Lista de flexão_2ª avaliação(DEFINITIVA)

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Universidade Federal do Pará – Faculdade de Engenharia Civil 
Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada 
Professor Maurício de Pina Ferreira 
Estruturas de Concreto 1 – Lista de Cisalhamento 
 
 
 
 
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
INSTITUTO DE TECNOLOGIA 
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL 
Jefferson Barbosa da Silva 
Jéssica Silva da Silva 
Ricardo Júlio dos Santos Gaspar 
Vilso de Lima Borges 
Alex Renan Flexa 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO I 
LISTA DE EXERCÍCIOS DE FLEXÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Belém, outubro de 2016 
 
Universidade Federal do Pará – Faculdade de Engenharia Civil 
Núcleo de Modelagem Estrutural Aplicada 
Professor Maurício de Pina Ferreira 
Estruturas de Concreto 1 – Lista de Cisalhamento 
 
 
 
 
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Jefferson Barbosa da Silva 
Jéssica Silva da Silva 
Ricardo Júlio dos Santos Gaspar 
Vilso de Lima Borges 
Alex Renan Flexa 
 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO I 
LISTA DE EXERCÍCIOS DE FLEXÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Belém, outubro de 2016 
 
Resolução da lista de exercícios da 
disciplina de estrutura de Concreto I, 
na Universidade Federal do Pará – 
UFPA, no 7º período do curso de 
Engenharia Civil noturno, sendo 
solicitado pelo professor Maurício de 
Pina Ferreira, como requisito parcial de 
aprovação na disciplina. 
 
 
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1ª Questão: 
Defina os diagramas tensão-deformação de cálculo para: 
 Concreto C30 (parábola-retângulo); 
 Aço CA-50; 
 Considerar c = 1,4 e s = 1,15; 
Complete o quadro abaixo e desenhe os diagramas usando as seguintes escalas: 
 Deformação: 1 cm = 1 ‰ 
 Tensão do concreto: 1 cm = 5 MPa 
 Tensão da armadura: 1 cm = 100 Mpa 
εc (‰) σc (MPa) σs (MPa) 
 0.0 0 0.00 
0.5 7.96875 105.00 
 1.0 13.6607143 210.00 
1.5 17.0758929 315.00 
2.0 18.2142857 434.78 
2.5 18.2142857 434.78 
3.0 18.2142857 434.78 
3.5 18.2142857 434.78 
4.0 434.78 
5.0 434.78 
10.0 434.78 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0.00
100.00
200.00
300.00
400.00
500.00
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
σ
c 
(M
P
a)
εc (‰)
Diagrama de Tensão na Armadura
0
5
10
15
20
0.0 1.0 2.0 3.0
σ
c 
(M
P
a)
εc (‰)
Diagrama Parábola Retangulo 
do Concreto
 
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2ª Questão: 
Determinar para a viga: 
 A posição da linha neutra (x) e o correspondente domínio em que 
a seção se encontra; 
 A força resistente de cálculo atuante na região de concreto 
comprimido (Rcd); 
  A força resistente de cálculo atuante na armadura superior (R'sd); 
 A força resistente de cálculo atuante na armadura inferior (Rsd); 
  Os esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd); 
 As solicitações de cálculo (NSd e MSd) para a condição limite de segurança (Rd = Sd). 
 
Dados: 
  Concreto: C30; 
 Aço: CA-50; 
 Armadura superior: 2  10 mm; 
 Armadura inferior: 3  12,5 mm; 
 Encurtamento do concreto: 3,5 ‰ para a fibra mais comprimida; 
  Alongamento da armadura: 8,0 ‰ para a barra mais tracionada. 
Considerar: 
 Estado Limite Último, Combinações normais (c = 1,4 e s = 1,15); 
 Domínios da ABNT NBR 6118; 
  Condição de segurança Rd = Sd; 
 Diagrama tensão-deformação simplificado do concreto. 
 
 
 
 
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-Uniformização de dados 
 
Fck = 30 Mpa (3,0 KN/cm²) 
Yc= 1,4 
𝑓𝑐𝑑 = (
𝑓𝑐𝑘
𝑦𝑐
) =
3
1,4
= 2,14 𝐾𝑁/𝑐𝑚² 
Fyk = 500 Mpa (50,0 KN/cm²) 
Yc= 1,15 
𝑓𝑦𝑑 = (
𝑓𝑦𝑘
𝑦𝑠
) =
50
1,15
= 43,48 𝐾𝑁/𝑐𝑚² 
Es= 210 GPa= 210000MPa= 21000 KN/cm² 
 
 
 
A) Posição da Linha Neutra 
𝑥 = (
ɛ𝑐
ɛ𝑐+ɛ𝑠
) ∗ 𝑑 =
3,5
3,5+8
∗ 45 = 13,7 𝑐𝑚 
 
 
 
𝐴𝑠, 𝑠𝑢𝑝 = 𝐴
′𝑠 = 2 ∗ 𝜋 (
𝐷2
4
) = 2 ∗ 𝜋
12
4
= 1,57𝑐𝑚² 
𝐴𝑠, 𝑖𝑛𝑓 = 𝐴𝑠 = 3 ∗ 𝜋 (
𝐷2
4
) = 3 ∗ 𝜋
1,252
4
= 3,68𝑐𝑚² 
ɛc= 3,5‰ 
ɛs= 8,0‰ 
bw= 20 cm 
d= 45 cm 
d’= 5 cm 
h= 50 cm 
 
5
0
 
8‰ 
8‰ 
 
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B) A força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd) 
𝑎 = 𝜆 ∗ 𝑥 = 0,8 ∗ 13,70 = 10,96 𝑐𝑚 
𝑅𝑐𝑑 = 𝑏𝑤 ∗ 𝑎 ∗ 𝜎𝑐 = 𝑏𝑤 ∗ (0,8 ∗ 𝑥) ∗ (0,85 ∗ (
𝑓𝑐𝑘
𝑌𝑐
)) = 20 ∗ (0,8 ∗ 13,70) ∗ (0,85 ∗ 2,14) 
𝑅𝑐𝑑 = 398,72 𝐾𝑁 
-Deformação da Armadura Comprimida 
ɛ′𝑠 = (
𝑥 − 𝑑′
𝑥
 ) ∗ ɛ𝑐 = (
13,70 − 5
13,70
 ) ∗ 3.5‰ = 2,22‰ 
ɛ′𝑠 = 2,22‰ > ɛ𝑦𝑑 = 2,07‰ 
 
 
 
 
 
C) A força resistente de cálculo atuante na armadura superior (R'sd) 
𝜎′𝑠 = ɛ′𝑠 ∗ 𝐸𝑆 ≤ 𝐹𝑦𝑑 
𝜎′𝑠 = (
2,22
1000
) ∗ 21000 𝑇𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑟 ≤ 43,48 𝐾𝑁/𝑐𝑚²  46, 62 KN/cm² > 43, 48 KN/cm² 
Adotar Fyd= 43,48 KN/cm² 
𝑅′𝑠𝑑 = 𝐴′𝑠 ∗ 𝜎′𝑠 = 1,57 ∗ 43,48 = 68,26 𝐾𝑁 
 
D) A força resistente de cálculo atuante na armadura inferior (Rsd) 
𝜎𝑠 = ɛ𝑠 ∗ 𝐸𝑆 ≤ 𝐹𝑦𝑑 
𝜎𝑠 = (
8
1000
) ∗ 21000 𝑇𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑟 ≤ 43,48 𝐾𝑁/𝑐𝑚²  168, 00 KN/cm² > 43, 48 KN/cm² 
Adotar Fyd= 43, 48 KN/cm² 
𝑅𝑠𝑑 = 𝐴𝑠 ∗ 𝜎𝑠 = 3,68 ∗ 43,48 = 160,01 𝐾𝑁 
 
8‰ 
 
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E) Os esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd) 
𝑁𝑅𝑑 = 𝑅𝑠𝑑 − (𝑅𝑐𝑑 + 𝑅′𝑠𝑑) = 160,01 − (398,72 + 68,26 ) = −306,97 𝐾𝑁 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 
𝑀𝑅𝑑 = 𝑅𝑠𝑑 ∗ (
ℎ
2
− 𝑑′) + 𝑅𝑐𝑑 ∗ (
ℎ
2
−
𝑎
2
) + 𝑅′𝑠𝑑 ∗ (
ℎ
2
− 𝑑′) 
𝑀𝑅𝑑 = 160,01 ∗ (
50
2
− 5) + 398,72 ∗ (
50
2
−
10,96
2
) + 68,26 ∗ (
50
2
− 5) 
𝑀𝑅𝑑 = 12.348,41 𝐾𝑁𝑐𝑚 𝑜𝑢 123,48 𝐾𝑁. 𝑚 
 
F) As solicitações de cálculo (NSd e MSd) para a condição limite de segurança (Rd = Sd). 
A condição limite de segurança corresponde à igualdade da Equação: 
𝑅𝑑 = 𝑆𝑑 
𝑁𝑅𝑑 = 𝑁𝑆𝑑 = −306,97 𝐾𝑁 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 
𝑀𝑅𝑑 = 𝑀𝑆𝑑 = 123,48 𝐾𝑁. 𝑚 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 
 
3ª Questão: Considerando a viga mostrada abaixo, moldada com concreto com resistência 
característica à compressão de 30 MPa: 
a) Assumindo-se que o concreto não está fissurado, determine a tensão normal nas fibras externas 
provocadas por um momento fletor de 30 kN.m; 
b) Determine o momento de fissuração da viga. 
 
𝑀𝑐𝑟 =
𝛼 ∗ 𝑓𝑐𝑡 ∗ 𝐼𝐶𝐺
𝑦𝑡
 
Para seção retangular 
 𝛼 = 1,5 
 𝐴𝑠 = 3 ∗ 𝜋 (
252
4
) = 1.472,622 𝑚𝑚2 𝑜𝑢 1,472 ∗ 10−3𝑚2 
𝐹𝑐𝑡𝑘, 𝑖𝑛𝑓 = 0,7 ∗ 𝐹𝑐𝑡𝑚 
 
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-Para concretos de classe até C50 𝐹𝑐𝑡, 𝑚 = 0,3 ∗ 𝐹𝑐𝑘(
2
3
)
 
𝐹𝑐𝑡𝑘, 𝑖𝑛𝑓 = 0,7 ∗ 0,3 ∗ 30(
2
3
) = 2,03 𝑀𝑃𝑎 𝑜𝑢 2.030,00 𝐾𝑁/𝑚2 
-Módulo de elasticidade secante do concreto 
𝐸𝑐 = 𝐸𝑐𝑠 = 0,85 ∗ 5600 ∗ 𝑓𝑐𝑘
1
2 = 0,85 ∗ 5600 ∗ (30)
1
2 = 26.071,59 𝑀𝑃𝑎 
𝛼𝑒 = (
𝐸𝑠
𝐸𝑐
) =
210000
26.071,59
= 8,055 𝑀𝑝𝑎 
-Posição da linha neutra 
𝑦𝑡 =
(
𝑏 ∗ ℎ2
2
) + (𝛼𝑒 − 1) ∗ 𝐴𝑠 ∗ 𝑑
𝑏 ∗ ℎ + (𝛼𝑒 − 1) ∗ 𝐴𝑠
= 
(
0,3 ∗ 0,52
2
) + (8,055 − 1) ∗ 1,472 ∗ 10−3 ∗ 0,45
0,3 ∗ 0,5 + (8,055 − 1) ∗ 1,472 ∗ 10−3
 
𝑦𝑡 = 0,26295𝑚 𝑜𝑢 262,950 𝑚𝑚 
- Momento de inércia da seção homogeneizada: 
𝐼𝐶𝐺 = (𝑏 ∗
ℎ3
12
) + 𝑏 ∗ ℎ ∗ (𝑦𝑡 −
ℎ2
2
) + (𝛼𝑒 − 1) ∗ 𝐴𝑠 ∗ (𝑑 − 𝑦𝑡)2 
𝐼𝐶𝐺 = (0,3 ∗
0,53
12
) + 0,3 ∗ 0,5 ∗ (0,26295 −
0,52
2
) + (8,055 − 1) ∗ 1,472 ∗ 10−3 ∗ (0,45 − 0,26295)2 
𝐼𝐶𝐺 = 0,02418 𝑚4 ; 𝑑𝑓 = 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑡é 𝑎 𝑓𝑖𝑏𝑟𝑎 
A) A tensão normal nas fibras externas provocadas por um momento fletor de 30 KN.m 
𝜎𝑚𝑎𝑥, 𝑡𝑟𝑎çã𝑜 =
𝑀
𝐼𝐶𝐺
∗ 𝑑𝑓 =
30
0,02418
∗ 0,26295 = 326,24 𝐾𝑁/𝑚2𝑜𝑢 0,32624 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝑚𝑎𝑥, 𝑐𝑜𝑚𝑝 =
𝑀
𝐼𝐶𝐺
∗ 𝑑𝑓 =
30
0,02418
∗ (0,5 − 0,26295) = 294,11 𝐾𝑁/𝑚2𝑜𝑢 0,29411 𝑀𝑃𝑎 
B) O momento de fissuração da viga 
𝑀𝑐𝑟 =
𝛼 ∗ 𝑓𝑐𝑡 ∗ 𝐼𝐶𝐺
𝑦𝑡
=
1,5 ∗ 2030 ∗ 0,02418
0,26295
= 280,008 𝐾𝑁. 𝑚 
 
 
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4ª Questão: Para as seções indicadas abaixo, assumindo fck = 30 MPa, determine o momento de 
fissuração. 
 
𝑀𝑐𝑟 =
𝛼 ∗ 𝑓𝑐𝑡 ∗ 𝐼𝐶𝐺
𝑦𝑡
 
Seção T 
𝛼 = 1,2 
 𝑦𝑡 = 400 𝑚𝑚 𝑜𝑢 0,4 𝑚 
𝐹𝑐𝑡𝑘, 𝑖𝑛𝑓 = 0,7 ∗ 𝐹𝑐𝑡𝑚 
Para concretos de classe até C50 𝐹𝑐𝑡, 𝑚 = 0,3 ∗ 𝐹𝑐𝑘(
2
3
)
 
𝐹𝑐𝑡𝑘, 𝑖𝑛𝑓 = 0,7 ∗ 0,3 ∗ 30(
2
3
) = 2,03 𝑀𝑃𝑎 𝑜𝑢 2.030,00 𝐾𝑁/𝑚2 
Figura b(m) h(m) yCG(m) A(m²) Mx(m³) ICGi(𝑚4 ) Ixi(𝑚4 ) 
1 0,15 0,5 0,25 0,075 0,01875 1,5625 10−3 6,25 10−3 
2 0,75 0,1 0,55 0,075 0,04125 6.25 10−5 0,02275 
Σ 0,15 0,06 0,029 
 
ỹ𝐶𝐺 =
𝛴𝑀𝑥
𝛴 𝐴
=
0,06
0,15
= 0,4 𝑚 
𝐼𝑥𝑖 = 𝐼𝐶𝐺𝑖 + 𝑦𝐺𝐶2 ∗ 𝐴 
𝐼𝐶𝐺 = 𝐼𝑥𝑖 − (
𝑀𝑥2
𝐴
) = 0,029 − (
0,062
0,15
) = 5 ∗ 10−3𝑚4 
Confirmação 
 
𝐼𝑙𝑛 =
0,15 ∗ 0,53
12
+ 0,15 ∗ 0,5 ∗ (0,4 − 0,25)2 +
0,75 ∗ 0,13
12
+ 0,75 ∗ 0,1 ∗ (0,55 − 0,4)2 
𝐼𝑙𝑛 = 5 ∗ 10−3𝑚4 𝑂𝐾 
𝑀𝑐𝑟 =
1,2 ∗ 2030 ∗ 5 ∗ 10−3
0.4
= 30,45 𝐾𝑁. 𝑚 
1 2 
1 
2 
 
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Seção retangular 
 
𝐼𝐶𝐺 =
𝑏 ∗ ℎ3
12
=
1
12
∗ (0,45 ∗ 0,6753 − 0,15 ∗ 0,2253) = 0,01139 𝑚4 
𝑀𝑐𝑟 =
𝛼 ∗ 𝑓𝑐𝑡 ∗ 𝐼𝐶𝐺
𝑦𝑡
 
Seção Retangular 
𝛼 = 1,5 
𝑦𝑡 = 0,3375 𝑚 
 
𝐹𝑐𝑡𝑘, 𝑖𝑛𝑓 = 0,7 ∗ 𝐹𝑐𝑡𝑚 Para concretos de classe até C50 𝐹𝑐𝑡, 𝑚 = 0,3 ∗ 𝐹𝑐𝑘(
2
3
)
 
𝐹𝑐𝑡𝑘, 𝑖𝑛𝑓 = 0,7 ∗ 0,3 ∗ 30(
2
3
) = 2,03 𝑀𝑃𝑎 𝑜𝑢 2.030,00 𝐾𝑁/𝑚2 
𝑀𝑐𝑟 =
1,5 ∗ 2030 ∗ 0,01139
0,3375
= 102,76 𝐾𝑁. 𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5ª Questão: Para a viga “T” indicada abaixo, determine: 
 a) A tensão no concreto nas fibras externas provocadas por um momento fletor de 100 kN.m; 
b) Se um concreto de peso normal com resistência característica à compressão de 25 MPa for usado, 
qual a carga máxima distribuída que pode ser aplicada sem que a viga fissure, considerando que a 
viga é bi-apoiada com 7,0 m de vão. 
 
 
ỹ𝐶𝐺 =
𝛴𝑀𝑥
𝛴 𝐴
=
0,2103
0,39
= 0,54 𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
Figura b(m) h(m) yCG(m) A(m²) Mx(m³) ICGi(𝑚4 ) Ixi(𝑚4 ) 
1 0,3 0,7 0,35 0,21 0,0735 8,575 10−3 0,0343 
2 1,5 0,12 0,76 0,18 0,1368 2,16 10−4 0,104184 
Soma 0,39 0,2103 0,138484 
 
𝐼𝐶𝐺 = 𝐼𝑥𝑖 − (
𝑀𝑥2
𝐴
) = 0,138484 − (
0,21032
0,39
) = 0,025084 𝑚4 
A) 
𝜎𝑚𝑎𝑥, 𝑡𝑟𝑎çã𝑜 =
𝑀
𝐼𝐶𝐺
∗ 𝑑𝑓 =
100
0,025084
∗ 0,54 = 2152,77𝐾𝑁/𝑚2𝑜𝑢 2,15 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝑚𝑎𝑥, 𝑐𝑜𝑚𝑝 =
𝑀
𝐼𝐶𝐺
∗ 𝑑𝑓 =
100
0,025084
∗ (0,82 − 0,54) = 1116,25 𝐾𝑁/𝑚2𝑜𝑢 1,12 𝑀𝑃𝑎 
 
1 
2 
 
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B) 
𝑀𝑐𝑟 =
𝛼 ∗ 𝑓𝑐𝑡 ∗ 𝐼𝑐
𝑦𝑡
 
Seção T 
𝛼 = 1,2 
 𝑦𝑡 = 0,54 𝑚 
𝑙 = 7 𝑚 
𝐹𝑐𝑡𝑘, 𝑖𝑛𝑓 = 0,7 ∗ 𝐹𝑐𝑡𝑚 
Para concretos de classe até C50 𝐹𝑐𝑡, 𝑚 = 0,3 ∗ 𝐹𝑐𝑘(
2
3
)
 
𝐹𝑐𝑡𝑘, 𝑖𝑛𝑓 = 0,7 ∗ 0,3 ∗ 25(
2
3
) = 1,80 𝑀𝑃𝑎 𝑜𝑢 1800𝐾𝑁/𝑚2 
𝑀𝑐𝑟 =
1,2 ∗ 1,80 ∗ 103 ∗ 0,025084
0.54
= 100,336 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑀𝑎𝑥 =
𝑞 ∗ 𝑙2
8
=
100,336 ∗ 8
𝑙2
= 𝑞 = 16,381 𝐾𝑁/𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6ª Questão: Calcule o momento resistente da viga mostrada abaixo, considerando que o concreto 
tem resistência característica à compressão de 35 MPa e as armaduras são compostas por barras de 
aço CA 50-A. 
 
 
 
 
 
-Uniformização de dados 
 
Fck = 35 Mpa (3,5 KN/cm²) 
Yc= 1,4 
𝑓𝑐𝑑 = (
𝑓𝑐𝑘
𝑦𝑐
) =
35
1,4
= 25 𝑀𝑃𝑎; 2,5 𝐾𝑁/𝑐𝑚² 
Fyk = 500 Mpa (50,0 KN/cm²) 
Yc= 1,15 
𝑓𝑦𝑑 = (
𝑓𝑦𝑘
𝑦𝑠
) =
50
1,15
= 43,48 𝐾𝑁/𝑐𝑚² 
Es= 210 GPa= 210000MPa= 21000 KN/cm² 
 
-Cálculo das propriedades dos materiais 
𝑑 = ℎ − 𝑑′ − ɸ𝑤 −
ɸ𝑓
2
= 50 − 7 − 0 −
25
2
= 30,5 𝑐𝑚 
𝑃𝑎𝑟𝑎 ɳ = 1 ; 𝜆 = 0,8 ; 𝛼𝑐𝑐 = 0,85 
 
 
 
𝐴𝑠, 𝑖𝑛𝑓 = 𝐴𝑠 = 3 ∗ 𝜋 (
𝐷2
4
) = 3 ∗ 𝜋
2,52
4
= 14,73𝑐𝑚² 
bw= 30 cm 
d= 43 cm 
d’= 7 cm 
h= 50 cm 
 
 
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-Cálculo da profundidade da Linha neutra 
𝑥 =
𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦𝑑
ɳ ∗ 𝛼𝑐𝑐 ∗ 𝜆 ∗ 𝑓𝑐𝑑 ∗ 𝑏𝑤
=
14,73 ∗ 43,48
1 ∗ 0,85 ∗ 0,8 ∗ 2,5 ∗ 30
= 12,558 𝑐𝑚 
 
-Verificação da ductilidade (domínio de deformação) 
𝑥𝑥2,3 =
3,5‰
3,5‰ + 10‰
∗ 𝑑 =
3,5‰
3,5‰ + 10‰
∗ 30,5 = 7,907 𝑐𝑚 
𝑥𝑥3,4 =
3,5‰
3,5‰ + 2,07‰
∗ 𝑑 =
3,5‰
3,5‰ + 2,07‰
∗ 30,5 = 19,165 𝑐𝑚 
7,907 ≤ x ≤1 9,165 
Portanto, x= 12,558 está entre 7,907 cm e 19,165 cm; OK! 
-Cálculo do momento resistente 
𝑀𝑟𝑑 = 𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦𝑑 ∗ (𝑑 − 0,5 ∗ 𝜆 ∗ 𝑥) = 14,73 ∗ 43,48 ∗ 103 ∗ (30,5 − 0,5 ∗ 0,8 ∗ 12,558) 
𝑀𝑟𝑑 = 16316881,51 𝑁. 𝑐𝑚 𝑜𝑢 163,169 𝐾𝑁. 𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7ª Questão: Dimensione as vigas abaixo, considerando que elas irão ter seção retangular, dados: 
fck = 40 MPa; Aço CA 50-A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Carga distribuída, sendo a permanente (WD) incluindo peso próprio majorada de um coeficiente 
de segurança de 1,3 e carga acidental (WL) majorada de um coeficiente de segurança de 1,4; 
b) e c) sendo cargas acidentais pontuais majoradas de um coeficiente de segurança de 1,4 nas 
posições indicadas na figura. 
-Padronização de dados 
Fck = 40 Mpa (4,0 KN/cm²) 
Yc= 1,4 
𝑓𝑐𝑑 = (
𝑓𝑐𝑘
𝑦𝑐
) =
40
1,4
= 28,57 𝑀𝑃𝑎; 2,857 𝐾𝑁/𝑐𝑚² 
Fyk = 500 Mpa (50,0 KN/cm²) 
Yc= 1,15 
 
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𝑓𝑦𝑑 = (
𝑓𝑦𝑘
𝑦𝑠
) =
500
1,15
= 434,78 𝑀𝑃𝑎 𝑜𝑢 43,48 𝐾𝑁/𝑐𝑚² 
Es= 210 GPa= 210000MPa= 21000 KN/cm² 
ɛ𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑑
𝐸𝑠
=
434,78
210000
= 2,07‰ 
𝜉3,4 =
ɛ𝑐𝑢
ɛ𝑐𝑢 + ɛ𝑦𝑑
=
3,5‰
3,5‰ + 2,07‰
= 0,628 
A) 
𝑀𝑠𝑑 =
𝑞 ∗ 𝑙2
8
=
(𝐷𝑤 ∗ 1,3 + 𝑊𝑙 ∗ 1,4) ∗ 𝑙2
8
=
(8,7 ∗ 1,3 + 21,9 ∗ 1,4) ∗ 6,12
8
= 195,213 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = √
𝑀𝑠𝑑
((𝜆 ∗ 𝜉3,4 − 0,5 ∗ 𝜆
2 ∗ (𝜉3,4
)2) ∗ ɳ ∗ 𝛼𝑐𝑐 ∗ 𝑓𝑐𝑑 ∗ 𝑏𝑤
 )
∗∗∗ ∗∗ 
-𝑃𝑎𝑟𝑎 ɳ = 1 ; 𝜆 = 0,8 ; 𝛼𝑐𝑐 = 0,85 
 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = √
195,213
((0,8 ∗ 0,628 − 0,5 ∗ 0,82 ∗ (0,628)2) ∗ 1 ∗ 0,85 ∗ 28,57 ∗ 103 ∗ 0,12
 )
∗∗∗ ∗∗
 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = √
195,213
1.096,291
)
= 0,422 𝑚 𝑜𝑢 42,20𝑐𝑚 𝑒 , 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑑𝑚𝑖𝑛 = 45 𝑐𝑚 
𝑑 = 0,9 ∗ h  ℎ =
45
0,9
= 50 𝑐𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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B) 
 
 
 
 
 
 
𝑀𝑠𝑑 =
𝑃 ∗ 𝑙
4
=
(𝑃 ∗ 1,4) ∗ 𝑙
4
=
(66,7 ∗ 1,4) ∗ 6,1
4
= 142,405 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = √
𝑀𝑠𝑑
((𝜆 ∗ 𝜉3,4 − 0,5 ∗ 𝜆
2 ∗ (𝜉3,4
)2) ∗ ɳ ∗ 𝛼𝑐𝑐 ∗ 𝑓𝑐𝑑 ∗ 𝑏𝑤
 )
∗∗∗ ∗∗ 
 
-𝑃𝑎𝑟𝑎 ɳ = 1 ; 𝜆 = 0,8 ; 𝛼𝑐𝑐 = 0,85 
 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = √
142,405
((0,8 ∗ 0,628 − 0,5 ∗ 0,82 ∗ (0,628)2) ∗ 1 ∗ 0,85 ∗ 28,57 ∗ 103 ∗ 0,12
 )
∗∗∗ ∗∗
 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = √
142,405
1.096,291
)
= 0,3604 𝑚 𝑜𝑢 36,04 𝑐𝑚 𝑒 , 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑑𝑚𝑖𝑛 = 40 𝑐𝑚 
𝑑 = 0,9 ∗ h  ℎ =
40
0,9
= 45 𝑐𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
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C) 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑀𝑠𝑑 =
𝑃 ∗ 𝑙
4
=
(𝑃 ∗ 1,4) ∗ 𝑙
4
=
(33,4 ∗ 1,4) ∗ 6,1
4
= 71,309 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = √
𝑀𝑠𝑑
((𝜆 ∗ 𝜉3,4 − 0,5 ∗ 𝜆
2 ∗ (𝜉3,4
)2) ∗ ɳ ∗ 𝛼𝑐𝑐 ∗ 𝑓𝑐𝑑 ∗ 𝑏𝑤
 )
∗∗∗ ∗∗ 
 
-𝑃𝑎𝑟𝑎 ɳ = 1 ; 𝜆 = 0,8 ; 𝛼𝑐𝑐 = 0,85 
 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = √
71,309
((0,8 ∗ 0,628 − 0,5 ∗ 0,82 ∗ (0,628)2) ∗ 1 ∗ 0,85 ∗ 28,57 ∗ 103 ∗ 0,12
 )
∗∗∗ ∗∗
 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = √
71,309
1.096,291
)
= 0,2550 𝑚 𝑜𝑢 25,50 𝑐𝑚 𝑒 , 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑑𝑚𝑖𝑛 = 25 𝑐𝑚 
𝑑 = 0,9 ∗ h  ℎ =
25
0,9
= 30 𝑐𝑚 
 
 
 
 
 
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8ª Questão: Considere uma viga isostática bi apoiada com dois balanços, um em cada extremo, 
submetida a uma carga distribuída de cálculo de 100 kN/m. Admita que essa viga faz parte de uma 
edificação comercial localizada em uma região com CAA – II e que na sua execução não houve 
controle rigoroso na montagem das armaduras e etapas de concretagem. O concreto empregado foi 
do tipo usinado e dosado com agregado graúdo tipo seixo fino. 
 
 
 
 
 
 
Dados: 
 bw = 200 mm 
 h = 600 mm; 
 fck: = 40 MPa; 
  Aço CA-50 A; 
  Estribos com ϕw = 5 mm Determine: 
 Qual deve ser o valor do comprimento l2 para que o momento fletor no meio do vão de 
comprimento l1, seja nulo. Demonstre matematicamente sua resposta; 
 + 𝛴𝐹𝑦 = 0 
−𝑞𝐿2 + 𝑅𝑦𝑏 − 𝑞𝐿1 + 𝑅𝑦𝑐 − 𝑞𝐿2 = 0 
𝑅𝑏𝑦 + 𝑅𝑐𝑦 − 2𝑞𝐿2 − 𝑞𝐿1 = 0 
 
 
 
 
 
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+ 𝛴𝑀𝑏 = 0 
−𝑞 (
𝐿22
2
) + 𝑞 (
𝐿12
2
) − 𝑅𝑐𝑦𝐿1 + 𝑞𝐿2 (
𝐿2
2
+ 𝐿1) = 0 
−𝑅𝑐𝑦𝐿1 = −
𝑞𝐿12
2
− 𝑞𝐿2𝐿1 
𝑅𝑐𝑦 = 0,5𝑞𝐿1 + 𝑞𝐿2 Portanto; 
𝑅𝑏𝑦 + 0,5𝑞𝐿1 − 2𝑞𝐿2 − 𝑞𝐿1 = 0 
𝑅𝑏𝑦 = 0,5𝑞𝐿1 + 𝑞𝐿2 
Cortante entre B e C 
𝑉(𝑥) = 𝑅𝑏𝑦 − 𝑞𝑥 
𝑅𝑏𝑦 − 𝑞𝑥 = 0 
0,5𝑞𝐿1 + 𝑞𝐿2 − 𝑞𝐿1 = 0 
𝐿2 = 0,5𝐿1 
 
 
 
 
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  Usando a relação entre os balanços e o vão central determinada no item anterior, o carregamento 
indicado na figura acima e considerando o vão central l1 com comprimento igual a 6 m, dimensione a 
área de aço necessária para resistir o momento fletor na seção transversal mais solicitada da viga em 
questão, considerando um coeficiente de segurança de 1,4 para o carregamento. Execute o 
dimensionamento seguindo as prescrições da NBR 6118 (2014); 
-Uniformização de dados 
 
Fck = 40 Mpa (4,0 KN/cm²) 
Yc= 1,4 
𝑓𝑐𝑑 = (
𝑓𝑐𝑘
𝑦𝑐
) =
4
1,4
= 2,86 𝐾𝑁/𝑐𝑚² 
Fyk = 500 Mpa (50,0 KN/cm²) 
Yc= 1,15 
𝑓𝑦𝑑 = (
𝑓𝑦𝑘
𝑦𝑠
) =
50
1,15
= 43,48 𝐾𝑁/𝑐𝑚² 
Es= 210 GPa= 210000MPa= 21000 KN/cm² 
Classe de agressividade II- cobrimento 30 mm 
𝑀𝑚𝑎𝑥 = 450 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑀𝑠𝑑 =
450
1,4
= 321,43 𝐾𝑁. 𝑚 
 
 
ɛc= 3,5‰ 
ɛs= 10,0‰ 
bw= 200mm ou 20 cm 
d= 0.9*h  d= 540 mm 
d’= 3 cm 
h= 600 mm ou 60cm 
 
 
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-𝑃𝑎𝑟𝑎 ɳ = 1 ; 𝜆 = 0,8 ; 𝛼𝑐𝑐 = 0,85 
0,5 ∗ 𝜆2 ∗ 𝑥2 − 𝑑 ∗ 𝜆 ∗ 𝑥 + (
𝑀𝑠𝑑
ɳ ∗ 𝛼𝑐𝑐 ∗ 𝑓𝑐𝑑 ∗ 𝑏𝑤
) = 0 
0,5 ∗ 0,82 ∗ 𝑥2 − 540 ∗ 0,8 ∗ 𝑥 + (
321,43 ∗ 106
1 ∗ 0.85 ∗ 28,57 ∗ 200
) = 0 
0,32𝑥2 − 432𝑥 + 66.180,07 = 0 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−(−432) ± √(−432)2 − 4 ∗ 0,32 ∗ 66.180,07
2 ∗ 0,32
=
432 ± √101.913,51
0,64
 
𝑥1 = 1.173,81 𝑚𝑚 
𝑥2 = 176,19 𝑚𝑚 𝑜𝑢 17,62 𝑐𝑚 
𝐾𝑥2,3 = 0,259 <
𝑥
𝑑
≤ 𝐾𝑥3,4 = 𝐾𝑥𝑙𝑖𝑚 =
3,5‰
3,5‰ + (
438,8
210 )
 
𝐾𝑥2,3 = 0,259 <
176,19
540
≤ 𝐾𝑥3,4 = 𝐾𝑥𝑙𝑖𝑚 =
3,5‰
3,5‰ + (
438,8
210 )
 
𝐾𝑥2,3 = 0,259 < 0,326 ≤ 𝐾𝑥3,4 = 0,628 ; Domínio 3, OK! 
 
Dimensionamento da armadura de flexão 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑠𝑑
𝐹𝑦𝑑. (𝑑 − 0,5. 𝜆. 𝑥)
=
321,43 ∗ 106
434,8 ∗ (540 − 0,5 ∗ 0,8 ∗ 176,19)
= 1574.487 𝑚𝑚² 
𝐴𝑠, 𝑚𝑖𝑛 = 0,15%. 𝐴𝑐 =
0,15
100
. 200.600 = 180 𝑚𝑚²Universidade Federal do Pará – Faculdade de Engenharia Civil 
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  Com a área de aço determinada no item b), qual o número de barras com diâmetro de 20 mm 
necessário para armar esta viga. Faça o detalhamento da armadura na seção transversal seguindo as 
prescrições da NBR 6118 (2014), considerando todas as verificações necessárias. 
𝐴𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 =
𝜋. 𝐷2
4
= 𝜋.
202
4
= 314,16 𝑚𝑚² 
 
𝑛𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠/=
𝐴𝑠
𝐴𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎
=
1.574,487
314,16
= 5,012 
Usar 6 Barras de 20 mm 
Detalhamento 
 
h𝑒𝑠𝑝ℎ = 200 − 60 − 10 − 60 
𝑒𝑠𝑝ℎ =
70
2
= 35 𝑚𝑚 
𝑒𝑠𝑝𝑣 = 20 𝑚𝑚 
 
 
 
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 Para o caso de vigas com as armaduras de flexão dispostas em duas camadas, o cálculo 
da altura útil pode ser feito determinando o centroide da área de aço, conforme ilustrado 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
𝑦 =
(3 ∗ 314,16) ∗ (85) + (3 ∗ 314,16) ∗ 45
3 ∗ 314,16 + 3 ∗ 314,16
= 65 𝑚𝑚 
𝑑 = ℎ − 𝑦  d = 600 - 65  d= 535 mm 
 
Verificação da armadura 
 
 
 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑠𝑑
𝐹𝑦𝑑. (𝑑 − 0,5. 𝜆. 𝑥)
=
321,43 ∗ 106
434,8 ∗ (535 − 0,5 ∗ 0,8 ∗ 176,19)
= 1.591,43, 𝑚𝑚² 
 
𝐴𝑟𝑒𝑎 6ɸ20𝑚𝑚 = 6 ∗
𝜋𝐷2
4
= 1.884,96 𝑚𝑚2. 𝐿𝑜𝑔𝑜; 𝑂𝐾!