Numa prova de múltipla escolha, cada questão tem 5 alternativas para o aluno escolher e apenas uma dentre estas é a correta. Se o aluno sabe a resp...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Teorema de Bayes. Dado que o aluno sabe responder corretamente 40% das questões da prova, temos que a probabilidade de ele acertar uma questão que ele sabe é de 0,4 (40%). A probabilidade de ele acertar uma questão que ele não sabe, chutando, é de 1/5, ou seja, 0,2 (20%). Agora, vamos calcular a probabilidade de ele ter acertado a questão, dado que respondeu corretamente. Podemos usar a fórmula de Bayes: P(A|B) = P(B|A) * P(A) / [P(B|A) * P(A) + P(B|¬A) * P(¬A)] Onde: - P(A|B) é a probabilidade de ele ter acertado a questão, dado que respondeu corretamente. - P(B|A) é a probabilidade de ele ter respondido corretamente, dado que sabe a resposta (1). - P(A) é a probabilidade de ele saber a resposta (0,4). - P(B|¬A) é a probabilidade de ele ter respondido corretamente, dado que não sabe a resposta (1/5). - P(¬A) é a probabilidade de ele não saber a resposta (0,6). Substituindo na fórmula, temos: P(A|B) = 1 * 0,4 / [1 * 0,4 + 1/5 * 0,6] P(A|B) = 0,4 / [0,4 + 0,12] P(A|B) = 0,4 / 0,52 P(A|B) ≈ 0,7692 Portanto, a probabilidade de ele ter acertado a questão, dado que respondeu corretamente, é aproximadamente 0,7692 ou 76,92%.