TRIGONOMETRIA-NO-TRIANGULO-RETANGULO- RELAÇOES TRIGONOMETRICAS

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TRIGONOMETRIA NO 
TRIÂNGULO RETANGULO
Relações trigonométricas no 
triângulo retângulo
Elementos de um triângulo retângulo
O triângulo ABC da figura representa um triângulo retângulo em A .
(Â é reto)
O lado oposto ao ângulo reto é 
chamado de hipotenusa, 
enquanto os outros dois são 
chamados catetos. 
Traçando a altura relativa à hipotenusa, temos as medidas h, m e n. 
• h: medida da altura relativa à hipotenusa;
• m: medida da projeção do cateto
sobre a hipotenusa;
• n: medida da projeção do cateto 
sobre a hipotenusa.
a
A
B C
b
c
hipotenus
a
CB
A
b
c
a
h
m n
H
2
Teorema ou relação de Pitágoras
Vamos exemplificar a relação de Pitágoras vista no ano anterior para um 
caso particular:
A relação ou teorema de Pitágoras é enunciada:
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa (a) 
é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos (b e c).
a2 = b2 + c2
5
a c
b
C
B
A
4
3 = +
3
a = 5
b = 4
c = 3
a2 b
2
c2
Aplicações importantes do teorema de Pitágoras
Diagonal de um quadrado
O triângulo ADC é retângulo em D.
Podemos aplicar então o teorema de 
Pitágoras:
Portanto, a medida da diagonal de um quadrado é sempre igual ao produto da 
medida de um lado por . 
Dado um quadrado ABCD qualquer, cujo lado mede ℓ, como encontrar a 
medida (d) da diagonal desse quadrado em função de ? ℓ 
A B
CD
d
ℓ 
ℓ ℓ 
ℓ 
d2 = 2 + 
2
ℓ ℓ 
d2 = 2 2ℓ 
d = ℓ 
d = ℓ 2
4
Altura de um triângulo equilátero
O triângulo ABH é retângulo em H.
Vamos aplicar o teorema de Pitágoras:
Dado um triângulo equilátero ABC qualquer, cujo lado mede ℓ, como podemos 
encontrar a medida (h) da altura desse triângulo em função de ℓ? 
Portanto, a medida da altura é igual ao produto da metade da medida de um 
lado por . 
h2 + = ℓ 
2
ℓ 
h = ou
2ℓ 
h2 = 2 _
2ℓ ℓ 
h2 =
2ℓ 
h = 
ou
ℓ 
h = .ℓ 
5
A
B C
h
H
ℓ ℓ 
ℓ 
ℓℓ
Diagonal de um bloco retangular
Caso particular: diagonal do cubo
Consideremos um bloco retangular cujas arestas medem a, b, c, a diagonal de uma face 
mede d e a diagonal do bloco mede D.
O triângulo BEH é retângulo em E e sua hipotenusa mede D, mas para 
calculá-la precisamos encontrar o valor de d.
Aplicando o teorema de Pitágoras:
d2 = a2 + 
b2
D2 = d2 + 
c2
D2 = a2 + b2 + c2
O cubo é um caso particular do bloco 
retangular em que a = b = c = ℓ; assim: 
A
B C
I
E F
HH
D
d
a
b
c
D 
=
6
A
B C
D
I
F
HG
E
d
ℓ 
ℓ 
ℓ 
= =D = ℓ 2 + 2 + 2ℓ ℓ ℓ ℓ2
Ângulos notáveis
Ângulos notáveis são assim conhecidos por causa de sua 
importância para a Trigonometria no cálculo de seno, 
cosseno e tangente.
sen =
Cateto oposto
A ideia de seno
A Relações trigonométricas
Cateto adjacente 
Cateto oposto
Hipotenusa 
Analisando o triângulo retângulo, com suas medidas dadas em centímetros, podemos afirmar 
que o valor do seno do ângulo ꞵ é igual a:
A) 3/5
B) 4/5
C) 5/4
D) 4/3
E) 3/4
Sabemos que o seno é a razão entre o
cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.
Analisando a imagem, sabemos que o
cateto oposto ao ângulo ꞵ mede 12 e a
hipotenusa mede 15, então, temos que:
cos = 
A ideia de cosseno
Cateto adjacente 
A Relações trigonométricas
Cateto adjacente
Hipotenusa 
Cateto oposto
No triângulo retângulo a seguir, sabendo que seus lados estão medidos em metros, o valor
do cosseno do ângulo ɑ é:
A) 0,96
B) 0,38
C) 0,40
D) 1,04
E) 2,60
Analisando o ângulo ɑ, sabemos que
o cosseno dele é o cateto adjacente,
que mede 25 m, dividido pela
hipotenusa, que mede 26 m.
A Relações trigonométricas
tg = 
A ideia de tangente
Cateto oposto
Cateto adjacente 
Cateto oposto
Cateto adjacente 
Um engenheiro foi contratado para calcular a altura de um prédio sem subir nele. A uma
distância de 40 metros, constatou-se que era possível construir o seguinte triângulo retângulo:
Podemos afirmar que a altura do prédio
é de, aproximadamente:
(Dados: use √3 = 1,7)
A) 20 m
B) 21,5 m
C) 22,7 m
D) 23 m
E) 23,8 m
Para encontrar o valor
de h, que é cateto
oposto ao ângulo de
que conhecemos o
valor, utilizaremos a
tangente, pois
queremos o cateto
oposto e conhecemos
o cateto adjacente.
Consultando a tabela,
é possível encontrar o
valor da tangente,
então temos que:
Quando o Sol se encontra a 45º acima do horizonte, uma árvore projeta
sua sombra no chão com o comprimento de 15 m. Determine a altura
dessa árvore:
tg 45° = H
15
h = 15 . tg 45°
h = 15 . 1
h = 15 m
Um avião levantou voo, formando um ângulo de 20º com o solo, e atingiu uma altura de
1368 metros. A distância percorrida pelo avião, em metros quadrados, foi de:
(Use: sen 20º = 0,342; cos 20º = 0,94; tg 20º = 0,364)
A) 2 km
B) 3 km
C) 4 km
D) 5 km
E) 6 km
A razão trigonométrica que relaciona 
cateto oposto e hipotenusa é o seno, 
então, temos que:
x = 4 km
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/razoes-trigonometricas.htm
O valor do comprimento base de um triângulo retângulo isósceles em que os
lados adjacentes à base medem 6√2 cm é:
A) 15 cm
B) 12 cm
C) 10 cm
D) 8 cm
E) 6 cm
Primeiro faremos o esboço do triângulo. Como
ele é retângulo, um dos seus ângulos é igual a
90º, como a soma dos três ângulos é igual a
180º e o triângulo também é isósceles, então os
ângulos da base medem 45º.
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/triangulos.htm
Uma tirolesa será feita em uma montanha que possui 100 metros de altura.
Sabendo que ela será amarrada de tal modo que forme com o chão um
ângulo de 30º, qual deve ser o tamanho do cabo da tirolesa?
A) 100 m
B) 125 m
C) 150 m
D) 175 m
E) 200 m
Sabemos que a altura é igual a 100 metros e que é oposta 
ao ângulo de 30º, então, utilizaremos seno de 30º para 
encontrar a hipotenusa.
As torres Puerta de Europa, construídas numa avenida de Madri, na Espanha,
são inclinadas uma contra a outra. A inclinação das torres é de 15° com a
vertical, e elas têm, cada uma, altura de 114 m (a altura é indicada na figura
como o segmento AB). Essas torres são um bom exemplo de um prisma
oblíquo de base quadrada, e uma delas pode ser observada na imagem.
Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de 15° e duas
casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse
prédio ocupa na avenida um espaço
A) menor que 100 m².
B) entre 100 m² e 300 m².
C) entre 300 m² e 500 m².
D) entre 500 m² e 700 m².
E) maior que 700 m².
O seguimento AB divide o prédio em dois
triângulos retângulos, sabendo que o ângulo B é
igual a 15º e que conhecemos o cateto adjacente
a ele, é possível calcular o tamanho da base
utilizando a tangente.
Como a base é um quadrado, sua área será 29,64²
= 878,53.
▪ Uma escada de 2 m de comprimento está
apoiada no chão e em uma parede
vertical. Se a escada faz 30° com a
horizontal, a distância do topo da escada
ao chão é de:
A) 0,5 m B) 1 m C) 1,5 m D) 1,7 m E) 2 m
▪ Cesgranrio) Uma rampa plana, de 36 m
de comprimento, faz ângulo de 30° com o
plano horizontal. Uma pessoa que sobe a
rampa inteira, eleva-se verticalmente de:
A) 6√3 m.
B) 12 m.
C) 13,6 m.
D) 9√3 m.
E) 18 m.
▪ Um menino avista o ponto mais alto de
um morro, conforme figura abaixo.
Considerando que ele está a uma
distância de 500 m da base do morro,
calcule a altura (h) deste ponto.
Considere:
Sen 20º = 0,34 Cos 20º = 0,93 Tg 20º = 0,36
Uma escada de 2 m de comprimento está apoiada no
chão e em uma parede vertical. Se a escada faz 30°
com a horizontal, a distância do topo da escada ao
chão é de:
A) 0,5 m
B) 1 m
C) 1,5 m
D) 1,7 m
E) 2 m
A altura da rampa, na imagem representada
por x, é o cateto oposto ao ângulo de 30º.
A razão que utiliza cateto oposto e
hipotenusa é o seno. Então, temos que:
Cesgranrio) Uma rampa plana, de 36 m de
comprimento, faz ângulo de 30° com o plano
horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa
inteira, eleva-se verticalmente de:
A) 6√3 m.
B) 12 m.
C) 13,6 m.
D) 9√3 m.
E) 18m.
Como o triângulo é retângulo,
iremos calcular a medida x usando
a razão trigonométrica tangente.
Escolhemos essa razão, visto que
conhecemos o valor do ângulo do
cateto adjacente e estamos
procurando a medida do cateto
oposto (x).
Assim, teremos:
Como o menino tem 1,30 m, a altura do morro será 
encontrada somando-se este valor ao valor encontrado 
para x. Assim, teremos:
h = 180 + 1,3 =181,3
Logo, a altura do morro será igual a 181,3 m.
Um menino avista o ponto mais alto de um morro,
conforme figura abaixo. Considerando que ele está a
uma distância de 500 m da base do morro, calcule a
altura (h) deste ponto.
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	Slide 10: A ideia de cosseno
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	Slide 12: A Relações trigonométricas
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