UCA001_Pesquisa_Operacional_Tema9

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Problema de maximização e minimização
Dayse Mendes
Introdução
Nesta aula entenderemos que ao buscar uma solução ótima, modelando um problema por 
meio de decisão organizacional, podemos encontrar como objetivo duas situações diametral-
mente opostas: maximizar ou minimizar os resultados. Vamos lá!
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • conhecer as diferenças entre maximização e minimização de resultados para aplicação 
correta para encontrar a solução ótima de um problema. 
1 Exemplos de função de maximização
Você sabe quais são os exemplos de função de maximização? Conhece como devemos 
resolver problemas em que se pretende encontrar uma solução ótima? Pois bem. Para que possa-
mos encontrar uma solução que atenda a todas as limitações (restrições) de um dado problema e 
otimize a função objetivo, um gestor poderá usar de Programação Linear.
Conforme Andrade (2015) alerta que na situação de otimização não há flexibilidade na esco-
lha da solução, pois este tipo de modelo é construído para apresentar uma única solução ótima, de 
acordo com o objetivo atribuído ao problema. Isso se explica pelo padrão da modelagem em Progra-
mação Linear, em que se encontra a melhor alternativa ao analisar equações e inequações lineares.
Desta forma, a função de maximização denota a função objetivo do problema, expressa em função 
matemática de igualdade, refletindo a relação de otimização com as variáveis de decisão do problema.
O autor ainda menciona que a análise de problemas por meio da Programação Linear permite 
ao gestor responder às seguintes situações, entre outras questões, em termos de maximização:
 • “(...) estando presentes certas condições de produção, qual a quantidade de um deter-
minado produto, entre vários, que se deve produzir para obter o maior lucro possível” 
(Andrade, 2015, p.26).
 • “(...) estando impostas as condições de trabalho, como repartir o contingente de mão 
de obra entre as diferentes tarefas e especialidade, com o objetivo de maximizar a efi-
ciência.” (Andrade, 2015, p.27).
Observe que este método, em sua forma padrão, traz a resposta para os valores das variáveis 
de decisão que maximizam os resultados do problema e sua formulação matemática é a que segue:
MAX f (x) = 𝚺 xj sujeito a gj(x) ≤ bj. 
Este é o padrão, embora possamos encontrar restrições mínimas ou de igualdade nos pro-
blemas reais, ou seja:
gj(x) ≥ bj ou gj(x) = cj.
FIQUE ATENTO!
Grande parte das decisões rotineiras de um gestor envolve as situações econômi-
co-financeiras das empresas. Assim, é função do gestor conhecer diversos méto-
dos de resolução deste tipo de problemas. Os métodos de Pesquisa Operacional 
são bastante úteis para resolver este tipo de problema.
No caso de problemas que envolvam recursos escassos, uma forma simples de resolvê-los é 
por meio da Programação Linear. Essa é a razão pela qual é importante conhecer a estrutura dos 
problemas de maximização. 
EXEMPLO
Vamos observar a resolução de um exercício de maximização em se propõe ma-
ximizar a receita que um fabricante de fantasias obterá, sabendo que o mesmo 
dispõe em seus estoques de matéria-prima de 50 m. de cetim, 47 m. de renda e 34 
m. de brocado para manufaturar dois tipos de fantasia, a F1 (fantasia 1) e a F2 (fan-
tasia 2). O fabricante de fantasias sabe que precisa de 8 m. de cetim, 4 m. de renda 
e 4 m. de brocado para fazer F1 e 4 m. de cetim, 8 m. de renda e 12 m. de brocado 
para F2. Ele sabe que consegue vender F1 por R$ 10.000, 00 e F2 por R$ 14.000,00. 
Tendo em vista todos estes dados o fabricante gostaria de saber quanto fabricar de 
cada fantasia para ter a máxima receita. Para que ele possa ter esta solução ótima, 
ele precisa inicialmente modelar o problema na estrutura de Programação Linear 
em que as variáveis de decisão são:
 • x1 = quantidade a produzir da Fantasia 1 (F1);
 • x2 = quantidade a produzir da Fantasia 2 (F2). 
Função objetivo:
MAX R = 10.000 x1 + 14.000 x2
Sujeita às restrições:
 • 8x1 + 4x2 ≤ 50 (restrição de cetim);
 • 4x1 + 8x2 ≤ 47 (restrição de renda);
 • 4x1 + 12x2 ≤ 34 (restrição de brocado);
 • x1, x2 ≥ 0 (restrição de não-negatividade) (SILVA, 2010).
Podemos maximizar os mais diversos tipos de resultados nas organizações, os mais comuns 
são a maximização de lucro, de receita, de rentabilidade.
Figura 1 – Maximizar receita de dois modelos de fantasia
Fonte: Studio 37/Shutterstock.com 
SAIBA MAIS!
Conceitos básicos como receita, lucro e custo são fundamentais para um gestor, 
pois cabe a ele tomar decisões de ordem financeiro/contábil. Como dispor destes 
conceitos não faz parte do escopo de Pesquisa Operacional, já que a PO usa esses 
conceitos como dados, sugere-se que você busque conhecê-los. Segue uma sugestão 
de um glossário abordando o assunto, que se encontra disponível em: <https://www.
sebrae.com.br/Sebrae/Portal%20Sebrae/Anexos/dicionariofinanceiro.pdf>.
2 Exemplos de funções de minimização
Veja que além da busca de maximização de resultados na resolução dos problemas orga-
nizacionais, em alguns problemas, o objetivo que se deseja alcançar otimizando a solução é a 
minimização. Isto porque em algumas situações, o que de melhor se pode obter em termos de 
resultado é a redução de alguns elementos.
Andrade (2015) menciona que, para a minimização, a análise de problemas por meio da Pro-
gramação Linear permite ao gestor responder a algumas questões, tais como a minimização do 
custo ao se conhecer as condições impostas por produtos, fornecedores e consumidores; ou, 
numa situação bem específica, a minimização de custo de alimentação de animais de criação, 
garantindo o crescimento desejado para o abate; entre outras situações. 
FIQUE ATENTO!
Assim como o gestor precisa otimizar algumas soluções aumentando valores, há 
situações em que ele precisa reduzir valores. Tudo depende do tipo de problema 
que se está resolvendo. Lembre-se de que, quando o gestor busca diminuir valores 
na solução, ele pode usar da Pesquisa Operacional.
Note que podemos expressar matematicamente as situações de minimização por meio da 
seguinte fórmula genérica: 
MIN f(x) = 𝚺 xj sujeito a gj(x) ≥ bj 
Este é o padrão, embora possamos encontrar restrições mínimas ou de igualdade nos pro-
blemas reais, ou seja:
gj(x) ≤ bj ou gj(x) = cj
EXEMPLO
Para entender uma situação de minimização, vamos analisar um exercício adap-
tado de Silva et al. (2010). A situação apresenta uma empresa de transporte que 
possui em sua frota dois tipos diferentes de caminhões: C1 e C2. O caminhão do 
tipo C1 tem um espaço refrigerado de 11 m3 e 22 m3 de espaço não refrigerado. 
Já o caminhão do tipo C2 possui 55 m3 de espaço refrigerado e 11 m3 de espaço 
não refrigerado. A empresa tem um cliente que precisa transportar um produto que 
ocupa 150 m3 de espaço refrigerado e 100 m3 de espaço não refrigerado. O empre-
sário tem como dado que o caminhão do tipo C1 consome 750 l por viagem e 1100 
l para o caminhão do tipo C2. É necessário decidir qual a quantidade de cada um 
dos tipos de caminhão neste transporte demandado pelo cliente, de maneira que se 
minimize o consumo de combustível. Para tanto é necessário modelar o problema 
na estrutura de Programação Linear em que as variáveis de decisão são:
 • x1 = quantidade combustível consumida pelo caminhão do tipo C1;
 • x2 = quantidade combustível consumida pelo caminhão do tipo C2.
Função objetivo:
MIN Consumo = 750 x1 + 1.100 x2
Sujeita às restrições:
 • 11x1 + 55x2 ≥ 150 (espaço refrigerado);
 • 22x1 + 11x2 ≥ 100 (espaço não refrigerado);
 • x1, x2 ≥ 0 (restrição de não-negatividade).
Figura 2 – Minimizar consumo de combustível de dois caminhões
Fonte: Serhiy Smirnov/Shutterstock.com 
Assim como na maximização, nas situações em que se tem por objetivo a redução, se pode 
usar a Pesquisa Operacional. Neste caso se trabalha com a minimização.
SAIBA MAIS!
É interessante observar que existe um método em Pesquisa Operacional denominado 
Dualidade. Nesta situação, um mesmo problema resolvido pormeio de Programação 
Linear tem um segundo problema associado, que denominamos dual. Desta maneira, 
um problema de maximização tem em seu dual um problema de minimização. Assista 
a um vídeo sobre a transformação de um problema de maximização em um problema 
de minimização no link: < https://www.youtube.com/watch?v=z6-kdJoSwpg>.
3 Relação entre minimização e custo
Agora, é importante salientar que um problema clássico da Programação Linear diz respeito 
a sua utilização como ferramenta da pesquisa operacional utilizada para minimizar custos orga-
nizacionais. Vale recordar que custo é aquilo que se despende economicamente na fabricação de 
um bem ou na execução de um serviço. 
Figura 3 – Minimização dos custos
Fonte: Howcolour/Shutterstock.com 
https://www.youtube.com/watch?v=z6-kdJoSwpg
https://www.shutterstock.com/pt/g/howcolour
Embora outros objetivos de minimização possam ser resolvidos por Pesquisa Operacional, o 
objetivo mais frequente é o de redução de custos numa solução ótima, ou seja, atendendo a todas 
as restrições do problema e trazendo como solução o menor custo possível. Isto acontece porque 
reduzir custos de maneira inteligente, sem cortar recursos organizacionais importantes, é um obje-
tivo fundamental para que uma empresa seja sustentável em termos econômicos.
4 Relação entre maximização e lucro
Como vimos, há vários objetivos que são buscados ao utilizarmos a Programação Linear. No 
entanto, eles não ficam restritos somente ao que vimos até aqui. Você sabia que outro objetivo 
clássico na hora do uso de Programação Linear para otimizar a solução do problema é a maxi-
mização dos lucros da empresa? Embora se possam buscar outros objetivos de maximização, a 
busca pelo lucro ótimo é a mais recorrente nos problemas PO na situação que está sendo anali-
sada Como o objetivo primordial de qualquer empresa é o lucro, ou seja, o rendimento positivo em 
relação às operações realizadas por ela, nada mais consistente do que buscar esse lucro por meio 
de métodos racionais, que otimizem efetivamente as decisões referentes ao tema.
Figura 4 – Maximização do lucro
Fonte: vladwel/Shutterstock.com
FIQUE ATENTO!
O decisor organizacional precisa conhecer e utilizar métodos racionais de resolu-
ção de problemas, em especial para as situações de maximização de lucro e de 
minimização de custos, uma vez que são problemas de fundamental importância 
para a sobrevivência de qualquer empresa.
Vale salientar, então, que um dos problemas mais frequentes em Pesquisa Operacional é o de 
maximização dos lucros, posto que esse é o maior objetivo de qualquer empresa.
Fechamento
Vimos que a busca por uma solução ótima pode ser realizada por meio de Pesquisa Opera-
cional e com ela, podemos maximizar ou minimizar resultados.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
 • conhecer a importância das funções de maximização e minimização estruturadas em 
Programação Linear;
 • verificar a existência de algumas situações específicas de otimização, quais sejam, a 
maximização de lucros e a minimização de custos.
Referências
ANDRADE, Eduardo Leopoldino. Introdução à pesquisa operacional. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015.
PO. Dual de um problema de programação linear. Disponível em: <https://www.youtube.com/wat-
ch?v=z6-kdJoSwpg>. Acesso em: 24 de mar. de 2017.
SEBRAE. Dicionário financeiro. Disponível em: <https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal%20
Sebrae/Anexos/dicionariofinanceiro.pdf>. Acesso em: 24 de mar. 2017. SILVA, Ermes Medeiros. et 
al. Pesquisa Operacional. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2010. 
https://www.youtube.com/watch?v=z6-kdJoSwpg
https://www.youtube.com/watch?v=z6-kdJoSwpg
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal%20Sebrae/Anexos/dicionariofinanceiro.pdf
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal%20Sebrae/Anexos/dicionariofinanceiro.pdf
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