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22. **Problema:** Determine a área da região entre as curvas \( y = \sqrt{x} \) e \( y = x \) de 
\( x = 0 \) a \( x = 1 \). 
 **Resposta:** A área é \( \frac{1}{6}(3\sqrt{3} - 1) \) unidades quadradas. 
 
23. **Problema:** Encontre a série de potências para \( f(x) = \frac{1}{1-x} \). 
 **Resposta:** A série de potências é \( \sum_{n=0}^{\infty} x^n \). 
 
24. **Problema:** Calcule \( \int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx \). 
 **Resposta:** \( \int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx = \pi \). 
 
25. **Problema:** Encontre \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{3}{x} \right)^{2x} \). 
 **Resposta:** O limite é \( e^6 \). 
 
26. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \tan^{-1}(x^2) \). 
 **Resposta:** \( f'(x) = \frac{2x}{1+x^4} \). 
 
27. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' - 2y' + y = 0 \). 
 **Resposta:** As soluções são \( y(x) = (C_1 + C_2 x) e^x \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são 
constantes. 
 
28. **Problema:** Calcule \( \int_{0}^{1} \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \int_{0}^{1} \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \frac{\pi}{16} \). 
 
29. **Problema:** Determine o comprimento da curva \( y = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{x} \), de 
\( x = 1 \) a \( x = 2 \). 
 **Resposta:** O comprimento da curva é \( 2 + \frac{5}{6} \ln 2 \). 
 
30. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} \). 
 **Resposta:** O limite é \( \frac{1}{3} \). 
 
31. **Problema:** Encontre a área da região limitada pela curva \( y = e^x \), o eixo \( x \) e 
as retas \( x = 0 \) e \( x = 1 \). 
 **Resposta:** A área é \( e - 1 \) unidades quadradas. 
 
32. **Problema:** Resolva a integral \( \int \frac{1}{x(1+\ln x)} \, dx \). 
 **Resposta:** A integral é \( \ln|\ln x + 1| + C \). 
 
33. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \cos(2x) \). 
 **Resposta:** \( f'(x 
 
) = -2 \sin(2x) \). 
 
34. **Problema:** Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada 
por \( y = x^2 \), \( y = 4x \), \( x = 0 \) e \( x = 1 \) em torno do eixo \( y \). 
 **Resposta:** O volume é \( \frac{9\pi}{2} \) unidades cúbicas. 
 
35. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - x \right) \). 
 **Resposta:** O limite é \( \frac{1}{2} \). 
 
36. **Problema:** Determine a área da região entre as curvas \( y = \sin x \) e \( y = \cos x \) 
de \( x = 0 \) a \( x = \frac{\pi}{4} \). 
 **Resposta:** A área é \( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \) unidades quadradas. 
 
37. **Problema:** Encontre a série de Taylor para \( f(x) = e^x \) centrada em \( x = 1 \). 
 **Resposta:** A série de Taylor é \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e}{n!} (x-1)^n \). 
 
38. **Problema:** Calcule \( \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(1+x^2)^2} \). 
 **Resposta:** \( \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(1+x^2)^2} = \frac{\pi}{4} \). 
 
39. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \frac{\sin x}{x} \). 
 **Resposta:** \( f'(x) = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2} \).