Cálculo de Densidade de Sólidos

Prévia do material em texto

RELATÓRIO DO EXPERIMENTO 1 - CÁLCULO DA DENSIDADE DOS SÓLIDOS 
 
Trabalho apresentado à disciplina de Física Experimental 1 do Curso de Engenharia Elétrica, turma, como requisito parcial de aprovação, Departamento Acadêmico de Física, do Câmpus Curitiba, da Universidade Tecnológica Federal do Paraná.
Professor: 
CURITIBA
JUNHO, 2022
RESUMO
 	O objetivo deste relatório é obter  a  medida  de densidade  de  um  corpo  a  partir das  medidas  de  sua  massa  e  dimensões  X,  Y  e  Z  para  obter  o volume.  Utilizar  os instrumentos  de  medidas,  realizar  propagação  de  erros,  gráficos.  Comparar  o resultado  da  densidade  encontrado  com  o  do  material  especificado.  Obter  a densidade  com  o  uso  de  vários  corpos  de  prova  e  método  gráfico.  Estará  implícito observar  as  diferenças  entre  instrumentos  de  baixa  e  alta  precisão,  e  como  isso pode  afetar o resultado final.
  	Neste relatório será abordado duas formas calcular  a densidade, a primeira  é a partir  dos  volumes  obtidos  por  três  instrumentos  diferentes,  tais  como,  régua,  paquímetro e micrômetro,  que  apresentaram  respectivamente  as  densidades  (8,4  ±0,6)  g/cm³, (7,72  ±0,04)  g/cm³  e  (7,844  ±0,020)  g/cm³,  o  que  mostrou  que  quanto  mais  preciso  o instrumento,  mais  próximos  chegaram  ao  resultado  desejado  de 7,87   g/ cm³.  A segunda  forma  de  calcular  a  densidade  foi por  meio  de  gráfico   que  apresentou  um resultado  linear  entre  as  massas  e  volumes  calculados  exclusivamente  com paquímetro,  foi  possível  observar  um distanciamento  entre  os  pontos  em  relação  à reta devido  à  margem  de  erro,  mas  que concluiu  um valor de  densidade  igual a 6,367 g/cm³. 
 	Palavras-chave: Densidade, Volume, Massa, Instrumentação.
SUMÁRIO
1. Introdução……………………………………………………………………………1
2. Fundamentação Teórica………………………………………….…………………2
3. Procedimento Experimental………………………………………………………..5
4. Resultados e Discussão……………………………………………………….……7
5. Conclusões…………………………………………………………….……...……12
	REFERÊNCIAS………………………………………………………………….…13
1. INTRODUÇÃO
 Densidade é uma relação entre a massa e o volume de um corpo, podendo auxiliar na caracterização de um sólido a ser determinado por medidas indiretas. Através dela pode-se observar a quantidade de matéria que está presente em uma unidade de volume.
   Um exemplo prático de aplicação do cálculo de densidade é a sua utilização para verificar a autenticidade de determinados produtos que são comercializados, por exemplo, a gasolina que geralmente é adulterada com etanol mas que pode ser testada por meio de um exame de densidade.  
   Entretanto, será tratado neste relatório apenas o cálculo da densidade de sólidos. Para obter o volume, as dimensões físicas do corpo de prova serão medidas por meio de vários instrumentos com intuito de observar a precisão de  cada equipamento e assim ter uma aproximação do seu valor real e da sua  margem de erro.
     Para finalizar, será comparado os valores obtidos por gráfico e cálculo  indireto em relação ao valor específico da densidade do corpo de prova.
0. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
A noção de densidade foi elaborada pela primeira vez por Arquimedes, que observou ao jogar um pedaço de ouro e outro de prata de mesmo peso na água, que cada um faria a água subir a níveis diferentes. O ouro, menos  que a prata, pois o ouro é mais denso e o volume ocuparia menos espaço na água [1].  
A densidade e o seu erro propagado podem ser calculados através da seguinte equação (1)
 d= (mV) d (1)
 Onde d representa a densidade a ser calculada, m a massa do corpo e  V, o seu volume. O erro propagado da densidade (d) pode sercalculado através de derivadas parciais, como demonstra a equação (2)  
d=((dm)2m2+(dV)2V2) (2)
 O volume foi calculado através da equação (3)
V=(AA)(BB)(BB)    (3)
 O erro propagado da massa e do volume, representados  respectivamente por m, e V, podem também podem ser calculados. A  começar pelo erro propagado da massa:
m=((instr)2+(aleatório)2) (4) 
Cujo símbolo instr representao errodo instrumento, já especificado  pelo fabricante, baseado na menor medida divido por 2, e aleatório que  representa o desvio padrão.  
O desvio padrão da distribuição de probabilidades é definido como a raíz quadrada positiva da variância, isto é,  [5]   
=i=1m(yi-)2P(yi) (5)
Referente ao erro propagado do volume, foi calculado a derivada parcial de forma que o volume dependesse de cada lado da massa selecionada, neste caso, a altura, profundidade e largura (representados por A, B e C) dos objetos. 
V=((VA)2A2+(VB)2B2+(VC)2C2) (6)
A=((instrA)2+(aleatórioA)2)(7)
B=((instrB)2+(aleatórioB)2)(8)
C=((instrC)2+(aleatórioC)2)(9)
Logo, por conta dessa relação de dependência da densidade em relação à massa e volume, a unidade SI da densidade é dada por quilograma por metro cúbico (kg/m3). A unidade cgs, grama por centímetro cúbico (g/cm3), também é muito empregada. O fator de conversão entre ambas é [2]
1 g/cm3 = 1000 kg/m3
Instrumentos utilizados:
· Régua: A régua é um instrumento utilizado para medir distâncias pequenas e desenho de retas. É composta basicamente por uma escala milimétrica, marcada por uma lâmina plástica. Não exige cuidados rigorosos para manuseio. Não é um instrumento de alta precisão. 
· Paquímetro: O paquímetro é um instrumento usado para medir dimensões lineares internas, externas e de profundidade de uma peça, sendo assim é  utilizado na atividade prática nas oficinas. Consiste em uma régua graduada, com encosto fixo, sobre a qual  desliza  um  cursor. São construídos de aço inoxidável temperado e sua escala é graduada em milímetros e polegadas.
	As medidas podem ser classificadas em dois tipos: diretas e indiretas. Suas definições são especificadas a seguir:
· Medidas diretas: são obtidas diretamente do instrumento de medida. Como exemplos, podemos citar o comprimento e o tempo, cujas medidas são realizadas diretamente da trena e cronômetro, respectivamente.
· Medidas indiretas: são obtidas a partir das medidas diretas, mas com o auxílio de equações. Por exemplo: a área de uma superfície, volume de um corpo ou a vazão de um rio ou canal.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
 
Inicialmente, escolhemos aleatoriamente dois corpos de prova na bancada do professor, ambos com diferentes dimensões, e pesamos cada um por dez vezes cada um. Esse passo foi feito utilizando uma balança de precisão com erro instrumental de 0,10 g.
Após isso, começamos o experimento de medição fazendo o dimensionamento do Corpo de Prova 1 (um paralelepípedo, foto ilustrativa em anexo). Cada um dos seus lados foi medido dez vezes, utilizando régua e paquímetro. O mesmo procedimento foi realizado para o Corpo de Prova 2 (uma chapa de ferro, foto ilustrativa em anexo).
	
	
	Corpo de Prova 1 (imagem ilustrativa)
	Corpo de Prova 2 (imagem ilustrativa)
 
Chamamos de lados de X, Y e Z e vamos analisar as equações de volume e erro propagado do volume. Partindo das equações já conhecidas por nós:
 
V=(AA)(BB)(BB)    (3)
V=((VA)2A2+(VB)2B2+(VC)2C2) (6)
Percebemos que a equação (6), se resolvida sua derivada parcial, obtemos o seguinte resultado:
V=((BC)2A2+(AC)2B2+(AB)2C2) (10)
	Depois de verificada a equação (10), cada corpo de prova teve seu peso dividido pelo seu respectivo volume, encontrado por cada instrumento (régua e paquímetro), para assim encontrar a densidade, segundo a equação (1). 
	Como toda medida tem seu erro, reformulamos a equação (2) para o erro da densidade. Dessa forma, obtemos:
d=((1V)2m2+(mV2)2V2) (11)
Finalizado esse processo, encontramos os valores de densidade e erro de densidade e comparamos com o valor tabelado de densidade do ferro, que é o material do corpo de prova através da fórmula:
% =|conhecido -tabelado|tabelado  (12)
           
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO
	A seguir, vamos mostrar os valores obtidos através da medição de dois corpos diferentes atravésdo uso da régua e do paquímetro, respectivamente.
	Primeiramente, foi preenchida a tabela de medidas de massa dos corpos. 
 
Tabela 1 (Corpo 1 e Corpo 2): Valores médios e desvios padrão da medida da massa que terá as dimensões medidas mais à frente:
	Medida
	Massa Corpo 1 (g)
	Massa Corpo 2 (g)
	1
	206,52
	61,46
	2
	206,52
	61,46
	3
	206,52
	61,46
	4
	206,52
	61,46
	5
	206,52
	61,46
	6
	206,52
	61,46
	7
	206,52
	61,46
	8
	206,52
	61,46
	9
	206,52
	61,46
	10
	206,52
	61,46
	Média
	206,52
	61,46
	Erro instrumental
	0,10
	0,10
	Desvio padrão
	0
	0
	Erro combinado
	0,10
	0,10
 
 
Tabela 2 (Corpo 1): Dados obtidos para o item 4.1 do roteiro utilizando a régua para medir o corpo de prova 1. 
	Medida
	Lado X (mm)
	Lado Y (mm)
	Lado Z (mm)
	1
	40,5
	25,0
	25,0
	2
	40,5
	25,0
	25,2
	3
	40,5
	24,5
	25,2
	4
	41,0
	25,0
	25,1
	5
	41,0
	24,8
	24,5
	6
	40,5
	24,7
	25,0
	7
	41,0
	24,5
	25,0
	8
	40,0
	24,5
	25,0
	9
	40,5
	24,8
	25,1
	10
	41,0
	24,8
	25,1
	Média
	40,7
	24,8
	25,0
	Erro instrumental
	0,5
	0,5
	0,5
	Desvio padrão
	0,3
	0,2
	0,2
	Erro combinado
	0,6
	0,5
	0,3
Tabela 2 (Corpo 1): Dados obtidos para o item 4.1 do roteiro utilizando o paquímetro para medir o corpo de prova 1.
	Medida
	Lado X (mm)
	Lado Y (mm)
	Lado Z (mm)
	1
	40,50
	25,30
	25,20
	2
	40,50
	25,35
	25,30
	3
	40,50
	25,25
	25,15
	4
	40,45
	25,35
	25,25
	5
	40,40
	25,35
	25,20
	6
	40,45
	25,30
	25,30
	7
	40,40
	25,30
	25,20
	8
	40,40
	25,35
	25,25
	9
	40,40
	25,40
	25,15
	10
	40,45
	25,35
	25,25
	Média
	40,45
	25,33
	25,23
	Erro instrumental
	0,03
	0,03
	0,03
	Desvio padrão
	0,04
	0,04
	0,05
	Erro combinado
	0,05
	0,05
	0,06
 
Tabela 2 (Corpo 2): Dados obtidos para o item 4.1 do roteiro utilizando a régua para medir o corpo de prova 2. 
	Medida
	Lado X (mm)
	Lado Y (mm)
	Lado Z (mm)
	1
	125,0
	33,0
	1,0
	2
	125,1
	33,0
	1,0
	3
	125,2
	33,0
	1,3
	4
	125,0
	32,9
	1,5
	5
	125,1
	32,9
	1,8
	6
	125,1
	32,9
	1,3
	7
	125,0
	33,0
	1,0
	8
	125,2
	33,0
	1,4
	9
	125,1
	32,9
	1,5
	10
	125,1
	33,0
	1,3
	Média
	125,1
	32,9
	1,3
	Erro instrumental
	0,5
	0,5
	0,5
	Desvio padrão
	0,1
	0,1
	0,3
	Erro combinado
	0,5
	0,5
	0,6
 
 
 
 
 
Tabela 2 (Corpo 2): Dados obtidos para o item 4.1 do roteiro utilizando o paquímetro para medir o corpo de prova 2.
	Medida
	Lado X (mm)
	Lado Y (mm)
	Lado Z (mm)
	1
	125,85
	33,00
	2,00
	2
	125,80
	33,05
	1,80
	3
	126,00
	33,10
	2,00
	4
	125,90
	33,00
	1,85
	5
	125,80
	33,00
	1,75
	6
	125,85
	33,15
	1,80
	7
	125,85
	33,10
	1,75
	8
	125,85
	33,10
	1,80
	9
	125,85
	33,00
	1,75
	10
	125,90
	33,05
	1,85
	Média
	125,87
	33,06
	1,84
	Erro instrumental
	0,03
	0,03
	0,03
	Desvio padrão
	0,06
	0,05
	0,09
	Erro combinado
	0,07
	0,06
	0,09
	Para os cálculos de densidade, obtivemos, a partir das equações analisadas, os respectivos valores para volume, erro combinado do volume, erro combinado da massa, densidade e erro da densidade:
Tabela 3 (Régua): valores obtidos a partir do instrumento de medição régua.
	Fórmula utilizada
	O que
	Corpo 1 (paralelepípedo)
	Corpo 2 (chapa)
	(3)
	Volume
	25.234 mm3
	5.391,7 mm3
	(10)
	Erro propagado do volume
	699,2 mm3
	2.470,9 mm3
	Balança
	Massa
	206,52 g
	61,46 g
	(11)
	Erro combinado da massa
	0,1 g
	0,1 g
Tabela 3 (Paquímetro): valores obtidos a partir do instrumento de medição paquímetro.
	Fórmula utilizada
	O que
	Corpo 1 (paralelepípedo)
	Corpo 2 (chapa)
	(3)
	Volume
	25.850,62 mm3
	7.656,72 mm3
	(10)
	Erro propagado do volume
	70,31 mm3
	374,79 mm3
	Balança
	Massa
	206,52 g
	61,46 g
	(11)
	Erro combinado da massa
	0,1 g
	0,1 g
 
Tabela 4 (Corpo 1): Medida de densidade calculada através da equação (1) e erro propagado da densidade através da equação (2).
	Instrumento
	Densidade (g/cm3)
	Erro propagado (g/cm3)
	Régua
	8,2
	0,2
	Paquímetro
	7,99
	0,02
 
Tabela 4 (Corpo 2): Medida de densidade calculada através da equação (1) e erro propagado da densidade através da equação (2)
	Instrumento
	Densidade (g/cm3)
	Erro propagado (g/cm3)
	Régua
	38,3
	5,2
	Paquímetro
	26,97
	0,39
 
5. CONCLUSÕES
	Vale a pena ressaltar, que o tratamento superficial da peça interfere nas medições, as peças medidas possuíam imperfeições, por conta disso, foram tiradas 10 medidas de cada dimensão de cada peça e depois utilizada a média aritmética.
	Pelo experimento realizado é possível observar a diferença de precisão entre os instrumentos utilizados. O paquímetro sendo o mais preciso entre os utilizados, possuía o menor erro percentual.
De acordo com o método utilizado para se calcular a densidade dos corpos, foi obtido um valor bem menos preciso usando a régua, tanto para o Corpo 1 (8,2 +- 0,2) g/cm³ quanto para o Corpo 2 (38,3 +- 5,2) g/cm³, já com o paquímetro foram encontrados valores bem mais precisos, para ambos os corpos (Corpo 1 - 7,99 +- 0,02 g/cm³, Corpo 2 - 26,97 +- 0,39 g/cm³). Pode-se constatar também que o valor obtido para densidade com as medições feitas pelo paquímetro do Corpo 1 está próximo do valor de densidade real do ferro, esse provavelmente sendo o material que constitui o cubo, que é 7,874 g/cm³.
Concluindo então, se percebe que é impossível obter um resultado sem uma margem de erro, portanto deve-se atentar aos instrumentos usados no experimento, para que esses sejam os mais precisos possíveis e assim passando o menor erro possível para os resultados do experimento.
REFERÊNCIAS
HALLIDAY, D. RESNICK, R. Fundamentos de Física: Eletromagnetismo. 8a Ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2009. Vol 3. 396 p.
HOUSTON, EDWIN J. Electricity in Every-day Life. [S.l.]: P. F. Collier & Son, 1905.
SEARS, Francis Weston; ZEMANSKY, Mark Waldo; YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física III: Eletromagnetismo. 12. ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2009
TIPLER, P. A. Física. Rio de Janeiro: Editora Guanabara Dois S.A., 1978. vol. 2.
ULABY, F. T. Eletromagnetismo para Engenheiros. 1a Ed. Porto Alegre: Bookman Companhia Editora Ltda, 2007. 382 p.
WILLIAMS, H. SMITH. A History of Science Volume II, Part VI: The Leyden Jar Discovered. Biblio Bazaar, 2009
image1.png
image2.png