Metrologia 3

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METROLOGIA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 > Identificar os erros de medição.
 > Apontar as principais causas de erros.
 > Diferenciar os tipos de erros.
Introdução
O conceito de metrologia é bem definido na literatura e, dentro dessa ciência, 
as três categorias existentes (científica, industrial e legal) são responsáveis 
por medições e calibrações de instrumentos. Um fator de relevância aqui é a 
confiabilidade das medidas, e, nesse sentido, existe uma preocupação sobre 
a forma de medir, os tipos de instrumentos utilizados e a forma de resultados 
obtidos. Quando se fala em confiabilidade da medida, é válido lembrar que 
não existem valores exatos. Deve haver um intervalo confiável dentro do qual 
existe uma grande probabilidade de a medida exata estar. Esse conceito é 
embasado na teoria de erros. 
Neste capítulo, você verá uma definição do conceito de erro e os tipos de 
erros existentes ao se realizar uma medição. Considerando-se a importância de 
obter medidas mais precisas possíveis, serão apontadas as causas dos erros, 
bem como sua classificação, no sentido de diferenciar os tipos.
Como identificar os erros de medição
Medições são realizadas em muitas áreas e fazem parte de um procedimento 
que depende da instrumentação utilizada, das habilidades do operador, 
bem como de outros fatores externos e intrínsecos da medida. O valor de 
Erros
Maria Elenice dos Santos
uma grandeza submetida a uma medição, geralmente, é adquirido a partir 
de procedimentos específicos. A metrologia é a ciência que se encarrega de 
coordenar todos os processos relativos às medições e atua em diversas áreas, 
tendo como grandes áreas a metrologia científica, a metrologia industrial e 
a metrologia legal (LINCK, 2017; LIXANDRÃO FERNANDO, 2018).
Um dos fatores relevantes no processo de medição e diretamente ligado à 
medida adquirida consiste nos limites que garantem a precisão e a exatidão 
da medida. De acordo com Taylor (2012), existem procedimentos específicos 
de cada medida, incertezas associadas à medida e roteiros a serem seguidos, 
capazes de classificar os resultados de uma medição como adequados ou 
descartá-los para a aquisição de nova medida.
Conforme Vuolo (1996), os termos “precisão”, “exatidão”, “resolução” e 
“sensibilidade”, assim como o erro e a incerteza da medida são de grande 
relevância quando se trata de realizar medições. De outra forma, podemos 
dizer que o termo “precisão” é descrito como o desvio-padrão da medida de 
uma sequência de medidas que são realizadas. O termo “exatidão” é relativo 
a uma medida ou à média de um conjunto de medições (VUOLO, 1996).
É definido também como a distância que existe entre a medida real e um 
valor de referência padrão. Tal distância é estimada, e esse valor, normal-
mente, é expresso como um desvio, ou ainda um desvio percentual de valor 
que já se conhece. 
Segundo Vuolo (1996), considerando-se as duas categorias de erros (alea-
tórios e sistemáticos), a precisão geralmente é associada a erros ditos alea-
tórios, que são aqueles que não se pode prever. Já a precisão de uma medida 
origina-se de erros sistemáticos, que podem ser previstos e até evitados ou 
minimizados, em alguns casos.
A resolução de um instrumento é a medida da capacidade de leitura do 
detalhe revelado. Em outras palavras, constitui uma medida do menor incre-
mento mensurável. A efeito de exemplo, dizemos que uma régua graduada 
em milímetros apresenta uma resolução em torno de 0,05 cm, isso porque 
é possível observar diferenças entre medidas da ordem de 4,50 e 5,55 cm. 
Por fim, a sensibilidade é uma medida da menor quantidade mensurável por 
um instrumento. 
É necessário o bom discernimento do operador para escolher o instru-
mento adequado para uma medição (TAYLOR, 2012). Não seria adequado, 
por exemplo, utilizar uma régua graduada em milímetros para medir algo de 
ordem nanométrica, por exemplo. Nesses casos, existe um limite confiável 
de detecção do instrumento (VUOLO, 1996). Muito se discute na metrologia 
a respeito dos erros associados às medições. Conforme Linck (2017), existe 
Erros2
toda uma teoria detalhada e utilizada para caracterizar os tipos de erros e 
a forma de identificar cada um deles. Em geral, ao se realizar uma medição, 
podem incorrer dois tipos de erros (LIXANDRÃO FERNANDO, 2018):
 � erro estatístico;
 � erro sistemático:
 ■ instrumental;
 ■ ambiental;
 ■ observacional;
 ■ teórico.
Erro estatístico ou aleatório
O primeiro deles, segundo Taylor (2012), o erro estatístico, é provocado pela 
flutuação no resultado da medição. Conforme Vuolo (1996), trata-se do resul-
tado de uma variação aleatória quando se faz uma medida, provocado por 
motivos que podem, ou não, ser controlados. Um exemplo desse tipo de erro 
são variações na medição da massa de certo objeto, utilizando uma balança 
de precisão, provocadas pela vibração ou por correntes de ar. 
A Figura 1 apresenta uma balança de precisão utilizada para medições da 
massa de substâncias.
Figura 1. Balança de precisão utilizada em laboratórios didáticos ou de pesquisa. 
Fonte: Travel mania/Shutterstock.com.
Erros 3
Neste caso, a balança de precisão conta com isolamento do ambiente, o que 
solucionaria o problema da influência do ambiente sobre a medida realizada.
Erro sistemático
Este é de fácil classificação, pois é o tipo de erro que ocorre sistematicamente. 
De outra forma, constitui o mesmo tipo de erro, caso o observador realize o 
mesmo procedimento (VUOLO, 1996). O erro sistemático é dividido em três 
categorias: erro sistemático instrumental, erro sistemático ambiental e erro 
sistemático observacional (TAYLOR, 2012).
O erro sistemático instrumental é descrito como um tipo de erro relacio-
nado com a calibração do instrumento. A efeito de exemplo, pode-se citar 
o caso de um operador que não verifica, antes de realizar a medição, se o 
instrumento a ser usado está devidamente calibrado. Por exemplo, com um 
termômetro, ao tomar a medição da temperatura de uma substância padrão 
— a água em ebulição — verifica-se que o resultado se apresenta alterado de 
3°C, marcando assim a medida 103°C. Outra forma de também confirmar o 
erro associado ao instrumento, um erro instrumental, é aferir a temperatura 
do gelo, cujo padrão seria 0°C, e verificar que sua medida é de 3°C.
O erro sistemático ambiental ocorre devido a efeitos do ambiente sobre 
o experimento. Fatores que geram esse tipo de erro são: pressão, campo 
magnético, temperatura, umidade, calor, luminosidade etc. Por exemplo, 
uma fonte de tensão com curto-circuito e que por isso queimou. Nesse caso, 
a fonte apresentaria valores de corrente de difícil detecção, por serem baixos.
O erro sistemático observacional ocorre devido às falhas no procedimento 
ou à imperícia do observador. Por exemplo, a leitura incorreta utilizando-se 
um paquímetro, ou a utilização de uma régua milimetrada para a medição do 
diâmetro de um fio de cabelo.
Por fim, há, ainda, o erro teórico, cuja definição embasa-se em casos de 
simplificação de textos, modificação de figuras, aproximação de grandezas 
ou equações. Por exemplo, ao medir o tempo de queda de um objeto, despre-
zar-se, nesse caso, a resistência do ar, resulta-se em uma medição na qual se 
desconsiderou uma grandeza capaz de incutir erro na medida. Nesse caso, 
dados experimentais e teóricos vão discordar (TAYLOR, 2012).
Diferente dos erros sistemáticos, o que denominamos erros aleatórios são 
quantificados por medidas estatísticas, as quais envolvem dados de probabili-
dade. Para esses casos, embora sejam aleatórios, é possível identificar certos 
padrões e, com base nestes, utilizar análise estatística para prever tais erros.
Erros4
Nesta seção você viu que, para todas as medidas aferidas por instrumentos 
de medições, podem existir, associada a elas, erros. Definiu-se aqui o conceito 
de erro e foi feita uma classificação dos possíveis erros encontrados quando 
uma medição é realizada. 
Possíveis causas dos erros em medições
Quando existe a necessidade de se utilizarinstrumentos de medição, há que 
se valer de certos cuidados e padrões, no sentido de manter a qualidade e a 
confiabilidade das medidas obtidas. Existem muitos erros que podem acometer 
uma medição, e entender como eles podem ocorrer é parte fundamental da 
formação daqueles que vão operar um instrumento para aquisição de medidas. 
Conforme cita Taylor (2012), muitas empresas e instituições trabalham com 
instrumentos de medições, e para garantir a qualidade dos resultados das me-
dições feitas é necessário identificar quando e por qual motivo um erro ocorre.
Segundo Vuolo (1996), um erro de medição trata-se da diferença entre o 
valor aferido pelo instrumento e um valor tomado como referência padrão. 
Os motivos pelos quais essa diferença torna-se acentuada são os mais diver-
sos, podendo ser desgastes dos instrumentos, erros na execução dos métodos 
de medição, influência das condições ambientais, etc. É imperativo ter em 
mente que muitos dos erros associados a medições podem ser corrigidos. 
Um dos passos importantes no processo é identificar o erro acometido na 
medição, bem como suas causas. O objetivo principal em qualquer medida é 
eliminar o erro associado (VUOLO, 1996). 
Eliminar por completo um erro associado não é trivial, mas este pode ser 
minimizado e levado para limites aceitáveis. Um dos postos-chaves no sentido 
de minimizar erros é a calibração dos instrumentos utilizados nas medições 
(TAYLOR, 2012). Em geral, a calibração se dá com a comparação do instrumento 
a ser calibrado com um instrumento padrão. Se porventura este não for o caso 
e a incidência de erros permanecer, o instrumento deverá, então, passar por 
reparos e, em seguida, nova calibração. Submetidos a processos metrológicos, 
os instrumentos deverão ter a garantia de sua calibração, o que geralmente 
ocorre com um certificado com informações específicas do instrumento. 
Classificação dos erros
Existem diferentes tipos de erros associados às medições e estas podem 
ser diretas e indiretas. Conforme Taylor (2012), o primeiro caso consiste em 
medidas nas quais o instrumento é aplicado diretamente ao local da medição 
Erros 5
e já se vê seu resultado. Já o segundo caso é aquele em que o resultado será 
obtido a partir de cálculos realizados pós-medição (VUOLO, 1996).
A classificação dos erros para identificar suas possíveis causas pode ser 
por condições ambientais, causadas por variações das condições ambien-
tais, como ventos, sol, chuva, neblina, neve, etc. Conforme Taylor (2012), um 
exemplo desse caso poderá ser uma medida de comprimento de uma área 
externa com o uso de uma trena, a qual terá sua medição distorcida devido 
à ação de fatores externos. 
De acordo com Vuolo (1996), existem também os erros instrumentais, 
causados por problemas como imperfeições dos instrumentos/equipamentos 
ou desajustes. Em geral, esses erros são minimizados com a calibração dos 
instrumentos. 
A Figura 2 mostra um policial operando um radar móvel, um tipo de instru-
mento que se vale de medidas de distância por intervalo de tempo e consegue 
calcular a velocidade desenvolvida por um móvel.
Existem também os chamados erros pessoais, realizados por operadores 
dos instrumentos/equipamentos. Exemplos disso podem ser falhas humanas, 
falta de atenção, cansaço físico e/ou mental, etc. Em todos os casos, os erros 
podem ser classificados como: grosseiros, sistemáticos ou aleatórios.
Figura 2. Modelo de radar utilizado para medir a velocidade de móveis em rodovias. 
Fonte: VladKol/Shutterstock.com.
Erros6
As causas dos erros
Os erros ditos grosseiros são aqueles causados por desatenção ou por engano 
ao realizar uma medição, como uma leitura errada da informação dada pelo 
instrumento, o uso de um instrumento inapropriado quando da realização de 
certa medição, falha na anotação dos dados obtidos (TAYLOR, 2012; VUOLO, 
1996). De acordo com Taylor (2012), para evitar esse tipo de erro, deve-se 
realizar a repetição extensiva das medições, ou ainda a coleta das medições 
por mais de um operador e, ao final, comparar os resultados; havendo diver-
gências, deve-se refazer as medições.
Os erros sistemáticos constituem aqueles cuja magnitude e sinal algébrico 
são determinados a partir do uso de equações físicas ou fórmulas matemá-
ticas (VUOLO, 1996). Por serem produzidos a partir de situações ou causas já 
conhecidas, podem, muitas vezes, ser evitados.
Conforme Taylor (2012), os erros acidentais são aqueles imprevisíveis, 
de forma que, não podendo antevê-los, será somente tomada uma atitude 
sobre eles depois que ocorrem. Para esses casos são utilizados estudos 
de frequência, quando existe um espaço amostral grande, ou seja, muitas 
oportunidades de realizar as medições em diferentes amostras. Para esses 
casos, realizam-se distribuições de frequências.
A distribuição normal ou Gaussiana
Para os casos de erros que não se pode prever, mas que ocorrem com certa 
frequência, estes podem ser ressaltados a partir de uma curva de erros, mais 
conhecida como curva de Gauss (VUOLO, 1996). Esse tipo de comportamento, 
a distribuição normal de erros, é bastante utilizada na área da estatística, 
pois os erros tendem a distribuir-se normalmente em efeitos independentes, 
de modo a serem medidos graficamente (TAYLOR, 2012).
Uma utilidade da distribuição normal está diretamente associada ao fato 
de que se aproxima, de forma bastante satisfatória, a uma curva aplicada 
às medidas físicas, a Gaussiana. A Figura 4 constitui uma curva que mede o 
número de grãos de uma amostra em relação ao seu diâmetro, uma forma 
de curva Gaussiana, apenas para representação das curvas do qual se está 
tratando.
Erros 7
Figura 3. Modelo de uma curva do tipo Gaussiana, com suas características: a média que é 
onde está centralizada e sua variância. 
Co2MnO4
50
40
30
10
20
0
1 2 3
Nú
m
er
o 
de
 g
rã
os
Diâmetro do grão (µm)
De acordo com Vuolo (1996), uma curva gaussiana possui dois parâmetros: 
a média, sendo onde ela está centralizada e, a variância, que descreve o seu 
grau de dispersão. A forma da curva gaussiana da Figura 3 sugere que no ponto 
onde está a média existe a maior probabilidade de se encontrar a informação 
descrita. Tais informações estão nos eixos das abscissas e ordenadas do 
gráfico; no caso dos erros, nessa faixa estaria a maior probabilidade de se 
encontrar erros associados à medição.
Na Figura 3 vê-se que a forma da curva gaussiana sugere extremidades 
que vão ao infinito, para o lado negativo e positivo. Os erros negativos e po-
sitivos de mesma magnitude possuem aproximadamente a mesma frequência 
(TAYLOR, 2012). Um fator extremamente relevante quando se utiliza uma forma 
gaussiana é que, quanto maior o número de observações, maior a probabili-
dade de se alcançar um resultado confiável, próximo do real (VUOLO, 1996). 
Ao uso de formas gaussianas, a determinação de valores de erros confiáveis 
deve se dá a partir do uso de instrumentos de alta precisão, bem calibrados 
e tendo sido realizadas muitas medições (NUSSENZVEIG, 2002).
Nesta seção, você teve um detalhamento de quais são as possíveis causas 
de erros associados às medições. Aqui foi feita uma classificação dos erros 
que podem ocorrer quando realizamos medições usando instrumentos/
equipamentos. 
Erros8
Diferença entre os tipos de erros 
Já foi bem descrito que, ao se realizar medições, um dos pontos relevantes é 
estudar formas de minimizar os erros associados às medições. Nesse sentido, 
Linck (2017) afirma que existe uma ciência que se preocupa diretamente com 
isso: a metrologia. 
Seja na área científica, industrial ou legal, a preocupação com a minimi-
zação de erros, bem como sobre o detalhamento dos erros que não se pode 
evitar, é por demais importante, no sentido de converter o resultado de uma 
medição em um resultado de alta confiabilidade e qualidade (TAYLOR, 2012).
Conforme Vuolo (1996), dentro das duas classificações de erros, erros 
estatísticos ou aleatório e erros sistemáticos, deve-se analisar quais são as 
diferençasentre ambos e buscar formas de medi-los. Nesse aspecto, existe 
a chamada teoria de erros, capaz de diferenciar os tipos de erros associados 
a uma medida e usar formas algébricas para calcular tais medidas. 
Para diferenciar os tipos de erros intrínsecos de cada medida, deve-
-se conhecer a diferença entre erro e incerteza da medida (TAYLOR, 2012). 
De acordo com Vuolo (1996), o erro de medição trata-se da diferença entre o 
valor medido de certa grandeza e um valor padrão de referência. Aqui vale 
ressaltar que existem limites bem definidos que são aceitáveis, dependendo 
do instrumento/equipamento utilizado na medição, bem como da medida 
realizada. Quanto menores os erros associados a uma medida, mais exata 
esta será. Já a incerteza de uma medida trata-se de um parâmetro associado 
ao resultado de certa medição. Este especifica a dispersão das medidas com 
relação com a quantificação da confiabilidade do resultado obtido.
A diferença entre ambos, erro e incerteza, é que no caso do erro este 
pode ser corrigido, uma vez que podem ser detectadas falhas no processo de 
medição. No caso da incerteza, esta será sempre um intervalo de confiança 
da medida (TAYLOR, 2012).
Teoria de erros
A teoria de erros é utilizada no sentido de garantir confiabilidade e qualidade 
à aquisição de dados. A adoção de padrões de unidades permite a comparação 
de resultados e facilita a interpretação do fenômeno (VUOLO, 1996). 
Valor médio (ou valor mais provável): considere uma série de medidas consti-
tuída por N medições, conforme descreve Nussenzveig (2002). O valor médio 
será representado pela média aritmética dos valores obtidos, como se verifica 
na Equação 1.
Erros 9
–
=
1 + 2+ . . . +
=
1
∑
=1
 (1)
Desvio da medida: constitui a variação de cada medida em relação ao valor 
médio, conforme Nussenzveig (2002). Representa-se da seguinte maneira 
(Equação 2):
∆Xi = Xi – X̅ (2)
Desvio-padrão de uma série de medidas (σP): é a medida mais comum da 
dispersão estatística e mostra o quanto de variação, ou dispersão, existe em 
relação ao valor médio (TAYLOR, 2012). Calcula-se o desvio-padrão a partir 
da Equação 3.
=
∑ ( −
–
)2
= (3)
Erro da média: admitam-se várias séries de N medições. Cada série gera um 
valor médio diferente. Constrói-se um histograma dos valores médios e, 
a partir daí, calcula-se o desvio-padrão dessa série de valores médios, con-
forme Taylor (2012). Tal desvio-padrão pode ser estimado a partir da seguinte 
relação (Equação 4):
=
√
 (4)
Representação de um resultado: representa-se o resultado das medições em 
função do valor médio obtido associado ao desvio da série de tais medições. 
Para tal representação, primeiro deve-se comparar o desvio-padrão com a 
precisão do equipamento utilizado, de acordo com Vuolo (1996). 
 � Caso 1 (σp ≥ p): desvio-padrão da série de medições maior ou igual à 
precisão do instrumento utilizado, conforme Nussenzveig (2002). Nesse 
caso, deve-se representar o resultado da seguinte forma (Equação 5):
X = (X̅ ± ε) (5)
Erros10
 � Caso 2 (σp < p): desvio-padrão da série de medições menor que a precisão 
do instrumento utilizado, conforme Taylor (2012). Neste caso, deve-se 
representar o resultado da seguinte forma (Equação 6):
X = (X̅ ± p) (6)
Deseja-se mensurar as dimensões de certo livro. Para tal, foram 
realizadas ao menos dez medições de cada dimensão: comprimento 
(L), largura (D) e altura (H). O equipamento utilizado para medição foi uma trena 
milimetrada com precisão de 1 mm. O Quadro 1, a seguir, apresenta os valores 
das medições obtidas.
Com base nos conhecimentos de metrologia, os valores mostrados no Quadro 1 
e erros associados à medida, o valor médio do comprimento (L) é da ordem de 
0,255 m.
Quadro 1. Valores de comprimento (L), largura (D) e altura (H) de um livro 
obtidos a partir de uma trena milimetrada
N° de medidas
Comprimento 
(L) (m)
Largura 
(D) (m)
Altura 
(H) (m)
1 0,255 0,181 0,025
2 0,254 0,180 0,026
3 0,255 0,181 0,025
4 0,253 0,182 0,025
5 0,256 0,181 0,026
6 0,255 0,181 0,024
7 0,254 0,183 0,025
8 0,256 0,181 0,024
9 0,255 0,180 0,026
10 0,255 0,181 0,025
Erros 11
Resolução: 
Para chegarmos a tal resposta, observamos que a precisão do instrumento 
utilizado varia de 0,01 m, pois, se variasse de 0,05 m, não haveria valores como 
0,56 m, 0,183 m ou 0,026 m, mas sim medidas como: 0,055 m, 0,360 m, 0,265 m e 
assim por diante. Para esse tipo de medidas, não é viável usar um paquímetro, 
pois trata-se de medidas de grandes dimensões. 
Calculando-se o valor médio do comprimento (L), tem-se:
–
=
1
10
∑ =
0,255 + 0,254+ . . . +0,255
10
= 0,255 m
10
=1
 
Calculando-se os desvios da medida utilizando a equação que se segue, 
tem-se os resultados são apresentados no Quadro 2.
∆Li = Li – L̅
Quadro 2. Valores dos desvios da medida para o comprimento do livro
N° de medidas
Desvio da medida
(∆L1) (m)
∆L1 0,0002
∆L2 –0,0008
∆L3 0,0002
∆L4 –0,0018
∆L5 0,0012
∆L6 0,0002
∆L7 –0,0008
∆L8 0,0012
∆L9 0,0002
∆L10 0,0002
Erros12
Calcula-se o desvio-padrão a partir da equação que se segue:
=
∑ ( −
–
)210
=1
10
=
(0,0002)2 + (−0,0008)2+ . . . +(0,0002)2
10
= 0,00087 m 
Embora pequeno, o valor de desvio-padrão é importante e deverá ser con-
siderado, pois, quanto menor, menos erros associados à medição. No entanto, 
observa-se que o valor do desvio-padrão é menor do que a precisão do instru-
mento, de modo que este último prevalece.
(σP < p) ⇒ (0,00087178 < 0,001)(m)
Assim, tem-se que as medições de comprimento, largura e altura serão:
L = (L̅ ± p) = (0,255 ± 0,001)(m)
D = (D̅ ± p) = (0,181 ± 0,001)(m)
H = (H̅ ± p) = (0,025 ± 0,001)(m)
Neste capítulo, você viu que os erros associados às medições são funda-
mentais e devem sempre ser analisados, no sentido de trazer confiabilidade 
à medida. Aqui foram vistos tópicos de relevância para identificação de erros 
de medição a partir das classificações e de suas principais causas.
Referências 
LINCK, C. Fundamentos de metrologia. 2. ed. Porto Alegre: Sagah, 2017.
LIXANDRÃO FERNANDO, P. H. et. al. Metrologia. Porto Alegre: Sagah, 2018.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica. 4. ed. São Paulo: Blucher, 2002. v. 2.
TAYLOR, J. R. Introdução à análise de erros: o estudo de incertezas em medições físicas. 
2. ed. Bookman, 2012.
VUOLO, J. H. Fundamentos da teoria de erros. 2. ed. São Paulo: Blucher. 1996.
Leituras recomendadas
COSTA, A. B.; CABRAL, F. C. F. Textos de laboratório: teoria de erros. Salvador: Ufba, 
2013. (E-book). 
HALLIDAY, D.; RESNICK, C.; WALKER, J. Fundamentos de física: mecânica. 8. ed. Rio de 
Janeiro: LTC. 2013. v. 1.
Erros 13