Determinantes de Matrizes

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DETERMINANTES
	Determinante de uma matriz quadrada de ordem n é um número real a ela associado.
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 2a ORDEM 
	O determinante de uma matriz quadrada A de ordem 2 é indicado por 
 e é obtido pela expressão . 
 _ +
Exemplo: Calcule o determinante da matriz 
Resolução: = 2. 5 – (-3). 1 = 10 + 3 = 13
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 3a ORDEM – REGRA DE SARRUS
	Podemos obter o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 utilizando a regra prática de Sarrus.
	Seja a matriz 
	Vamos repetir a 1a e 2a coluna à direita da matriz, conforme o esquema abaixo:
=
 
 - - - + + +
Exemplo: Calcule o determinante da matriz 
Resolução: 
= (-1). 1. 5 + 2. 4. (-2) + 3. 0. (-3) – 3. 1. (-2) – (-1). 4. (-3) – 2. 0. 5 = -27
COFATOR
	Dada uma matriz , quadrada de ordem n, denominamos cofator de ao produto de pelo determinante obtido quando se retira de A a i-ésima linha e a j-ésima coluna.
	O cofator de será indicado por .
	Então: 
	Assim, se considerarmos temos que:
= 
= 
TEOREMA DE LAPLACE
	Considere a matriz , quadrada de ordem n. O determinante de A é igual à soma dos produtos dos elementos de uma linha ou de uma coluna qualquer pelos respectivos cofatores.
	Veja como calcular o determinante da matriz pela 1a linha:
 onde: = 1. 
 = (-1). 
 = 1. 
	O determinante da matriz A pode ser desenvolvido segundo os elementos de qualquer linha ou de qualquer coluna que o resultado será o mesmo.
	O teorema de Laplace pode ser usado, também, para o cálculo de determinante de ordem maior que 3.
Exemplo_1: Calcule o determinante da matriz 
Resolução: 
Vamos calcular o determinante pelos elementos da 1a linha:
 
 
 
det A = 2. 14 + (-1). 30 + 3. (-24) = -74
Exemplo_2: Calcular o determinante de 
Resolução: 
Vamos aplicar o teorema de Laplace escolhendo a 3a linha (pois tem dois zeros).
det M = 0. + 0. + 1. + 5. 
det M = 0 + 0 + 1. + 5. 
det M = 1. (-19) -5. (-38) = 171
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
1a Propriedade
 Se todos os elementos de uma linha ou coluna forem nulos, seu determinante é zero.
 
2a Propriedade
 Se 2 linhas (ou 2 colunas) forem iguais ou proporcionais, seu determinante é zero.
 
3a Propriedade
 Se uma linha (ou coluna) for combinação linear de outras linhas (ou colunas), seu determinante é zero.
 . Observe que a L3 = L1 + L2, ou seja, a 3a linha é combinação
 linear da 1a com a 2a linha.
 Observe que a C1 = 2. C2 + C3 (combinação linear).
4a Propriedade
 O determinante de uma matriz é igual ao de sua transposta.
 Seja e sua transposta , temos que
 
5a Propriedade
 Se todos os elementos de uns matrizes quadrados situados de um mesmo lado da diagonal principal forem nulos, o determinante da matriz será igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
 
TEOREMA DE BINET
 Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então:
 
EXERCÍCIOS DE DETERMINANTES:
DETERMINANTES DE 2a ORDEM
Calcule o valor dos determinantes:
 a) b) c) d) 
2. Resolva as equações:
a) b) 
c) d) 
3. Dadas as matrizes e , calcular o determinante da matriz A.B
DETERMINANTES DE 3a ORDEM
Calcule o valor dos determinantes abaixo pela regra de Sarrus:
 a) b) c) d) e) 
Resolva as equações:
 a) b) c) 
 d) e) 
Aplique o teorema de Laplace para resolver os determinantes abaixo:
a) b) c) d) e) 
DETERMINANTES DE 4a ORDEM
Dada a matriz , calcule det A e det At .
Calcule os determinantes:
 a) b) c) d) 
 e) f) g) h) 
9. Resolva as equações:
 a) b) 
Respostas:
1) a) 14 b) 11 c) 26 d) 10 2) a) S={5} b) S={0,5} c) S={-1,4} d) S={-2,2} 3) 14
4) a) 15 b) 42 c) 2 d) 0 e) -11 5) a) S={-1} b) S={1} c) S={5} d) S={19} e) S= 
6) a) 15 b) 42 c) 0 d) 51 e) -42 7) detA = detAt = 70 8) a) 2 b) -230 c) 4 d) 0 
e) 0 f) -36 g) 0 h) 40 9) a) S={1} b) S={-2}
SISTEMAS LINEARES
	Denomina-se sistema linear de m equações nas n incógnitas x1, x2, ..., xn a todo sistema da forma:
 em que a11, a12, ..., a1n, b1, b2, ..., bm são números reais.
	Se o conjunto ordenado de números reais satisfizer todas as equações do sistema, será denominado solução do sistema linear.
	Se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo, isto é, b1 = b2 = ... = bn = 0, o sistema linear será dito homogêneo.
	Uma solução do sistema linear homogêneo é, por exemplo, (0, 0, 0).
	Essa solução chama-se solução trivial do sistema homogêneo. Se o sistema homogêneo admitir outra solução onde as incógnitas não são todas nulas, a solução será chamada solução não trivial.
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR	
Os sistemas lineares podem ser classificados de acordo com o diagrama abaixo.
Utilizamos as abreviações SPD (Sistema possível e determinado), SPI (Sistema possível e indeterminado) e SI (Sistema Impossível) para representar a classificação de um sistema linear.
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES PELA REGRA DE CRAMER
A regra de Cramer (Gabriel Cramer, matemático e astrônomo suíço, 1704 a 1752) é uma das mais tradicionais para resolver sistemas de equações lineares, apresenta vantagens e desvantagens sobre outros métodos. A grande vantagem é que ela fornece os valores das incógnitas diretamente como quociente de dois determinantes. Contudo, ela só se aplica quando o determinante da matriz do sistema é diferente de zero.
Consideremos o sistema de três equações lineares com três incógnitas:
	
 Inicialmente, calcula-se D, o determinante da matriz dos coeficientes do sistema.
Se , podemos prosseguir, pois o sistema é possível e determinado (SPD).
Se , não se aplica a regra de Cramer, pois não podemos ter denominador igual a zero.
 
Para encontrarmos a variável x, por exemplo, calculamos e logo após D. Para o cálculo de colocamos na coluna dos coeficientes de x, os termos independentes que se encontram depois do sinal de igual. O determinante D, é calculado pelos coeficientes normais. Vejamos o exemplo:
Exemplo
Resolva o sistema pela regra de Cramer. 
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES POR ESCALONAMENTO
Sistema escalonado
Um sistema linear é dito escalonado quando está disposto nas seguintes formas:
 
	Observe que, nestes exemplos, na primeira equação aparecem todas as incógnitas, na 2a desaparece a incógnita x, na 3a equação, quando há, desaparece a incógnita y, e assim sucessivamente.
	O processo de resolução de um sistema linear que envolve a eliminação de incógnitas é denominado método de escalonamento.
	Este método procura transformar o sistema dado em sistemas equivalentes (tem a mesma solução), até chegar a um sistema escalonado, usando as seguintes transformações elementares sobre as equações do sistema dado:
Trocar as posições de duas equações
Multiplicar uma das equações por um número real diferente de zero
Multiplicar uma equação porum número real e adicionar o resultado a outra equação.
Exemplos de aplicação do método:
Exemplo 1: Resolva o sistema a seguir, por escalonamento
Multiplicando a 1a equação por (-3) e adicionado a 2a e, ainda multiplicando a 1a equação por (-5) e adicionando a 3a, temos:
Multiplicando a 2a equação por (-7) e a 3a equação por (4) e adicionando as duas resulta na equação -9z =-36, daí o sistema fica assim:
 O sistema está escalonado. Para resolver esse tipo de sistema, determinamos o valor de z na 3a equação .
A seguir, substituímos o valor de z na 2a equação. O valor de y será 3. Finalmente substituímos os valores de z e y na 1a equação e o valor de x será 1. Logo o conjunto solução desse sistema é S={(1, 3, 4)}
Todo sistema escalonado, nas condições acima, é POSSÍVEL E DETERMINADO.
Exemplo 2: Determine a solução do sistema abaixo, por escalonamento
Multiplicando a 1a equação por (-2) e adicionando à 2a e, fazendo o mesmo para a 3a equação, temos:
Este sistema, após ter sido escalonado, ficou com duas equações e três incógnitas. A igualdade que aparece no lugar da 3a equação é verdadeira. Isso indica que o sistema tem solução. 
 Este tipo de sistema admite pelo menos uma variável denominada variável livre. É variável livre toda aquela que não aparece no início de nenhuma equação do sistema escalonado. No exemplo anterior, temos z como variável livre.
A variável livre, como o próprio nome indica, pode assumir qualquer valor real. Para cada valor assumido por ela, obtém-se uma solução para o sistema. No exemplo anterior, se fizermos . Substituindo na primeira equação, teremos , portanto a solução do sistema será .
Se fizermos , no exemplo anterior, teremos . Logo a solução será . Perceba que o sistema possui infinitas soluções. Para obter a expressão geral de todas essas soluções, basta encontrarmos os valores de x e y em função de z, isto é:
 substituindo y na 1aequação temos x= 11 + z. Logo:
 
Todo sistema escalonado, nas condições acima, é POSSÍVEL E INDETERMINADO.
	Todo o sistema, que após ter sido escalonado, apresenta como 3a equação uma igualdade falsa, do tipo: é dito sistema linear IMPOSSÍVEL. Este sistema não tem solução, logo, .
EXERCÍCIOS:
Resolva os sistemas pela Regra de Cramer:
1) S= {(1, 2)} 2) S= {(1, 2)}
3) S= {(1, 2, 3)} 4) S= {(2, 3, -1)}
5) S = {(6, 4, 1)} 6) S= {(2, 1, 3)}
Resolva os sistemas por escalonamento:
1) . 2) 
S= {(3, 2, 1)} S.L.P.D S= {(1, 0, 2)} S.L.P.D.
3) . 4) .
S= {(1, -1, 2)} S.L.P.D. S= {(2, -1, 1, -2)} S.L.P.D.
5) S={(1, 2,-1,3) S.L.P.D. 
6) S= {(9z, -4z, z) zIR} S.L.P.I.
7) S = S.L.I. 8) S= {(11+z, 4+z, z) zIR} S.L.P.I.
9) S= {(1+z, -2z, z) zIR} S.L.P.I.
10) S= {(-1, 0, 0, 1)} S.L.P.D.
11) S= {(1, 2, 3, -4)} S.L.P.D. 12) S= {(3, -2, 2)} S.L.P.D.
13) S= {(1, 3-z, z) zIR} S.L.P.I. 14) S= { } S.L.I.
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
1. Determine os valores de k para que o sistema seja possível determinado:
 Resp. k -12
2. Determine os valores de k e m para que o sistema seja possível indeterminado:
 Resp. k= 17 e m= 
3. Determine os valores de a e b para que o sistema seja incompatível:
 Resp. a= 1 e b 9
EXERCÍCIOS 
Qual o valor de para que o sistema admite uma única solução?
 Resp. 
Determine o valor de para que o sistema seja impossível:
 Resp. 
Determine os valores de e , de modo que compatível e indeterminado o sistema:
 Resp. e 
(Fuvest- SP) Para quais valores de o sistema linear abaixo admite solução:
 Resp. ou 
Para que valores de o sistema seguinte é compatível e determinado?
 Resp. 
6. Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas homogêneos:
 a) Resp. S.L.P.I. b) Resp. S.L.P.D.
7. Calcule m para que o sistema tenha uma única solução. Resp. 
8. Calcule a para que o sistema tenha infinitas soluções. Resp.