Medidas de Tendência Central

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Medidas de tendência
central e Resolução de
Problemas
Matemática 3ª Série | Ensino Médio
DESCRITOR PAEBES
HABILIDADE DO 
CURRÍCULO RELACIONADA 
AO DESCRITOR
HABILIDADE OU 
CONHECIMENTO PRÉVIO
D066_M Utilizar medidas de tendência central na resolução de
problemas.
EM13MAT316 Resolver e elaborar problemas, em diferentes
contextos, que envolvem cálculo e interpretação das medidas de
tendência central (média, moda, mediana) e das medidas de
dispersão (amplitude, variância e desvio padrão). 
EF08MA23 Obter os valores de medidas de tendência central de
uma pesquisa estatística (média, moda e mediana) com a
compreensão de seus significados e relacioná-los com a dispersão
de dados, indicada pela amplitude.
6a. SEMANA
A Confederação Nacional do Comércio de Bens, Serviços e Turismo (CNC) realiza
mensalmente a Pesquisa de Endividamento e Inadimplência do Consumidor (PEIC). Essa
pesquisa traça um panorama sobre o endividamento e a inadimplência de famílias
brasileiras, considerando as faixas de renda, o gênero e outros aspectos.
É importante destacar que:
uma pessoa endividada é aquela que possui parcelas a vencer de compras e/ou
empréstimos;
uma pessoa inadimplente é aquela que não cumpriu as obrigações financeiras, ou seja,
uma pessoa que deixa de pagar as dívidas ou contas dentro do prazo estipulado.
O relatório elaborado pela CNC relativo a Janeiro de 2024 afirma que as famílias brasileiras
revelam ter mais recursos de crédito e melhor condição para pagamento:
“O percentual de famílias que relataram ter dívidas a vencer (cartão de crédito, cheque
especial, carnê de loja, crédito consignado, empréstimo pessoal, cheque pré-datado e
prestações de carro e casa) foi de 78,1% em janeiro de 2024, maior do que em dezembro e
superando o nível de janeiro de 2023. Esse resultado revela uma maior confiança das
famílias em buscar crédito, dado o menor custo com juros e perspectivas melhores sobre a
renda”.
A redução da taxa básica de juros (Selic) impactou também os indicadores de inadimplência.
Houve queda no percentual de famílias com dívidas em atraso para o patamar de 28,3%
(menor nível desde março de 2022).
No presente material estruturado, trabalharemos com dados, no contexto financeiro e em
outros contextos, com o objetivo de interpretá-los por meio de medidas de tendência
central, em consonância com a habilidade EM13MAT316 e o descritor do PAEBES D066_M.
Bons estudos!
2
3
Quantidade de dias de
atraso no pagamento
das dívidas
Frequência Absoluta
30 4
60 7
90 9
TOTAL 20
A coluna “Frequência Absoluta” mostra a quantidade de famílias que respondeu cada
uma das três respostas que apareceram na pesquisa. Ou seja, por exemplo, 7
famílias afirmaram ter ficado inadimplentes por 60 dias em 2023.
A partir dessas informações, podemos elaborar gráficos e indicadores que nos
ajudem a entender melhor o quadro.
Suponha que em uma pesquisa, 20 famílias tenham afirmado que estiveram
inadimplentes em 2023, complementando essas informações com a quantidade de
dias de atraso no pagamento das dívidas. Nesse cenário, a partir dos dados, os
pesquisadores teriam construído a tabela a seguir. 
CONCEITOS E CONTEÚDOS
medidas de tendência central
Média aritmética
Qual é o número médio de dias que essas famílias atrasaram o pagamento das
dívidas? 
Podemos obter essa informação calculando a média aritmética. Nesse caso, em que
os dados estão organizados em tabela, será uma média aritmética ponderada.
Temos 4 famílias que responderam 30 dias, 7 famílias que responderam 60 dias e 9
famílias que responderam 90 dias, em um total de 20 famílias participantes. Desse
modo, o cálculo fica assim:
Ou seja, as famílias ficaram em média 67,5 dias inadimplentes.
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Se ordenarmos as respostas dadas pelas famílias, que número marca exatamente a
metade desse conjunto ordenado (rol) de dados? Essa pergunta pode ser respondida
determinando a mediana desses dados.
A seguir escrevemos as 20 respostas dadas pelas famílias na pesquisa.
CONCEITOS E CONTEÚDOS
Medidas de tendência central
Moda
Mediana
Nessa pesquisa, qual a resposta que apareceu mais vezes? Quando nos
perguntamos isso, estamos procurando a moda desse conjunto de dados. Em outras
palavras, a moda é o valor que possui maior frequência absoluta.
Podemos determinar a moda com facilidade verificando na tabela qual dado possui
o maior valor para a frequência absoluta. Dessa maneira, concluímos que a moda é
90 (essa resposta foi dada pela maioria das famílias, 9 vezes).
Observação: um conjunto de dados pode apresentar mais de uma moda. Exemplo:
4, 5, 5, 7, 7, 8,10. Nesse caso, as modas são 5 e 7.
Como a quantidade de dados é par (20 dados), apontaremos os dois dados centrais.
Então, realizamos o cálculo da média aritmética entre eles para determinar a
mediana.
A mediana é 60. 
Nesse caso, determinamos a mediana, escrevendo todos os dados em ordem e
selecionando os dois centrais. Nem sempre esse método é prático. No caso de
dados dispostos em tabela, podemos determinar o(s) dado(s) central(is) sem
escrever todos eles. Veja como fazer isso a seguir.
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 O gráfico a seguir mostra o percentual de famílias endividadas em dezembro de 2023
e janeiro de 2024, bem como as Projeções da Confederação Nacional do Comércio de
Bens, Serviços e Turismo (CNC) até dezembro de 2024.
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CONCEITOS E CONTEÚDOS
Medidas de tendência central
Mediana (continuação)
No nosso exemplo a quantidade de dados é par. Então, há dois termos centrais.
Para determinar a posição desses termos centrais podemos utilizar o seguinte
raciocínio:
Ou seja, no nosso exemplo dividimos 20 dados por 2 e obtemos a posição do
primeiro dado central: 10 (décima posição considerando que os dados foram
ordenados).
A posição do dado central 2 é a do sucessor do dado central 1. Assim, a posição do
dado central 2 é 11 (décima primeira posição).
Agora que sabemos as posições dos dados centrais, temos que determinar o valor
desses dados. Para isso, vamos utilizar a tabela de frequência. Olhando a tabela,
podemos concluir que os 4 primeiros dados são 30. Do quinto ao 11º, o valor é 60.
Dessa forma, ambos dados têm valor igual a 60. A partir daí, fazemos a média
aritmética entre esses dados centrais, determinando por fim a mediana.
Caso a quantidade total de dados seja ímpar, o raciocínio é muito parecido. No
entanto há apenas um dado central e a divisão por 2 resulta em um número decimal
que deverá ser arredondado para cima. Esse número arredondado é a posição do
termo central. Sabendo a posição do termo central, deve-se determinar seu valor a
partir da tabela.
Exercícios resolvidos
77,6%
78,1% 78,2%
78,6% 78,7% 78,8%
79,1% 79,3% 79,4% 79,6% 79,8% 80,0%
80,3%
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a) Determine o percentual médio de famílias endividadas em 2024, considerando
também as projeções feitas pela CNC;
b)Determine a moda dos percentuais de famílias endividadas apresentados no
gráfico;
c) Determine a mediana dos percentuais de famílias endividadas apresentados no
gráfico.
Exercícios resolvidos (continuação)
Resolução:
a) O percentual médio solicitado não considera o dado relativo a dezembro de 2023.
Dessa forma, calculando a média aritmética dos percentuais apresentados no gráfico
para 2024:
b) Todos os dados possuem frequência absoluta igual a 1 (aparecem uma única vez).
Dessa forma, dizemos que não há moda para esse conjunto de dados. Ou seja, trata-
se de um conjunto amodal.
c) O gráfico apresenta um total de 13 dados. Assim, precisamos determinar a
mediana de um conjunto com número ímpar de dados. Ou seja, determinar o único
dado central. Ao dividir por 13 por 2 obtemos 6,5. Arredondando esse valor para
cima, temos a posição do dado central: 7ª. O dado nessa posição tem valor igual a
79,1. Desse modo, a mediana é 79,1.
Atividade 1 ATIVIDADES PARA OS ESTUDANTESATIVIDADES PARA OS ESTUDANTES
O gráfico a seguir apresenta a taxa de desemprego (expressa na forma percentual)
do período de jan-fev-mar 2023 a nov-dez-jan 2024. 
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Fonte: Brasil. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). PesquisaNacional por Amostra de Domicílios Contínua. Disponível em:
https://www.ibge.gov.br/estatisticas/sociais/trabalho/9173-pesquisa-nacional-por-amostra-de-domicilios-continua-trimestral.html?=&t=series-
historicas&utm_source=landing&utm_medium=explica&utm_campaign=desemprego . Acesso em: 27 mar 2024. 
a) Qual é a taxa média de desemprego no período apresentado pelo gráfico?
8,8
8,5
8,3
8,0
7,9 7,8
7,7 7,6
7,5
7,4
7,6
b) Qual é a mediana da taxa de desemprego no período apresentado pelo gráfico?
c) Qual é a moda da taxa de desemprego no período apresentado pelo gráfico?
https://www.ibge.gov.br/estatisticas/sociais/trabalho/9173-pesquisa-nacional-por-amostra-de-domicilios-continua-trimestral.html?=&t=series-historicas&utm_source=landing&utm_medium=explica&utm_campaign=desemprego
https://www.ibge.gov.br/estatisticas/sociais/trabalho/9173-pesquisa-nacional-por-amostra-de-domicilios-continua-trimestral.html?=&t=series-historicas&utm_source=landing&utm_medium=explica&utm_campaign=desemprego
Atividade 2
Janeiro Fevereiro Março Abril Maio
21 35 21 30 38
Atividade 3
Idade
Frequência
Absoluta
14 58
15 83
16 36
17 23
(ENEM - 2016 - adaptada) A permanência de um gerente em uma empresa está
condicionada à sua produção no semestre. Essa produção é avaliada pela média do
lucro mensal do semestre. Se a média for, no mínimo, de 30 mil reais, o gerente
permanece no cargo, caso contrário, ele será despedido. O quadro mostra o lucro
mensal, em milhares de reais, dessa empresa, de janeiro a maio do ano em curso.
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Em uma escola foi realizada uma pesquisa sobre a distorção entre idade e série
escolar cursada. A tabela a seguir apresenta as idades de estudantes dessa escola
que cursam a 1ª série do Ensino Médio.
Qual deve ser o lucro mínimo da empresa no mês de junho, em milhares de reais,
para o gerente continuar no cargo no próximo semestre?
a) Qual é a média das idades dos estudantes que
participaram da pesquisa?
Atividade 3 (continuação)
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Analise cada afirmação a seguir e classifique como verdadeira (V) ou como falsa (F).
Caso a afirmação seja falsa, dê um exemplo que prove isso.
b) Qual é a moda das idades dos estudantes que participaram da pesquisa?
c) Qual é a mediana das idades dos estudantes que participaram da pesquisa?
Atividade 4
( ) I. Em um conjunto com quantidade par de dados a mediana é igual a 15. Então,
podemos afirmar que 15 é um dos elementos desse conjunto de dados.
( ) II. Em uma pesquisa sobre a massa de estudantes de uma escola, a média
aritmética é 53 kg. Dessa forma, é correto afirmar que pelo menos um estudante
possui massa maior do que 53 kg e pelo menos um possui massa menor que 53 kg.
( ) III. Em um conjunto de dados a moda é igual a 600 reais. Como a moda é o dado
que aparece mais vezes, podemos afirmar que a média também é igual 600 reais.
( ) IV. Em um conjunto com quantidade ímpar de dados a mediana é igual a 1,88.
Então, podemos afirmar que 1,88 é o elemento que está na posição central desse
conjunto de dados.
( ) V. Dois conjuntos de dados possuem a mesma média aritmética. Assim, podemos
afirmar que os elementos desses conjuntos são necessariamente iguais.
Respostas 
Para que o gerente continue no cargo, a média do lucro mensal de janeiro a junho
deve ser maior que 30 mil reais. Considerando isso, montamos uma equação na qual
a letra x representa o lucro do mês de junho:
Atividade 1 
respostas das ATIVIDADES PARA OS ESTUDANTESrespostas das ATIVIDADES PARA OS ESTUDANTES
Atividade 2
10
a) Calculando a média aritmética das taxas de desemprego apresentadas no gráfico:
b) Para determinar a mediana desse conjunto que possui quantidade ímpar de
elementos, devemos ordená-los e apontar o dado que está na posição central.
7,4; 7,5; 7,6; 7,6; 7,7; 7,8; 7,9; 8,0; 8,3; 8,5; 8,8
A mediana é 7,8.
c) A moda é o elemento com maior frequência em um conjunto de dados. Nesse
caso, a moda é 7,6 (aparece duas vezes).
Portanto, o lucro mensal de junho deve ser maior ou igual a 35 mil reais.
Atividade 3
a) Calculando a média das idades dos estudantes que participaram da pesquisa:
Respostas 
Atividade 3 (continuação) 
respostas das ATIVIDADES PARA OS ESTUDANTESrespostas das ATIVIDADES PARA OS ESTUDANTES
11
b) A moda é o dado com maior frequência absoluta. Ou seja, a moda é 15, pois
possui a maior quantidade de ocorrências (83).
c) Para determinar a mediana desse conjunto que possui quantidade par de
elementos (200), devemos determinar a posição dos dois elementos centrais a partir
da tabela:
Atividade 4
Um dos elementos centrais está na 100ª posição. O outro é o seu sucessor (101ª
posição). Consultando a tabela podemos concluir que os elementos com essas
posições possuem ambos o valor igual a 15. Dessa forma, calculamos a média
aritmética desses dados:
Portanto, a mediana das idades desses estudantes é 15.
I. Falsa. Por exemplo, o conjunto dos dados 10, 14, 16, 19 possui quantidade par de
elementos e mediana 15. No entanto não há dado com valor igual a 15.
II. Verdadeira. 
III. Falsa. Por exemplo, o conjunto dos dados 600, 600, 350, 200, 700 possui moda
igual a 600 e média aritmética igual a 490.
IV. Verdadeira. 
V. Falsa. Por exemplo, os conjuntos 19, 21, 20, 23, 17 e 44, 10, 6, 13, 18, 9 possuem
média aritmética igual a 20. Mas os elementos desses conjuntos são diferentes.
BRASIL. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Disponível em:
https://www.ibge.gov.br. Acesso em: 27 mar 2024. 
12
BONJORNO, J. R.; JÚNIOR, J. R. G.; SOUSA, P. R. C de. Prisma matemática: estatística,
combinatória e probabilidade. 1 ed. São Paulo: Editora FTD, 2020. 
CNC. Pesquisa de Endividamento e Inadimplência do Consumidor (PEIC) - janeiro 2024.
Disponível: https://portaldocomercio.org.br/publicacoes_posts/pesquisa-de-endividamento-
e-inadimplencia-do-consumidor-peic-fevereiro-de-2024/. Acesso em: 27 mar 2024.
https://www.ibge.gov.br/
https://portaldocomercio.org.br/publicacoes_posts/pesquisa-de-endividamento-e-inadimplencia-do-consumidor-peic-janeiro-de-2024/
https://portaldocomercio.org.br/publicacoes_posts/pesquisa-de-endividamento-e-inadimplencia-do-consumidor-peic-janeiro-de-2024/