4 SII Sistemas lineares

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA 
Colégio Técnico Industrial de Santa Maria 
 
 
 
 
Caderno Didático 4 
 
 
 
Resolução de Sistemas 
de Equações Lineares 
 
 
 
 
 
 
Série: Matemática II 
 
 
 
Por: 
Professora Elisia L. Chiapinotto 
Professor Mauricio R. Lutz 
 
Abril de 2020 
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
l
b
a
IzHyGx
FzEyDx
CzByAx
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA 
Colégio Técnico Industrial de Santa Maria 
 
 
 
 
Caderno Didático 4 
 
 
 
Resolução de Sistemas 
de Equações Lineares 
 
 
 
 
 
 
Série: Matemática II 
 
 
 
Por: 
Professora Elisia L. Chiapinotto 
Professor Mauricio R. Lutz 
 
Abril de 2020 
 
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
l
b
a
IzHyGx
FzEyDx
CzByAx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C532c 
 
 Chiapinotto, Elisia L. 
 
 Caderno didático 4 : resolução de sistemas de 
equações lineares / por Elisia Lorenzoni 
Chiapinotto, Mauricio Ramos Lutz. – Santa Maria , 
2003. 
 28 f. : il. (Série Matemática II) 
 
 1. Matemática 2. Equação linear 3. Sistemas 
lineares 4. Sistema linear homogêneo 5. Sistemas 
escalonados I. Lutz, Mauricio Ramos II. Título 
 
 CDU: 512.64 
 
 
Ficha catalográfica elaborada por 
Luiz Marchiotti Fernandes CRB 10/1160 
Biblioteca Setorial do Centro de Ciências Rurais/UFSM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 i 
SUMÁRIO 
1 DEFINIÇÃO ............................................................................................................. 1 
2 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR .............................................................. 1 
3 EQUAÇÕES LINEARES ......................................................................................... 2 
4 SISTEMAS LINEARES .......................................................................................... 3 
4.1 Definição ............................................................................................................... 3 
4.2 Solução e conjunto solução de um sistema linear ............................................ 4 
5 SISTEMAS LINEARES EQUIVALENTES ............................................................. 6 
 6 EXPRESSÃO MATRICIAL DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES ........ 7 
7 SISTEMA LINEAR NORMAL ................................................................................. 10 
8 REGRA DE CRAMER ............................................................................................. 11 
9 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR ............................................................... 13 
10 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO ..................................... 16 
11 SISTEMAS ESCALONADOS ................................................................................. 18 
11.1 Definição ................................................................................................................ 18 
11.2 Método da eliminação gaussiana ....................................................................... 19 
 GABARITO ............................................................................................................. 26 
 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................... 28 
 
 
Colégio Técnico Industrial de Santa Maria 
Professores Elisia Chiapinotto e Mauricio Lutz 
1 
1. DEFINIÇÃO 
 
Consideremos uma equação da forma: 
a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=b1 
onde a1, a2,a3, ..., an e b são números conhecidos e x1, x2, x3, ..., xn são 
variáveis . 
Uma equação desse tipo é chamada equação linear de n incógnitas 
sobre Â. 
 
Exemplos: 1. 5x1=40 
2. 2x1+x2=12 
3. x1+x2+x3=15 
4. 3x1-4x2+x3-5x4=10 
 
Nomenclatura: 
Coeficientes: são os números reais a1, a2,a3, ..., an. 
Termo independente: é o número real b1. 
Incógnitas: são os números reais x1, x2, x3, ..., xn. 
 
Observação: 
Não são lineares, por exemplo, as equações: 
1. , pois a incógnita x tem expoente 2. Nas equações 
lineares, o expoente de cada incógnita é sempre 1. 
2. , pois a incógnita y tem expoente ½ . 
3. , pois a incógnita y tem expoente –1. 
4. , pois existe um termo com o produto xy. Nas 
equações lineares, as incógnitas aparecem isoladamente em cada terno. 
 
2. SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR 
 
Consideremos a equação linear de n incógnitas sobre Â: 
a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=b1 
342 2 =+ yx
032 =-+ zyx
32
=-
y
x
142 =+- zxyx
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2 
Chama-se solução dessa equação a uma seqüência de n números 
reais (a1, a2, a3, ..., an) tal que, substituindo-se respectivamente as incógnitas: 
x1 por a1, x2 por a2, x3 por a3, ..., xn por an 
obtém-se a igualdade verdadeira: 
a1a1+a2a2+a3a3+...+anan=b1 
 
Exemplos: 1. O par (5,3) é solução da equação: 
2x+4y=22, 
pois 2.5+4.3=22. 
 
2. A ordenada (1,2,0,3) não é a solução da equação: 
3x+2y-5z-t=32, 
pois 3.1+2.2-5.0-3=4¹32. 
 
3. EQUAÇÕES LINEARES 
 
É toda a equação da forma a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=b, onde: 
a1, a2, a3, ..., an ® são os coeficientes; 
x1, x2, x3, ..., xn ® são as incógnitas 
 
Exemplos: 1. 3x1+5x2=4 , equação linear de 2 incógnitas; 
2. 3x+2y-z=1, equação linear de 3 incógnitas; 
3. x+y+z-t=-1, equação linear de 4 incógnitas. 
 
Observações: 
1. Observe que os expoente das incógnitas são iguais a um; 
2. Quando o termo independente “b” for igual a zero, a equação 
linear denomina-se equação linear homogênia, por exemplo 5x-3y=0; 
3. Uma equação linear não apresenta termos da forma x2, xy, x½, ..., 
isto é, cada termo da equação linear tem uma incógnita, cujo expoente é 
sempre 1. 
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3 
4. A solução de uma equação linear an incógnitas é a seqüência de 
números reais, (a1, a2, a3, ..., an) que colocamos respectivamente no lugar de 
x1,x2,x3, ...xn, que tornam verdadeira a igualdade dada. 
 
(1) Exercícios 
 
1. Ache duas soluções de equação –x1+x2=0. 
a) x1=-3 b) x1=1 
 
2. Determine “m” para que (-1, 1, -2) seja solução da equação 
mx+y-2z=6. 
 
3. Dada a equação ache a para que (a, a+1) torne a 
sentença verdadeira. 
 
4. SISTEMAS LINEARES 
 
4.1 Definição 
 
Chama-se sistema linear a um conjunto formado por duas ou mais 
equações lineares. 
 
Exemplos: 1. SL1 é um sistema linear de duas equações e 
duas incógnitas. 
 
2. SL2 é um sistema linear de duas equações 
e três incógnitas. 
 
1
32
=+
yx
î
í
ì
=+
=-
=
23
42
1 yx
yx
SL
î
í
ì
=+-
=-+
=
12
032
2 zyx
zyx
SL
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4 
3. SL3 é um sistema linear de três equações e 
duas incógnitas. 
 
Um sistema linear de m equações (m ³ 2) de n incógnitas (x1, x2, x3, 
..., xn) pode ser assim escrito: 
 
Veja que, nesta notação, os coeficientes das incógnitas possuem 
dois índices: o primeiro representa a equação e o segundo representa a 
incógnita à qual o coeficiente pertence. Por exemplo: 
• a23 representa, na 2º equação, o coeficiente de x3. 
• a32 representa, na 3º equação, o coeficiente de x2. 
• a41 representa, na 4º equação, o coeficiente de x1. 
 
4.2 Solução e conjunto solução de um sistema linear 
 
Já sabemos em que condições uma seqüência de números reais 
(a1, a2, a3, ..., an) é a solução de uma equação linear de n incógnitas. 
Para que uma seqüência de números reais seja solução de um 
sistema linear de m equações a n incógnitas, ela deve ser, simultaneamente, 
solução de todas as m equações desse sistema. 
 
Exemplos: 1. Considere este sistema linear: 
ï
î
ï
í
ì
==
=+
=-
=
628
123
2
3
yx
yx
yx
SL
ï
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
ï
í
ì
=++++
=++++
=++++
=++++
=
mnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
SL
. . .
. . . . . 
. . . . . 
. . . . . 
. . .
. . .
. . .
332211
33333232131
22323222121
11313212111î
í
ì
=+
=+
42
73
yx
yx
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5 
Neste sistema de duas equações a duas incógnitas, toda solução é 
um par ordenado (pois são duas as incógnitas). Veja que o par ordenado (1, 2) 
é a solução do sistema, pois: . 
 
2. Considere o sistema linear: 
Como agora temos três incógnitas, cada solução será uma terna 
ordenada de números. Veja que as ternas (3, 1, 2) e (3, 3, 0) são soluções do 
sistema, pois: . 
 
O conjunto solução de um sistema linear é o conjunto 
formado por todas as soluções desse sistema. 
 
Se o conjunto ordenado de números reais (a1, a2, a3, ..., an) 
satisfazer todas as equações do sistema, será denominado solução do sistema 
linear. 
 
Observação: Se o termo independente de todas as equações do sistema for 
nulo, isto é, b1=b2=...=bn=0 o sistema linear será dito homogêneo. 
 
Exemplo: 
Uma solução evidente do sistema linear homogêneo é x=y=z=0. 
Esta solução chama-se solução trivial do sistema linear homogêneo. Outra 
solução, onde as incógnitas não são todas nulas, será chamada solução não 
trivial. 
 
î
í
ì
=+
=+
421.2
72.31
î
í
ì
=--
=++
0
6
zyx
zyx
î
í
ì
=+-
=++
î
í
ì
=--
=++
0033
6033
 e 
0213
6213
ï
î
ï
í
ì
=++
=-+
=-+
0325
04
02
zyx
zyx
zyx
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6 
 
 
• Solução trivial: x1=x2=x3=...=xn=0 
• Solução não trivial: qualquer outra solução as incógnitas não são 
todas nulas. 
 
(2) Exercícios 
 
1. Seja o sistema 
a) Verifique se (2, -1, 1) é solução do sistema. 
b) Verifique se (0, 0, 0) é a solução do sistema. 
 
2. Seja o sistema , calcule k para que o sistema seja 
homogêneo. 
 
5. SISTEMAS LINEARES EQUIVALENTES 
 
Se dois sistemas lineares S1 e S2 admitem a mesma solução, eles 
são ditos sistemas equivalentes. 
 
Exemplo: Calcular m e n, de modo que sejam equivalentes os sistemas: 
 e 
Resolução: 
Cálculo do x e y: 
ï
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
ï
í
ì
=++++
=++++
=++++
=++++
0. . .
. . . . . 
. . . . . 
. . . . . 
0. . .
0. . .
0. . .
332211
3333232131
2323222121
1313212111
nmnmmm
nn
nn
nn
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa
ï
î
ï
í
ì
-=++-
=+-
=-+
=
2
52
032
zyx
zyx
zyx
S
î
í
ì
+=-
-=+
32
93 2
kyx
kyx
î
í
ì
=+
=-
52
1
yx
yx
î
í
ì
=+
-=-
2
1
mynx
nymx
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7 
 
Substituindo-se x e y no segundo sistema, vem: 
 
 
Portanto n=1 e m=0. 
 
(3) Exercícios 
 
1. Verifique se os sistemas e são 
equivalentes. 
 
2. Determine a e b de modo que sejam equivalentes os sistemas: 
 e 
 
6. EXPRESSÃO MATRICIAL DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES 
 
Dentre suas variadas aplicações, as matrizes são utilizadas na 
resolução de um sistema de equações lineares. Seja o sistema linear: 
 
Utilizando matrizes, podemos representar este sistema da seguinte 
forma: 
1121 
2 x
63x 
52
1 
=Þ=-Þ=-
=
=
=+
=-
yyyxyx
yx
1
55 
442
12 
)2.(22
12
=Þ
-=-
-=--
-=-
Þ
î
í
ì
-=+
-=-
n
n
nm
nm
mn
nm
00211212 =Þ=Þ-=-Þ-=- mmmnm
î
í
ì
=+
=-
=
7
52
1 yx
yx
S
î
í
ì
=-
=+-
=
93
115
2 yx
yx
S
î
í
ì
=+
=-
2
0
yx
yx
î
í
ì
=-
=+
1
1
aybx
byax
ï
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
ï
í
ì
=++++
=++++
=++++
=++++
mnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
. . .
. . . . . 
. . . . . 
. . . . . 
. . .
. . .
. . .
332211
33333232131
22323222121
11313212111
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8 
 
 (1) (2) (3) 
 
(1) ® matriz constituída pelos coeficientes das incógnitas; 
(2) ® matriz coluna constituída pelas incógnitas; 
(3) ® matriz coluna dos termos independentes. 
 
Exemplo: Represente o seguinte sistema na forma matricial: 
Resolução: 
Ele pode ser representado por meio de matrizes da seguinte forma: 
 
Observe que se efetuarmos a multiplicação iremos obter o sistema 
dado. 
 
Observação: 
Seja o sistema 
1. Matriz completa: é a matriz formada pelos coeficientes das 
incógnitas e pelos termos independentes. 
 
2. Matriz incompleta: é a matriz formada pelos coeficientes das 
incógnitas. 
 
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
=
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
nnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
x
aaa
aaa
aaa
.
.
.
.
.
.
...
......
......
......
...
...
2
1
2
1
21
22221
11211
ï
î
ï
í
ì
=-+
-=+-
=-+
827
1634
052
zyx
zyx
zyx
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-=
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-
-
8
1
0
217
634
152
z
y
x
x
î
í
ì
-=-
=+
2
52
yx
yx
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-- 211
512
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-11
12
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9 
3. Matriz das incógnitas: é a matriz coluna formada pelas incógnitas 
do sistema. 
 
4. Matriz dos termos independentes: é a matriz coluna formada pelos 
termos independentes do sistema. 
 
 
(4) Exercícios 
 
1. Expresse matricialmente os sistemas: 
a) b) 
 
2. A expressão matricial de um sistema S é , 
determine as equações de S. 
 
3. Dados os sistemas, obtenha as matrizes completas associadas: 
a) b) 
 
4. Dadas as matrizes completas, escrever os sistemas a elas 
associados: 
a) b) 
 
 
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
y
x
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
- 2
5
î
í
ì
=-
=+
03
52
yx
yx
ï
î
ï
í
ì
=-+-
=+
-=++
253
0
12
cba
ca
cba
÷÷
ø
ö
çç
è
æ-
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ -
7
4
13
52
b
a
x
î
í
ì
=-
-=
1832
3
xy
xy
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
-=-
+-=
=+
+=+
yzx
zyx
yx
zyx
232
2362
4
61485
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
6339
2113
÷÷
÷
÷
÷
ø
ö
çç
ç
ç
ç
è
æ
- 312
013
201
532
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10 
7 SISTEMA LINEAR NORMAL 
 
É um sistema linear de n equações e n incógnitas em que o 
determinante da matriz dos coeficientes das incógnitas é diferente de zero. 
Considere os seguintes sistemas: 
a) , S1 é um sistema normal, pois 
b) , S2 não é um sistema normal, porque o 
número de equações é diferente do número de incógnitas. 
c) , S3 não é um sistema normal pois 
. 
Resumo: 
 
(5) Exercícios 
 
1. Verifique se os sistemas abaixo são normais: 
a) b) 
 
2. Determine os valores de k (kÎÂ), para que os sistemas sejam 
normais: 
a) b) 
î
í
ì
=-
=+
=
1
52
1 yx
yx
S 0
11
12
¹
-
î
í
ì
=-+
=++
=
532
4
2 zyx
zyx
S
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=++
=-+
=++
=
3
2
12
172
542
3
zyx
zyx
zyx
S
0
2
121
721
421
=-
î
í
ì
¹D
=
=
0 . 
 º º
 .
incógnitasdascoefmatriz
incógnitasnequaçõesn
NormalLinearSist
ï
î
ï
í
ì
-=+-
=++
=++
42
5232
1
zyx
zyx
zyx
ï
î
ï
í
ì
=+
=-+
=++
943
0
832
yx
zyx
zyx
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
194
732
1
2 zyxk
zykx
zyx
î
í
ì
+=-+
=+-
kyxk
kyxk
312)1(
24)1(
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11 
8 REGRA DE CRAMER 
 
A Regra de Cramer consiste num método para se resolver um 
sistema linear normal. Consideremos o sistema de “n” equações lineares a “n” 
incógnitas. 
 
Consideremos os seguintes determinantes, cujas matrizes são 
formadas com os coeficientes do sistema dado: 
 
a) Determinantes dos coeficientes: 
 
 
b) Determinantes das incógnitas: 
 
Dx1 é o determinante obtido de D, substituindo-se a coluna dos 
coeficientes x1 pela coluna dos temos independentes. 
 
 
Dx2 é o determinante obtido de D, substituindo-se a coluna dos 
coeficientesx2 pela coluna dos temos independentes. 
 
 
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=+++
=+++
=+++
nnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
. . ... . .
...
...
2211
22222121
11212111
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
=D
mnmn
n
n
aab
aab
aab
x
...
............
...
...
2
2222
1121
1 =D
mnnm
n
n
aba
aba
aba
x
...
............
...
...
1
2221
1111
2 =D
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12 
E assim sucessivamente, até Dxn 
 
 
Para obtermos sua solução, calculamos: 
1º) (D) determinante da matriz formada pelos coeficientes das 
variáveis do sistema. 
2º) (Dx1, Dx2, ..., Dxn) determinantes das matrizes obtidas a partir de 
D, substituindo a coluna dos coeficientes pela coluna dos termos 
independentes do sistema. 
3º) A solução do sistema linear é dada por: 
. 
 
Exemplo: Encontrar a solução do sistema . 
Resolução: 
 
 
 
S={(1,3)} 
 
(6) Exercícios 
 
1. Resolva os sistemas a seguir, utilizando a regra de cramer. 
a) b) 
nmm
n
baa
baa
baa
x
...
............
...
...
21
22221
11211
=D
 ..., , , 2
2
1
1 D
D
=
D
D
=
D
D
= n
n
x
x
x
x
x
x
î
í
ì
=-
=+
03
72
yx
yx
761
13
21
-=--=
-
=D
7
10
27
-=
-
=Dx 1
7
7
=
-
-
=
D
D
=
xx
21
03
71
-==Dy 3
7
21
=
-
-
=
D
D
=
yy
î
í
ì
-=-
=+
432
52
yx
yx
î
í
ì
=+
=-
93
143
yx
yx
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13 
c) d) 
e) f) 
 
9 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR 
 
Seja o sistema linear de “n” equações a “n” incógnitas. 
 
Discutir o sistema é saber se ele é possível, impossível ou 
indeterminado. 
Utilizando a Regra de Cramer, temos: 
. 
 
Þ Sistema possível ou compatível (quando admite solução): 
• Sistema possível determinado (admite uma única solução), D¹0. 
• Sistema possível e indeterminado (admite infinitas soluções), 
. 
 
Þ Sistema impossível ou incompatível (quando não admite 
soluções), D=0 e pelo menos um dos Dxn¹0. 
 
Exemplos: 1. Encontrar a solução do sistema . 
Resolução: 
, , 
ï
î
ï
í
ì
=-+
=+-
=-+
3233
932
22
zyx
zyx
zyx
ï
î
ï
í
ì
=++
=+-
=+-
6
32
32
cba
cba
cba
ï
î
ï
í
ì
-=-+
-=++-
=--
2223
103
342
zyx
zyx
zyx
ï
î
ï
í
ì
=--
=--
=-+
03
05
010
zy
zx
yx
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=+++
=+++
=+++
nnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
. . ... . .
...
...
2211
22222121
11212111
 ..., , , 2
2
1
1 D
D
=
D
D
=
D
D
= n
n
x
x
x
x
x
x
0...21 =D==D=D=D nxxx
î
í
ì
=-
=+
1
23
yx
myx
m
m
--=
-
=D 3
11
3
m
m
x --=
-
=D 2
11
2
123
11
23
=-==Dy
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14 
Discussão: 
D¹0: 
Þ S.P.D.: D¹0, -3-m¹0, m¹-3. 
Þ S. P. I.: Não existe m, pois Dy¹0 
D=0 
Þ S.I: D=0, m=-3 e Dy¹0. 
 
2. Determine m, de modo que o sistema seja 
impossível ou incompatível. 
Resolução: 
 
 
Fazendo D=0 Þ -m-1=0 Þ m=-1. 
Dx=0 Þ 2m-6=0 Þ m=-3. 
Dz=0 Þ 6m+6=0 Þ m=-1. 
Sendo Dy=-4¹0 quando D=0 ou seja m=-1; o sistema é impossível, 
pois para m=-1 teremos: (impossível), (impossível) e 
(indeterminado) 
 
3. Discuta e resolva o sistema . 
Resolução: 
 
ï
î
ï
í
ì
=-+-
=++
=-
4
0
2
zyx
zmyx
yx
1
111
11
011
--=
--
-
=D mm 62
114
10
012
--=
-
-
=D mmx
4
141
101
021
-=
--
=Dy 66
411
01
211
+=
-
-
=D mmz
0
4-
=x
0
4-
=y
0
0
=z
ï
î
ï
í
ì
-=-+
=+--
=-+
1423
122
263
zyx
zyx
zyx
0
423
212
631
=
-
--
-
=D
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15 
Se D=0, o sistema pode ser: S.P.I.? ou S.I.? 
, , 
Sendo D=Dx=Dy=Dz=0, logo o sistema é S.P.I.. Vamos agora 
descobrir a sua solução geral. Fazendo z=k e usando as duas primeiras 
equações, vamos obter um sistema 2x2 de incógnitas x e y, onde D¹0. 
 
Temos: D=5, Dx=-5, Dy=10k+5 
 e 
Portando a solução geral é {(-1, 2k+1,k)}. 
 
(7) Exercícios 
 
1. Classifique e resolva os sistemas: 
a) b) c) 
 
2. Discuta os sistemas: 
a) b) 
 
3. Determine k para que o sistema indicado seja determinado: 
 
 
4. Calcule os valores de a para que o sistema seja 
compatível e determinado. 
 
0
421
211
632
=
--
-
-
=Dx 0
413
212
621
=
--
-
-
=Dy 0
123
112
231
=
-
--=Dz
î
í
ì
-=--
+=+
Þ
î
í
ì
=+--
=-+
kyx
kyx
kyx
kyx
212
623
122
263
1
5
5
-=
-
=
D
D
=
xx 12
5
510
+=
+
=
D
D
= kkyy
î
í
ì
-=-
=+
123
42
yx
yx
î
í
ì
=+
=+
4
822
yx
yx
î
í
ì
=+
=+
122
3
yx
yx
î
í
ì
=-
=+
myx
ymx 2
î
í
ì
=+
=+
2
1
yx
ykx
ï
î
ï
í
ì
=+
=-
=+
5
23
5
kyx
kyx
yx
î
í
ì
=-
=+
04
123
yax
yx
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16 
5. Determine a e b para que o sistema seja 
indeterminado. 
 
6. Discutir e resolver o sistema . 
 
10 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO 
 
Como já vimos, um sistema linear homogêneo é formado por 
equações cujos termos independentes são todos nulos. 
Todo o sistema linear homogêneo é sempre possível pois admite a 
solução (0, 0, 0), chamada solução trivial. 
Observe que para um sistema homogêneo teremos sempre Dx1=0, 
Dx2=0, ..., Dxn=0 (pois sempre uma coluna será toda zero, logo, pela 
propriedade, o determinante é nulo). Portanto, para a discussão de um sistema 
linear homogêneo é suficiente o estudo do determinantes das incógnitas. 
 
Þ Sistema possível determinado, D¹0 (o sistema admite a solução 
trivial e sem soluções próprias). 
Þ Sistema possível e indeterminado, D=0 (o sistema admite a 
solução trivial e soluções próprias). 
 
Exemplos: 1. Verifique se o sistema é determinado (D¹0) ou 
indeterminado (D=0). 
Resolução: 
 
S.P.D, como D¹0, o sistema é determinado. 
 
 
î
í
ì
=+
=+
byx
ayx
44
126
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
3734
2523
12
zyx
zyx
zyx
î
í
ì
=+
=-
0
023
yx
yx
05
11
23
¹=
-
=D
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17 
2. Calcule o valor de m para que o sistema tenha 
somente a solução trivial. 
Resolução: 
Para que o sistema tenha somente a solução trivial, isto é, seja 
determinado, é necessário que D¹0. 
 
 
. 
 
3. Calcule o valor de a para que o sistema tenha 
soluções diferentes da trivial. 
Resolução: 
Para ter soluções diferentes da trivial o sistema tem que ser possível 
e indeterminado, isto é, D=0. 
 
 
Portanto {0,1}. 
 
(8) Exercícios 
 
1. Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas 
homogêneos. 
a) b) c) 
 
ï
î
ï
í
ì
=-+
=+-
=-+-
0
0
0
zyx
mzyx
zyx
221111
111
11
111
-=++--=-=
-
-
--
=D mmmm
1 022 ¹Þ¹-=D mm
{ }1/ ¹ÂÎ= mmS
î
í
ì
=+
=+
0
0
ayax
yax
( )11 2 -=-==D aaaa
aa
a
î
í
ì
=Þ=-
=
Þ=D
101
0
0
aa
a
î
í
ì
=+-
=-
086
043
yx
yx
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
03
0422
0
zyx
zyx
zyx
ï
î
ï
í
ì
=+
=--
=++
04
03
02
yx
zyx
zyx
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18 
2. Determine m para que o sistema tenha soluções 
próprias. 
 
3. Calcule o valor de l, para que o sistema 
admita soluções distintas de (0, 0, 0). 
 
4. Qual deve ser o valor de k para que o sistema 
admita somente a solução nula? 
 
5. Classifique e resolva os sistemas: 
a) b) c) 
 
11 SISTEMAS ESCALONADOS 
 
11.1 Definição 
 
Um sistema linear se diz escalonado (em forma de escada) se o 
número e coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não nulo, aumentar 
de equação a equação, de cima para baixo, até que restem, eventualmente, no 
final, equações com todos os coeficientes das incógnitas nulos. 
 
Exemplos: 
1. 2. 
ï
î
ï
í
ì
=++
=-+
=+-
023
054
032
zmyx
zyx
zyx
( )ï
î
ï
í
ì
=+++
=-+
=-+
01
0
0
zyx
zyx
zyx
l
l
l
ï
î
ï
í
ì
=+
-=-
=+
0
3
253
kzx
zyx
yzx
ï
î
ï
í
ì
=-
=++
=-+
014
042
032
zx
zyx
zyx
î
í
ì
=-
=-
096064
yx
yx
ï
î
ï
í
ì
=++
=--
=++
042
0
053
zyx
zyx
zyx
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
=
100
520
4
1
zyx
zyx
zyx
S
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=++=
=+++
=+++
=+++
=
55000
83200
520
2
2
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
S
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19 
11.2 Método da eliminação gaussiana 
 
Consiste em substituir o sistema dados por outro que lhe seja 
equivalente e mais simples, chamado sistema escalonado. Este método é 
também chamado de método de escalonamento parcial. 
 
Exemplos: 
1. 2. 
 
Procedimentos para escalonar um sistema: 
1. Fixamos como primeira equação uma das que possua o 
coeficiente da primeira variável diferente de zero; 
2. Utilizando as operações elementares, anulamos todos os 
coeficientes da primeira variável das demais equações; 
3. Anulamos todos os coeficientes da segunda variável a partir da 
terceira equação; 
4. Repetimos o processo com as demais variáveis, até que o 
sistema se torne escalonado, 
 
Exemplos: 1. Resolver o sistema . 
Resolução: 
 
 
3 6 6 54 
6 5 4 47 
2 7 5 50 
 
1º) Multiplicar a primeira equação por (-2) e adicionar com a 
segunda equação, substituindo nesta: 
 
ï
î
ï
í
ì
=
=+
=-+
=
22z 
3z2y 
423
1
zyx
S
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
=+
=-+
=+-+
=
3 
22 
12 
62
2
t
tz
tzy
tzyx
S
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
50572
47456
54663
zyx
zyx
zyx
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
50572
47456
54663
zyx
zyx
zyx
Colégio Técnico Industrial de Santa Maria 
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20 
 
3 6 6 54 
0 -7 -8 -61 
2 7 5 50 
 
2º) Multiplicar a primeira equação por (-2/3) e adicionar com a 
terceira equação, substituindo nesta: 
 
3 6 6 54 
0 -7 -8 -61 
0 3 1 14 
 
3º Multiplicar a segunda equação por (3/7) e adicionar com a terceira 
equação, substituindo nesta: 
 
3 6 6 54 
0 -7 -8 -61 
0 0 -17/7 -85/7 
 
O sistema escalonado é: 
 
De (III), obtemos . Substituindo em (II), obtemos e 
substituindo esses valores em (I), teremos . 
Portando a solução do sistema é S={(2, 3, 5)}. 
 
 
 
2. Resolver o sistema . 
Resolução: 
 
 
ï
î
ï
í
ì
=++
-=--
=++
50572
61870
54663
zyx
zyx
zyx
ï
î
ï
í
ì
=++
-=--
=++
1430
61870
54663
zyx
zyx
zyx
ï
ï
î
ïï
í
ì
-=-+
-=--
=++
7
86
7
1700
61870
54663
zyx
zyx
zyx
)(
)(
)(
7
86
7
17 
6187 
54663
III
II
I
z
zy
zyx
ï
ï
î
ïï
í
ì
-=-
-=--
=++
5=z 5=z 3=y
2=x
ï
î
ï
í
ì
=--
=+-
=++
733
822
542
zyx
zyx
zyx
Colégio Técnico Industrial de Santa Maria 
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21 
1 2 4 5 
2 -1 2 8 
3 -3 -1 7 
1 2 4 5 
0 -5 -6 -2 
0 -9 -13 -8 
1 2 4 5 
0 1 -6/5 -2/5 
0 -9 -13 -8 
1 2 4 5 
 0 1 -6/5 -2/5 
0 0 -11/5 -22/5 
 
Logo . Substituindo z na 2º equação, obtemos , e 
substituindo os valores anteriores na 1º equação obteremos . 
Portanto S={(1, -2, 2)}. 
 
(9) Exercícios 
 
1. Escalone e resolva os seguintes sistemas: 
a) b) c) 
d) e) f) 
 
2. Resolva, através do escalonamento, os seguintes sistemas: 
a) b) c) 
212 2 LLL +-Þ
313 3 LLL +-Þ
22 )5/1( LL -Þ
323 9 LLL +Þ
ï
î
ï
í
ì
=
=
++
-22/511/5z- 
-2/56/5z-1y 
42 zyx
2=z 2-=y
1=x
ï
î
ï
í
ì
=+--
=++
-=-+-
122
62
92
zyx
zyx
zyx
ï
î
ï
í
ì
=++
=--
=+-
222
02
23
zyx
zyx
zyx
ï
î
ï
í
ì
=++
=---
-=+-
3433
234
12
zyx
zyx
zyx
î
í
ì
=-
=+
432
0
yx
yx
ï
î
ï
í
ì
-=++-
=+-
=--
1035
1642
2
zyx
zyx
zyx
ï
î
ï
í
ì
=+
=+
=+
2
3
1
zy
zx
yx
ï
î
ï
í
ì
-=+-
=+
=-
352
5
3
yx
yx
yx
ï
î
ï
í
ì
=+-
=+-
=-
32
432
0
yx
yx
yx
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=+
=+
=-
=+
82
225
2
6
yx
yx
yx
yx
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22 
d) e) f) 
 
(10) Exercícios complementares 
 
1. (UFSM – Vestibular/1996) Dado o sistema de equações lineares 
 com a, bÎÂ, então, 
a) se a¹-1, o sistema é possível e determinado. 
b) se a=-1 e b¹1, o sistema é possível e determinado. 
c) se a¹-1, o sistema é impossível. 
d) se a¹-1 e b=1, o sistema é possível e indeterminado. 
e) se a=-1 e b=1, o sistema é possível e determinado. 
 
2. (UFSM – Vestibular/1998) Sejam a e b números reais tais que o 
sistema admita solução. Então o valor de a e o valor de b 
devem ser, respectivamente, 
a) –2 e 8 b) 8 e 5 c) 5 e 8 d) 5 e –2 e) –2 e 5 
 
3. (UFSM – Vestibular/1999) Considere o seguinte sistema de 
equações lineares: 
 
então, pode-se afirmar que o sistema é 
a) impossível. 
b) possível e determinado. 
î
í
ì
=+-
=-+-
12
13
zyx
zyx
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=+
=+
=-+
-=+-
525
123
2
132
yx
zx
zyx
zyx
ï
î
ï
í
ì
-=+
=-
=+
732
1
3
yx
yx
yx
ï
î
ï
í
ì
-=--
=+-
=++
1
1
zyx
zyx
zyx
a
b
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=+
=+-+-
=-+-
=+-
btz
tzyx
atzyx
zyx
342
263
12
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=-++-
=+-
=+-
=+--
045
033
022
0
tzyx
zyx
tzx
tzyx
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Professores Elisia Chiapinotto e Mauricio Lutz 
 
23 
c) possível e qualquer solução (x, y, z, t) é tal que os números x, y, z, 
formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. 
d) possível e qualquer solução (x, y, z, t) é tal que os números x, y, 
z, formam, nesta ordem, uma progressão geométrica. 
e) possível, porém não admite a solução nula. 
 
4. (UFSM – Vestibular/2000) Dado o sistema os 
valores de x, y, z e t, nesta ordem, que satisfazem o sistema, 
a) formam uma P.G. crescente. 
b) formam uma P.G. decrescente. 
c) formam uma P.A. decrescente. 
d) formam uma P.A. crescente. 
e) são todos iguais. 
 
5. (UFSM – Vestibular/2003) Considere o seguinte sistema de 
equações lineares: 
 
Então pode-se afirmar que 
a) existem exatamente dois valores reais de a para os quais o 
sistema não tem solução. 
b) existe um único valor real de a para o qual o sistema admite 
infinitas soluções. 
c) o sistema não tem solução para todo aÎÂ. 
d) o sistema não tem solução para a=½. 
e) o sistema admite solução para todo a¹½. 
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=++
=++
=++
=+++
2
1
0
2
tzx
tyx
zyx
tzyx
ï
î
ï
í
ì
=++
=+-+
=++
752
2)1(
442
zyx
zyx
zyx
a
a
a
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Professores Elisia Chiapinotto e Mauricio Lutz 
 
24 
6. (UFSM – PEIES/1996) Considere as afirmativas referentes ao 
sistema onde x, y, z, kÎÂ, indicando se são verdadeiras 
(V) ou falsas (F). 
( ) Se k¹1/3, o sistema é possível e determinado. 
( ) Se k=1/3, o sistema é impossível. 
( ) Se k=1/3, o sistema é possível e indeterminado. 
A seqüência correta é 
a) V – F – V. 
b) F – V – F. 
c) V – V – F. 
d) V – F – F. 
e) F – F – V. 
 
7. (UFSM – PEIES/1997) O valor da expressão , 
onde x, y e z são soluções do sistema é 
a) b) c) 0 d) e) 
 
8. (UFSM – PEIES/1998) assinale V nas afirmativas verdadeiras e F 
nas falsas, com referência ao sistema linear 
, com a¹0. 
 
( ) . 
ï
î
ï
í
ì
-=+++
=++
=++
2)1(0
0203
12
zkyx
zyx
zyx
zyxA ).2( -=
ï
î
ï
í
ì
-=++
-=-+
=++
1666
2624
132
zyx
zyx
zyx
3
32
3
32
-
3
2
3
2
-
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
1
2
3
111
111
11
z
y
x
a
a
a
a
a
a
12
111
111
11
det --=
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
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( ) Se , então o sistema é possível e indeterminado. 
( ) Se , então o sistema é impossível. 
A seqüência correta é 
a) V – F – V. b) F – V – F. c) F – V – V. 
d) V – F – F. e) V – V – F. 
 
9. (UFSM – PEIES/ 2000) O sistema linear 
a) é possível e determinado. 
b) é possível e indeterminado. 
c) é impossível. 
d) tem a soma de suas soluções igual a 2. 
e) tem o produto de suas soluções igual a 3. 
 
10. (UFSM – PEIES/2001) Considere o sistema linear 
onde a e b são números reais. 
Assinale V nas afirmações verdadeiras e F nas falsas.( ) Se a=-6, o sistema é impossível qualquer que seja b. 
( ) Se b¹8, o sistema tem infinitas soluções qualquer que seja a. 
( ) Se a¹-6, o sistema é possível e determinado qualquer que seja 
b. 
A seqüência correta é 
a) V – V – F. b) V – V – V. c) V – F – V. 
d) F – F – V. e) F – V – F. 
 
 
 
 
21
=+
a
a
21
¹+
a
a
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=-+
=-+
=+-
=++-
523
223
22
1
zyx
zyx
zyx
zyx
ï
î
ï
í
ì
=+
=-
=-+
bazy
zy
zyx
4
432
12
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GABARITOS 
 
(1) 1. a) x2= -3 b) x2= 1 2. m= -1 3. . 
 
(2) 1. a) é solução b) não é solução 2. K= -3 
 
(3) 1. São equivalente 2. b=1; a=0 
 
(4) 1. a) b) 
 2. 3. a) b) 
 4. a) b) 
 
(5) 1. a) É SLN b) Não é SLN 
 2. a) b) 
 
(6) 1. a) b) c) d) 
 e) f) 
 
(7) 1. a) S.P.D.; b) S.P.I.; c) S.I. 
 2. a) S.P.D. se m¹ -1 e S.I. se m= -1 b) S.P.D. se m¹ -1 e S.I. se m= -1 
 3. k=1 ou k=15 4. a¹ -6 5. a=6 e b=8 6. S.P.I.; 
 
5
4
=a
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
- 0
5
31
12
y
x
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ-
=
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-- 2
0
1
153
101
112
c
b
a
î
í
ì
=+
-=-
73
452
ba
ba
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
- 1823
013
÷÷
÷
÷
÷
ø
ö
çç
ç
ç
ç
è
æ
-
-
-
3221
6232
4011
14685
î
í
ì
=++
=++
6339
23
zyx
zyx
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=-
=+
=
=+
32
03
2
532
yx
yx
x
yx
{ }3 e 2/ ¹¹ÂÎ= kkkS
þ
ý
ü
î
í
ì -¹ÂÎ=
3
1/ kkS
( ){ }2,1=S ( ){ }2,3=S ( ){ }3,2,1=S
þ
ý
ü
î
í
ì
÷
ø
ö
ç
è
æ=
5
9,
5
12,
5
9S
( ){ }1,32 -=S ( ){ }1,4,6=S
( ){ }2,1=S ( ){ }kkS ,4 -=
( ){ }kkkS ,1, --=
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(8) 1. a) S.P.I. b) S.P.I. c) S.P.D. 2. m= 3. l=1 
 4. k¹ -1 5. a) b) c) 
 
(9) 1. a) b) c) 
 d) e) f) 
 2. a) b) c) d) 
 e) f) 
 
(10) 1. a 2. e 3. c 4. d 5. b 
 6. c 7. a 8. d 9. c 10. d 
13
3
( ){ }kkkS ,9,14 -=
þ
ý
ü
î
í
ì
÷
ø
ö
ç
è
æ= kkS ,
2
3 ( ){ }kkkS ,2,--=
( ){ }3,1,2 -=S
þ
ý
ü
î
í
ì
÷
ø
ö
ç
è
æ --
= kkkS ,
5
42,
5
34 f=S
þ
ý
ü
î
í
ì -=
5
4,
5
4S ( ){ }2,3,1 -=S ( ){ }2,0,1=S
( ){ }1,4=S f=S ( ){ }2,4=S
þ
ý
ü
î
í
ì
÷
ø
ö
ç
è
æ +-
= kkkS ,
5
3,
5
24
þ
ý
ü
î
í
ì
÷
ø
ö
ç
è
æ +-
= kkkS ,
3
55,
3
21 f=S
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
BALD, Atelmo Aloisio, COGO, Sandra E. Vielmo. Matrizes e Sistemas de 
Equações Lineares. Caderno Didático – Santa Maria: UFSM, CCNE, 
Departamento de Matemática, 1997. 
 
Currículo Básico do PEIES. Universidade Federal de Santa Maria. Programa 
de Ingresso ao Ensino Superior. V. 5, Santa Maria, 1999 
 
DECISAÔ PRÉ-VESTIBULAR. Matemática. Polígrafo – Santa Maria [s.n.], 
1997, não paginado. 
 
ESCOLA ESTADUAL DE 2º GRAU CILON ROSA. Matrizes, Determinantes, 
Sistemas de equações Lineares e Análise Combinatória. Polígrafo – Santa 
Maria [s.n.], 1999, 108 p. 
 
FÓTON VESTIBULARES. Matemática. Polígrafo – Santa Maria [s.n.], 2000, 
não paginado. 
 
GIOVANNI, J. R., BONJORNO, J. R. Matemática. V. 2, Editora FTD S.A., São 
Paulo, 1992. 
 
IEZZI, G., DOLCE, O., DEGENSZAJN, D., PÉRIGO, R. Matemática. Volume 
Único, Editora Atual, São Paulo, 2002. 
 
SILVA, J. D., FERNANDES, V. dos S., MABELINI, O. D. Matemática: Novo 
Ensino Médio – Volúme Único Curso Completo. Sistema de Ensino IPEP, 
São Paulo, 2002.