo e diferente de 1, a função exponencial 
f:   , de base, é dada pela seguinte lei correspondência: f(x) = ax.
Exemplos:
f(x) = 2x
f(x) = 5x
f(x) = ( 1
2
)x
Gráfico de uma função exponencial: 
Seja f: , tal que f(x)=ax, o gráfico dessa função poderá ser 
esboçado de duas formas:
1º caso: Se a >0, a função é crescente para todo x ; portanto, dados 
dois números reais x1 < x2 , temos f(x1) < f(x2).
 
∈
102 Fundamentos da Matemática Elementar
2º caso: 0<a<1, a função é decrescente para todo x R; portanto, 
dados dois números reais x1 < x2 , temos f(x1)>f(x2).
Note, ainda, que, em ambos os casos, o gráfico da função não toca o 
eixo y e, além disso, a exponencial sempre toca o eixo y no ponto y=1 . Isso 
ocorre pois a0=1 .
Vamos esboçar o gráfico de funções exponenciais a partir de alguns pontos 
obtidos por meio de uma tabela. Observe o exemplo a seguir:
1) Vamos construir o gráfico da função ( ) 1 
2
x
f x  = 
 
.
X f(X )=(1/2)x
-4 f(-4)=(1/2)-4=16
-3 f(-3)=(1/2)-3=8
-2 f(-2)=(1/2)-2=4
-1 f(-1)=(1/2)-1=2
0 f(0)=(1/2)0=1
1 f(1)=(1/2)1=1/2
2 f(2)=(1/2)2=1/4
3 f(3)=(1/2)3=1/8
4 f (4)=(1/2)4=1/16
∈
103Fundamentos da Matemática Elementar
2) Vamos construir o gráfico da função: 
Propriedades da função exponencial:
1. Domínio: D(f)=R;
2. Imagem: Im(f)=R+ (ou seja, y > 0);
3. Se a>1 entãof é crescente;
4. Se 0<a<1, então f é decrescente;
5. Não existe x R, tal que ax=0, ou seja, a função exponencial 
não tem raiz real. Assim, o gráfico se aproxima do eixo x, mas 
não o intercepta. Dizemos, então, que o eixo x é uma assíntota 
horizontal;
6. A função exponencial é bijetora e, como consequência, é inversível 
(admite função inversa);
7. A interseção do gráfico da função exponencial com o eixo y é o 
ponto (0,1).
Vejamos algumas aplicações das funções exponenciais:
1. Considere que as importações em milhões de reais em um país, 
∈
104 Fundamentos da Matemática Elementar
a partir do ano de 2016, pode ser modelada por L(t) = 35,2(0,96)
t, em que t representa o tempo em anos. Encontre qual foi a 
quantidade inicial de importações no respectivo ano.
Solução: 
Para determinarmos a quantidade inicial, basta fazermos t=0, isto é:
L(0) = 35,2(0,96)0
L(0) = 35,2 . 1
L(0) = 35,2 
 
Logo, a quantidade inicial de importações foi de 35,2 milhões.
2. A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num 
certo ano, ela produziu mil unidades de seu principal produto. A 
partir daí, a produção anual passou a seguir a lei y = 1000 . (0,9)x. 
Qual foi o número de unidades produzidas no segundo ano desse 
período recessivo?
Solução: 
Para determinarmos a quantidade de unidades produzidas no segundo 
ano, basta fazermos x=0, isto é:
y = 1.000(0,9)2
y = 1.000 . 0,81
y = 810
 
Logo, a quantidade no segundo ano foi de 810 unidades.
Equações Exponenciais:
Uma equação exponencial é aquela que apresenta a incógnita no 
expoente de, pelo menos, uma potência. Um método usado para resolver 
105Fundamentos da Matemática Elementar
equações exponenciais consiste em reduzir ambos os membros da equação 
a potências de mesma base. Quando isso for possível, chamamos equações 
exponenciais simples.
ax=ak ⇔ x=k
Exemplo: 
Resolva a equação exponencial 2x=16.
Solução:
Para encontrar o valor de x que satisfaça a igualdade, devemos fatorar, 
sempre que possível, ambos os membros, de modo que possamos escrever 
cada um como potências de mesma base.
16 2 Quando for possível, comece dividindo por 2.
 8 2
 4 2
 2 2
 1 2
Então 16=24, temos:
2x=24
x= 4
Inequação exponencial: 
Uma desigualdade ou inequação exponencial é aquela que apresenta 
a incógnita no expoente de, pelo menos, uma potência. Um método usado 
para resolver inequações exponenciais consiste em reduzir ambos os membros 
da inequação à potências de mesma base; em seguida, para determinar o 
intervalo da solução, verificar se a base obtida é maior que um (a>1) ou está 
entre zero e um (0<a<1).
Vejamos alguns exemplos:
106 Fundamentos da Matemática Elementar
Resolva as desigualdades exponenciais abaixo:
a) 8x > 32⇔ 23x > 25 ⇒ 3x > 5⇔ x> 5/3
Pois, aumentando o valor de x, a potência 23x aumenta cada vez mais.
b) (1/9)x>(1/27) ⇔ (1/3)2x>(1/3)3 ⇒ 2x < 3 ⇔ x 3/2
Pois, diminuindo o valor de x, a potência (1/3)2x aumenta cada vez mais.
Observe que os conceitos estudados nesta unidade podem, e muito, 
auxiliar na compreensão das transações financeiras que fazemos no dia a dia, 
além de sua aplicação ser possível em diversas outras áreas. Essa é a beleza 
da matemática!
Na história da matemática, há uma lenda que conta sobre um rei que 
solicitou aos seus súditos que inventassem um novo jogo, para que ele ficasse 
menos entediado. O melhor jogo teria direito a realizar qualquer desejo. Um 
dos seus súditos inventou, então, o jogo de xadrez. O rei ficou maravilhado 
com o jogo e viu-se obrigado a cumprir a sua promessa. Chamou, então, seu 
inventor e disse que ele poderia pedir o que desejasse. O astuto inventor pediu, 
então, que as 64 casas do tabuleiro do jogo de xadrez fossem preenchidas com 
moedas de ouro, seguindo a seguinte condição: na primeira casa seria colocada 
uma moeda, e em cada casa seguinte seria colocado o dobro de moedas que 
havia na casa anterior. Já podemos imaginar o que aconteceu!
Você poderá conferir o fim dessa história no vídeo Prá lá de Bagdá, sugerido 
no material de estudo.
Vamos aos exercícios!
107Fundamentos da Matemática Elementar
Referências Bibliográficas
BEZERRA, Manoel Jairo. Matemática para o ensino médio. São Paulo: 
Scipione, 2004.
CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Noções básicas de matemática comercial 
e financeira. 3 ed. Curitiba: IBPEX, 2010.
FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: 
funções, limite, derivação, integração. 6 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 
2006.
GOLDSTEIN, Larry J. et al. Matemática aplicada: economia, administração 
e contabilidade. 10 ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
IAN, Jacques. Matemática para economia e administração. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2010
IEZZI, G. MURAKAMI; C. MACHADO, N. J. Fundamentos de matemática 
elementar. Volume 1. Editora Atual, 1993.
109Fundamentos da Matemática Elementar
Logaritmos e Funções 
Logarítmicas
Objetivos
Ao final desta unidade de aprendizagem, você será capaz de:
 ▪ Conceituar e definir condições de existência de logaritmos;
 ▪ Aplicar os conceitos de logaritmo, a mudança de base e as 
propriedades operatórias na resolução de equações; 
 ▪ Solucionar equações exponenciais e logarítmicas;
 ▪ Definir função logarítmica;
 ▪ Identificar as propriedades de uma função logarítmica.
111Fundamentos da Matemática Elementar
Introdução
Desenvolvido pelo escocês John Napier (1550-1617), os logaritmos 
tinham como objetivo principal minimizar os cálculos realizados pelos 
navegadores e astrônomos da época. Por meio da tábua de logaritmo dos senos 
de 0º a 90º, desenvolvida por Napier em 1614, esses cálculos puderam ser 
mais simplificados. Atualmente, com o uso de computadores e calculadoras 
científicas, realizar as operações como multiplicações e divisões já não é mais 
tão exaustivo. No entanto, a utilização dos logaritmos ainda é muito presente 
em diferentes situações.
Nesta unidade de aprendizagem iremos estudar os logaritmos e as 
funções logarítmicas.Veremos sua definição, propriedades e gráficos, bem 
como algumas técnicas de resolução de equações e inequações exponenciais 
e logarítmicas.
113Fundamentos da Matemática Elementar
1. O Surgimento dos Logaritmos
De acordo com a história da matemática, foi o escocês John Napier 
(1550-1617) quem elaborou a teoria dos logaritmos, embora outros 
matemáticos, como o suíço Jobsti Burgui (1552-1632) e o IngLês Henry 
Briggs (1561-1630), tenham contribuído de forma significativa para o 
desenvolvimento desta teoria.
O surgimento dessa invenção teve grande impacto nos meios 
científicos da época, pois significava um grande avanço de cálculo numérico 
que ajudariam a impulsionar o desenvolvimento do comércio, da navegação 
e da astronomia, já que, na época, multiplicações e divisões com números 
grandes eram feitas com o auxílio de relações trigonométricas.
A ideia de Napier era associar os termos da sequência (b;b²;b³;b4;…;bn) 
aos termos de outra sequência (1;2;3;4;…n), de forma que o produto de dois 
termos quaisquer da primeira sequência (bx . by = b x + y ) estivesse associado à 
soma dos termos da segunda sequência.
Veja um exemplo:
1ª sequência 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2ª sequência 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
Para fazer 16.32, note que:
115Fundamentos da Matemática Elementar
Para multiplicarmos 16 por 32, somamos os termos correspondentes 
a eles na 1ª sequência, ou seja, 4 + 5 = 9, e buscamos na 2ª sequência o 
número correspondente, que é 512. Logo, 16 x 32 = 512.
Na linguagem dos logaritmos, os elementos da 1ª sequência da 
tabela correspondem ao logaritmo na base 2, dos respectivos elementos na 
2ª sequência.
Por longos anos, os logaritmos prestaram-se à finalidade para a qual 
foram inventados, que era facilitar cálculos para números muito grandes, 
porém, hoje, com o desenvolvimento das tecnologias e o surgimento das 
calculadoras eletrônicas, essa finalidade caiu em desuso.
Contudo, quando aplicados ao estudo de funções logarítmicas, podem 
ser utilizadas para descrever diversos