FUNÇÕES LINEARES

Prévia do material em texto

Centro Universitário Fieo – Unifieo 
Matemática e Cálculo – Prof. Tiago Moura 
 
FUNÇÕES LINEARES – EQUAÇÃO DA RETA 
 
A reta é caracterizada por dois pontos e uma inclinação, de forma que 
podemos escrever a inclinação como sendo 
 
𝒎 =
∆𝒚
∆𝒙
 
 
Considere dois pontos no plano 𝑥𝑦: (2,6) e (5,9). Podemos unir os dois 
pontos por meio de uma reta e escrever a equação desta reta da seguinte forma: 
 
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 
 
𝑚 é a inclinação, também chamada de coeficiente angular. 𝑏 é chamado de 
coeficiente linear, e é a ordenada na qual a reta cruza o eixo 𝑦. 
 
Primeiro, calculamos ∆𝑥 e ∆𝑦. Em seguida, calculamos o valor da razão 
∆𝒚
∆𝒙
. 
∆𝑥 = 5 − 2 = 3 
∆𝑦 = 9 − 6 = 3 
Portanto, 
𝒎 =
∆𝒚
∆𝒙
=
𝟑
𝟑
= 𝟏 
 
 Podemos agora escrever a equação da reta considerando o valor da 
inclinação 𝑚 e o valor de um ponto inicial sobre a reta, que consideraremos 
como sendo o ponto (2,6). Logo, 
 
𝑥0 = 2; 𝑦0 = 6 
 
Assim, para qualquer ponto genérico sobre a reta, podemos escrever: 
 
𝒎 =
𝒚 − 𝒚𝟎
𝒙 − 𝒙𝟎
 
Centro Universitário Fieo – Unifieo 
Matemática e Cálculo – Prof. Tiago Moura 
 
 
Logo, 
 
𝑚 =
𝑦 − 6
𝑥 − 2
 
 
Mas, 𝑚 = 1. Então: 
 
𝑦 − 6
𝑥 − 2
= 1 
 
Reescrevendo a equação acima, encontramos: 
𝑦 = 𝑥 − 2 + 6 
 
𝒚 = 𝒙 + 𝟒 
 
O gráfico da reta está representado abaixo: 
 
 
FIGURA 1. Gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 4. 
Centro Universitário Fieo – Unifieo 
Matemática e Cálculo – Prof. Tiago Moura 
 
RETAS PARALELAS 
 
 Duas retas são paralelas se ambas possuem a mesma inclinação. 
 
Exemplo: 
 
As retas 𝑦 = 5𝑥 + 6 e 5𝑥 − 9 são paralelas. 
 
FIGURA 2. Retas paralelas 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 6 e 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 9. 
 
 
 
 
 
Centro Universitário Fieo – Unifieo 
Matemática e Cálculo – Prof. Tiago Moura 
 
 As retas 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 5 e 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4 não são paralelas: 
 
 
FIGURA 3. Retas não paralelas (ou concorrentes). 
 
RETAS PERPENDICULARES 
Duas retas são perpendiculares se suas inclinações estão relacionadas 
da seguinte forma: 
 
𝑚1 = −
1
𝑚2
 
Exemplo: 
Considere as seguintes retas: 
𝑦 = 2𝑥 + 1 
 
𝑦 = −0,5 𝑥 − 1 
 
Centro Universitário Fieo – Unifieo 
Matemática e Cálculo – Prof. Tiago Moura 
 
 
FIGURA 4. Retas perpendiculares. 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1) Determine a inclinação da reta que contém os pontos (1, −2) e (3, 5). 
 
Solução 
𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
= 
5 − (−2)
3 − 1
= 
5 + 2
2
= 
7
2
 
 
2) Determine o número 𝑝 tal que a reta que contém os pontos (2, −1) e (4, 4) 
seja perpendicular à reta que contém os pontos (8, −2) e (𝑝, 1). 
 
Solução 
 
 Primeiro, podemos determinar a inclinação da primeira reta 
mencionada no enunciado: 
 
𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
= 
4 − (−1)
4 − 2
= 
4 + 1
2
= 
5
2
 
Centro Universitário Fieo – Unifieo 
Matemática e Cálculo – Prof. Tiago Moura 
 
 
 A outra reta, sendo perpendicular à primeira, tem de ter inclinação 
igual a: 
 
𝑚 = −
2
5
 
 
 A inclinação desta reta também pode ser dada a partir dos pontos 
especificados: 
 
𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
= 
1 − (−2)
𝑝 − 8
= 
3
𝑝 − 8
 
 
 No entanto, 
 
𝑚 = 
3
𝑝 − 8
= −
2
5
 
 
 
 Resolvemos, portanto, a equação: 
 
3
𝑝 − 8
= −
2
5
 
 
5(3) = −2 (𝑝 − 8) 
 
15 = −2𝑝 + 16 
 
2 𝑝 = 16 − 15 
 
2 𝑝 = 1 
 
𝒑 =
𝟏
𝟐
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro Universitário Fieo – Unifieo 
Matemática e Cálculo – Prof. Tiago Moura 
 
 
3) Determine a equação da reta abaixo: 
 
 
 
 
Solução 
 
 Podemos escolher quaisquer dois pontos sobre a reta. Por 
conveniência, escolhemos os pontos (0, 2) e (1, 0). 
 
𝑚 =
0 − 2
1 − 0
= −
2
1
= −2 
 
 Porém, 
 
𝑚 =
𝑦 − 𝑦0
𝑥 − 𝑥0
= 
𝑦 − 2
𝑥 − 0
= 
𝑦 − 2
𝑥
 
 
 
 Portanto, 
 
𝑦 − 2
𝑥
= − 2 
 
Centro Universitário Fieo – Unifieo 
Matemática e Cálculo – Prof. Tiago Moura 
 
𝑦 − 2 = −2 𝑥 
 
𝒚 = −𝟐 𝒙 + 𝟐 
 
4) Determine a função f tal que f(x) forneça a temperatura na escala Réamur 
que corresponde à temperatura x na escala Celsius. Lembre que a 
temperatura de congelamento da água é 0 °C e 0 °R; além disso, a 
temperatura de ebulição da água é 100 °C e 80 ° R. 
 
Solução 
 
 Faremos a variável 𝑥 corresponder aos graus Celsius e a variável 
𝑦 corresponder aos graus Réamur. Logo, nos foram dados dois pontos, a 
ver: 
 
(0,0) e (100, 80) 
 
 Portanto, podemos calcular a inclinação da reta: 
 
𝑚 =
80 − 0
100 − 0
= 
8
10
= 
4
5
 
 
 Porém: 
 
𝑚 = 
𝑦 − 𝑦0
𝑥 − 𝑥0
=
𝑦 − 0
𝑥 − 0
= 
𝑦
𝑥
 
 
 Portanto, 
 
𝑦
𝑥
=
4
5
 
 
 
𝒚 = 
𝟒
𝟓
 𝒙 
 
Portanto: 
 
°𝑹 = 
𝟒
𝟓
 ℃ 
 
 
 
 
Centro Universitário Fieo – Unifieo 
Matemática e Cálculo – Prof. Tiago Moura 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Determine a inclinação da reta que contém os pontos (3, 4) e (7, 13). 
2) Determine a inclinação da reta que contém os pontos (2, 11)𝑒 (6, −5). 
3) Determine um número 𝑡 tal que a reta que contém os pontos (1, −2) e 
(3, 3)seja perpendicular à reta que contém os pontos (9, −1) e (𝑡, 1). 
4) Determine um número 𝑤 tal que a reta que contém os pontos (1, 𝑤) e 
(3, 7). 
5) Determine o número 𝑑 tal que a reta que contém os pontos (𝑑, 4) e (−2, 9) 
tenha inclinação − 3. 
6) Suponha que as despesas com instrução na Euphoria State University 
sejam de US$ 525 por semestre mais US$ 200 por crédito cursado. 
 
(a) Quais são as despesas com instrução para um semestre no qual um 
estudante cursa 10 créditos? 
 
(b) Determine uma função linear t tal que t(u) represente as despesas com 
ensino, em dólares, para um semestre no qual um estudante cursa u 
créditos. 
 
(c) Determine a despesa total para um estudante que leva 12 semestres 
para acumular os 120 créditos necessários para graduar-se. 
 
(d) Determine uma função linear g tal que g(s) seja a despesa total com 
instrução para um estudante que leva s semestres para acumular os 
120 créditos necessários para graduar-se. 
 
 
7) Determine a função f tal que f(x) forneça a temperatura na escala 
Fahrenheit que corresponde à temperatura x na escala Celsius. Lembre 
que a temperatura de congelamento da água é 0° Celsius e 32° 
Fahrenheit; além disso, a temperatura de ebulição da água é 100° Celsius 
e 212° Fahrenheit. 
 
8) Construa o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1, definda de ℝ em ℝ. 
 
9) Qual é a equação da reta que passa pelo ponto (−3, −1) e de coeficiente 
linear igual a 8? 
 
 
 
 
 
 
Centro Universitário Fieo – Unifieo 
Matemática e Cálculo – Prof. Tiago Moura 
 
 
10) Determine a equação para a reta abaixo: 
 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
AXLER, S. Pré-Cálculo - Uma Preparação para o Cálculo, 2 ed. Rio de 
Janeiro: Grupo GEN, 2016. E-book. ISBN 9788521632153. Disponível em: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521632153/. Acesso em: 
07 fev. 2023.