APOL Análise Matemática NOTA 100

Prévia do material em texto

APOL Análise Matemática NOTA 100 
 
Questão 1/5 - Análise Matemática 
Leia o fragmento de texto a seguir. 
“(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x). Uma maneira conveniente de lembrar 
essa fórmula consiste em chamar a ‘função de fora’ e g a ‘função de dentro’ na composição 
(fg(x))(fg(x)) e, então, expressar em palavras como: 
A derivada de (f(g(x))(f(g(x)) é a derivada da função de fora calculada na função de dentro 
vezes a derivada da função de dentro”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ANTON, H., BIVENS, I., DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman , v. 1. 2007. p. 210-211. 
Considere as funções e f(x)=exf(x)=ex , g(x)=x2+2g(x)=x2+2 e a função composta 
h(x)=f(g(x))=e(x2+2)h(x)=f(g(x))=e(x2+2). 
Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática 
sobre a Regra da Cadeia, assinale a única alternativa que representa a derivada da função 
composta dada. 
 
A h′(x)=(x2+2)e(x2+2)h′(x)=(x2+2)e(x2+2) 
 
B h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2xh′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2x 
 
C h′(x)=2x⋅e(x2+2)h′(x)=2x⋅e(x2+2) 
 
D h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1 
 
E h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1 
Questão 2/5 - Análise Matemática 
Leia o trecho de texto a seguir: 
“Quando limxn=alimxn=a, diz-se que a sequência (xn)(xn) converge para aa, ou tende para aa e 
escreve-se xn→axn→a. Uma sequência que possui limite chama-se convergente. Do contrário, 
ela se chama divergente. Explicitamente, uma sequência (xn)(xn) diz-se divergente quando, 
para nenhum número real aa, é verdade que se tenha limxn=alimxn=a”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
Lima, E. L. Curso de Análise. v. 1. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 108-109. 
Levando em consideração o fragmento de texto dado e os conteúdos do livro-base Análise 
Matemática sobre a convergência de sequências numéricas, analise as afirmativas que 
seguem e marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas. 
 
I. Toda sequência que é crescente e limitada é convergente. 
II. Existem sequências que não são limitadas, mas são convergentes. 
III. Toda subsequência de uma sequência limitada é convergente. 
IV. Existem sequências limitadas que possuem subsequências convergentes. 
 
Agora marque a sequência correta: 
 
A F – V – F – V 
 
B V – F –V – F 
 
C V – F – F – V 
 
D F – V – V – F 
 
E F – F – V – V 
Questão 3/5 - Análise Matemática 
Observe o gráfico de uma função f(x)=(1+1x)xf(x)=(1+1x)x representado na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
Com base no gráfico da função f(x)=(1+1x)xf(x)=(1+1x)x e nos conteúdos estudados no livro-
base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir. 
I. limx→∞f(x)=∞limx→∞f(x)=∞ e limx→−∞f(x)=−∞limx→−∞f(x)=−∞ 
II. limx→∞f(x)=elimx→∞f(x)=e e limx→−∞f(x)=−∞limx→−∞f(x)=−∞ 
III. limx→0+f(x)=1limx→0+f(x)=1 e limx→0−f(x)=∞limx→0−f(x)=∞ 
IV. limx→0+f(x)=−∞limx→0+f(x)=−∞ e limx→0−f(x)=∞limx→0−f(x)=∞ 
V. limx→0+f(x)=1limx→0+f(x)=1 e limx→∞f(x)=elimx→∞f(x)=e 
São corretas apenas as afirmativas: 
 
A III e V 
 
B I e III 
 
C I e IV 
 
D II e V 
 
E II, III e V 
Questão 4/5 - Análise Matemática 
Leia o excerto de texto a seguir. 
“Para que tenha sentido determinar o limite ou indagar sobre a continuidade de uma função, e 
o domínio e o contradomínio da mesma devem possuir um certo tipo de estrutura, tornando-se 
o que se chama um ‘espaço topológico’. Em outras palavras, espaços topológicos são 
conjuntos equipados com estruturas tais que entre eles tem sentido falar em limites e 
continuidades de funções”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: Lima, E. L. Curso de Análise. v. 1. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática 
Pura e Aplicada, 2013. p. 161. 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática com respeito à conceitos 
topológicos, enumere, na ordem sequencial, as definições – em linguagem não formal – que 
se relacionam a cada um dos elementos a seguir: 
 
1. Conjunto aberto 
2. Ponto interior 
3. Conjunto fechado 
4. Ponto de acumulação 
5. Conjunto compacto 
6. Ponto aderente 
 
( ) É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um ponto do conjunto diferente dele. 
( ) É todo conjunto que é simultaneamente fechado e limitado. 
( ) É um conjunto tal que todos os pontos aderentes pertencem à ele. 
( ) É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no conjunto. 
( ) É um ponto que é limite de uma sequencia de elementos do conjunto. 
( ) É um conjunto onde todos os seus pontos são interiores. 
 
Agora marque a sequência correta: 
 
 
A 6 – 5 – 3 – 4 – 2 – 1 
 
B 4 – 1 – 5 – 6 – 2 – 3 
 
C 2 – 5 – 1 – 6 – 4 – 3 
 
D 6 – 3 – 1 – 2 – 4 – 5 
 
E 4 – 5 – 3 – 2 – 6 – 1 
Questão 5/5 - Análise Matemática 
Consideremos a função f:R→Rf:R→R dada por 
f(x)={x2+1, x≤12x, x>1f(x)={x2+1, x≤12x, x>1. 
Com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito de funções contínuas e 
deriváveis, é correto afirmar que: 
 
 
A Em x=1x=1, ff é contínua, mas não é derivável. 
 
B Em x=1x=1, ff é derivável, mas não é contínua. 
 
C Em x=1x=1, ff possui limites laterais, mas são diferentes. 
 
D Em x=1x=1, ff é contínua e é derivável. 
 
E Em x=1x=1, ff não é contínua nem é derivável.