Construções de Concreto Armado 2

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Construções de Concreto Armado 2 - 2024 19/04/2024
Prof. Guilherme A. Parsekian 1
Aula 1: Apresentação. 
Revisão flexão simples, 
cisalhamento e ancoragem
Parte desta apresentação foi gentilmente cedida pelo 
Prof. Dr. Jefferson Camacho – UNESP - IS
121.231 - CONSTRUÇÕES 
DE CONCRETO ARMADO 2
Prof. Guilherme Parsekian
2024
Apresentação da Disciplina
2024
1
2
Construções de Concreto Armado 2 - 2024 19/04/2024
Prof. Guilherme A. Parsekian 2
GUILHERME A. PARSEKIAN
DOCENTE RESPONSÁVEL
NATHALIA RANGEL DANTAS
APOIO
Equipe de Ensino
Programa da Disciplina CONSTRUÇÕES DE CONCRETO ARMADO 2 - ESTRUTURAS DE CONCRETO 2 - Turma B
Semana Data Conteúdo
1 03/04/2024 Apresentação da disciplina. Revisão. Lajes
2 10/04/2024
Lajes e Estabilidade Global 3 17/04/2024
4 24/04/2024
- 01/05/2024 feriado
5 08/05/2024 Revisão e finalização dos exercícios em grupo em sala de aula
6 15/05/2024 14:00-15:40 - Apresentações Exercícios em Grupo - 16:00-17:40 Teste 1 (100 min) - Lajes e Estabilidade Global
7 22/05/2024
Flexão composta reta e oblíqua, Pilares e Fundações
8 29/05/2024
9 05/06/2024
10 12/06/2024
11 19/06/2024
12 26/06/2024 Revisão e finalização dos exercícios em grupo em sala de aula
13 03/07/2024 14:00-15:40 - Apresentações Exercícios em Grupo - 16:00-17:40 Teste 2 (100 min) Flexão composta, Pilares, Fundações
14 10/07/2024 horário de dúvidas
15 17/07/2024 Prova Final (180 min) - conteúdo total
16 24/07/2024 Prova Substitutiva da Prova Final (180 min) - conteúdo total
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INTRODUÇÃO
Bibliografia Básica:
Material 
no AVA
PDFs das aulas.
Bastos, P. S. LAJES DE CONCRETO. UNESP. 2015. 119p. Em PDF.
Giongo, J. S.; Bocchi Junior, C. F. CONCRETO ARMADO. PROJETO E CONSTRUÇÃO DE LAJES
NERVURADAS. USP. 2007. 63p. Em PDF.
Pinheiro, L. M.; Baraldo, L. T.; Porem, M. E. ESTRUTURAS DE CONCRETO: ÁBACOS PARA
FLEXÃO OBLÍQUA. USP. 2009. 108p. Em PDF.
Venturini, W. S.; Rodrigues, R. O. DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS RETANGULARES DE
CONCRETO ARMADO SOLICITADAS A FLEXÃO RETA. USP. 1987. 133. Em PDF.
Bastos, P. S. PILARES DE CONCRETO ARMADO. UNESP. 2017. 104p. Em PDF.
Bastos, P. S. SAPATAS DE FUNDAÇÃO. UNESP. 2016. 125p. Em PDF.
Bastos, P. S. BLOCOS DE FUNDAÇÃO. UNESP. 2017. 79p. Em PDF.
Testes com conteúdo parcial dos tópicos em questão. 
Com consulta a material próprio manuscrito.
Prova Final com conteúdo total e conceitos do projeto. 
Com consulta a material próprio manuscrito.
Serão realizadas quatro avaliações para compor a média dos alunos(as), sendo esta 
composta por: 2 testes (Nota1 e Nota2); nota de prova (Nota3) e nota das 
apresentações do trabalhos em grupo (Nota4). 
Média=0,4*(Nota1+Nota2)+0,4*Nota3+0,2*Nota4 
AVALIAÇAO E CRITÉRIO DE APROVEITAMENTO:
5
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DÚVIDAS / COMENTÁRIOS ???
Introdução
1) REVISÃO
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Propriedades do concreto simples
Diagrama tensão x 
deformação idealizado
NBR 6118 – 8.2.10.1 
– trecho elástico 
– trecho plástico
(𝜀 ≤ 𝜀 )
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Propriedades do concreto simples
 Em discussão 
deve ser revisto em 
errata
NBR 6118 – 2023 
Diagrama tensão vs deformação 
até C50
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Diagrama tensão vs deformação 
até C50 – simplificado de cálculo
Diagrama 
retangular 
simplificado 
em vermelho
Diagrama tensão vs deformação 
aço
=
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Diagrama tensão vs deformação 
aço CA50
=
50 kN/cm2 = 500 MPa
43,5 kN/cm2 = 435 MPa
fyd = fyk / 1,15 
2,38 ‰ 80 ‰10,0 ‰2,07 ‰
Introdução
FLEXÃO SIMPLES EM 
VIGAS DE SEÇÃO 
RETANGULAR
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Vigas de Concreto Armado: Modelo Resistente
Dimensionamento de Vigas de seção Retangular à Flexão Simples
Isostáticas de Tensões
Treliça de Ritter-Morsch
X
Estudo do Esforço Cortante: Introdução
Mecanismo resistente interno
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Domínios de deformação (na ruptura qual a 
deformação no aço e no concreto?)
Dimensionamento de Vigas de seção Retangular à Flexão Simples
LN corta a seção
Domínios 2, 3 ou 4
Evitar ruptura frágil da viga 
Domínios 2 ou 3
Domínio 4

Dimensionamento à Flexão Simples: ELU

Dimensionamento de Vigas de seção Retangular à Flexão Simples

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  c cd yd ( .f ).b.y As.f = 0 (1) Fx = 0  Rcc Rst = 0
   
 
 c cd d
y
d
2
 ( .f ).b.y. = M (2) (As)M = 0  Rcc . Z = Md
Vigas de seção retangular: Armadura Simples
Dimensionamento de Vigas de seção Retangular à Flexão Simples
Valores de c no próximo slide
Diagrama de Cáculo: Diagrama Retangular
l = 0,80 para fck  50MPa. 
l = 0,80-(fck-50)/400 para fck > 50MPa
c = 0,85  para fck  50MPa
c = 0,85.[1,0-( fck -50)/200  para 
50 < fck  90MPa
CURSO DE CONCRETO ARMADO I: I NTRODUÇÃO
Valores da tensão (c.fcd):
= c.fcd  no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não
diminuir a partir desta para a borda comprimida  para fck  50MPa
= 0,90. c.fcd  para casos contrários e fck  50MPa
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Dimensionamento de Vigas de seção Retangular à Flexão Simples
Admitindo como incógnitas  x e As
Simplificando para Concreto  C50
Domínio 2b e 3
Ex. Arm. DuplaEx. Arm. SimplesDisp. Normativas
 Sem armadura dupla: F1 e F2 = 0
o Md = [(0,85 fcd)∙(0,8 x)∙b] ∙ (d – 0,4x)
o Md = [0,68 fcd∙x∙b] ∙ (d – 0,4x)
o Resolve-se x 
 Fc = (0,85 fcd)∙(0,8 x)∙b = Ft = fs ∙As
 z = d – 0,4x
 Md = Fc∙z
Concreto  C50
=
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Concreto  C50
domínio 2, onde x x23 = 0,259 d; e ssd = fyd
domínio 3, onde x23  x x34 = 0,0035 d / (0,0035 + eyd); 
e ssd = fyd 
(para CA50: eyd =0,00207, x34 = 0,628)
Prevalece limite x/d de ductilidade (a seguir)
domínio 4, se x  x34  não desejável alterar 
seção ou usar armadura dupla
o Calcula-se z = d – 0,4x 
o Calcula-se As = Md / [fyd∙z] 
o Verifica-se a armadura mínima e ductilidade da seção
Se for domínio 2 ou 3:
Flexão Simples: Disposições Normativas
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Modelo da Viga Contínua: Vão Teórico (Lef) 
1 2
1 2
1 2
1 2
t t
Lef = Lo+ +
2 2 t /2 t /2
 a < e a < 
0,3.h 0,3.h
Lef = Lo+a +a
ou


    
 


Flexão Simples: Disposições Normativas
Vale para laje
Ou simplificadamente 
considera-se distância 
entre eixos dos apoios
Asmin = 𝝆𝒎𝒊𝒏%. Ac
Armadura mínima
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Asmin = 𝝆%. Ac
Armadura mínima tracionada 
Flexão Simples: Disposições Normativas
. . . Do momento mínimo e tipo de aço 
calcula-se As ...
 Ductilidade (para vigas):
Flexão Simples: Disposições Normativas
o valor de x/d 
o  0,45 até C50
o  0,55 acima C50 até C90
o Se houver redistribuição de momento (usual Asneg) 
o  x/d  (d-0,44)/1,25 até C50
o  x/d  (d-0,56)/1,25 acina de C50 até C90
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Cobrimento (c) da armadura:
Flexão Simples: Disposições Normativas
 O cobrimento vai 
depender do nível de 
agressividade do 
ambiente (tab.6.1 da 
NBR 6118).
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Para concretos de classe 
de resistência superior 
ao mínimo exigido, os 
cobrimentos definidos 
na Tabela 7.2 podem ser 
reduzidos em até 5 mm.
No caso de elementos 
estruturais pré-fabricados, 
os valores relativos ao 
cobrimento das armaduras 
devem seguir o disposto na 
ABNT NBR 9062
cnom = cmín + ∆c
Exemplo 1
• Viga de apoio de laje com 4,0m de vão livre
• h = 40 cm, b = 20 cm 
• Ambiente urbano  Classe Agres. Amb. II
• fck = 30 MPa, fyk = 500 MPa
• qk + gk = 15 kN/m
• dimensionar armadura positiva
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LAJES 
MACIÇAS
1. Definições Iniciais
elemento de superfície plana, em geral horizontal, sujeito 
principalmente a ações perpendiculares ao seu plano.
PLACA:
3.
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NESTE MÓDULO:
lajes retangulares maciças de concreto armado, apoiadas sobre vigas ou 
paredes. Os apoios serão considerados indeslocáveis.
são placas de concreto armado cuja função é receber 
carregamentos atuantes nos andares e transferi-los para os apoios 
(ex.: vigas, paredes, pilares, etc.)
LAJES:
4.

tabelas
Carregamento  curvatura  flexão.
ESFORÇOS SOLICITANTES:
5.
a) Momento Fletor:
Fig. Adaptada do Livro “Sistemas Estruturais”-Heino Engel
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Carregamento  deslocamento vertical de uma seção em relação à 
seção adjacente  cisalhamento.
ESFORÇOS SOLICITANTES – cont.:
6.
b) Força Cortante:
Fig. Adaptada do Livro “Sistemas Estruturais”-Heino Engel
Carregamento  rotações diferentes de seções adjacentes, mas 
localizadas em faixas diferentes  torção.
ESFORÇOS SOLICITANTES – cont.:
7.
c) Momento Torçor:
Fig. Adaptada do Livro “Sistemas Estruturais”-Heino Engel
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2. Vãos
distância entre faces internas dos 
apoios. 
Vão Livre (o ):
Laje apoiada:
Vão Teórico ( ): 
8.
21olaje aa = 
onde:




h3,0
2/t
a 1
1




h3,0
2/t
a 2
2
e
Laje em balanço: 1olaje a= 
onde:




h3,0
2/t
a 1
1
9.
No geral: 
 = distância entre os eixos dos apoios. 
Exemplo 2. Lousa
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Exemplo 2. Lousa
Vãos efetivo: 
 laje 2 e 5
3. Classificação
Eixo x é paralelo ao menor vão e eixo y é paralelo ao maior vão.
10.
x
y


=l
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.
Na direção do eixo y: Na direção do eixo x:
(menos “curvada”) (mais “curvada”)
Laje “pouco curvada” na direção y e “muito curvada” na direção x.
12.
Esquema das armaduras:
em azul: armadura principal, calculada 
para resistir ao momento fletor;
 em vermelho: armadura secundária, 
usada para solidarizar as faixas 
unitárias, prevendo uma eventual 
concentração de esforços em uma delas.
1 m
x
y
Nesse caso, o cálculo é feito para faixas de 1 metro de 
laje, paralelas ao menor vão. 
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4. Vinculação
Análise da vinculação para lajes adjacentes
14.
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15.
16.
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17.
OBS.03) Lajes rebaixadas
● Toda a laje que possuir um lado adjacente a uma laje rebaixada deve
ser considerada como apoiada neste lado;
● Uma laje não deve ser considerada engastada na laje adjacente se sua
espessura for pelo menos 2 cm maior que a espessura da laje
adjacente;
17.
● Quando, ao longo de um apoio existirem duas situações de vínculo (apoiado e engastado), somente
considera-se como engaste se a região engastada corresponder a pelo menos 2/3 do comprimento da
borda;
● Quando o vão da laje vizinha for menor que 1/3 do vão da laje em foco, medidos na direção perpendicular
à borda em que se apoiam, considera-se esta borda simplesmente apoiada.
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18.
Considerar pior caso para cada detalhamento de armadura
 Calcular laje com lado apoiado, detalhar armadura negativa no 
trecho contínuo
19.
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Exemplo 3: 
Lousa
Exemplo 3. Lousa
i) Indicar 
vinculações
Todas as Lajes
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5. Espessura, Cobrimentos Mínimos 
e Pré-dimensionamento
Para lajes maciças apoiadas sobre vigas (NBR 6118:2023):
5.1) ESPESSURA MÍNIMA
 7 cm: lajes de cobertura não em balanço
 8 cm: lajes de piso não em balanço
 10 cm: lajes em balanço
 10 cm: lajes que suportem veículos de peso  30kN
 12 cm: lajes que suportem veículos de peso > 30kN
Coeficiente adicional para lajes em balanço
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 O cobrimento vai depender do nível de agressividade do 
ambiente (tab.6.1 da NBR 6118).
  idem vigas  ver recomendações específicas para lajes
5.2) COBRIMENTO DA ARMADURA
7.4.7.5 Os cobrimentos 
nominais e mínimos estão 
sempre referidos à 
superfície da armadura 
externa, em geral à face 
externa do estribo. O 
cobrimento nominal de 
uma determinada barra 
deve sempre ser:
cnom = cmín + ∆c
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 Lembrando que lajes tem armadura de flexão em duas 
direções:
  cobrimento e d variam em cada direção
  pode adotar mais crítico
5.3) PRÉ-DIMENSIONAMENTO
Expressão Simplificada
A espessura da laje pode ser inicialmente estimada pela faixa de valores 
dada pelas seguintes expressões :
ℎ = (todos os lados apoiados); ou; ℎ = (todos os lados com 
continuidade) 
Eq. 3.1
Onde:
𝐿 = menor vão da laje, em cm.
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Exemplo 4: 
Lousa
Exemplo 4. Lousa  Para laje 2 e 5:
i) Estimar h (depois 
usar o que está na 
forma)
ii) Definir 
cobrimento mínimo 
inferior e superior
iii) Definir d
Classe de 
agressividade I
C25
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6. Ações
6.1) TABELAS  Nova norma em 2019: NBR 6120
a) Ações permanentes: peso específico dos materiais de construção
b) Ações variáveis: valores mínimos de 
cargas variáveis
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b) Ações variáveis: valores mínimos de 
cargas variáveis
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6.2) TIPOS DE AÇÕES
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Observação 01: Na ausência de informações com relação às ações de 
piso/regularização/forro, é usual, mas com os devidos cuidados, adotar o valor 
de carga permanente (sem peso próprio da estrutura) = 1 kN/m2.
Observação 02: Ação em parapeitos. Nas bordas de balcões, varandas, sacadas e terraços 
com guarda-corpo, prever carga variável de 2 kN/m,
além do peso próprio do guarda-corpo. Considerar 
também forças horizontais variáveis (tabela abaixo). 
Independentemente da altura da barreira, as forças da 
Tabela 12 devem ser consideradas atuando
a 1,1 m acima do piso acabado e perpendiculares ao eixo 
longitudinal da barreira.
Edifício residencial
Exemplo 5. Lousa
Considerando 
edifício comercial, 
sala de uso geral, 
qual gk e qk por m2 ?
 L1 e L5
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6.3) CARGA DE PAREDE NA LAJE
6.3.1. Para Lajes Armadas em 1 direção 
a) Alvenaria na direção do menor vão (apostila Prof. Camacho):
Planta:



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• distribuir 
uniformemente a 
carga da parede 
segundo uma 
faixa de largura 
(b). (video, 45)
• dimensionar o 
trecho como uma 
viga de largura 
bw, altura h e vão 
teórico .
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
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• distribuir 
uniformemente a 
armadura 
principal na faixa 
de largura bw.

• calcular uma 
armadura de 
distribuição para 
essa faixa. 

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b) Alvenaria na direção do maior vão (apostila Prof. Camacho):
Planta:
• Nesse exemplo:
faixa unitária  viga apoiada nas extremidades 
 carga de parede = carga adicional na viga.
1m
75
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6.3.2. Para Lajes Armadas em 2 direções 
• Critério simplificado: considerar peso total da parede 
distribuído uniformemente por sobre a laje.
a) conhecendo o peso/m2 de 
parede, o comprimento, e a 
altura da parede, posso calcular 
a força total que a parede aplica 
na laje;
b) distribuir essa força total pela 
área da laje, calculada em 
função dos vãos teóricos.
 Prever armadura adicional (método é 
impreciso, pode ser inseguro)
Na prática hoje usa-se 
modelo de grelha 
considerando a parede na 
posição correta
7. Reações de Apoio
• Lajes: transferem as ações para as vigas através das suas 
reações de apoio.
• Reação que vai para cada viga  proporcional a uma área 
limitada por linhas de plastificação, que dependem da 
vinculação nas bordas da laje.
•http://faq.altoqi.com.br/images/uploads/Ebe
rick/Analise%20da%20estrutura/Metodo_C
harneiras_Plasticas_05_Eb.gif
7.1) CÁLCULO MANUAL
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Construções de Concreto Armado 2 - 2024 19/04/2024
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Os triângulos e trapézios, relacionados ao carregamento que vai 
para cada apoio, são obtidos traçando-se retas inclinadas a partir 
dos vértices:
• 45 entre apoios de 
mesmo tipo;
• 60 a partir do apoio 
engastado quando o 
outro for livremente 
apoiado;
• 90 a partir do apoio 
quando a borda 
vizinha for livre.
Exemplos
Cálculo das reações de apoio  depende das vinculações
𝑅 = 𝐾 𝑝𝑙 𝑅 ´ = 𝐾 ´ 𝑝𝑙 𝑅 = 𝐾 𝑝𝑙 𝑅 ´ = 𝐾 ´ 𝑝𝑙
𝑙 = 𝐦𝐞𝐧𝐨𝐫 𝐯ã𝐨 
Ra - reação de apoio da viga da borda apoiada ao longo da direção la;
Ra´ - reação de apoio da viga da borda engastada ao longo da direção la;
Rb - reação de apoio da viga da borda apoiada ao longo da direção lb;
Rb´ - reação de apoio da viga da borda engastada ao longo da direção lb;
Ka, Ka´, Kb, Kb´ - coeficientes obtidos na Tabela 
p – carga por metro quadrado
OBS: reações R  resultado em kN/m
79
80
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Cálculo das reações de apoio  depende das vinculações
Cálculo das reações de apoio  depende das vinculações
81
82
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Cálculo das reações de apoio  depende das vinculações
Exemplo 6: Lousa
83
84
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Exemplo 6: Lousa
Calcular 
reações de 
apoio das 
L2 e L5
8. Momentos Fletores
8.1) MÉTODOS DE CÁLCULO
 métodos analíticos (séries trigonométricas)
 métodos numéricos (computador):
 diferenças finitas
 elementos finitos
 elementos de contorno
 considerando a laje como uma grelha (elementos de 
barras em 2 direções)
 Tabelas
85
86
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• Serão adotadas as Tabelas de PINHEIRO (1993) 
presentes em BASTOS (2015) no AVA.
8.2) CÁLCULO UTILIZANDO TABELAS
• mx  momento fletor na direção do vão 
x.
• my  momento fletor 
na direção do vão y.
 lx (ou la) = menor vão
87
88
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Cálculo dos momentos  depende das vinculações 
 positivo no vão, negativo sobre a borda engastada da lajes
Os momentos fletores positivos máximos são
dados por:
𝑀 = , 𝑀 =
enquanto os momentos fletores negativos
máximos por:
𝑀 = , 𝑀 =
𝑝 = valor da carga uniformemente distribuída 
por metro quadrado
𝑙 o comprimento do menor vão
𝛼 , 𝛼 , 𝛽 , 𝛽 coeficientes obtidos nas tabelas
 Resultado de momento M em kNm/m
Cálculo dos momentos  depende das vinculações 
 positivo no vão, negativo sobre a borda engastada da lajes
89
90
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Cálculo dos 
momentos 
Coeficientes 
de Czerny
Cálculo dos 
momentos 
Coeficientes 
de Czerny
91
92
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• Em geral, lajes adjacentes possuem diferentes condições de 
apoio, diferentes vãos teóricos e diferentes carregamentos.
• No apoio comum existirão dois valores diferentes para o 
momento negativo. 
8.3) COMPATIBILIZAÇÃO DOS MOMENTOS FLETORES
Se lajes adjacentes puderem 
mesmo ser consideradas 
engastadas uma na outra
 necessário compatibilizar 
os momentos negativos. 
• Compatibilização dos momentos negativos:
m
m m
m
'
' '
, '







1 2
2
2
0 80
93
94
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• Em decorrência da compatibilização dos momentos negativos, os momentos positivos 
serão alterados
• Se esta correção diminui o valor do momento positivo, (Laje L1), despreza-se esta 
redução (a favor da segurança). 
• Se esta correção aumenta o valor do momento positivo, (Laje L2), a correção deverá 
ser feita:
2
'm
mm 2cor,2

=
'm'm'm 2=
• Em decorrência da compatibilização dos momentos negativos, os momentos positivos 
serão alterados
• Se esta correção diminui o valor do momento positivo, (Laje L1), despreza-se esta 
redução (a favor da segurança). 
• Se esta correção aumenta o valor do momento positivo, (Laje L2), a correção deverá 
ser feita:
95
96
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Exemplo 7. Lousa Considerando 
edifício comercial, 
para região de lojas, 
qual valores dos 
momentos a serem 
considerados?
 L2 e L5
97
98
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9. Dimensionamento das Armaduras
9.1) flexão como viga com b = 100 cm
o Calcula-se z = d – 0,4x 
o Calcula-se As = Md / [fyd∙z] 
o Verifica-se a armadura mínima e ductilidade da seção
Se for domínio 2 ou 3:
oVerificação Ductilidade
ovalor de x/d 
o 0,45 até C50
o 0,55 acima C50 até C90
oSe houver redistribuição de momento (usual Asneg) 
o x/d  (d-0,44)/1,25 até C50
o  x/d  (d-0,56)/1,25 acima de C50 até C90
o Deve-se limitar a redistribuição a d  0,75
● Exemplo
cm0,10cadaamm3,6 m/cm12,3a 2
s =
 Resultado = armadura por metro
99
100
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● Tabela 1.4ª
Área da seção de barras 
por metro de largura:
● Elaborada por 
Alessandro L. 
Nascimento e Libânio 
Miranda Pinheiro
m/cmema 2
s
 se a laje é armada em 1 ou 2 direções.
 se as é positiva ou negativa.
● Taxa de armadura:
com bw = 100 cm, deve respeitar os limites da Norma. 
9.2) TAXA DE ARMADURA 
● Esses limites dependem:
h.b
a
w
s
s =
101
102
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● Observação:
Para armadura positiva secundária de lajes armadas em uma 
direção, deve-se obedeceros seguintes valores mínimos:
principal.armdado%20 s.sec.arm,s 
min.sec.arm,s 5,0 
m/cm9,0a 2
.sec.arm,s 
min● AGORA VEREMOS COMO É QUE CALCULA O 
103
104
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TABELA DA NORMA (válida para CA50, e ):4,1c = 15,1s =
No caso de lajes, considerar seção 
retangular com largura igual a 100 cm
9.3) OUTROS LIMITES 
● onde h = altura da laje 
8
h
.long.arm 
● Distancia livre entre barras 
na direção horizontal (eh):







agregadomax,
h
2,1
mm20
e 




cm20
h2
principal.armoespaçament
●
● cm33undáriasec.armoespaçament 
● P/ Arm. Negativas – verificar abertura passagem vibrador.
105
106
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Exemplo 8. Lousa
Calcular As,min; 
espaçamento 
máximo e 
diâmetro máximo
Calcular 
Armaduras
 L2 e L5
10. VERIFICAÇÃO DA CORTANTE 
O uso de armaduras para absorver a força cortante em lajes é raro
Pode-se dispensar a armadura transversal quando a força 
cortante de cálculo obedecer à expressão:
 




=
=

db402,1kV
V.4,1V
onde;VV
w1RdRd
SkSd
1RdSd
onde:
• = tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamentoRd
107
108
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10. VERIFICAÇÃO DA CORTANTE 
Para até C50:
• = tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamentoRd
𝜏 = 0,0375   𝑓 /𝜏 = 0,0375   𝑓 /
com Rd e fck em MPa
𝝉𝑹𝒅 =
𝟎, 𝟐𝟓 𝟎, 𝟕 𝟎, 𝟑
𝟏, 𝟒
𝒇𝒄𝒌
𝟐/𝟑
• coeficiente k :
 p/ lajes onde 50% da armadura inferior 
NÃO chega até o apoio: k = 1, 
p/ os demais casos:
com d em metros
1d6,1k =
• bw: a largura da seção transversal ao longo da altura útil d 
(no caso correspondente à largura de 100 cm).
  db402,1kV w1RdRd =
• d: altura útil
109
110
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02,0quemaiornão,
d.b
A
armaduradetaxa
w
1s
1 ==• onde:
 : área de armadura de tração que se estende até não 
menos que além da seção considerada. 
1sA
nec,bd 
(obs.: 
definido no item 
9.4.2.5 e figura 
19.1)
nec,b
  db402,1kV w1RdRd =
Exemplo 12: Lousa
Exemplo 9. Lousa
Para As,calc e 
C25, com 100% 
da armadura até o 
apoio, qual o valor 
característico 
máximo para 
cortante?
 L2 e L5
111
112
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11. FLECHAS ( Estado Limite 
de Utilização)
Aula passada:
ELS Ma
Ecs
Inércia seção bruta, fissurada
Mr
Ma
Branson
Fluência
Verificar limites ...
11. FLECHAS ( Estado Limite 
de Utilização)
11.1) COMPORTAMENTO “NÃO-LINEAR”
02 Viga ca c paredes.exe
113
114
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Estados Limites de Serviço
3.2.3 estado limite de abertura das fissuras (ELS-W): Estado em que 
as fissuras se apresentam com aberturas iguais aos máximos 
especificados
3.2.4 estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF): Estado 
em que as deformações atingem os limites estabelecidos para a 
utilização normal da construção
3.2.8 estado limite de vibrações excessivas (ELS-VE): Estado em que 
as vibrações atingem os limites estabelecidos para a utilização 
normal da construção.
Combinação de Carregamentos 
podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura e sua 
consideração 
pode ser necessária na verificação do estado limite de deformações excessivas
115
116
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Combinação de Carregamentos 
se repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura e sua 
consideração pode ser necessária na verificação dos estados limites de 
formação de fissuras, de abertura de fissuras e de vibrações excessivas. Podem 
também ser consideradas para verificações de estados limites de deformações 
excessivas decorrentes de vento ou temperatura que podem comprometer as 
vedações;
Verificação do deslocamento
Limite e contraflecha
Deslocamentos
ELS-quase 
permanente
Vibrações
ELS-frequente
 Apenas 
cargas 
acidentais
117
118
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Verificação do deslocamento – outros casos 
– VER NBR 6118
Limites
Deslocamentos
ELS-quase 
permanente
Verificação do deslocamento: 
Deformação Excessiva– ELS-CQP Quase Permanente:
Vibração Excessiva– ELS-CF Frequente – Parcela Permanente:
-
119
120
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Módulo de 
Elasticidade SecanteVerificação do deslocamento
Momento de 
fissuração
Verificação do deslocamento
121
122
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11.5) CÁLCULO DA FLECHA IMEDIATA ( fi ) - TABELAS
𝑓 = 𝑓
𝑝 ℓ
𝐸 ℎ 
 
f1= coeficiente, apresentado nas tabelas, função dos diferentes casos de condições de apoio da laje bem como 
da relação l = b/a entre os vãos da laje
pi = carga de serviço da laje correspondente à flecha imediata
a = menor vão
ECS = módulo de elasticidade secante do concreto
h = espessura da laje.
 próximo ao apoio, o momento é pequeno e a seção trabalha no estádio I;
 próximo ao meio do vão, os momentos são grandes e existe a possibilidade da peça 
fissurar, trabalhando no estádio II.
Estádio
I
Estádio
I
Estádio
II
𝑓 = 𝑓
𝑝 ℓ
𝐸 ℎ 
 
A equação para a avaliação da flecha imediata em lajes 
retangulares utiliza a espessura h da laje.
Para levar em conta a rigidez efetiva das lajes, que pode estar 
fissurada, tem-se duas situações a considerar:
a) Se o maior momento solicitante de serviço no vão da laje 
for menor ou igual ao momento de fissuração, a laje não 
apresentará fissuras e por isso pode-se usar o valor da 
espessura h da laje na equação 
b) Caso contrário, deve-se empregar o valor da espessura 
equivalente heq no lugar de h, com heq dado por: 
ℎ =
123
124
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 existem fissuras na borda inferior da viga;
 “concreto não resiste mais à tração”;
 a armadura absorve as tensões de tração (aderência);
11.2.2. “Estádio II”
Momento de Inércia da 
Seção Bruta e FissuradaVerificação do deslocamento
Equações: FONTE Carvalho e Figueiredo Filho (2014)
Seção bruta de 
concreto (não 
considera aço)
SEÇÃO 
RETANGULAR:
bf = bw
(bf - bw) = 0
𝒚 =
𝒉
𝟐
I = bw⸱
h3
𝟐
125
126
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 seções planas permanecem planas (as deformações são 
proporcionais à distância da linha neutra);
 vale a lei de Hooke para o concreto comprimido e para a 
armadura tracionada “homogeneizada” 
 define-se um coeficiente e (e = Es / Ecs ).
Momento de Inércia da 
Seção Bruta e FissuradaVerificação do deslocamento
Equações: FONTE 
Carvalho e Figueiredo 
Filho (2014)
Seção fissurada 
(inclui área de aço 
homogeneizada)
SEÇÃO 
RETANGULAR:
bf = bw
(bf - bw) = 0
127
128
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SEÇÃO 
RETANGULAR:
bf = bw
(bf - bw) = 0
Momento de 
fissuração
Verificação do deslocamento
129
130
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 próximo ao apoio, o momento é pequeno e a seção trabalha 
no estádio I;
 próximo ao meio do vão, os momentos são grandes e existe a 
possibilidade da peça fissurar, trabalhando no estádio II.
Estádio
I
Estádio
I
Estádio
II
 NBR 6118:2014: para calcular a flecha imediata, deve-se usar 
o momento de inércia equivalente:
cII
3
a
r
c
3
a
r
eq II
M
M
1I
M
M
I 




















=
 Ic = momento de inércia da seção bruta de concreto;
 III = momento de inércia da seção fissurada de concreto 
no EstádioII, calculado com e = Es/Ec.
 Mr = momento de fissuração do elemento estrutural, cujo 
valor deve ser reduzido à metade no caso de utilização de 
barras lisas.
131
132
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Cont. cII
3
a
r
c
3
a
r
eq II
M
M
1I
M
M
I 




















=
 Ma = momento fletor na seção crítica do vão considerado 
(momento máximo no vão para vigas biapoiadas ou contínuas e 
momento no apoio para balanços.
(A favor da segurança, para este cálculo, pode-se considerar 
Ma = Ma,max, que é o valor calculado considerando-se a 
combinação rara gk + qk ).
𝑓 = 𝑓
𝑝 ℓ
𝐸 b ℎ 
 
b = 1,0m ou 100 cm, 
depende da unidade 
adotada
133
134
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Verificação da flecha – Flecha diferida no tempo
Flecha diferida ao longo do tempo  tempo > 70 meses:
Segundo a NBR 6118 :
“A flecha adicional diferida, 
decorrente das cargas de longa 
duração em função da fluência, 
pode ser calculada de maneira 
aproximada pela multiplicação da 
flecha imediata pelo fator f ...”
 𝑆𝑒  𝒇𝒍𝒆𝒄𝒉𝒂 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍  = 𝒇𝒇  >  𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒   
 
 𝑠𝑒  𝑓𝑓 − 𝑐𝑓  ≤ 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒   
 
   𝑒𝑛𝑡ã𝑜  𝑂𝐾!
 𝑠𝑒  𝑓𝑓 − 𝑐𝑓  > 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒  
 
  𝑒𝑛𝑡ã𝑜  𝑁Ã𝑂  𝑂𝐾!  (𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠.  𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑗𝑒)
 𝑒𝑛𝑡ã𝑜  𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑟  𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒇𝒍𝒆𝒄𝒉𝒂 = 𝒄𝒇  =  
ℓ
350 
  𝑒 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑟 𝑛𝑜𝑣𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎çã𝑜:
135
136
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Exemplo 10. Lousa
Calcular 
ELS,CQP para 
deslocamento 
considerando 
seção bruta não 
fissurada
Estimar flecha 
final x2,5
 L2 e L5
12. DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
Armadura Negativa: na face superior da laje
Armadura Positiva: na face inferior da laje
(ambas tracionadas)
137
138
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12.1. ARMADURA NEGATIVA SOBRE BORDA ENGASTADA
Comprimento das barras negativas: calculado com 
base no diagrama de momentos fletores na região dos 
apoios.
Em edifícios usuais, em apoios de lajes 
retangulares que não apresentem borda livre, o diagrama 
apresenta o formato de um trapézio:
 lx = maior vão entre os vãos 
menores das duas lajes
 lb = comprimento de 
ancoragem
3 tipos de 
detalhamento
Detalhamento As,neg sobre apoio interno
Em geral, os comprimentos são arredondados para múltiplos de 5 cm.
 Recomenda-se adotar barras de distribuição que tenham as
mesmas áreas e espaçamentos que os indicados para armaduras
secundárias na direção perpendicular a essa armadura.
139
140
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12.2 Armadura negativa sobre borda apoiada 
Finalidade: evitar
fissuração excessiva
na ligação da face
superior da laje com
a viga.
Não se deve adotar
espaçamento dessa
armadura superior a
33 cm.
(Figura adaptada da apostila do Prof. Camacho)
12.3 Armadura negativa de lajes em balanço
L : comprimento da
barra no balanço;
Comprimento total no
trecho horizontal: 2,5L.
O gancho diferenciado na
extremidade da borda
livre serve para protegê-
la.
141
142
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12.4 Armadura de canto
Nos cantos de lajes retangulares, formados por duas bordas
simplesmente apoiadas, existe uma tendência deles se levantarem
decorrente da ação de momentos volventes (ou torçores).
Sendo assim, deve-se adotar uma armadura nesta região, tanto
na face superior como na face inferior, para impedir aberturas de
fissura excessivas.
ARMADURA DE CANTO (MOMENTO VOLVENTE (TORÇOR)
Quando toda a armadura positiva (na face inferior) se estender de
apoio a apoio, faz-se necessária apenas a colocação da armadura
negativa (na face superior).
Caso contrário, deve-se garantir uma armadura na face inferior
igual à adotada para a face superior.
143
144
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Quando toda a armadura positiva (na face inferior) se estender
de apoio a apoio, faz-se necessária apenas a colocação da
armadura negativa (na face superior).
Caso contrário, deve-se garantir uma armadura na face inferior
igual à adotada para a face superior.
Área de armadura: deve ter, em cada direção, uma área não
inferior a Asx/2, onde asx é a armadura no centro da laje, na
direção mais armada.
Barras: devem se estender até a distância igual a 1/5 do menor vão
teórico da laje, medida a partir das faces dos apoios.
145
146
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12.5 Armaduras positivas (na face inferior da laje)
Nas extremidades do edifício, elas costumam ser estendidas até junto a essas 
extremidades, respeitando-se o cobrimento especificado.
As barras das armaduras inferiores vão estar ancoradas desde que se estendam, 
além da face interna do apoio, um comprimento que seja maior ou igual a 10  e 6 cm. 
Porém recomenda-se estender além do apoio para evitar colapso progressivo
Detalhe contra colapso 
progressivo
Armadura negativa sobre borda apoiada 
Finalidade: evitar
fissuração excessiva
na ligação da face
superior da laje com
a viga.
Não se deve adotar
espaçamento dessa
armadura superior a
33 cm.
(Figura adaptada da apostila do Prof. Camacho)
Para pode considerar as vigas de apoio com seção T: As,min = 1,5 cm2/m
147
148
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Exemplo 11. Lousa
Detalhamento
 L2 e L5
149
150