173. **Problema:** Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{3x} \).

Para determinar o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{3x} \), podemos utilizar a propriedade fundamental da trigonometria \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \). Assim, podemos reescrever a expressão dada como \( \lim_{x \to 0} \frac{2\sin(x)\cos(x)}{3x} \). Dividindo o numerador e o denominador por \( 2x \), obtemos \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \cdot \frac{2\cos(x)}{3} \). Substituindo \( x = 0 \) na expressão, temos \( 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \). Portanto, o valor do limite é \( \frac{2}{3} \).