Aula 01 - introdução

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Matemática Aula 01 – Introdução e nivelamento de conceitos matemáticos
Operações matemáticas elementares
Trigonometria
Exercícios comentados
Operações matemáticas elementares
(nivelamento)
Equações de primeiro grau:
Operações matemáticas elementares
(nivelamento)
Equações de primeiro grau:
Para dizer se uma determinada equação é do primeiro grau, basta procurarmos pelo maior expoente em alguma incógnita. Se o maior expoente for um, então a equação será de primeiro grau.
 • 𝒙 + 𝟏 = 𝟑𝒙 − 𝟒 (Equação de Primeiro Grau) 
 • 𝟐𝒙 = 𝟐 − 𝟔𝒙 (Equação de Primeiro Grau) 
 • 𝑥² + 2 = 𝑥 (Não é equação de primeiro grau) 
 • 𝑥³ − 2𝑥 = 1 (Não é equação de primeiro grau)
Operações matemáticas elementares
(nivelamento)
Equações de primeiro grau:
mais interessante do que apenas afirmar se uma equação é do primeiro grau ou não, é saber resolvê-la!
devemos compreender algumas manipulações algébricas.
 Considere: 43 − 𝑥 = 27 + 𝑥
Ache o valor de x:
Operações matemáticas elementares
(nivelamento)
Equações de primeiro grau:
43 − 𝑥 = 27 + 𝑥
43 − 𝑥 − 𝒙 = 27 + 𝑥 − 𝒙
43 − 2𝑥 = 27 + 0
−𝟒𝟑 + 43 − 2𝑥 = 27 − 𝟒𝟑
−2𝑥 = −16
(−𝟏) ∙ (−2𝑥) = (−𝟏) ∙ (−16)
2𝑥 = 16
 = 
X = 8
Operações matemáticas elementares
(nivelamento)
O chefe de uma seção passou a um de seus funcionários uma tarefa que consistia em ler, registrar e arquivar um determinado número de processos. O funcionário, depois de ter lido, registrado e arquivado um quarto do número total de processos, notou que se lesse, registrasse e arquivasse mais três processos, teria completado um terço da tarefa. O número total de processos que compõem a tarefa completa passada, ao funcionário, pelo chefe é de: 
A) 36. 
B) 12. 
C) 24. 
D) 48.
 E) 60.
Operações matemáticas elementares
(nivelamento)
O chefe de uma seção passou a um de seus funcionários uma tarefa que consistia em ler, registrar e arquivar um determinado número de processos. O funcionário, depois de ter lido, registrado e arquivado um quarto do número total de processos, notou que se lesse, registrasse e arquivasse mais três processos, teria completado um terço da tarefa. O número total de processos que compõem a tarefa completa passada, ao funcionário, pelo chefe é de: 
Operações matemáticas elementares
(nivelamento)
Comentários: Vamos considerar que o número de processos é 𝒏. Se ele leu, registrou e arquivou um quarto do total de processos, então temos processos que já passaram por ele. Além disso, se repetir o procedimento para mais 3 processos, então terá completado um terço da tarefa . 
Operações matemáticas elementares
(nivelamento)
Comentários: Vamos considerar que o número de processos é 𝒏. Se ele leu, registrou e arquivou um quarto do total de processos, então temos processos que já passaram por ele. Além disso, se repetir o procedimento para mais 3 processos, então terá completado um terço da tarefa . 
 +3 = 
Operações matemáticas elementares
(nivelamento)
Comentários: Vamos considerar que o número de processos é 𝒏. Se ele leu, registrou e arquivou um quarto do total de processos, então temos processos que já passaram por ele. Além disso, se repetir o procedimento para mais 3 processos, então terá completado um terço da tarefa . 
 +3 = 
 - = 3
 = 3
 36
Trigonometria:
Razões trigonométricas em um triângulo retângulo:
Considere um triângulo retângulo 𝐴𝐵𝐶 com um ângulo reto (de 90°) em A. Considere também que o comprimento dos lados opostos aos vértices 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são, respectivamente, 𝑎, 𝑏 e 𝑐.
Trigonometria:
Razões trigonométricas em um triângulo retângulo:
Considere um triângulo retângulo 𝐴𝐵𝐶 com um ângulo reto (de 90°) em A. Considere também que o comprimento dos lados opostos aos vértices 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são, respectivamente, 𝑎, 𝑏 e 𝑐.
Trigonometria:
Razões trigonométricas em um triângulo retângulo:
Considere um triângulo retângulo 𝐴𝐵𝐶 com um ângulo reto (de 90°) em A. Considere também que o comprimento dos lados opostos aos vértices 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são, respectivamente, 𝑎, 𝑏 e 𝑐.
Veja também que chamamos de 𝐵̂ o ângulo do vértice em 𝐵 e de 𝐶̂ o ângulo de vértice 𝐶. Da geometria plana, sabe-se que o lado oposto ao ângulo reto, 𝒂, é denominado hipotenusa. 
Além disso, os lados 𝒃 e 𝒄 são os catetos do triângulo retângulo.
Trigonometria:
Seno de um ângulo:
Para os ângulos 𝐵̂ e 𝐶̂ do triângulo retângulo, denominamos seno do ângulo a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. 
Trigonometria:
Seno de um ângulo:
Portanto, para o triângulo que desenhamos, temos:
Trigonometria:
Seno de um ângulo:
uma vez determinado o ângulo, o valor da razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa é uma constante.
Trigonometria:
Seno de um ângulo:
Por exemplo, suponha que o triângulo 𝐴𝐵𝐶 seja "esticado" para o ângulo 𝐴′𝐵′𝐶, conforme mostrado na figura a seguir.
Trigonometria:
Seno de um ângulo:
No triângulo 𝐴′𝐵′𝐶, temos que o seno do ângulo 𝐶̂ é dado por:
Trigonometria:
Seno de um ângulo:
Da geometria plana, sabemos que os triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐴′𝐵′𝐶 são semelhantes e, portanto:
Logo:
Trigonometria:
Num triângulo ABC retângulo em A, sabe-se que os catetos medem 10 cm e 24 cm e que o ângulo B é maior que o ângulo C. Desse modo, o seno do ângulo B é igual a: 
Trigonometria:
Como o ângulo 𝐵̂ é maior do que o ângulo 𝐶̂, o cateto oposto ao vértice 𝐵 é maior do que o cateto oposto ao vértice 𝐶. Logo, 𝑏 = 24𝑐𝑚 e 𝑐 = 10𝑐𝑚.
Trigonometria:
Pelo Teorema de Pitágoras, temos:
Trigonometria:
Pelo Teorema de Pitágoras, temos:
O seno do ângulo 𝑩 é igual a:
Trigonometria:
Num triângulo ABC retângulo em A, sabe-se que os catetos medem 10 cm e 24 cm e que o ângulo B é maior que o ângulo C. Desse modo, o seno do ângulo B é igual a: 
Trigonometria:
Cosseno de um ângulo:
Vejamos novamente um triângulo retângulo 𝐴𝐵𝐶 com um ângulo reto em A. 
Trigonometria:
Cosseno de um ângulo:
Para os ângulos 𝐵̂ e 𝐶̂ do triângulo retângulo, denominamos cosseno do ângulo a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.
Trigonometria:
o que é um cateto adjacente a um determinado ângulo?
Trigonometria:
o que é um cateto adjacente a um determinado ângulo?
em um triângulo retângulo existem apenas dois catetos. O cateto adjacente a um determinado ângulo é aquele cateto que não é o oposto a esse ângulo! É aquele cateto que está "do lado" do ângulo.
Trigonometria:
Portanto, para o triângulo que desenhamos, temos:
Trigonometria:
O cosseno de um ângulo também é uma propriedade do ângulo, ou seja, uma vez determinado o ângulo, o valor da razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa é uma constante. 
Trigonometria:
Em um triângulo retângulo, o cosseno do ângulo 𝛽 vale 15/23. Se o cateto adjacente ao ângulo 𝛽 mede 45 𝑚𝑚, a medida da hipotenusa, em mm, desse triângulo é:
Trigonometria:
Ao desenhar um triângulo retângulo e determinar uma posição qualquer para o ângulo 𝛽, o cateto adjacente ao ângulo 𝛽 é aquele que está "do lado" do ângulo.
Trigonometria:
Sendo 𝑎 a hipotenusa do triângulo retângulo, temos:
Trigonometria:
Em um triângulo retângulo, o cosseno do ângulo 𝛽 vale 15/23. Se o cateto adjacente ao ângulo 𝛽 mede 45 𝑚𝑚, a medida da hipotenusa, em mm, desse triângulo é:
Trigonometria:
Tangente de um ângulo
Vejamos novamente um triângulo retângulo 𝐴𝐵𝐶 com um ângulo reto em A. 
Trigonometria:
Para os ângulos 𝐵̂ e 𝐶̂ do triângulo retângulo, denominamos tangente do ângulo a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a o cateto adjacente ao ângulo.
Trigonometria:
Portanto, para o triângulo que desenhamos, temos:
Trigonometria:
A tangente de um ângulo também é uma propriedade do ângulo. Em outras palavras, uma vez determinado o ângulo, o valor da razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente ao ângulo é uma constante.
Trigonometria:
) Emum triângulo retângulo o menor cateto mede 6 cm e o cosseno do ângulo oposto a ele é . A tangente do maior ângulo agudo deste triângulo vale:
Trigonometria:
Vamos definir, arbitrariamente, que o menor cateto é oposto ao vértice 𝐶 de um triângulo 𝐴𝐵𝐶. 
O maior ângulo agudo é o ângulo que é oposto ao maior cateto, 𝒃. Trata-se, portanto, do ângulo 𝑩̂. A questão pergunta pela tangente do ângulo 𝑩̂. 
Trigonometria:
Logo, devemos determinar:
Assim, para resolver o problema, precisamos determinar o cateto 𝒃. O cosseno do ângulo oposto ao menor cateto é:
Trigonometria:
Note, portanto, que:
Trigonometria:
Pelo Teorema de Pitágoras, temos: 
Trigonometria:
Logo, a tangente do maior ângulo agudo é:
Trigonometria:
) Em um triângulo retângulo o menor cateto mede 6 cm e o cosseno do ângulo oposto a ele é . A tangente do maior ângulo agudo deste triângulo vale:
Trigonometria:
Razões trigonométricas notáveis
Trigonometria:
- Ângulo Raso: É o ângulo de 180° (𝜋 rad). 
- Ângulo Reto: É o ângulo de 90° (𝜋/2 rad) 
- Ângulo Agudo: Todo ângulo maior que 0° e menor que 90°.
Trigonometria:
- Ângulo Obtuso: Todo ângulo maior que 90° e menor que 180°. 
Trigonometria:
- Ângulos Complementares: Dois ângulos são chamados de complementares quando sua soma é igual a 90°.
Trigonometria:
- Ângulos Suplementares: Dois ângulos são chamados de complementares quando sua soma é igual a 180°
Trigonometria:
- Ângulos Replementares: Dois ângulos são chamados de replementares quando sua soma é 360°.
Trigonometria:
Qual é o replemento do ângulo de 275° ?
Trigonometria:
Qual é o replemento do ângulo de 275° ?
Resposta: O replemento do ângulo de 275° é o ângulo que quando eu somar com 275 vai resultar em 360°. 
Assim, 
275° + 𝑥 = 360° 
𝑥 = 360° − 275° 
𝑥 = 85°
Trigonometria:
Dadas as afirmativas a respeito de ângulos, 
I. Um ângulo de 80° é um ângulo reto. 
II. Um ângulo de 105° é um ângulo obtuso. 
III. Um ângulo de 5° é um ângulo agudo. 
verifica-se que está(ão) correta(s)
Trigonometria:
I. Um ângulo de 80° é um ângulo reto. (Errado, um ângulo reto é um ângulo de 90°)
II. Um ângulo de 105° é um ângulo obtuso. (CERTO. Qualquer ângulo maior que 90° e menor que 180° é um ângulo obtuso)
III. Um ângulo de 5° é um ângulo agudo. (CERTO. Qualquer ângulo maior que 0° e menor que 90° é um ângulo agudo)
Triângulos :
Classificações:
 Quando estamos olhando apenas para o lado, podemos classificar os triângulos de três maneiras.
Escaleno: todo triângulo que possui os três lados distintos! 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐. Como consequência, os ângulos opostos a cada um desses lados também serão diferentes. 
Isósceles: triângulo que possui dois lados iguais. Os ângulos opostos a esses lados também serão idênticos. 
Equilátero: triângulo com todos os lados iguais. Assim, todos os ângulos internos desse tipo de triângulo também são congruentes, medindo exatamente 60°.
Triângulos :
Classificações:
 Quando estamos olhando apenas para o lado, podemos classificar os triângulos de três maneiras.
Triângulos :
Classificações:
 Já quando estamos olhando para os ângulos internos, podemos classificar os triângulos da seguinte forma:
Retângulo: um dos ângulos do triângulo é um ângulo reto, isto é, de 90°. Talvez, esse é o triângulo mais comum em provas. Afinal, é nele que utilizamos o famoso "Teorema de Pitágoras". 
Acutângulo: todos os ângulos do triângulo são agudos, isto é, maiores que 0° e menores que 90°
Obtusângulo: um dos ângulos do triângulo é um ângulo obtuso, isto é, maior que 90° e menor que 180°.
Triângulos :
Classificações:
 Já quando estamos olhando para os ângulos internos, podemos classificar os triângulos da seguinte forma:
Triângulos :
Soma dos ângulos:
 A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180°!
Triângulos :
Congruência e Semelhança de Triângulos
Dois triângulos são congruentes quando eles são iguais. Veja o par de triângulos abaixo.
Triângulos :
Congruência e Semelhança de Triângulos
Note que os dois triângulos são exatamente iguais, um apenas está rotacionado com relação ao outro, podendo parecer que são diferentes. No entanto, se algum texto está falando de triângulos congruentes, ele está falando de triângulos idênticos! Mesmo lados, mesmo ângulos! Não muda nadinha! 
Triângulos :
Critérios de Congruência
1. Lado-Lado-Lado (LLL)
Se os dois triângulos possuírem os mesmos lados, então eles serão congruentes.
Triângulos :
Critérios de Congruência
2. Ângulo-Lado-Ângulo (ALA)
Se dois triângulos possuem dois ângulos e o lado entre eles iguais, então os triângulos são congruentes.
Triângulos :
Critérios de Congruência
3. Lado-Ângulo-Lado (LAL)
Se dois triângulos possuem dois lados e o ângulo entre eles iguais, então os triângulos são congruentes.
Triângulos :
Critérios de Congruência
4. Ângulo-Ângulo-Lado (AAL)
Se dois triângulos possuem dois ângulos e um lado oposto a um desses ângulos iguais, então os triângulos são congruentes.
Triângulos :
Critérios de Congruência
RESUMINDO: dois triângulos são congruentes quando eles são idênticos entre si (lados e ângulos iguais). Acontece que, não é preciso sabermos todos os lados nem todos os ângulos para concluir que dois triângulos são iguais. 
Triângulos :
Semelhança de Triângulos
na semelhança de triângulos, vamos continuar com os três ângulos iguais. No entanto, os três lados devem ser proporcionais e não necessariamente iguais (como ocorre na congruência).
Triângulos Congruentes: ÂNGULOS E LADOS IGUAIS. 
Triângulos Semelhantes: ÂNGULOS IGUAIS E LADOS PROPORCIONAIS.
Triângulos :
Semelhança de Triângulos
Veja um par de triângulos semelhantes.
Os triângulos acima são semelhantes. Eles possuem ângulos internos iguais e os lados são proporcionais. Note que o triângulo ABC possui lado sempre o dobro do lado correspondente no triângulo RST. 
Triângulos :
Semelhança de Triângulos
Chamamos esse "2" de razão de semelhança. Ele reflete a proporcionalidade entre os lados.
Triângulos :
Semelhança de Triângulos
Considere a figura: 
Sabe-se que a razão a/b é igual a 3⁄2. A razão x/y é igual a:
Triângulos :
Semelhança de Triângulos
Iremos usar esse resultado daqui a pouco! Agora, vamos fazer a semelhança propriamente dita.
Substituindo as equações:
O enunciado nos deu a razão a/b. Vamos escrever "a" em função de "b":
Triângulos :
Semelhança de Triângulos
Considere a figura: 
Sabe-se que a razão a/b é igual a 3⁄2. A razão x/y é igual a:
Triângulos :
Semelhança de Triângulos
Considere a figura a seguir.
Tente Resolver!
Triângulos :
Semelhança de Triângulos
se são semelhantes, seus lados são proporcionais de forma que podemos escrever a seguinte relação:
Triângulos :
Semelhança de Triângulos
Dois terrenos têm frente para a Rua Sabiá e para a Rua Pardal, como na figura. As divisas laterais são perpendiculares à Rua Sabiá. A figura apresenta algumas medidas desses dois terrenos.
Triângulos :
Semelhança de Triângulos
Dois terrenos têm frente para a Rua Sabiá e para a Rua Pardal, como na figura. As divisas laterais são perpendiculares à Rua Sabiá. A figura apresenta algumas medidas desses dois terrenos.
Triângulos :
A figura abaixo demonstra um triângulo retângulo cujo seno vale 0,6. Determine, em metros, a medida do perímetro.
Triângulos :
Área de um triangulo
Há diversas maneiras de calcularmos a área de um triângulo. De acordo com as informações que tivermos, usaremos uma fórmula ou outra.
- Quando temos a base e a altura do triângulo.
Triângulos :
Área de um triangulo
Quando o triângulo é retângulo
Triângulos :
Área de um triangulo
- Quando o triângulo é equilátero
Triângulos :
Área de um triangulo
A praça de uma cidade foi construída a partir de dois terrenos, cadaum deles com a forma de um triângulo retângulo, conforme a figura a seguir, com as respectivas medidas.