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Potenciação INTRODUÇÃO Iniciaremos falando da importância de entender este tema inicial que é a potenciação, vejamos os casos: 1° caso: Quando pensamos num produto de dois fatores iguais, fica fácil a sua representação, por exemplo: 𝟐 ⋅ 𝟐 = 𝟒 2° caso: Quando pensamos num produto de três fatores iguais, também fica fácil a sua representação, veja: 𝟐 ⋅ 𝟐 ⋅ 𝟐 = 𝟖 Agora, quando se faz necessário a escrita (ou representação) de um produto de 100 fatores iguais, ou até mesmo diversas operações entre produtos diferentes uns dos outros, concorda que fica um pouco inviável? Pois bem, por este motivo a Potenciação cresce de importância. CONCEITO Potência nada mais é que uma forma matemática alternativa de exprimir um produto de fatores iguais. Assim, toda vez que tivermos uma multiplicação de um mesmo fator, muito repetido, a representação mais recomendada será por meio de uma potência. Exemplo: Observe o exemplo abaixo, no qual fiz um produto de 100 fatores iguais a dois: 𝟐 ⋅ 𝟐 … ⋅ 𝟐 ⋅ 𝟐 ⋅ 𝟐 ⋅ 𝟐 = 𝟐𝟏𝟎𝟎 Perceba que, no resultado, a base permaneceu igual ao fator 2, no entanto, o expoente dessa base é exatamente igual a quantidade de vezes que se multiplicou o mesmo fator, ou ainda, igual à soma dos 100 expoentes iguais a 1. Nomenclatura e representação Vejamos a nomenclatura das partes da potência e como representá-la: 𝒂 ⋅ 𝒂 ⋅ 𝒂⋯ ⋅ 𝒂 = 𝒂 𝒏 "𝒏" 𝒗𝒆𝒛𝒆𝒔 𝒐 "𝒂" a = base da potência n = expoente (número de vezes que vai parecer a base se multiplicando) an = potência Leitura de potências Vejamos como fazer uma leitura correta de potências, temos algumas formas de falar de acordo com o número do expoente: Expoente 0 e 1: Vejamos a forma de ler: Nome do número da base + elevado + zero/ um Exemplo: 30 = três elevado a zero. Exemplo: 41 = quatro elevado a um. Expoentes acima de 1: Vejamos a forma de ler, nesse temos mais de uma forma de leitura, vejamos: Nome do número da base + elevado + nome do número do expoente ou Nome do número da base + elevado + nome do número do expoente na forma ordinária Exemplo: 42 = quatro elevado a dois ou quatro elevado a segunda potência. Exemplo: 88 = oito elevado a oito ou oito elevado a oitava potência. CASOS DA POTENCIAÇÃO Vamos, a partir de agora, analisar cada possibilidade da potência: Potência com expoente natural exceto o zero (ℕ∗) É toda potência que possui em seu expoente um número inteiro e positivo (n ∈ N*). Este expoente indica exatamente a quantidade de vezes que uma expressão (base) se repete como fator. Assim: 𝑎n = 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎. . . 𝑎 Com “n ∈ N*”; ele representa a quantidade de vezes que o “a” será multiplicado por ele mesmo. Exemplo: 22 = 2. 2 = 4 Sinais da potência Se resume bastante se o número tem parênteses ou não. Então preste bastante atenção quando a base da potência não estiver entre parênteses, pois isso poderá implicar numa diferença de resultado. Vejamos: Base da potência entre parênteses: neste caso temos duas observações, a primeira é que se: Expoente for par O resultado será sempre não negativo, ou seja, maior que ou igual a zero. Exemplo: (−𝟐)𝟐 = (−𝟐) ⋅ (−𝟐) = 𝟒 Expoente for ímpar O resultado terá o mesmo sinal da base. Exemplo: (−𝟑)𝟑 = (−𝟑) ⋅ (−𝟑) ⋅ (−𝟑) = −𝟐𝟕 Base da potência sem parênteses: já neste caso, o sinal do resultado será sempre o mesmo que estiver em frente à base, ou seja, independe de o expoente ser par ou ímpar. Exemplo: −𝟐𝟐 = −(𝟐) ⋅ (𝟐) = −𝟒 Exemplo: +𝟑𝟑 = +(𝟑) ⋅ (𝟑) ⋅ (𝟑) = +𝟐𝟕 Observação: Temos que ter atenção nos parênteses, se na frente deles terá algum sinal negativo, pois se tiver tudo de dentro vai trocar de sinal. Exemplo: −(−𝟑)𝟐 = −(𝟗) = −𝟗 Exemplo: −(𝟐)𝟐 = −(𝟐 ⋅ 𝟐) = −𝟒 Observação 2: Um expoente elevado a um conjunto de números dentro de um parêntese, ele vai elevar tudo dentro desses parênteses. Exemplo: (𝟐𝒂𝒃)𝟑 = 𝟐𝟑 ⋅ 𝒂𝟑 ⋅ 𝒃𝟑 = 𝟖𝒂𝟑𝒃𝟑 Observação 3: Quando aparece um negativo na frente da base é o mesmo que um “-1”, Vejamos: Exemplo: −𝟐𝟐 = −𝟏 ⋅ 𝟐𝟐 = −𝟏 ⋅ 𝟒 = −𝟒 Potência com expoente nulo (zero) Todo número diferente de zero, elevado ao expoente zero, será igual a um. Assim: 𝒂𝟎 = 𝟏; 𝒔𝒆𝒏𝒅𝒐 a ≠ 𝟎 Exemplo: 𝟐𝟎𝟐𝟏𝟎 = 𝟏 Exemplo: (− 𝟑 𝟕 ) 𝟎 = 𝟏 Observação: zero elevado a zero é indeterminado! 𝟎𝟎 = 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐! Potência com expoente inteiro (ℤ) negativo. Nesse caso vamos inverter o número, para tirar o negativo do expoente, inverte o número e eleva o expoente ao denominador de sinal trocado a não ser que o expoente esteja elevando o denominador e o numerador de uma fração aí nesse caso elevamos os dois com o sinal trocado. 𝒂−𝒏 = 𝟏 𝒂𝒏 ; 𝒂 ≠ 𝟎 e ( 𝟏 𝒂 ) −𝒏 = 𝒂𝒏 𝟏𝒏 = 𝒂𝒏; 𝒂 ≠ 𝟎 Exemplo: ( 𝟐 𝟑 ) −𝟐 ( 𝟐 𝟑 ) −𝟐 = ( 𝟑 𝟐 ) 𝟐 = 𝟗 𝟒 Exemplo: 𝟐−𝟐 𝟏 𝟐𝟐 = 𝟏 𝟒 Observação: O zero não pode ser elevado a um número negativo, pois vai acabar gerando algo impossível, porque ele vai para o denominador e zero no denominador não pode acontecer. Exemplo: 𝟎−𝟐 = 𝟏 𝟎𝟐 Por que invertemos no expoente negativo? Apenas a título de conhecimento, vamos tentar entender o motivo pelo qual todo expoente negativo gera o inverso multiplicativo da base! Veja pelos exemplos a seguir: Observação: Antes de tudo entenda que cada vez que diminuímos 1 no expoente de uma potência de algum número, estamos dividindo o resultado do número antes da subtração de 1 no expoente, pela base. Exemplo: 𝟑𝟑 = 𝟐𝟕; 𝟑𝟐 =? 𝟑𝟑−𝟏 = 𝟑𝟐 𝟐𝟕 𝟑 = 𝟗 𝟑𝟐 = 𝟗 Exemplo 2: veja os seguintes exemplos: 23 = 𝟐 ⋅ 𝟐 ⋅ 𝟐 = 𝟖; vamos partir deste exemplo, ok? 22 = 𝟐 ⋅ 𝟐 = 𝟒; ao diminuir uma unidade do expoente, o resultado é dividido por 2. 21 = 𝟐; diminui-se mais uma unidade, logo, o resultado será a metade de 4. 20 = 𝟏; diminui-se mais uma unidade, logo, o resultado será a metade de 2. 2−1 = ( 𝟏 𝟐𝟏 ) = ( 𝟏 𝟐 ); diminui-se mais uma unidade, logo, o resultado será a metade de 1. 2−2 = ( 𝟏 𝟐𝟐 ) = ( 𝟏 𝟒 ); diminui-se mais uma unidade, logo, o resultado será a metade de 1/2. Assim, podemos entender o motivo pelo qual os expoentes negativos trazem como resultado a inversão da base. Ressalto que essa inversão tem um nome específico, que é: INVERSO MULTIPLICATIVO. Observação: O inverso multiplicativo ou recíproco é o número que multiplica outro e gera “1” como resultado. Exemplo: 𝟑 ⋅ 𝟏 𝟑 = 𝟏 Portanto “1/3” é o inverso multiplicativo de “3”. Potência com Expoente Fracionário É exatamente o expoente fracionário que origina os radicais, ou seja, as raízes. Que será da seguinte forma: 𝒂 𝒎 𝒏 E assim o denominador do expoente se transforma no índice da raiz, e o numerador se transforma em expoente da raiz. √𝒂𝒎 𝒏 Dica! Tem uma dica para resolver o expoente fracionário, que é basicamente que está no sol vai para sombra e quem está na sombra vai para o sol. Vejamos: Podemos ver que o “m” está no sol e o “n” está na sombra, agora invertemos eles, o que está na assombra vai para o sol e o que está no sol vai para a sombra. Vejamos: Exemplo: 𝟐 𝟏 𝟑 √𝟐𝟏 𝟑 Exemplo: 𝟑 𝟐 𝟑 √𝟑𝟐 𝟑 = √𝟗 𝟑 Exemplo: (−𝟐) 𝟑 𝟓 √(−𝟐)𝟑 𝟓 = √−𝟖 𝟓 Exemplo: 𝒙 𝟐𝒌 𝟕 √𝒙𝟐𝒌 𝟕 Cuidado! Número negativo dentro de raiz com índice par é impossível no campo dos reais, pois não tem como um número multiplicado por ele mesmo em “n” vezes, sendo que o “n” é par, gerar um número negativo dentro dos números reais. Exemplo: √−𝟒 𝟐 Issoé impossível, pois qual número multiplicado por ele mesmo duas vezes gera um número negativo dentro dos reais? Nenhum! PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO As propriedades a seguir são, muito importantes. São elas que farão você ter um norte de como começar a fazer uma determinada questão de expressões algébricas, numéricas ou até mesmo questões puras de potenciação/radiciação, bem como questões de produtos notáveis. Bases iguais na multiplicação Bases iguais na multiplicação, podemos operar eles preservando a base e somando os expoentes. 𝒂𝒙 ⋅ 𝒂𝒚 = 𝒂𝒙+𝒚 Exemplo: 𝟐𝟑 ⋅ 𝟐𝟓 = 𝟐𝟖 Bases iguais na divisão Na divisão bases iguais, podemos operar eles preservando a base e subtraindo os expoentes. 𝒂𝒙 𝒂𝒚 = 𝒂𝒙−𝒚 Exemplo: 𝟐𝟓 𝟐𝟑 = 𝟐𝟓−𝟑 = 𝟐𝟐 = 𝟒 Parênteses e dois expoentes Quando temos uma base com expoente dentro de um parêntese, e fora desse parêntese temos um expoente elevando todo o parêntese, podemos multiplicar os expoentes e manter a base. (𝒂𝒙)𝒚 = 𝒂𝒙⋅𝒚 Exemplo: (𝟐𝟑) 𝟐 = 𝟐𝟑⋅𝟐 = 𝟐𝟔 Observação: Observe as seguintes expressões e perceba suas diferenças: (𝒂𝒙)𝒚 ≠ 𝒂𝒙 𝒚 Exemplo: 𝒔𝒆 𝒙 = 𝟐; 𝒚 = 𝟑 𝒆 𝒂 = 𝟐 (𝟐𝟐) 𝟑 = 𝟐𝟐 𝟑 𝟐𝟔 = 𝟐𝟖 𝟔𝟒 = 𝟐𝟓𝟔 Potências multiplicadas dentro de um parêntese e o parêntese elevados a um expoente Quando temos duas bases elevadas a um expoente sendo multiplicadas dentro de um parêntese, e esse parêntese está elevado a um expoente, podemos tirar o parêntese e multiplicar o expoente que estava elevado ao parêntese pelos expoentes das bases. (𝒂𝒙 ⋅ 𝒃𝒚 )𝒛 = 𝒂𝒙⋅𝒛 ⋅ 𝒃𝒚⋅𝒛 Exemplo: (𝟐𝟐 ⋅ 𝟑) 𝟑 𝟐𝟐⋅𝟑 ⋅ 𝟑𝟑 𝟔𝟒 ⋅ 𝟐𝟕 Potências divididas dentro de um parêntese e o parêntese elevados a um expoente Quando temos duas bases elevadas a um expoente sendo divididas dentro de um parêntese, e esse parêntese está elevado a um expoente, podemos tirar o parêntese e multiplicar o expoente que estava elevado ao parêntese pelos expoentes das bases. ( 𝒂𝒙 𝒃𝒚 ) 𝒛 = 𝒂𝒙⋅𝒛 𝒃𝒚⋅𝒛 Exemplo: ( 𝟐𝟐 𝟑𝟑 ) 𝟐 𝟐𝟐⋅𝟐 𝟑𝟑⋅𝟐 = 𝟐𝟒 𝟑𝟔 Potências com bases diferentes sendo multiplicadas, com expoentes iguais Se aparecer duas potências de bases diferentes sendo multiplicadas, mas com expoentes iguais, podemos simplesmente multiplicar as bases entre parênteses e elevar a base igual aos dois ao parêntese. 𝒂𝒙 ⋅ 𝒃𝒙 = (𝒂 ⋅ 𝒃)𝒙 Observação: as propriedades tanto podem ser feitas como desfeitas para facilitar em alguma operação. Exemplo: 𝟐𝟐+𝟏 = 𝟐𝟐 ⋅ 𝟐𝟏 POTENCIAÇÃO DE BASE 10 COM EXPOENTE POSITIVO Essas potências de 10 são simples de resolver com expoente positivo, vamos colocar o número “1” e seguido dele vamos colocar o número de zeros, igual o valor do expoente. Vejamos: a) 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏; expoente zero, reflete, no resultado, nenhum zero após o algarismo um. b) 𝟏𝟎𝟏 = 𝟏𝟎; expoente um, reflete, no resultado, um zero após o algarismo um. c) 𝟏𝟎𝟐 = 𝟏𝟎𝟎; expoente dois, reflete, no resultado, dois zeros após o algarismo um. d) 𝟏𝟎𝟑 = 𝟏𝟎𝟎𝟎; expoente três, reflete, no resultado, três zeros após o algarismo um. . . . . Conclusão: Assim, podemos concluir que: 𝟏𝟎𝒏 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 … 𝟎; tantos zeros quanto valer o número do expoente. POTENCIAÇÃO DE BASE 10 COM EXPOENTE NEGATIVO Essas potências de 10 são simples de resolver com expoente negativo, vamos apenas colocar o número de zeros igual o valor do expoente e após o primeiro zero vamos colocar uma vírgula e o número “1” no final. a) 𝟏𝟎−𝟏 = 𝟎, 𝟏; um zero seguido de vírgula. b) 𝟏𝟎−𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟏; dois zeros, com uma vírgula após o primeiro. c) 𝟏𝟎−𝟑 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏; três zeros, com uma vírgula após o primeiro. d) 𝟏𝟎−𝟒 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟏; quatro zeros, com uma vírgula após o primeiro. . . . . . . . Conclusão: Assim, podemos concluir que: 𝟏𝟎−𝒏 = 𝟎, 𝟎𝟎 … 𝟎𝟏; vamos apenas colocar o número de zeros igual o valor do expoente e após o primeiro zero vamos colocar uma vírgula e o número “1” no final. CASO ESPECIAL DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE POTÊNCIA DE EXPOENTES DIFERENTES Muitos alunos sentem dificuldade quando se deparam com questões deste tipo. Para isso, vejamos duas possibilidades de resolução deste caso especial de operações entre potências. 1° Possibilidade Vejamos um passo a passo pegando 𝟔𝟕 + 𝟔𝟗como exemplo: 1° passo: vamos decompor as potências da soma ou da subtração a fim de encontrar potências iguais, ou seja, com o mesmo expoente e a mesma base que aí poderemos somar ou subtrair. 𝟏 ⋅ 𝟔𝟕 + 𝟔𝟐 ⋅ 𝟔𝟕 2° passo: Agora vamos adicionar ou subtrair as potências, já que temos potências iguais e números multiplicando essas potências. 𝟏 ⋅ 𝟔𝟕 + 𝟑𝟔 ⋅ 𝟔𝟕 𝟔𝟕 + 𝟑𝟔 ⋅ 𝟔𝟕 𝟑𝟕 ⋅ 𝟔𝟕 Exemplo: 𝟗𝟏𝟐 − 𝟗𝟗 𝟗𝟑 ⋅ 𝟗𝟗 − 𝟗𝟗 𝟕𝟐𝟗 ⋅ 𝟗𝟗 − 𝟗𝟗 𝟕𝟐𝟖 ⋅ 𝟗𝟗 2° Possibilidade (fatoração) Agora vamos mudar um pouco o passo a passo, pois vamos usar a fatoração, vejamos um passo a passo pegando 𝟔𝟕 + 𝟔𝟗como exemplo: 1° passo: vamos decompor as potências da soma ou da subtração a fim de encontrar potências iguais, ou seja, com o mesmo expoente e a mesma base que aí poderemos somar ou subtrair. 𝟏 ⋅ 𝟔𝟕 + 𝟔𝟐 ⋅ 𝟔𝟕 2° passo: Agora vamos colocar o fator em comum em evidência, ou seja, fatorar. 𝟏 ⋅ 𝟔𝟕 + 𝟔𝟐 ⋅ 𝟔𝟕 = 𝟔𝟕 ⋅ (𝟔𝟐 + 𝟏) = 𝟑𝟕 ⋅ 𝟔𝟕 Exemplo: 𝟗𝟏𝟐 − 𝟗𝟗 𝟗𝟑 ⋅ 𝟗𝟗 − 𝟗𝟗 𝟗𝟑 ⋅ 𝟗𝟗 − 𝟏 ⋅ 𝟗𝟗 𝟗𝟗 ⋅ (𝟗𝟑 − 𝟏) = 𝟕𝟐𝟖 ⋅ 𝟗𝟗 NOTAÇÃO CIENTÍFICA Tema bastante importante. Não só para a nossa querida matemática, mas também para a Física. A notação científica trabalha com as potências de 10 e serve para representar números muito grandes ou muito pequenos. Representação da notação científica A notação científica é representada pelo produto de dois números, um sendo um a potência de 10 e o outro o número que multiplica para gerar o número representado. 𝒂 ⋅ 𝟏𝟎𝒙 a = É o fator real que multiplica a potência de 10, e gera o número representado. Ele precisa ser menor que 10 e maior ou igual a 1, "𝟏 ≤ 𝒂 < 𝟏𝟎" que é chamado de mantissa o “a”. 𝟏𝟎𝒙 = É a potência de 10, e seu “x” pode ser nulo, positivo ou negativo. Coloque os seguintes exemplos em notação científica: Exemplo: 187.000.000.000 𝟏, 𝟖𝟕 ⋅ 𝟏𝟎𝟏𝟏 Exemplo: 0,0000000017 𝟏, 𝟕 ⋅ 𝟏𝟎−𝟗 Exemplo: 0,00000789 𝟕, 𝟖𝟗 ⋅ 𝟏𝟎−𝟔 Exemplo: 1.230.000 𝟏, 𝟐𝟑 ⋅ 𝟏𝟎𝟔 METADE DE UMA POTÊNCIA DE 2 A metade de uma potência de 2, é basicamente subtrair “1” no seu expoente. 𝟐𝒙 ⇒ 𝟐𝒙 𝟐 = 𝟐𝒙−𝟏 Exemplo: 210 qual é a sua metade? 𝟐𝟏𝟎 𝟐𝟏 = 𝟐𝟗 Observação: Se não aparecer nada no expoente o número está elevado a 1. Exemplo: 21 = 2 EXERCÍCIOS 1- Resolva a seguinte equação: 𝑬 = 𝟏𝟏𝟕 + 𝟏𝟏𝟕 + 𝟏𝟏𝟕 + 𝟏𝟏𝟕 + 𝟏𝟏𝟕 + 𝟏𝟏𝟕 + 𝟏𝟏𝟕 + 𝟏𝟏𝟕 + 𝟏𝟏𝟕 + 𝟏𝟏𝟕 + 𝟏𝟏𝟕 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟕 = 𝟏𝟏𝟖 2- metade de 𝟐𝟏𝟏 + 𝟒𝟖 é igual a: 𝟐𝟏𝟏 + 𝟒𝟖 𝟐 𝟐𝟏𝟏 + (𝟐𝟐)𝟖 𝟐 𝟐𝟏𝟏 + 𝟐𝟏𝟔 𝟐 𝟐 ⋅ 𝟐𝟏𝟎 𝟐 + 𝟐 ⋅ 𝟐𝟏𝟓 𝟐 𝟐𝟏𝟎 + 𝟐𝟏𝟓 Agora podemos fazer de várias formas, vejamos duas delas: 1° forma 𝟏 ⋅ 𝟐𝟏𝟎 + 𝟐𝟏𝟎 ⋅ 𝟐𝟓 𝟐𝟏𝟎 ⋅ (𝟏 + 𝟐𝟓) 𝟑𝟑 ⋅ 𝟐𝟏𝟎 2° forma 𝟐𝟏𝟎 + 𝟐𝟏𝟓 (𝟐𝟐) 𝟓 + 𝟐𝟏𝟓 𝟒𝟓 + 𝟐𝟏𝟓 3- Qual o valor de (𝟑𝟕𝟐 + 𝟑𝟕𝟓) ⋅ 𝟗𝟐 ? (𝟏. 𝟑𝟕𝟐 + 𝟑𝟑 ⋅ 𝟑𝟕𝟐) ⋅ 𝟗𝟐 (𝟑𝟕𝟐 ⋅ [𝟑𝟑 + 𝟏]) ⋅ 𝟗𝟐 𝟑𝟕𝟐 ⋅ 𝟐𝟖 ⋅ 𝟗𝟐 𝟑𝟕𝟐 ⋅ (𝟑𝟐) 𝟐 ⋅ 𝟐𝟖 𝟑𝟕𝟐 ⋅ 𝟑𝟒 ⋅ 𝟐𝟖 𝟐𝟖 ⋅ 𝟑𝟕𝟔 4- Qual o valor de 𝟐𝟗𝟖+𝟒𝟓𝟎−𝟖𝟑𝟒 𝟐𝟗𝟗−𝟑𝟐𝟐𝟎+𝟐𝟏𝟎𝟏 ? 𝟐𝟗𝟖 + (𝟐𝟐) 𝟓𝟎 − (𝟐𝟑) 𝟑𝟒 𝟐𝟗𝟗 − (𝟐𝟓)𝟐𝟎 + 𝟐𝟏𝟎𝟏 𝟐𝟗𝟖 + 𝟐𝟏𝟎𝟎 − 𝟐𝟏𝟎𝟐 𝟐𝟗𝟗 − 𝟐𝟏𝟎𝟎 + 𝟐𝟏𝟎𝟏 𝟏⋅ 𝟐𝟗𝟖 + 𝟐𝟗𝟖 ⋅ 𝟐𝟐 − 𝟐𝟗𝟖 ⋅ 𝟐𝟒 𝟐𝟗𝟖 ⋅ 𝟐𝟏 − 𝟐𝟗𝟖 ⋅ 𝟐𝟐 + 𝟐𝟗𝟖 ⋅ 𝟐𝟑 𝟐𝟗𝟖 ⋅ (𝟏 + 𝟐𝟐 − 𝟐𝟒) 𝟐𝟗𝟖 ⋅ (𝟐 + 𝟐𝟐 + 𝟐𝟑) 𝟏 + 𝟐𝟐 − 𝟐𝟒 𝟐 − 𝟐𝟐 + 𝟐𝟑 = −𝟏𝟏 𝟔