curso de vibrações - modulo I

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Vibrações Mecânicas
Universidade Federal de São João Del Rei
Departamento de engenharia mecânica
Vibrações Mecânicas
Prof. : Fabiano Bianchini Batista
Introdução 
� Interesse pela vibração (por volta de 4000 a.C): primeiros instrumentos
musicais, provavelmente apitos ou tambores. A música era apreciada pelos
1. Breve histórico
musicais, provavelmente apitos ou tambores. A música era apreciada pelos
chineses, hindus, japoneses e egípcios. Ela é intimamente governada por
princípios de vibração.
� Por volta de 3000 a.C: instrumentos musicais de corda com caixa de
ressonância, como as harpas, e instrumentos de sopro, como a gaita. Desde a
antiguidade, músicos e filósofos pesquisavam as regras e leis da produção do som
para aperfeiçoar instrumentos musicais. Ainda não era uma ciência!!
� Pitágoras (582 – 507 a.C): primeiro a investigar o sons musicais com base
científica – experimentos com corda vibratória. Relação entre tonalidade, tensão e
comprimento do corda.
Monocórdio: instrumento 
utilizado por Pitágorasutilizado por Pitágoras
�Aristóteles (por volta de 350 a.C): trabalhos sobre música e som. Relação entre
voz e instrumentos como flauta.
� Aristóxenes (320 a.C): escreveu a obra “Elementos de harmonia”.
� Euclides (por volta de 300 a.C): escreveu brevemente sobre música sem
qualquer referência à natureza física do som no trabalho “Introdução aos
harmônicos”.
� Vitrúvio (por volta de 20 a.C): arquiteto romano que escreveu sobre as
propriedades acústicas de teatros. Após este, aparentemente não houve nenhum
desenvolvimento nas teorias de som e vibração durante 16 séculos.
� Zhang Heng, historiador e astrônomo chinês (132 d. C): inventou o primeiro
sismógrafo do mundo para medir a intensidade de terremotos.
Primeiro sismógrafo: 
feito em fino bronze 
fundido. Diâmetro de 
1, 896m.
� Galileu Galilei (1564 – 1642). Relação entre tonalidade e frequência. Fundador
da ciência experimental moderna. Estudos sobre os movimentos pendulares.
Escreveu sobre a dependência entre frequência e vibração e o comprimento de um
pêndulo simples juntamente com o fenômeno de ressonância.
�Marin Mersenne (1588 – 1648): matemático e teólogo, considerado pai da
acústica. Primeira explicação correta sobre vibração de cordas (livro:
“Harmonicorum liber”). Primeiro a medir a frequência de vibração de uma corda
longa.
� Robert Hooke (1635 – 1703): experimentos para determinar a relação entre
tonalidade e a frequência de vibração de uma corda.
� Joseph Sauveur (1653 – 1716): investigou minuciosamente os experimentos
entre tonalidade e a frequência de vibração de uma corda. Surgiu a palavra
“acústica” para a ciência do som.
� John Wallis (1616 – 1703) e Suaveur: observaram, independentemente, o
fenômeno de formas modais e constataram que certos pontos de uma corda
esticada em vibração permaneciam sem movimento (“nós”) e outros pontos
intermediários apresentavam movimento violento (“ventres”). Suaveur deu nomeintermediários apresentavam movimento violento (“ventres”). Suaveur deu nome
“harmônicas” às frequências mais altas, que são múltiplos inteiros de uma
frequência simples, que ele chamou de frequência fundamental (frequência mais
baixa). Constatou que uma corda podia vibrar com várias de suas harmônicas.
Também, observou o fenômeno de “batimentos” quando dois tubos de tonalidades
ligeiramente diferentes soavam ao mesmo tempo.
� Isaac Newton (1642 – 1727): Lei da gravitação universal, as três leis do
movimento, cálculo diferencial e outras descobertas.
� Brook Taylor (1685 – 1731): matemático, encontrou a solução teórica para o
problema da corda vibratória (cálculo da frequência em cordas vibratórias). A
frequência natural obtida pela equação de movimento derivada por Taylor
concordava com os valores experimentais observados por Galileu e Mersenne.
Apresentou o teorema de Taylor para séries infinitas.
� Daniel Bernoulli (1700 – 1782), Jean D’ Alembert (1717 – 1783) e
Leonhard Euler (1707 – 1783): aperfeiçoamento do procedimento adotado porLeonhard Euler (1707 – 1783): aperfeiçoamento do procedimento adotado por
Taylor com a introdução de derivadas parciais nas equações de movimento.
� Ainda Daniel Bernoulli: princípio da superposição linear de harmônicas. (o
deslocamento de qualquer ponto em qualquer instante é igual a soma algébrica
dos deslocamentos para cada harmônica). Possibilitou expressar qualquer função
arbitrária usando uma série infinita de senos e cossenos. Esse princípio mostrou
ser o mais valioso no desenvolvimento da teoria de vibrações e levou a
possibilidade de expressar qualquer função arbitrária usando uma série infinita de
senos e cossenos. Ele também estudou vibrações de corda e viga.
�Ainda Leonhard Euler: Princípio da quantidade de movimento angular;
número complexo; equações de Euler; vibrações de viga, placas e cascas.
�Ainda Jean D’ Alembert: Princípio D’Alembert; equações de movimento;
equação de onda.
� J. B. J. Fourier (1768 - 1830): validou na sua obra “Analytical Theory of heat”� J. B. J. Fourier (1768 - 1830): validou na sua obra “Analytical Theory of heat”
a expansão utilizada por Bernoulli: criou a Série de Fourier.
� Joseph Lagrange (1736 – 1813): solução analítica para a corda vibratória.
Assumiu que a corda era composta por um número finito de partículas de mesma
massa e igualmente espaçadas e estabeleceu a existência de uma número de
frequências independentes igual ao número de partículas; Equações de Lagrange;
frequências de tubos de órgão abertos e fechados.
� Charles Coulomb (por volta de 1784): estudos teóricos e experimentais sobre
oscilações torcionais de um cilindro suspenso por um arame. Estudos sobre atrito.
Admitiu que o torque 
resistente do arame é 
proporcional ao ângulo de 
torção.
� E. F. F. Chladni (1756 – 1824): estudo sobre formas modais em placas
vibratórias.
� Sophie Germain (por volta de 1813): primeira teoria matemática para vibração
de placas: equação diferencial estava correta porém as condições de contornos
estavam erradas.
� G. R. Kirchhoff (1824 – 1887): estabeleceu as condições de contornos corretas
para a vibração de placas finas.
� Simeon Poisson (1781 – 1840): estudos sobre a vibração de uma membrana
retangular flexível (importante para o entendimento de som de tambores); efeito
de Poisson.
� R. F. A. Clebsch (1833 – 1872): estudos sobre vibração em membranas
circulares.
Estudos de vibração em vários sistemas dinâmicos e estruturas usuais.
� Rayleigh (1877): publicou o livro sobre teoria do som que é considerado
clássico no assunto de som e da vibração. Propôs um método para determinar a
frequência fundamental de vibração de um sistema conservativo fazendo uso do
princípio da conservação de energia (hoje conhecido como método de Rayleigh)
que facilitou a solução de problemas difíceis de vibração. Uma extensão deste
método que pode ser usado para determinar várias frequências naturais é
conhecido como o método de Rayleigh – Ritz.
� Stephen Timoshenko (1878 – 1972): vibrações em viga grossas; problemas de
vibração em motores elétricos, turbinas a vapor e turbinas hidráulicas.
2. Definição:
Vibração é um movimento oscilatório (movimento de “vai-e-vem”) de uma
partícula, ou de um sistema de partículas, ou de um corpo em torno de uma
posição de equilíbrio (ou, em outras palavras, em torno de uma posição de
referência).
Importância:
�A maioria das atividades humanas envolve vibração: ouvir (vibração dos
tímpanos), ver (ondas de luz sofrem vibração), respirar (vibração dos pulmões),
andar (movimento oscilatório, periódico, das pernas) e falar (movimento
oscilatório da laringe e da língua); vivemos devido ao batimento do coração
�Amaioria dos motores de acionamento vibram em razão do desbalanceamento;
� Turbinas hidráulicas e Aeronáuticas podem falhar devido a vibração;
� Desgastes em peçascomo rolamentos, engrenagens e ruído excessivo e 
afrouxamento de elementos de fixação podem ter origem na vibração;
�A ressonância resulta em flexões excessivas e falhas;
�A vibração pode causar no ser humano desconforto, fadiga, danos físicos e 
perda de eficiência.
Vibrações → tema muito amplo e geral. Improvável que exista um campo da
ciência que este fenômeno não tenha um papel importante → vamos restringir a
Vibrações mecânicas
Assim, a vibração pode ser:
� Desejada: quando o sistema (ou peça, ou estrutura, ou máquina) é projetado� Desejada: quando o sistema (ou peça, ou estrutura, ou máquina) é projetado
para vibrar. Ou seja, a vibração é o seu princípio de funcionamento. Exemplos:
instrumentos musicais de corda (violão, piano, etc), compactadores, peneiras
vibratórias industriais, marteletes, alto-falantes, etc. A vibração também pode
melhorar certos processos de usinagem, fundição, forjamento e soldagem.
� Não desejada: quando sua existência não é requerida. Exemplos: vibração
devido ao desbalanceamento em máquinas rotativas, vibração do solo
(terremotos), vibração de componentes de motores, etc. Nestes casos ela deve ser
amenizada, reduzida, absorvida ou até mesmo isolada.
Peneiras vibratórias industriais
compactadores
Transportador vibratório
marteletes
Dosadores vibratórios
Excitadores eletromecânicos:
“shakers”Plataforma vibratória
� Para que uma estrutura vibre é necessário que exista um agente perturbador
externo, ou seja, uma força de excitação.
�A propriedade de flexibilidade do corpo é a responsável pela sua vibração. “Por
definição corpo rígido é aquele que não se deforma. Na prática (na realidade) isso
não existe! ”. Portanto, todo o corpo, estrutura, é capaz de vibrar .não existe! ”. Portanto, todo o corpo, estrutura, é capaz de vibrar .
� Dependendo da intensidade da excitação e do tipo de sistema (ou estrutura)
uma vibração pode ser ou não visível a “olho nu”. Em geral, as vibrações são
perceptíveis pelo tato (por exemplo, a vibração do painel de um carro quando o
som está ligado, a vibração de uma placa metálica quando recebe “uma
martelada”, o tremor de um piso quando uma máquina está ligada, etc).
“Em 7 de Novembro de 1940, caiu a ponte pênsil
de 1600 metros (Tacoma Narrows), apenas poucos
meses após a sua inauguração.
De madrugada, os ventos atingiram os 70km/h,
fazendo a estrutura oscilar. A polícia fechou então a
ponte ao tráfego. Às 9h30m a ponte oscila em 8 ou
9 segmentos com amplitude de 0,9m e frequência
de 36 ciclos por minuto. Às 10h00m dá-se um
afrouxamento da ligação do cabo de suspensão
Exemplo: Tacoma Narrow Brigde (1940) - vibração em grandes escalas
(ponte localizada sobre o Estreito de Tacoma, Washington, Estados Unidos)
afrouxamento da ligação do cabo de suspensão
norte ao tabuleiro, o que faz a ponte entrar em um
modo de vibração torcional a 14 ciclos por minuto.
A partir daí a situação não se alterou muito durante
cerca de uma hora, até que às 11h00m se desprende
um primeiro pedaço de pavimento e às 11h10m a
ponte entra em colapso, caindo no rio.
Os grandes defeitos da ponte foram a sua enorme
falta de rigidez transversal e torcional, pois estava
ausente o reticulado por baixo do tabuleiro, e a
frente aerodinâmica do perfil. Não houve vítimas
deste acidente.
Uma nova ponte foi construída no local, e ainda se
encontra em funcionamento.”
3. Exemplos de aplicações na indústria
� Vibro-acústica: redução dos níveis de ruído ou de vibrações excessivas.
Conhecer as fontes de excitações mais problemáticas;
�Aeroelasticidade: estudo da instabilidade devido a vibração em vôo provocada
pelo fluxo de ar, como o efeito “flutter” devido às forças aerodinâmicas;
�Manutenção preditiva: a presença de defeitos pode alterar o comportamento
vibratório de uma máquina de forma a se tornar diferente de seu comportamento
padrão;
�Análise modal: obtenção das características dinâmicas da estrutura
(frequências, modos de vibrar e amortecimento) para, por exemplo, identificar
propriedades elásticas de materiais, fazer modificações estruturais, e, convalidar
modelos numéricos e experimentais.
Análise modal e modificação estrutural
Exemplo: vibração em pequenas escalas, não visível a “olho nu”
Projeto de otimização 
do espelho retrovisor: 
melhorar a nitidez das 
imagens em algumas imagens em algumas 
faixas de frequências
Análise modal e modificação estrutural: alguns modos de vibrar da porta
Exemplo:
Quais são os motivos de se medirem vibrações?
Uma boa resposta é listar algumas aplicações:
� vibração de máquinas;
� análise de falha por fadiga;
� auxiliar no projeto de isoladores para vibrações;
� identificação de níveis de aceleração danosos ou não ao corpo humano;
� análise sísmica;� análise sísmica;
� avaliação de testes, como os de impactos e explosões, além da análise modal de
estruturas;
É tarefa do engenheiro decidir se a vibração apresentada por uma máquina (ou
estrutura) é necessária, indesejável ou tolerável. E, baseado nessa decisão, é sua
tarefa também manter os níveis de vibração dentro de limites aceitáveis. Devido
a vários fatores, tais como problemas na construção, desgaste, má utilização,
erros no projeto, etc., infelizmente em muitos casos os sistemas podem
apresentar um comportamento vibratório diferente do previsto ou idealizado.
4. Efeitos na saúde da exposição à vibração
Diversos fatores podem modificar os efeitos da vibração nas pessoas, como por
exemplo a ressonância de partes do corpo humano, o tempo de exposição e a
variabilidade individual de cada pessoa.
O efeito de vibração no corpo humano são determinados pela faixa de frequência
envolvida. Os prováveis efeitos da exposição às vibrações são:
� 1 a 10 Hz, afeta a atividade muscular: dificuldade de manter a postura e
reflexos lentos;
� < 20 Hz, afeta o sistema cardiovascular: aumento da frequência cardíaca;
� 1 a 10 Hz, aparentemente existem alterações nas condições de ventilação
pulmonar e taxa respiratória;
� 0.1 a 0.7 Hz: diversas pessoas apresentam enjôo, náuseas, perda de peso,
redução da acuidade visual, insônia e distúrbios do labirinto;
As seguintes faixas de aceleração podem ser utilizadas simplificadamente como
uma indicação das reações com relação ao desconforto:
� menor que 0,315 m/s2: confortável;
� entre 0,315 m/s2 e 0,63 m/s2: um pouco desconfortável;
� entre 0,8 m/s2 e 1,6 m/s2: desconfortável;
� entre 1,2 m/s2 e 2,5 m/s2: muito desconfortável;
� maior que 2,5 m/s2: extremamente desconfortável;
5. Elementos de um sistema vibratório:
� Inércia (relacionada a massa): é responsável pela resistência à variação da
velocidade (linear ou angular) do corpo e é também responsável por armazenar
energia (em forma de energia cinética e/ou energia potencial gravitacional).
� Rigidez: apesar de esquematicamente e conceitualmente ser representada por
uma mola, ela define a propriedade da estrutura de armazenar energia de
deformação (em forma de energia potencial elástica).
� Amortecedor (ou, elemento dissipativo): ao contrário dos elementos de inércia
e rigidez, que armazenam energia e mantêm o movimento oscilatório, o
amortecedor é responsável pela perda, dissipação, de energia do sistema.
Existem, basicamente, 3 tipos de modelos de dissipação de energia:
amortecimento viscoso, estrutural (ou por histerese) e Coulomb (atrito seco).
6. Idealização de modelos
� Compreender o comportamento dinâmico de um sistema: tarefa árdua para um
engenheiro. A modelagem é uma arte, e, em muitos casos, a experiência serve
como guia na construção de modelos;
� Na prática, nem sempre as informações necessárias para o entendimento são
bem claras e suficientes. O engenheiro deve então transformar um problema
complexo em um problema específico que possa ser analisado por modelos
matemáticos;matemáticos;
� O entendimentodo funcionamento de um sistema real e de como ele pode ser
modelado inicia-se na idealização do sistema de forma a entender o
comportamento da máquina, estrutura ou componentes reais;
�A idealização de ummodelo está relacionado com a utilização dos 3 elementos:
inércia, rigidez e amortecimento. A finalidade é representar todos os aspectos
importantes do sistema com o propósito de obter as equações matemáticas (ou
analíticas) que governam o comportamento do sistema. Ele deve incluir detalhes
suficientes para conseguir descrever o sistema em termos de equações sem torná-
lo, sempre que possível, muito complexo, podendo ser aperfeiçoado
gradativamente para obter resultados mais precisos.
� “Um sistema vibratório é um sistema dinâmico para o qual as variáveis como
as excitações (entrada) e respostas (saída) são dependentes do tempo. Em geral, a
resposta de um sistema vibratório depende das condições iniciais, bem como das
excitações externas”. (Rao, 4ª edição);
�Amaioria dos sistemas vibratórios encontrados na prática são muito complexos,
o que torna muito difícil ou até mesmo impossível considerar todos os detalheso que torna muito difícil ou até mesmo impossível considerar todos os detalhes
para uma análise matemática. Por isso a necessidade de se idealizar, criar,
modelos visando destacar as características mais relevantes para uma análise
específica.
Exemplo: torres de transmissão e modelos idealizados.
Exemplo: automóvel e seus modelos idealizados.
Exemplo: a - automóvel e b - um modelo idealizado.
Exemplo: moto e seus modelos idealizados.
Exemplo: martelo de forjar e seus modelos idealizados.
Diversos autores modelam o 
corpo humano como sendo um 
simples sistema linear massa-
mola-amortecedor, na faixa de 
frequência de 1 a 30 Hz.
Exemplo: modelo resumido do corpo humano: partes do corpo humano com suas 
respectivas frequências de ressonância (valores aproximados) 
7. Classificação de um sistema vibratório:
� quanto a excitação: o sistema pode ser livre (força F = 0) ou forçado (F(t) ≠
0, t é tempo);
� quanto ao amortecimento: o sistema pode ser amortecido (há perdas de
energia, dissipação) ou não-amortecido (não há perdas de energia)
� quanto ao movimento: translação, rotação ou combinado (translação e
rotação);rotação);
� quanto as equações envolvidas: o sistema pode ser linear (equação de
movimento com potência 0 ou 1), onde é válido o princípio da superposição, ou
não-linear;
� quanto as propriedades físicas: sistema pode ser discreto (aproxima-se o
sistema físico por elementos concentrados de massa, rigidez e amortecimento – há
um número finito de graus de liberdade) ou contínuo (considera os parâmetros
distribuídos – número infinito de graus de liberdade - estes precisam ser
“discretizados” para análises numéricas).
8. Conceitos gerais
� ciclo: movimento que inicia da posição de equilíbrio, atinge os extremos e
retorna à posição inicial (em radianos equivale a 2pi rad);
� período: tempo necessário para a oscilação completar um ciclo;
� amplitude: o máximo de deslocamento de um corpo vibratório em relação à
sua posição de equilíbrio. Está associada à intensidade de vibração;sua posição de equilíbrio. Está associada à intensidade de vibração;
� frequência: quantidade de ciclos por unidade de tempo (pode ser em Hz ou
rad/s). Ela é inversamente proporcional ao período. Se a vibração é livre (F(t) = 0)
as frequências destas vibrações são chamadas de frequências naturais.
� ângulo de fase: é o ângulo inicial que descreve o movimento harmônico. É
medido em radianos.
� defasagem: é a diferença entre as fases de dois sinais de mesma frequência.
x(t) = Xsen(Ωt + β)
O ângulo (Ωt + β) ou (Ωt - β) é uma função linear do tempo, ela aumenta 
linearmente com o tempo. Assim, todo diagrama gira em sentido anti-horário. 
x é a posição no tempo t , X é a amplitude, β é a fase , Ω é a frequência, T é o período do sinal.
A frequência Ω é denominada de frequência angular pois pode ser associada a um movimento de
rotação circular uniforme, que gera, na sua posição, uma senóide. Por isso ela é expressa em
radianos por segundo (rad/s). Porém, é comum utilizá-la também em ciclos por segundo, Hertz
(Hz).
f = Ω/2pi (Hz) e T=1/f
Traçado de um sinal senoidal: x(t) = Xsen(Ωt) e ..... x(t) = Xsen(Ωt + β)
Exemplo: para um sinal senoidal escrito pela equação:
Deslocamento: x(t) = Asen(ωt + β)
Para as suas derivadas no tempo, tem-se:
Velocidade: v(t) = Aωcos(ωt + β)
Aceleração: a(t) = - Aω2sen(ωt + β)
Como pode ser visto na figura ao lado,
o ângulo de fase (β) é zero.
Logo:
Deslocamento: x(t) = Asen(ωt) 
Velocidade: v(t) = Aωcos(ωt) = Aωsen(ωt + 90°)
Aceleração: a(t) = -Aω2sen(ωt) = Aω2sen(ωt + 180°)
A defasagem entre x e v e entre v e a é
pi/2 e entre x e a é pi.
( ) ( )dv x t x t
dt
= =� ( ) ( )
2
2
d
a x t x t
dt
= =��
� graus de liberdade (GDL): número de coordenadas independentes
necessárias para descrever (localizar e orientar) completamente a configuração
espacial do sistema em qualquer instante de tempo.
Um sistema possui tantas frequências naturais quanto for os seus graus de
liberdade.
Sistema contínuo: N GDL
1 GDL
2 GDL
� ressonância: fenômeno que ocorre quando a frequência de excitação externa
coincide com uma das frequências naturais do sistema. Neste instante as
amplitudes de vibração aumentam e atingem seus máximos valores (não
necessariamente o máximo valor). É uma situação não desejada;
� sistema dissipativo: é aquele onde há transformação de energia em uma outra� sistema dissipativo: é aquele onde há transformação de energia em uma outra
modalidade diferente da inicial. Ex.: energia cinética em energia térmica. Há
dissipação, perda, de energia;
� sistema conservativo: é aquele onde a energia total do sistema não sofre
alteração com o tempo. Não há dissipação, perda, de energia.
� batimento: fenômeno que ocorre quando dois movimentos harmônicos de
frequências próximas são somados. É um fenômeno muito observado em
máquinas e estruturas e ocorre quando a frequência de excitação está próxima da
frequência natural do sistema. Na figura, as curvas em azul e vermelho
representam os sinais harmônicos de frequências próximas. Em preto é o sinal que
representa o fenômeno de batimento, que é a soma dos dois sinais harmônicos.
Sinais dinâmicos
Determinísticos: são aqueles que podem ser Aleatórios
� sinal: é definido como qualquer quantidade física que varia com o tempo,
espaço ou quaisquer outras variáveis independentes. Pode-se dizer também que
um sinal é uma função que carrega informação sobre o estado ou sobre o
comportamento de um sistema físico.
Determinísticos: são aqueles que podem ser 
escritos por uma expressão matemática.
Aleatórios
Periódicos
Hamônico: é o mais 
simples.
Não-periódicos
Estacionários: 
Não variam com o 
tempo.
Não - estacionários
Sinal harmônicoExemplo:
Senóide: é um sinal básico (mais elementar) que corresponde à solução de uma
equação diferencial ordinária de segunda ordem que governa a dinâmica de
osciladores lineares simples, como por exemplo, os sistemas massa-mola.
Sinal periódico
Exemplo:
T
o
: período
Periódico: é um tipo de movimento oscilatório em que um movimento padrão
repete-se em intervalos iguais (períodos).
Sinal transitório
Exemplo:
É aquele que possuiu amplitudes durante um certo intervalo de tempo. Ex.: uma
“martelada”, uma explosão, etc.
Sinal aleatório (ou estocástico)Exemplo:
São sinais para os quais é impossível ou muito grosseiro representá-los por
funções matemáticas. Só podem ser estudados por suas propriedades médias ou
estatísticas.
9 - Procedimento para análise de vibrações
Etapa 1: Modelagem
A complexidade de um modelo matemático, que dá origem àequação que representa o comportamento dinâmico do sistema,
depende dos objetivos requeridos no projeto.
Etapa 2: Equações governantes: equações de movimentoEtapa 2: Equações governantes: equações de movimento
Usa-se os princípios da dinâmica para montar as equações de
movimento que descrevem a vibração do sistema.
Etapa 3: Solução das equações governantes
As equações devem ser resolvidas para conhecer a resposta do
sistema vibratório.
Etapa 4: Interpretação dos resultados
A solução das equações governantes fornece os deslocamentos,
velocidades e acelerações das várias massas do sistema.
Observação:
É comum encontrar autores que consideram a etapa de modelagem
como sendo:
1-modelagem física: aproximação do sistema físico real por um
sistema físico aproximado pelos elementos de massa, rigidez e
amortecedor, como foi demonstrado nos exemplos anteriores.
2-modelagem matemática: equação que representa o movimento do2-modelagem matemática: equação que representa o movimento do
sistema.
Sendo assim, o procedimento para a análise de vibração se torna:
Etapa 1: Modelagem física
Etapa 2: Modelagem matemática (equações governantes);
Etapa 3: Solução das equações governantes;
Etapa 4: Interpretação dos resultados.
11. Símbolos e unidades
Translação 
x(m)
Rotação 
θ (rad)
Força da mola
Força do amortecedor 
viscoso
Força de inércia
cx�
mx��
kx
tcθ�
I�
tk θ
Força de inércia
Equação de movimento
Unidades de rigidez
Unidades de amortecimento 
viscoso
Unidades de inércia
Força/torque
mx��
0mx cx kx+ + =�� �
N/m
N.s/m
kg
2N=kg.m/s
I�
0t tI c kθ θ θ+ + =�
N.m/rad
m.N.s/rad
2kg.m /rad
2 2N.m=kg.m /s
Símbolo (SI) Unidades básicas (SI)
Área m2
Volume m3
Velocidade m/s
Aceleração m/s2
Densidade kg/m3Densidade kg/m3
Volume específico m3/kg
Frequência Hz (Hertz) s-1
Força N (Newton) kg.m.s-2
Tensão Pa (Pascal) m-1 .kg.s-2 = N/m2
Energia, trabalho J (Joule) m2 .kg.s-2 = N.m
Potência W (Watt) m2 .kg.s-3 = J/s
Momento de uma força N.m
Prefixos Símbolos Multiplica por
tera T 1012
giga G 109
mega M 106
kilo k 103
hecto h 102
deca dc 10deca dc 10
Prefixos Símbolos Multiplica por
deci D 10-1
centi c 10-2
mili m 10-3
micro µ 10-6
nano n 10-9
pico p 10-12