aula 1 de raciocinio

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Raciocínio Lógico 
Matemático
Conceitos básicos de matemática
Profa. Dra. Daiany Cristiny Ramos
Por que aprender 
operações com 
frações, razão e 
proporção?
Por que aprender 
sobre porcentagem 
e logaritmo?
https://bit.ly/3r3YuiH
Fração
Fração 
É um número que pode representar parte de um inteiro ou parte de uma 
quantidade. 
Representação:
Numerador: Indica o número de partes selecionadas 
do inteiro. 
Denominador: Indica o número partes iguais que o 
inteiro foi dividido. 
Numerador 
Denominador
𝑏 ≠ 0
Soma e subtração com Frações
Para somar ou subtrair frações com denominadores iguais, 
basta operar os numeradores e conservar o denominador.
Para somar ou subtrair frações com denominadores diferentes, é 
necessário encontrar outras frações equivalentes a essas que possuam 
denominadores iguais
Multiplicação e divisão com frações
Para multiplicar duas frações multiplicamos os numeradores e os denominadores
𝑎
𝑏
⋅
𝑐
𝑑
=
𝑎 ⋅ 𝑐
𝑏 ⋅ 𝑑
 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑏 𝑒 𝑑 ≠ 0
Na divisão de frações, devemos multiplicar a primeira 
fração pelo inverso da segunda:
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
=
𝑎
𝑏
⋅
𝑑
𝑐
𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑏 𝑒 c ≠ 0
1 3
4 5
6 7
Operações com frações
1
5
+
3
5
=
4
5
 
1
9
−
2
3
=
3 − 18
27
=
−15
27
= −
5
9
1
3
.
3
5
=
3
15
=
1
5
2
3
÷
1
3
=
2
3
⋅
3
1
=
6
3
= 2
https://bit.ly/2U2T6zY Razão e proporção
Razão
Usa-se uma razão quando queremos comparar unidades, entre si. Por 
exemplo:
Razão entre o número de meninas e a quantidade total de alunos.
 Número de meninas: 20
 Total de alunos: 50
A razão entre o número de meninas e a quantidade total de alunos é dada 
pelo quociente, que é uma divisão representada como fração:
20 está para 50
Proporção
É a igualdade entre duas razões (equivalências entre razões). Os
números a, b, c e d, todos diferentes de zero, formam nesta ordem, uma
proporção se, e somente se, a razão 𝒂 ∶ 𝒃 for igual à razão 𝒄 ∶ 𝒅. Indicamos
esta proporção por:
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
Lê-se: “a está para b, assim como c 
está para d".
A proporção obedece à seguinte propriedade:
O produto dos extremos é igual ao produto dos 
meios. 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 𝑎 ⋅ 𝑑 = 𝑏 ⋅ 𝑐
Razões proporcionais
As razões a seguir são proporcionais
3
10
 e
12
40
, pois
3
10
=
12
40
= 0,3
9
8
 e
27
24
, pois
9
8
=
27
24
= 1,125
Regra de três simples
Havendo duas razões proporcionais, se três valores forem conhecidos, o 
quarto valor poderá ser determinado com a aplicação de operações básicas.
Por exemplo
𝑥
7
=
6
21
21𝑥 = 42
𝑥 =
42
21
= 2
8 9
10 11
12 13
Porcentagem
Porcentagem
 Indica uma razão ou uma divisão por 100.
 O símbolo utilizado para indicar a porcentagem é %. Isso significa que, 
quando nos deparamos com um número seguido deste símbolo, ele é um 
número percentual.
 Por exemplo:
50% =
50
100
Cálculo de porcentagem
Determine:
 1% de 50
1
100
⋅ 50 =
50
100
=
1
2
= 0,5
 20% de 350
20
100
⋅ 350 =
7000
100
= 70
Exemplo
Uma pessoa vai pagar uma parcela do financiamento do carro com atraso,
sendo que a multa correspondente a esse atraso é de 3,75% do valor do
boleto. Sabendo que o valor do boleto é de R$ 335,70, qual é o valor que a
pessoa vai desembolsar ao pagar a parcela atrasada?
https://bit.ly/3yPe6Jd
Podemos considerar que o valor total do boleto corresponde a 100% e 
encontrar 3,75% do valor do boleto. Depois somamos ao valor inicial, visto que 
os 3,75% do valor total é o juro a ser pago junto com a parcela.
335,70 −−−− −100%
𝑥 −−−−−− −3,75%
100𝑥 = 1258,875
𝑥 = 12,58875
Podemos dizer que o valor da multa é de aproximadamente 
𝑅$ = 12,59
Logo o valor a ser pago é 335,70 + 12,59 = 348,29
Quantidade de 
funcionários
14 15
16 17
18 19
No 1º semestre de 2014, uma empresa de telemarketing tinha um total de 
950 funcionários. Já no início do 2º semestre do mesmo ano, o número de 
funcionários tinha atingido a quantidade de 1450. Determine de quantos por 
cento foi o aumento no número de funcionários.
https://bit.ly/3AUms48
Informações
1º semestre: 950 funcionários 
2º semestre: 1450 funcionários
Do segundo semestre para o primeiro 
houve um aumento de 500 funcionários.
https://bit.ly/3AUms48
Resolução
Consideramos que a quantidade de funcionários no 
primeiro semestre é 100% e verificamos qual o valor 
percentual de 500 funcionários em relação a 950. 
950 −−−− −100%
500 −−−−−− −𝑥%
950𝑥 = 50000
𝑥 ≅ 52,63%
https://bit.ly/3AUms48
Resolução
Consideramos que a quantidade de funcionários no primeiro semestre é 100% e 
verificamos qual o valor percentual da quantidade de funcionários do segundo 
semestre em relação a quantidade do primeiro semestre. 
950 −−−− −100%
1450 −−−−−− −𝑥%
950𝑥 = 145000
𝑥 ≅ 152,63%
Como o primeiro semestre correspondia a 100% e o segundo
a 152,63%, tivemos um aumento de 
aproximadamente 52,63%
Calculando o valor de 
um produto
Uma loja vende uma máquina de lavar roupas por R$ 750,00. 
a) Se a loja fizer um aumento de 6% em seus preços, quanto a máquina 
passará a custar? 
b) Se, em uma liquidação, fosse anunciado um desconto de 20% no preço 
inicial da máquina de lavar, quanto ela passaria a custar? 
https://bit.ly/3yP5AKe
20 21
22 23
24 25
Potenciação e 
notação científica
Potenciação
Você já se deparou com expressões matemáticas compostas por 
multiplicações de números repetidos?
3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 
Temos 8 fatores do número 3
38 = 6 561
Potência
22 : Lê-se, dois elevado a quadrado
23 : Lê-se, dois elevado ao cubo
24 : Lê-se, dois elevado a quarta potência
n fatores 
EXPOENTE
BASE
𝑎 = 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑎 …
Cálculo de potência 
Base positiva: potência positiva
2
4
=
2
4
⋅
2
4
=
4
16
=
1
4
Base negativa:
 Expoente par: potência positiva
−4 = (−4) ⋅ (−4) = 16
 Expoente ímpar: potência negativa
−4 = −4 ⋅ −4 ⋅ −4 = −64
Atenção!
Seja n um número par
−𝑎 ≠ −𝑎
Propriedades de potências
Para quaisquer valor 𝑚 e 𝑛 temos:
 𝑎 ⋅ 𝑎 = 𝑎
 𝑎 : 𝑎 = 𝑎
 𝑎 = 𝑎 ⋅
 𝑎 =
 𝑎 = 𝑎 , 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 > 1
 𝑎 = 1, 𝑎 ≠ 0
Notação Científica
A notação científica é um tipo de representação numérica em que os valores 
são escritos utilizando potências de base 10
Por exemplo:
123000000 = 1,23 ⋅ 10
0,0000005 = 5 ⋅ 10
Na representação em notação científica, os números são dados na forma
𝑎 ⋅ 10 , em que 𝑎 é um número real maior ou igual a um e menor do 
que 10, ou seja,1 ≤ 𝑎 < 10 , enquanto m é um número inteiro
27 28
29 30
31 32
Equação Exponencial
Equação
Equação é toda sentença matemática na qual encontramos:
 Uma ou mais letras que indicam valores desconhecidos, que 
denominamos incógnitas; 
 Um sinal de igualdade; 
 Um expressão à esquerda, denominada 1º membro, e 
uma à direita, denominada 2º membro.
Equação exponencial
Por exemplo:
 2 = 8
 3 = 27
 5 + 5 = 30
A equação cuja incógnita se apresenta no expoente de pelo menos uma 
potência de base real, positiva e diferente de 1, é denominada equação 
exponencial.
Resolvendo uma equação exponencial
Para resolver equações exponenciais que podem ser transformadas em uma 
igualdade de potências de mesma base utilizamos a seguinte igualdade:
𝑎 = 𝑎 ⟷ 𝑥 = 𝑥
Por exemplo:
3 = 243
3 = 3 ⟷ 𝑥 = 5 
Logaritmo
Logaritmos
Seja 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1. O logaritmo de 𝑏 na base 𝑎 é igual a 𝑐 se, e somente 
se, 𝑎 elevado a 𝑐 for igual a 𝑏, ou, ainda
log 𝑏 = 𝑐 ⇔ 𝑎 = 𝑏
Por exemplo:
log 1024 = 𝑥 ⟷ 2 = 1024
2 = 2 ⟷ 𝑥 = 10
Base Logaritmando
Logaritmo
33 34
35 36
37 38
Quando a base do 
logaritmo é 𝒆
temos:
log 𝑎 = ln 𝑎
https://bit.ly/3r1HTff
Propriedades de Logaritmo
Mudança de base 
log 𝑏 =
log 𝑏
log 𝑎
Por exemplo
log 6 =
log 6
log 5
Aplicação de 
logaritmo na 
Matemática 
Financeira
Imagine que um empresário fez um investimento em
uma instituição financeira de R$ 1500,00 a uma taxa de
12% de juros anuais e, ao final do período, retirou R$
2961,00. Sabendo que a expressão que representa este
investimento é 𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖 , sendo que Mé o valor
retirado ao final do período, 𝐶 é o valor investido, 𝑖 é a
fração decimal correspondente à taxa de juros e 𝑡 é o
tempo, em anos, por quanto tempo o dinheiro ficou
investido?
https://bit.ly/3yPe6Jd
Temos que a fórmula para juros 
compostos é:
𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖
Pelo problema temos:
𝐶 = 1500
𝑀 = 2961
𝑖 = 12% = 0,12
𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖
2961 = 1500 1 + 0,12
2961
1500
= 1,12
1,974 = 1,12
log , 1,974 = 𝑡
𝑡 =
log 1,974
log 1,12
𝑡 ≅ 6
39 40
41 42
43 44
Aplicação de 
logaritmo
Em quanto tempo um capital é duplicado quando submetido a uma
aplicação de juros compostos com taxa de 2,2% ao mês?
Temos que a fórmula 
para juros compostos é:
𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖
https://bit.ly/3hzendS
Recapitulando
https://bit.ly/3wvwJQZ
Fração
Razão e proporção
Porcentagem Potenciação
Equação exponencial Logaritmo
45 46
48 49