TCC - WALDO ROSA - 2019_2 - FINALIZADO

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
SUL-RIO-GRANDENSE 
CAMPUS SAPUCAIA DO SUL 
CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO DIDÁTICO DE DEFLEXÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
WALDO CRUZ DA ROSA 
 
 
 
 
 
Orientador: Prof. Dr. Tomaz Fantin de Souza 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sapucaia do Sul 
2019 
ii 
 
WALDO CRUZ DA ROSA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO DIDÁTICO DE DEFLEXÃO 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho de Conclusão de Curso 
apresentado no Instituto Federal Sul-rio-
grandense, Campus de Sapucaia do Sul, 
como parte dos requisitos para obtenção 
do Título de Engenheiro Mecânico. 
 
Orientador: Prof. Dr. Tomaz Fantin de 
Souza 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sapucaia do Sul 
2019 
iii 
 
WALDO CRUZ DA ROSA 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO DIDÁTICO DE DEFLEXÃO 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho de Conclusão de Curso 
apresentado no Instituto Federal Sul-rio-
grandense, Campus de Sapucaia do Sul, 
como parte dos requisitos para obtenção 
do Título de Engenheiro Mecânico. 
 
 
 
 
 
 
Aprovado em 06 de dezembro de 2019. 
 
BANCA EXAMINADORA 
 
 
 
 
_________________________________________ 
Prof. Dr. Carlos Alberto Schuch Bork - IFSUL 
 
 
 
_________________________________________ 
Prof. Dr. Eduardo Cristiano Milke - IFSUL 
 
 
 
 
 
 
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Dedico ao meu pai (in memoriam) e à minha mãe. 
 
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AGRADECIMENTOS 
 
Agradeço aos meus pais, por terem me dado a vida e fazerem com que nunca deixasse 
de lado a busca pela educação. À minha esposa, Juliana Venturini, pela paciência e 
compreensão durante o período da graduação. Ao meu irmão, Grégori Cruz da Rosa, pelo 
apoio técnico durante a execução do trabalho de conclusão. Ao meu primo, Gabriel Rosa 
Estaite, pelo determinante incentivo à busca pela educação pública superior. 
Ao meu orientador, Professor Dr. Tomaz Fantin de Souza, pela parceria ao longo de 
todo o trabalho e a amizade construída ao longo do curso. Aos meus amigos adquiridos no 
Instituto, em especial Maurício Cardozo, Rafael Bonaci, Ronaldo Carvalho, David Mota, 
Caroline Carabajal e Chrissie Penafiel. 
Agradeço, também, ao Professor Ms. Carlos Alexandre Wurzel e ao técnico 
responsável pelo laboratório de Usinagem do IFSUL, Câmpus Sapucaia do Sul, Sr. Jocelito 
Silveira Torres, além de alunos voluntários, pelo fundamental apoio na fabricação das peças 
usinadas do projeto. 
Por fim, mas tão importante quanto, agradeço ao corpo docente e à equipe diretiva do 
IFSUL, Câmpus Sapucaia do Sul, por toda a dedicação em proporcionar, sempre, educação 
pública, gratuita e de qualidade. 
 
vi 
 
RESUMO 
 
Neste trabalho foi projetado e construído um dispositivo capaz de promover e medir a 
deflexão em uma viga com a aplicação de uma força conhecida. No projeto, foi empregada 
simulação computacional através do método de elementos finitos para avaliar as tensões e os 
deslocamentos máximos da estrutura perante a carga aplicada durante a execução de ensaios. 
Por meio da simulação computacional, verificou-se que a estrutura não deveria apresentar 
deslocamentos superiores a 0,05 mm, limite estabelecido como requisito no projeto. Um teste 
experimental de flexão foi conduzido para avaliar os deslocamentos da estrutura do 
dispositivo em virtude da aplicação da carga de ensaio. Esse teste consistiu em submeter um 
corpo de prova a uma carga concentrada de 5000 N, aplicada na metade do seu comprimento, 
e medir os deslocamentos em pontos determinados do equipamento. Os resultados mostraram 
que os deslocamentos da estrutura do equipamento alcançaram valores abaixo do limite 
permitido. Um ensaio de flexão foi realizado no módulo, com cargas de 3000 N, 4000 N e 
5000 N, no qual os resultados das duas últimas cargas apresentaram coeficiente de 
determinação, R², de 0,6171 e 0,7714. Os resultados mostraram variações 3% menores 
comparados a valores teóricos obtidos por cálculo, a partir do método da superposição, e por 
simulação computacional. Na comparação do módulo de elasticidade calculado a partir dos 
resultados do ensaio, com valores presentes na literatura para o material dos corpos de prova, 
a variação foi de 3,22%. Tendo em vista que os requisitos do projeto foram atendidos e 
considerando os baixos índices de variação dos resultados do ensaio, comparados aos valores 
teóricos, entendeu-se como validado o projeto dentro do caráter didático da proposta do 
trabalho. 
 
Palavras-chave: Deflexão. Simulação computacional. Projeto. 
 
 
vii 
 
LISTA DE FIGURAS 
Figura 1 – Forças atuantes em um corpo (HIBBELER, 2010) ................................................... 5 
Figura 2 – Aplicação do método das seções: (a) Seção de corte, (b) Cargas resultantes ........... 5 
Figura 3 – Componentes de FR e MRO (HIBBELER, 2010) ....................................................... 6 
Figura 4 – Corpo sujeito a cargas coplanares: (a) Forças externas; (b) Componentes na seção 
(HIBBELER, 2010) .................................................................................................................... 7 
Figura 5 – Alongamento ocasionado por esforço de tração (BEER et al, 2011) ........................ 8 
Figura 6 - Componente sujeito a cisalhamento (GERE; GOODNO, 2010) ............................... 9 
Figura 7 – Sistema de coordenadas da área ΔA (HIBBELER, 2010) ........................................ 9 
Figura 8 – Ensaio de tração: (a) Corpo de prova; (b) Máquina de ensaios (BEER et al, 2011)
 .................................................................................................................................................. 11 
Figura 9 – Diagrama tensão-deformação de um aço estrutural (sem escala) (HIBBELER, 
2010) ......................................................................................................................................... 11 
Figura 10 – Exemplos de vigas submetidas a esforços laterais (GERE; GOODNO, 2010). ... 13 
Figura 11 – Tipos de vigas: (a) Viga simples; (b) Viga engastada; (c) Viga simples em 
balanço (GERE; GOODNO, 2010) .......................................................................................... 13 
Figura 12 – Convenção de sinais: (a) Cortante e momento; (b) Cargas (Adaptado de GERE; 
GOODNO, 2010; BEER et al, 2011) ....................................................................................... 14 
Figura 13 – Relações de carga concentrada (Adaptado de GERE; GOODNO, 2010) ............. 15 
Figura 14 – Curvatura da viga fletida: (a) Carga aplicada; (b) Curva de deflexão (Adaptado de 
GERE; GOODNO, 2010) ......................................................................................................... 15 
Figura 15 – Deformações em uma viga: (a) Trecho inicialmente reto; (b) Seção transversal; 
(c) Viga deformada (Adaptado de GERE; GOODNO, 2010) .................................................. 16 
Figura 16 – Curva de deflexão de uma viga engastada: (a) Aplicação da carga; (b) Curva de 
deflexão; (c) Relação da deflexão com a curvatura (Adaptado de GERE; GOODNO, 2010) . 17 
Figura 17 – Condições de contorno das equações de deflexão (Adaptado de HIBBELER, 
2010) ......................................................................................................................................... 18 
Figura 18 – Exemplos de aplicação do método da superposição (Adaptado de HIBBELER, 
2010) ......................................................................................................................................... 19 
Figura 19 – Aplicabilidade do Teorema de Castigliano: (a) Cargas aplicadas; (b) Deflexões 
correspondentes calculáveis (GERE; GOODNO, 2010) .......................................................... 20 
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viii 
 
Figura 20 – Modelos discretizados: (a) Estruturas reticuladas; (b) Elementos estruturais 
conectados continuamente (Adaptado de ALVES FILHO, 2000) ........................................... 21 
Figura 21 – Elemento de barra sujeito a esforço normal (HUTTON, 2004) ............................ 22 
Figura 22 – Formulação e cálculo do problema (Adaptado de NORTON, 2013).................... 25 
Figura 23 - Diagrama de blocos da metodologia ...................................................................... 28 
Figura 24 – Vista de conjunto do equipamento ........................................................................ 29 
Figura 25 - Simulação dos deslocamentos da estrutura ............................................................ 30 
Figura 26 - Simulação de tensões: peças em chapa .................................................................. 30 
Figura 27 - Simulação de tensões: componentes de viga ......................................................... 31 
Figura 28 - Peças cortadas por oxicorte.................................................................................... 31 
Figura 29 - Chapa aparafusada na mesa ................................................................................... 32 
Figura 30 - Peças para fixação da célula de carga .................................................................... 32 
Figura 31 - Cotas do corpo de prova ........................................................................................ 33Figura 32 - Pontos medidos e orientação dos eixos ................................................................. 33 
Figura 33 - Posicionamento dos relógios comparadores em dois pontos de medição do teste: 
(a) Ponto 2; (b) Ponto 5 ............................................................................................................ 34 
Figura 34 - Corpos de prova ..................................................................................................... 34 
Figura 35 - Posicionamento do corpo de prova e dos relógios comparadores no ensaio ......... 35 
Figura 36 - (a) Vigas da estrutura base; (b) Nervuras da estrutura base .................................. 37 
Figura 37 - Montagem da estrutura: (a) Travamento temporário dos componentes; (b) Cordão 
de solda; (c) Equipamento de soldagem ................................................................................... 38 
Figura 38 - Componentes de força: (a) Célula de carga; (b) Apoios e reforço axial ................ 38 
Figura 39 - Gráfico de dispersão dos resultados dos ensaios de flexão ................................... 40 
Figura 40 - Estimativa de valores de deflexão por simulação computacional ......................... 41 
Figura 41 - Gráfico comparativo entre os resultados teóricos e do ensaio ............................... 42 
 
 
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ix 
 
LISTA DE TABELAS 
Tabela 1 – Etapas de uma metodologia de projetos mecânicos (Adaptado de NORTON, 
2013). ........................................................................................................................................ 24 
Tabela 2 – Classes de solicitações (NORTON, 2013).............................................................. 26 
Tabela 3 - Fatores utilizados para determinar um coeficiente de segurança para materiais 
dúcteis (NORTON, 2013)......................................................................................................... 27 
Tabela 4 - Requisitos do projeto ............................................................................................... 28 
Tabela 5 - Dimensões do corpo de prova ................................................................................. 33 
Tabela 6 - Cargas aplicadas nos ensaios ................................................................................... 35 
Tabela 7 - Deslocamentos do equipamento .............................................................................. 39 
Tabela 8 - Resultados dos ensaios de flexão (mm) .................................................................. 40 
Tabela 9 - Valores calculados de deflexão pelo método da superposição ................................ 41 
Tabela 10 - Variação dos resultados do ensaio em relação aos valores teóricos ...................... 42 
 
 
 
x 
 
LISTA DE ABREVIATURAS, SIGLAS E SÍMBOLOS 
A área 
C centroide, constante de integração 
c distância da linha neutra para a superfície externa de uma viga 
d matriz de deslocamentos 
E módulo de elasticidade 
F força, matriz de forças 
I momento de inércia de uma figura plana 
k matriz de coeficientes de rigidez 
L comprimento 
M momento fletor 
N força normal ou axial 
P força, carga concentrada 
q intensidade de carga distribuída (força por distância unitária) 
T torque, momento torçor 
U energia de deformação 
u deslocamento nodal 
V força cortante, força de cisalhamento 
W trabalho 
w intensidade de carga distribuída (força por distância unitária) 
x, y, z eixos retangulares (origem no ponto O) 
 
δ deflexão de uma viga, deslocamento, alongamento ou elongação de uma barra 
ε deformação normal 
κ curvatura 
ν deflexão de uma viga 
ρ raio de curvatura 
σ tensão normal 
σe tensão de escoamento 
σlp tensão de limite proporcional 
σrup tensão de ruptura 
σu tensão máxima 
τ tensão de cisalhamento 
 
 
 
xi 
 
SUMÁRIO 
LISTA DE FIGURAS ........................................................................................................... VII 
LISTA DE TABELAS ........................................................................................................... IX 
LISTA DE ABREVIATURAS, SIGLAS E SÍMBOLOS ..................................................... X 
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 1 
2 OBJETIVOS ........................................................................................................................ 3 
3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA...................................................................................... 4 
3.1 Mecânica dos Materiais .................................................................................................. 4 
3.1.1 Equilíbrio de um Corpo Deformável .............................................................................. 4 
3.1.2 Tensão ............................................................................................................................. 7 
3.1.3 Propriedades mecânicas dos materiais .......................................................................... 10 
3.2 Vigas ............................................................................................................................... 13 
3.2.1 Forças cortantes e momentos fletores ........................................................................... 14 
3.2.2 Tensões normais em vigas ............................................................................................ 15 
3.3 Deflexão de vigas de seção constante ........................................................................... 17 
3.3.1 O método da superposição ............................................................................................ 18 
3.3.2 O método de Castigliano .............................................................................................. 19 
3.4 Análise por Elementos Finitos ...................................................................................... 20 
3.4.1 Histórico ....................................................................................................................... 20 
3.4.2 Definição....................................................................................................................... 21 
3.5 Projeto mecânico ........................................................................................................... 23 
3.5.1 Metodologia de Projetos ............................................................................................... 24 
3.5.2 Formulação e Cálculo do Problema .............................................................................. 25 
3.5.3 Dimensionamento e Fator de Segurança ...................................................................... 26 
4 METODOLOGIA ............................................................................................................. 28 
xii 
 
4.1 Desenvolvimento do módulo ......................................................................................... 28 
4.1.1 Projeto ........................................................................................................................... 28 
4.1.2 Preparação das peças .................................................................................................... 31 
4.2 Teste do Equipamento ................................................................................................... 32 
4.3 Ensaio de Flexão Conduzido no Módulo ..................................................................... 34 
4.3.1 Preparação dos Corpos de Prova .................................................................................. 34 
4.3.2 Procedimento ................................................................................................................ 35 
5 RESULTADOS E DISCUSSÃO ...................................................................................... 37 
5.1 Montagem do equipamento .......................................................................................... 37 
5.2 Medição dos deslocamentos do equipamento ............................................................. 39 
5.3 Ensaio de Flexão ............................................................................................................ 39 
5.4 Estimativa de valores teóricos de deflexão .................................................................. 41 
5.5 Comparação dos resultados do ensaio com valores teóricos ..................................... 42 
6 CONCLUSÕES ................................................................................................................. 44 
7 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ........................................................... 46 
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 47 
ANEXO 1 - CERTIFICADO DE QUALIDADE DO MATERIAL DOS CORPOS DE 
PROVA .................................................................................................................................... 49 
 
 
1 
 
1 INTRODUÇÃO 
 Diante da realidade de alunos cada vez mais interessados em visualizar, fisicamente, 
aquilo que estudam, a adoção de ferramentas interativas nas aulas mostra-se uma interessante 
alternativa didática aos professores de disciplinas de mecânica aplicada. Estas que, por vezes, 
muito ficam presas a conceitos teóricos, até mesmo de difícil compreensão para aqueles não 
muito familiarizados com determinados temas. 
 Fontoura, Matos e Silva (2019), destacam que quase 80% dos alunos envolvidos em 
sua pesquisa disseram ter obtido bons resultados na visualização dos conteúdos quando 
desenvolvido o chamado trabalho discente efetivo - TDE, no qual atividades práticas são 
desenvolvidas pelos alunos. Rosário (et al, 2019) constata que uma união coesa entre teoria e 
prática diminui abstrações, fazendo com que dificuldades surjam para serem superadas com 
esforço próprio do aluno, além de explorar habilidades cognitivas que não necessariamente 
afloram quando trabalhados apenas os problemas idealizados, inerentes do ensino tradicional. 
Uma das áreas mais importantes da engenharia, tal como é a mecânica dos sólidos, 
demanda justamente essa necessidade do aluno enxergar, como ocorrem na prática, os 
fenômenos estudados em aula. Atendendo a essa necessidade, este trabalho busca 
proporcionar, aos alunos das disciplinas de mecânica dos sólidos, uma maneira de visualizar, 
fisicamente, os efeitos da deflexão em vigas, que sabidamente são importantes componentes 
estruturais. 
A implementação de recursos como este, além de enriquecer o ensino, desperta no 
aluno a ideia de que a aplicação dos conhecimentos adquiridos ao longo da graduação pode 
converter-se em capacidade de criação e materialização da criatividade, uma vez que sua 
construção envolve projeto e prática de diversas atividades técnicas relacionadas a processos 
de fabricação, ensaios de materiais entre tantas outras. 
 Numa breve abordagem sobre sustentabilidade, de acordo com a Comissão Mundial 
sobre Meio Ambiente (1988, p. 9, apud OLIVEIRA et al, 2012, p. 71), o termo significa “[...] 
a capacidade de satisfazer as necessidades do presente sem comprometer a capacidade das 
gerações futuras de satisfazerem suas próprias necessidades”. Segundo Elkington (1994, apud 
OLIVEIRA et al, 2012) a sustentabilidade, de forma plena, é composta por três pilares: 
Econômico, que visa a criação de empreendimentos viáveis, atraentes a investidores; 
Ambiental, que analisa a interação de processos com o meio ambiente sem a ocorrência de 
danos permanentes; e Social, voltado ao estabelecimento de ações justas para trabalhadores, 
parceiros e sociedade. 
2 
 
Oliveira (et al, 2012), ao estabelecer um cruzamento entre objetivos-macro integrantes 
de aspectos estratégicos de planejamento e os três pilares da sustentabilidade, avalia que 
aprendizado e conhecimento, quando relacionados ao pilar social, culminam em 
desenvolvimento cultural e educacional das partes interessadas do processo, as quais, 
logicamente, fazem parte da sociedade como um todo. Nesse contexto, a construção de uma 
ferramenta que aprimore a qualidade didática praticada em cursos de nível técnico e superior 
fortalece a instituição de ensino e, com isso, a consolida como referência para organizações 
que possam, por exemplo, vir a buscar parcerias para pesquisa e capacitação de pessoal, na 
busca pela sustentabilidade social de seus negócios. 
 
3 
 
2 OBJETIVOS 
 O objetivo geral do trabalho é desenvolver um sistema capaz de promover e medir a 
deflexão causada em uma viga em virtude da aplicação de uma força conhecida. Os objetivos 
específicos são listados abaixo: 
a) Projetar e construir um equipamento assemelhado a uma prensa; 
b) Medir os deslocamentos da estrutura do equipamento durante um ensaio de flexão; 
c) Realizar um ensaio de flexão com o equipamento; 
d) Analisar os dados obtidos para validação do projeto. 
4 
 
3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
3.1 Mecânica dos Materiais 
A mecânica dos materiais, também denominada resistência dos materiais ou mecânica 
de corpos deformáveis, é um ramo da mecânica aplicada que lida com o comportamento de 
corpos sólidos sujeitos a diversos tipos de carregamentos. A mecânica dos materiais tem 
como principal objetivo determinar as tensões, deformações e deslocamentos em estruturas e 
seus componentes devido à ação de cargas aplicadas sobre eles (GERE; GOODNO, 2010). 
3.1.1 Equilíbrio de um Corpo Deformável 
Através da estática, procura-se uma relação de equilíbrio entre cargas externas e 
reações de apoio, sendo as cargas externas subdivididas, principalmente, em forças de 
superfície e forças de corpo (HIBBELER, 2010). 
Segundo Hibbeler (2010), as forças de superfície são aquelas causadas pelo contato de 
um corpo na superfície do outro. Em todos os casos, essas forças estão distribuídas pela área 
de contato entre os corpos. Quando essa área é pequena, a força de superfície pode ser 
idealizada como uma única força concentrada, aplicadaa um ponto do corpo. Por outro lado, 
quando a carga de superfície é aplicada ao longo de uma área estreita, ela pode ser idealizada 
como uma carga distribuída linear, w(s). Nesta condição, a carga é medida como se tivesse 
uma intensidade de força/comprimento ao longo da área. A força resultante FR de w(s) é 
aquela equivalente à área sob a curva da carga distribuída, e essa resultante age no centroide C 
(centro geométrico) dessa área. A carga ao longo do comprimento de uma viga é um exemplo 
típico de aplicação frequente dessa idealização. 
Hibbeler (2010) define como força de corpo aquela desenvolvida quando um corpo 
exerce uma força sobre outro, sem contato físico direto entre eles. Normalmente é 
representada por uma única força concentrada que age sobre ele. No caso da gravidade, um 
importante exemplo de força de corpo, essa força é denominada peso do corpo e age no centro 
de gravidade deste. A Figura 1 mostra a representação dessas forças. 
As reações de apoio são forças de superfície que se desenvolvem nos apoios ou pontos 
de contato entre corpos. Segundo Hibbeler (2010, p. 2), 
Se o apoio impedir a translação em uma determinada direção, então uma força deve 
ser desenvolvida no elemento naquela direção. Da mesma forma, se o apoio impedir 
a rotação, um momento deve ser exercido no elemento. 
5 
 
O equilíbrio de um corpo exige um equilíbrio de forças para impedir a translação ou 
um movimento acelerado deste corpo ao longo de uma trajetória reta ou curva; e um 
equilíbrio de momentos, para impedir que o corpo gire. Ao estipular-se um sistema de 
coordenadas x, y, z com origem no ponto O, os vetores força e momento podem ser resolvidos 
em componentes ao longo dos eixos coordenados, expressos matematicamente por Hibbeler 
(2010) e Beer (et al, 2012) como demonstrado na Equação (1). 
∑𝐹𝑥 = 0 ∑𝐹𝑦 = 0 ∑𝐹𝑥 = 0 ∑𝑀𝑥 = 0 ∑𝑀𝑦 = 0 ∑𝑀𝑧 = 0 (1) 
Para conhecer as forças internas (resposta do material às cargas externas) que agem 
sobre uma região específica no interior de um corpo, segundo Hibbeler (2010), é necessário 
usar o método das seções, o qual exige que seja aplicado um corte imaginário passando pela 
região onde as cargas internas deverão ser determinadas. Com as duas partes do corpo então 
separadas, desenha-se o diagrama de corpo livre de uma das partes. Observa-se uma 
distribuição de força interna agindo sobre a área exposta da seção. Essas forças representam 
os efeitos do material que está na parte superior do corpo agindo no material adjacente na 
parte inferior. A Figura 2 ilustra a aplicação do método. 
Figura 1 – Forças atuantes em um corpo (HIBBELER, 2010) 
Figura 2 – Aplicação do método das seções: (a) Seção de corte, (b) Cargas resultantes 
(HIBBELER, 2010) 
6 
 
Ao se utilizar o método das seções, é preciso relacionar as cargas resultantes FR e MRO 
em termos de suas componentes que agem normal ou perpendicularmente à área secionada e 
no interior do plano da área (Figura 3). 
Hibbeler (2010) divide as cargas resultantes definíveis em quatro tipos diferentes, a 
saber: 
a) Força normal, N: Força que age perpendicularmente à área e se desenvolve 
sempre que as cargas externas tendem a empurrar ou puxar os dois segmentos 
do corpo. 
b) Força de cisalhamento, V: Força que se encontra no plano da área e é 
desenvolvida quando as cargas externas tendem a provocar o deslizamento de 
um dos segmentos do corpo sobre o outro. 
c) Momento torçor ou torque, T: Efeito desenvolvido quando as cargas externas 
tendem a torcer um segmento do corpo com relação ao outro. 
d) Momento fletor, M: Causado pelas cargas externas que tendem a fletir o corpo 
em torno de um eixo que se encontra no plano da área. 
De acordo com Hibbeler (2010), quando o corpo é submetido a um sistema de forças 
coplanares (Figura 4a), haverá, na seção, apenas componentes da força normal, força de 
cisalhamento e momento fletor (Figura 4b). Se forem utilizados os eixos coordenados x, y, z 
com origem no ponto O, a solução direta para N pode ser obtida aplicando-se ΣFx = 0, e V 
pode ser obtida diretamente de ΣFy = 0. Por fim, o momento fletor MO pode ser determinado 
diretamente pela soma dos momentos em torno do ponto O (eixo z), ΣFZ = 0, de modo a 
eliminar os momentos causados pelas forças desconhecidas N e V. 
Figura 3 – Componentes de FR e MRO (HIBBELER, 2010) 
7 
 
3.1.2 Tensão 
A definição das cargas internas resultantes na seção de um componente mecânico é de 
vital importância durante seu projeto, mas o conhecimento dos seus valores não garante que 
elas possam ser suportadas com segurança. O estudo realizado para compreender se esse 
componente irá ou não resistir aos esforços a ele aplicados depende, também, da área da seção 
e do material empregado em sua construção. Se o componente irá ou não quebrar sob efeito 
de uma carga, dependerá da capacidade do material em resistir ao valor obtido da relação 
entre essa carga e a área da seção, sendo que a essa relação dá-se o nome de tensão (BEER et 
al, 2011). 
Por meio da divisão da intensidade P da resultante das forças internas distribuídas na 
seção transversal, pela área A desta seção, obtém-se a tensão normal média, σ, de acordo com 
a Equação (2). 
Quando se deseja conhecer a tensão normal em um ponto específico na seção 
transversal, é necessário dividir uma intensidade, ΔF, por uma pequena área considerada, ΔA, 
conforme a Equação (3). 
𝜎 =
𝑃
𝐴
 (2) 
Figura 4 – Corpo sujeito a cargas coplanares: (a) Forças externas; (b) Componentes na seção 
(HIBBELER, 2010) 
8 
 
𝜎 = lim
∆𝐴→0
∆𝐹
∆𝐴
 (3) 
Em unidades SI, sendo a força expressa em Newtons (N) e a área em metros 
quadrados (m²), a tensão tem unidades N/m², conhecido como pascal (Pa). Contudo, por ser 
uma unidade muito pequena, em engenharia é amplamente empregado um múltiplo dessa 
unidade, o megapascal (MPa), medido em Newtons por milímetro quadrado (N/mm²) (BEER 
et al, 2011; GERE; GOODNO, 2010; HIBBELER, 2010). 
Um corpo, quando submetido a uma tensão normal de tração, tende a aumentar seu 
comprimento inicial L, isto é, sofre um alongamento δ (ver Figura 5). Quando a tensão é de 
compressão, ocorre o efeito contrário, causando uma diminuição em seu comprimento inicial, 
representado também por δ. Ao adotar-se uma convenção de sinais para tensões normais, é 
atribuído à tração o sinal positivo, enquanto a compressão recebe o sinal negativo (GERE; 
GOODNO, 2010). 
O alongamento, de acordo com Gere & Goodno (2010), quando dividido pelo 
comprimento inicial de um corpo, resulta em um alongamento por unidade de comprimento, 
ε, como mostra a Equação (4). A deformação é admensional. 
𝜀 =
𝛿
𝐿
 (4) 
Figura 5 – Alongamento ocasionado por esforço de tração (BEER et al, 2011) 
9 
 
Segundo Gere & Goodno (2010), quando um corpo é submetido a esforços tangenciais 
à sua seção transversal (Figura 6), um tipo diferente de tensão é obtido. As cargas internas 
resultantes, neste caso, são desenvolvidas no plano da seção transversal, e são denominadas 
forças de cisalhamento. A intensidade V de sua resultante é a força cortante na seção e a 
tensão de cisalhamento média, τméd, é obtida a partir da divisão de V pela área A da seção, 
como mostra a Equação (5). 
Para conhecer a tensão de cisalhamento em um ponto específico da seção, Hibbeler 
(2010) destaca que é necessário avaliar as componentes das tensões cisalhantes em duas 
direções, visto que se trata de uma distribuição sobre um plano. Ao adotar um sistema de 
coordenadas x, y, z, para análise de uma pequena área considerada, ΔA, (Figura 7), estas 
componentes são calculadas pela Equação (6). 
𝜏𝑚é𝑑 =
𝑉
𝐴
 (5) 
Figura 6 - Componente sujeito a cisalhamento (GERE; GOODNO, 2010) 
Figura 7 – Sistema de coordenadas da área ΔA (HIBBELER, 2010) 
10 
 
3.1.3 Propriedades mecânicas dos materiais 
Seguidamente, a determinação do comportamento mecânico dos materiais empregados 
em projetosde máquinas e estruturas é possível exclusivamente por meio de testes onde 
pequenos corpos de prova são submetidos a carregamentos para que então se meçam as 
deformações resultantes, como mudanças de comprimento e diâmetro (GERE; GOODNO, 
2010). 
Segundo Garcia, Spim e Santos (2012), os testes (em sua abordagem denominados de 
ensaios) podem ser destrutivos, com inutilização total ou parcial do elemento ensaiado; ou 
não destrutivos, nos quais a integridade do elemento é preservada. Além disso, os classificam, 
ainda, com relação à velocidade de aplicação da carga. Neste contexto, existem os ensaios 
estáticos, os dinâmicos e os de carga constante. 
Os ensaios estáticos ocorrem com aplicação de carga suficientemente lenta, induzindo 
a uma sucessão de estados de equilíbrio e englobam os testes de tração, compressão, flexão, 
dureza e torção. Os ensaios dinâmicos, com cargas aplicadas rápida ou ciclicamente, incluem 
a análise de fadiga e impacto. Por fim, o ensaio de carga constante envolve carga aplicada por 
um longo período de tempo e examina a fluência. Todos estes ensaios podem ser aplicados 
em peças, modelos, amostras ou corpos de prova padronizados (GARCIA; SPIM; SANTOS, 
2012). 
Conforme Garcia, Spim e Santos (2012), o ensaio de tração é o mais amplamente 
utilizado para avaliação das propriedades mecânicas dos materiais e isso se deve ao fato de ser 
um ensaio relativamente simples, de aplicação rápida e que fornece informações importantes e 
primordiais para o projeto e fabricação de peças e componentes. 
No ensaio de tração, o corpo de prova (Figura 8a) é colocado entre as garras da 
máquina de teste (Figura 8b) e então carregado em tração. Sistemas de medida armazenam as 
deformações, enquanto o controle automático e os sistemas de processamento de dados 
tabelam e fazem o registro gráfico dos resultados (GERE; GOODNO, 2010). 
A partir dos resultados obtidos em um ensaio de tração, é possível calcular diversos 
valores da tensão e da deformação correspondentes no corpo de prova e, com isso, elaborar 
um importante gráfico no qual a curva resultante é denominada diagrama tensão-deformação 
(HIBBELER, 2010). 
𝜏𝑧𝑥 = lim
∆𝐴→0
∆𝐹𝑥
∆𝐴
 
𝜏𝑧𝑦 = lim
∆𝐴→0
∆𝐹𝑦
∆𝐴
 
(6) 
11 
 
A tensão axial é calculada dividindo-se a carga P aplicada pela área A da seção 
transversal do corpo de prova - Equação (2). Quando a área inicial do corpo de prova é 
utilizada, a tensão é chamada de tensão nominal ou tensão de engenharia. Se for empregada a 
área real da região onde a falha ocorre, a tensão é dita verdadeira ou natural. A deformação 
axial média nominal ε é calculada dividindo-se o alongamento medido δ entre marcações 
efetuadas ao longo do comprimento padrão inicial L0 (Figura 8a) pelo próprio comprimento 
padrão inicial L0 - Equação(2). Uma vez que a distância entre as marcas de medida aumenta 
enquanto a carga é aplicada, a deformação verdadeira (ou natural) pode ser calculada, em 
qualquer valor de carga, usando a distância real entre essas marcas (GERE; GOODNO, 2010). 
Hibbeler (2010) e Gere & Goodno (2010) concordam que o aço estrutural possui 
grande importância na engenharia e discorrem sobre o seu diagrama tensão-deformação 
(Figura 9). 
Figura 8 – Ensaio de tração: (a) Corpo de prova; (b) Máquina de ensaios (BEER et al, 2011) 
Figura 9 – Diagrama tensão-deformação de um aço estrutural (sem escala) 
(HIBBELER, 2010) 
12 
 
Na região elástica, a curva é, na verdade, uma linha reta em quase toda a área, de 
modo que a tensão é proporcional à deformação, isto é, o material é linearmente elástico. O 
limite superior da tensão nessa relação linear é denominado limite de proporcionalidade, σlp. 
Caso a tensão ultrapasse ligeiramente o limite de proporcionalidade, o material ainda pode 
responder de maneira elástica, mas a reta tende a encurvar-se. Até o limite de elasticidade, o 
corpo de prova retornará à sua forma inicial quando removida a carga (HIBBELER, 2010). 
Segundo Gere & Goodno (2010), a inclinação da parte reta da curva é denominada módulo de 
elasticidade. 
Quando a tensão ultrapassa o limite de proporcionalidade, ocorre um alongamento 
considerável do corpo de prova sem um aumento notável da força de tração. Neste momento 
acontece o escoamento do material e tem-se a tensão de escoamento, σe. Na região do 
escoamento, o alongamento do aço estrutural é tipicamente 10 a 15 vezes o alongamento que 
ocorre na fase linear. Por este motivo o gráfico é apresentado fora de escala (GERE; 
GOODNO, 2010). 
Posteriormente, o aço começa a recuperação (ou encruamento), que faz com que o 
alongamento exija um aumento na carga de tração, até que esta atinja um valor máximo, com 
uma consequente tensão normal máxima, σu. Um maior estiramento na barra é acompanhado 
de uma redução na carga até que a fratura finalmente ocorra (GERE; GOODNO, 2010). 
Hibbeler (2010, p. 59) destaca que, pelo diagrama tensão-deformação real, no entanto, 
“a área real A no interior da região de estricção diminui sempre até a ruptura, σrup, portanto, na 
verdade, o material suporta tensão crescente, visto que σ = P/A”. Segundo o autor, “embora os 
diagramas tensão-deformação convencional e real sejam diferentes, a maioria dos projetos de 
engenharia fica dentro da faixa elástica, pois, em geral, a distorção do material não é severa 
dentro dessa faixa”. 
A relação linear entre tensão e deformação para uma barra em tração ou compressão 
simples é chamada de Lei de Hooke, e é representada pela Equação (7), na qual E representa o 
módulo de elasticidade (GERE; GOODNO, 2010). 
 
 
 
𝜎 = 𝐸. 𝜀 (7) 
13 
 
3.2 Vigas 
As vigas são peças estruturais submetidas a forças e momentos com vetores 
perpendiculares ao eixo da barra. Quando as cargas agem no mesmo plano, e se todos os 
deslocamentos ocorrerem nele, as vigas (Figura 10) são ditas estruturas planas e o referido 
plano é denominado plano de flexão (GERE; GOODNO, 2010). 
Usualmente, as vigas são classificadas pela maneira como estão apoiadas. A viga 
simplesmente apoiada, ilustrada na Figura 11a, conta com um apoio de pino, ou articulação 
(extremidade A) em uma extremidade e um apoio de rolete na outra (extremidade B). O apoio 
de pino impede a translação vertical e horizontal de uma viga, mas não restringe sua rotação, 
enquanto o apoio de rolete impede somente a translação no sentido vertical. Na viga 
engastada, ou em balanço (Figura 11b), o apoio evita translação e rotação da extremidade 
apoiada, enquanto que extremidade pode ter ambos os movimentos. Por fim, a viga simples 
em balanço, ilustrada pela Figura 11c, conta com apoio fixo na extremidade A e apoio móvel 
no ponto B. Neste caso, a parte que se estende além do ponto B se assemelha à viga em 
balanço, com a diferença de que pode girar neste ponto B (GERE; GOODNO, 2010). 
A Figura 11 mostra, também, diversos tipos de carregamentos que podem atuar sobre 
vigas. Cargas concentradas são representadas pelas forças P1, P2, P3, e P4. O carregamento q 
(Figura 11a) representa um carregamento uniformemente distribuído, enquanto que o 
carregamento com variação linear é ilustrado pela distribuição q1-q2 (Figura 11b) (GERE; 
GOODNO, 2010). 
Figura 10 – Exemplos de vigas submetidas a esforços laterais (GERE; GOODNO, 2010). 
Figura 11 – Tipos de vigas: (a) Viga simples; (b) Viga engastada; (c) Viga simples em 
balanço (GERE; GOODNO, 2010) 
14 
 
3.2.1 Forças cortantes e momentos fletores 
A determinação de tensões e deformações internas de uma viga depende do 
conhecimento das forças e momentos internos que atuam nas seções transversais desta viga. 
Com relação às tensões, a estática estabelece que sua resultante pode ser reduzida a uma força 
cortante V e a um momento fletor M (GERE; GOODNO, 2010). 
Hibbeler (2010) e Gere & Goodno (2010) adotam uma convenção de sinais particular 
para V, M e os carregamentos, determinada pelo modo como a tensão resultante deforma o 
material em que atua.Desta forma, a força cortante positiva tende a girar o material no 
sentido horário, um momento fletor positivo comprime a parte superior da viga e as cargas, 
distribuídas (q) ou concentradas (P1 e P2), são positivas quando atuam para baixo na viga. O 
sinal negativo é aplicado para as condições opostas. A Figura 12 ilustra essa convenção. 
Gere & Goodno (2010) destacam, no entanto, que para as equações de equilíbrio deve 
ser empregada a convenção de sinais da estática, na qual as forças são positivas ou negativas 
de acordo com sua direção em relação aos eixos de coordenadas e os momentos são positivos 
no sentido anti-horário. 
Forças cortantes e momentos fletores ao longo de uma viga podem ser investigados 
através de relações destes com as cargas, de acordo com a Equação (8) (GERE; GOODNO, 
2010). 
O resultado de dV/dx = 0 condiz com dV/dx = -q, uma vez que não há carga 
distribuída e sim uma carga concentrada, P, concentrada. Da mesma forma, se forem tomadas 
as derivadas dM/dx, se chegará às expressões de V, comprovando que dM/dx = V (GERE; 
GOODNO, 2010). 
No caso de uma carga concentrada, toma-se como exemplo a viga ilustrada na (Figura 
13) e explicitado, com utilização do método das seções, pela Equação (9) (GERE; GOODNO, 
2010). 
 
𝑑𝑉
𝑑𝑥
= −𝑞 
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 𝑉 (8) 
Figura 12 – Convenção de sinais: (a) Cortante e momento; (b) Cargas (Adaptado de 
GERE; GOODNO, 2010; BEER et al, 2011) 
15 
 
 
3.2.2 Tensões normais em vigas 
Quando cargas são aplicadas a uma viga, seu eixo longitudinal é deformado em uma 
curva, de maneira que as tensões e deformações resultantes são diretamente relacionadas à 
curvatura da curva de flexão. A Figura 14 mostra as características geométricas de uma curva 
de deflexão1 (GERE; GOODNO, 2010). 
 
1 Ver seção 3.3 
𝑅𝐴 =
𝑃𝑏
𝐿
 𝑅𝐵 =
𝑃𝑎
𝐿
 
𝑉 = 𝑅𝐴 =
𝑃𝑏
𝐿
 𝑀 = 𝑅𝐴𝑥 =
𝑃𝑏𝑥
𝐿
 (0 < 𝑥 < 𝑎) 
𝑉 = 𝑅𝐴 − 𝑃 =
𝑃𝑏
𝐿
− 𝑃 = −
𝑃𝑎
𝐿
 (𝑎 < 𝑥 < 𝐿) 
𝑀 = 𝑅𝐴𝑥 − 𝑃(𝑥 − 𝑎) =
𝑃𝑏𝑥
𝐿
− 𝑃(𝑥 − 𝑎) =
𝑃𝑎
𝐿
(𝐿 − 𝑥) (𝑎 < 𝑥 < 𝐿) 
𝑀𝑀Á𝑋 =
𝑃𝑎𝑏
𝐿
 
(9) 
Figura 13 – Relações de carga concentrada (Adaptado de GERE; GOODNO, 2010) 
Figura 14 – Curvatura da viga fletida: (a) Carga aplicada; (b) Curva de deflexão 
(Adaptado de GERE; GOODNO, 2010) 
16 
 
A distância m1O’ da curva ao centro de curvatura é chamada raio de curvatura, ρ, 
sendo o seu inverso denominado curvatura, κ, de acordo com a Equação (10) (GERE; 
GOODNO, 2010). 
A partir da geometria do triângulo O’m1m2, tem-se que ρdϴ = ds, onde dϴ é o ângulo 
infinitesimal entre as normais e ds é a distância infinitesimal ao longo da curva entre m1 e m2. 
Combinando essa relação com a Equação (10) e, admitindo que as deflexões em vigas sejam 
usualmente muito pequenas em comparação ao seu comprimento, chega-se à Equação (11), na 
qual se admite que a distância ds ao longo da curva pode ser considerada igual à sua projeção 
horizontal dx (GERE; GOODNO, 2010). 
Ao se analisar um trecho de viga inicialmente reto, submetido a momentos fletores M 
(Figura 15a), com a consequente deflexão no plano xy, é observado que seções transversais da 
viga, tais como mn e pq, permanecem planas e normais ao seu eixo longitudinal. De acordo 
com a Figura 15c, também é notável que linhas longitudinais na parte inferior da viga são 
alongadas, enquanto linhas na parte superior são comprimidas, sendo a linha ss a única a não 
mudar de comprimento e, por isso, denominada linha neutra. Essas alterações nos 
comprimentos das linhas criam deformações normais, ϵx que, associadas à curvatura podem 
ser calculadas pela Equação (12) (GERE; GOODNO, 2010). 
 
𝜅 =
1
𝜌
 (10) 
𝜅 =
1
𝜌
=
𝑑𝜃
𝑑𝑥
 (11) 
Figura 15 – Deformações em uma viga: (a) Trecho inicialmente reto; (b) Seção transversal; (c) 
Viga deformada (Adaptado de GERE; GOODNO, 2010) 
17 
 
Admitindo que o regime elástico é respeitado, ou seja, que a Lei de Hooke seja válida, 
é possível relacionar a deformação com a tensão, σx, por meio da Equação (13a). Levando em 
consideração o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo z, e 
entendendo que o eixo x passa pelo centroide, a curvatura pode ser relacionada com o 
momento fletor, M, pela Equação (13b). O produto EI é denominado rigidez de flexão da 
viga. Por fim, substituindo (13b) em (13a), têm-se que a tensão σx, ao longo do eixo y, pode 
ser calculada pela Equação (13c). Chamando de c, a maior distância entre a linha neutra e a 
superfície, e tratando como indiferente a condição de tração ou compressão, a Equação (13d) 
fornece a tensão máxima atuante na seção (GERE; GOODNO, 2010; BEER et al, 2011). 
Gere & Goodno (2010) ressaltam que, apesar dessas análises serem para flexões puras, 
isto é, onde não existam distorções laterais em virtude de forças cortantes inerentes de flexões 
não uniformes, a teoria da flexão pode utilizada para calcular tensões normais em vigas 
submetidas à flexão não uniforme, tal que uma análise cautelosa revela que as tensões 
normais a partir da fórmula da flexão – Equações (13c) e (13d) – não são significativamente 
alteradas pelo ocasional empenamento associado às forças cortantes. 
3.3 Deflexão de vigas de seção constante 
À exemplo das tensões normais, a curva de deflexão de uma viga também pode ser 
calculada a partir da curvatura oriunda da flexão. Através do equacionamento da curva da 
deflexão, é possível calcular as deflexões, ν (Figura 16), em pontos específicos da viga, que 
são de grande importância no projeto estrutural, devendo ser analisados se seus valores 
encontram-se dentro de limites toleráveis (GERE; GOODNO, 2010; HIBBELER, 2010). 
𝜖𝑥 = −
𝑦
𝜌
= −𝜅𝑦 
(12) 
𝜎𝑥 = 𝐸𝜖𝑥 = −
𝐸𝑦
𝜌
= −𝐸𝜅𝑦 (𝑎); 𝜅 =
1
𝜌
=
𝑀
𝐸𝐼
 (𝑏); 𝜎𝑥 = −
𝑀𝑦
𝐼
 (𝑐); 𝜎𝑚á𝑥 =
𝑀𝑐
𝐼
 (𝑑) 
(13) 
Figura 16 – Curva de deflexão de uma viga engastada: (a) Aplicação da carga; (b) Curva de 
deflexão; (c) Relação da deflexão com a curvatura (Adaptado de GERE; GOODNO, 2010) 
18 
 
Para o caso de deflexões muito pequenas, sendo essa a condição esperada na maioria 
dos projetos estruturais, e seguindo as considerações feitas na seção 3.2.2, tem-se que o 
ângulo ϴ é aproximadamente igual à derivada de ν em relação a x, Equação (14a). Derivando 
ϴ em relação a x, Equação (14b), e combinando com as Equações (11) e (13b), obtêm-se a 
Equação (14c), que relaciona a deflexão ao momento fletor e à rigidez de flexão (GERE; 
GOODNO, 2010). 
Associando a Equação (14c) com as relações entre momento M, força cortante V e 
carregamento distribuído q, Equação (8), para vigas com rigidez de flexão constante é 
possível estabelecer as relações da Equação (15) (GERE; GOODNO, 2010). 
A deflexão pode ser obtida a partir de sucessivas integrações destas equações. Para 
cada integração se faz necessária a introdução de constantes C de integração para que, 
resolvendo-as, se obtenha uma solução única de um problema particular. A determinação das 
constantes se dá pela avaliação das funções para cisalhamento, momento, inclinação ou 
deslocamento certo ponto da viga onde o valor da função é conhecido. Esses valores são 
denominados condições contorno, e alguns deles são apresentados na Figura 17 (HIBBELER, 
2010). 
3.3.1 O método da superposição 
O método da superposição estabelece que a inclinação e a deflexão causadas por 
diversas forças, concentradas ou distribuídas, aplicadas em uma viga, podem ser calculadas 
separadamente e posteriormente somadas, algebricamente, para a obtenção dos valores 
resultantes referentes aos esforços atuando de forma combinada (BEER et al, 2011). 
𝜃 ≈ tg 𝜃 =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 (𝑎); 
𝑑𝜃
𝑑𝑥
=
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
 (𝑏); 
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
=
𝑀
𝐸𝐼
 (𝑐) (14) 
𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
= 𝑀 (𝑎); 𝐸𝐼
𝑑3𝑣
𝑑𝑥3
= 𝑉 (𝑏); 𝐸𝐼
𝑑4𝑣
𝑑𝑥4
= −𝑞 (𝑐) (15) 
Figura 17 – Condições de contorno das equaçõesde deflexão (Adaptado de 
HIBBELER, 2010) 
19 
 
De acordo com Gere & Goodno (2010), a funcionalidade do método é amparada pelo 
princípio da superposição, o qual é válido sempre que a quantidade a ser determinada for uma 
função linear dos carregamentos aplicados. Além disso, a justificativa para superpor deflexões 
encontra-se na natureza das equações diferenciais da curva de deflexão, as quais são lineares 
por conta de todos os termos contendo a deflexão ν e suas derivadas estarem elevadas a 
primeira potência, permitindo a superposição. 
A Figura 18 mostra aplicações do método para um carregamento concentrado 
localizado no meio de uma viga e um carregamento distribuído. Os eixos indicam sentido 
positivo das coordenadas. Se os dois carregamentos forem aplicados a uma mesma viga basta 
somar os valores calculados para encontrar os resultados totais (HIBBELER, 2010). 
3.3.2 O método de Castigliano 
Do estudo da energia de deformação de flexão, tem-se que uma carga, quando 
aplicada a uma viga, provoca um deslocamento (deflexão) e, com isso, realiza um trabalho, 
W, igual à energia de deformação, U, armazenada na viga. Essa energia interna pode ser 
calculada em função do momento fletor variável ao longo da viga pela Equação (16) (GERE; 
GOODNO, 2010). 
Segundo Gere & Goodno (2010, p. 629), “a derivação parcial da energia de 
deformação de uma estrutura em relação a qualquer carregamento é igual ao deslocamento 
correspondente àquele carregamento”. Dessa forma, qualquer um dos deslocamentos δ (ou v) 
da Figura 19 podem ser calculados a partir da derivada parcial da energia total de deformação 
𝑈 = ∫
𝑀²
2𝐸𝐼
𝑑𝑥 (16) 
Figura 18 – Exemplos de aplicação do método da superposição (Adaptado de 
HIBBELER, 2010) 
20 
 
em relação à carga P correspondente, conforme a Equação (17), a qual é denominada 
Teorema de Castigliano. 
3.4 Análise por Elementos Finitos 
Na engenharia, muitos fenômenos podem ser descritos em termos de equações 
diferenciais parciais. Entretanto, a solução analítica dessas equações para geometrias 
complexas torna-se quase impossível. O Método dos Elementos Finitos, MEF, é uma 
aproximação numérica destinada a resolver essas equações diferenciais parciais de modo 
aproximado e pode ser empregado, entre outras aplicações, para prever o comportamento 
estrutural, térmico, elétrico e químico de sistemas, tanto no projeto como na análise de 
desempenho (FISH; BELYTSCHKO, 2009, grifo nosso). 
3.4.1 Histórico 
Anteriormente ao MEF, ainda no fim do século XVIII, Gauss já propunha utilizar 
funções de aproximação para solução de problemas matemáticos. Durante mais de cem anos, 
diversos matemáticos trabalharam em teorias e técnicas analíticas para solução de problemas, 
porém com pouco ou nenhum sucesso em virtude das limitações existentes no processamento 
de equações algébricas (LOTTI et al, 2006). 
Ao fim da década 1940, engenheiros aeronáuticos buscando análises estruturais mais 
sofisticadas em virtude das maiores cargas impostas pelos novos motores a jato, e ainda sem o 
advento dos computadores modernos, introduziram métodos matriciais de análise de força, 
com a força como incógnita e deslocamentos decorrentes como valores conhecidos. O MEF, 
em sua forma mais utilizada, corresponde ao método dos deslocamentos, no qual as incógnitas 
𝛿 =
𝜕𝑈
𝜕𝑃𝑖
 
(17) 
Figura 19 – Aplicabilidade do Teorema de Castigliano: (a) Cargas aplicadas; (b) Deflexões 
correspondentes calculáveis (GERE; GOODNO, 2010) 
21 
 
são os deslocamentos do sistema em resposta a sistemas de força aplicada. O termo 
deslocamento, no método dos elementos finitos, pode representar, além de deslocamento 
físico, também temperatura ou velocidade do fluido, por exemplo, que fez com que, durante 
as décadas de 1960 e 1970, o MEF fosse amplamente estendido para outras áreas além da 
análise estrutural (HUTTON, 2004). 
3.4.2 Definição 
Alves Filho (2000) inicia a abordagem sobre elementos finitos definindo que a 
aplicação do método começa pela determinação de um sistema discreto, no qual uma 
estrutura, inicialmente um sistema contínuo, é dividida em partes separadas distintas, 
conectadas entre si nos pontos discretos (nós). Com a subdivisão do sistema em um número 
finito de elementos, a estrutura inteira é modelada por um agregado de estruturas 
simplificadas. 
Os modelos discretos podem ser divididos em estruturas reticuladas e elementos 
estruturais conectados continuamente. No primeiro caso, cada componente da estrutura pode 
ser considerado um elemento e os nós são os próprios pontos de união entre estes 
componentes. É o caso das treliças, por exemplo. No segundo caso, um corpo contínuo é 
subdividido artificialmente em um certo número finito de elementos, também conectados 
apenas nos nós. A essa subdivisão dá-se o nome de malha de elementos finitos (ALVES 
FILHO, 2000). Uma vez que a exatidão da solução melhora com o aumento do número de 
elementos e nós, torna-se imprescindível o uso do processamento de computadores para a 
viabilidade do método (FISH; BELYTSCHKO, 2009). A Figura 20 mostra exemplos dos dois 
tipos de modelos discretizados. 
Figura 20 – Modelos discretizados: (a) Estruturas reticuladas; (b) Elementos estruturais 
conectados continuamente (Adaptado de ALVES FILHO, 2000) 
22 
 
A análise por elementos finitos é baseada em diversos princípios físicos e 
matemáticos. Estes princípios incluem, por exemplo, equilíbrio estático compreendendo 
deformações e, para estruturas mais complexas, métodos de energia como o teorema de 
Castigliano (HUTTON, 2004). 
De acordo com Alves Filho (2000), o princípio do MEF consiste em relacionar as 
forças atuantes e os deslocamentos decorrentes em cada nó, e a maneira mais adequada para 
tal se dá por meio de uma abordagem matricial. Nesse contexto, a matriz de forças, F, é igual 
ao produto da matriz dos coeficientes de rigidez, k, pela matriz de deslocamentos, d, 
associados aos nós. Segundo o autor, a matriz de rigidez da estrutura depende da matriz de 
rigidez de cada elemento. 
Hutton (2004) e Fish & Belytschko (2009) descrevem o comportamento de um 
elemento de barra simples, no qual estabelecem como importantes apenas as forças axiais 
internas, desprezando forças de dobragem, cisalhamento e torção. As condições de tensão 
axial constante na seção transversal e tensão deformação elástica – Equações (2) e (7), 
respectivamente, são assumidas e a deformação axial é caracterizada pela Equação (4). A 
Figura 21 ilustra a abordagem e serve de orientação para o entendimento das deduções a 
seguir, todas efetuadas por estes dois autores. O índice e indica referência ao elemento. 
Se uma força F1
e for aplicada no ponto 1 e uma outra, F2
e, aplicada no ponto 2, a 
condição de equilíbrio do elemento se da pela Equação (18). 
A Equação (19) apresenta a matriz de força interna do elemento, Fe, bem como a 
matriz de deslocamento do elemento, de. 
𝐹1
𝑒 + 𝐹2
𝑒 = 0 (18) 
𝐹𝑒 = [
𝐹1
𝑒
𝐹2
𝑒] (𝑎); 𝑑
𝑒 = [
𝑢1
𝑒
𝑢2
𝑒] (𝑏) (19) 
Figura 21 – Elemento de barra sujeito a esforço normal (HUTTON, 2004) 
23 
 
Igualando F2
e à força interna do elemento, e reorganizando as Equações (2),(4) e (7), 
obtém-se a Equação (20). 
Se a elongação δ for expressa em termos dos deslocamentos nodais, tem-se que: 
A substituição de (21) em (20) fornece: 
Onde: 
A partir da condição de equilíbrio da barra tem-se que: 
Por fim, as Equações (22) e (24) podem ser escritas na forma matricial, como 
demonstrado na Equação (25). 
3.5 Projeto mecânico 
De acordo com Shigley, Mischke e Budynas (2005), um projeto é um processo 
iterativo com muitas fases interativas e sua elaboração viabiliza tanto um plano para atender a 
uma necessidade quanto a solução de um problema. Quando este plano cria um produto físico, 
este deverá possuir, entre outras características, funcionabilidade, segurança e confiabilidade. 
Norton (2013, p. 3) define o projetode engenharia como “o processo de aplicação das 
várias técnicas e princípios científicos com o intuito de definir um dispositivo, um método ou 
um sistema suficientemente pormenorizado para permitir sua realização”. Segundo o autor, é 
tarefa do engenheiro definir e calcular as variáveis envolvidas no dimensionamento de cada 
um dos diversos componentes existentes em uma máquina. 
𝐹2
𝑒 = 𝐴𝑒𝐸𝑒
𝛿𝑒
𝐿𝑒
 (20) 
𝛿𝑒 = 𝑢2
𝑒 − 𝑢1
𝑒 (21) 
𝐹2
𝑒 = 𝑘𝑒(𝑢2
𝑒 − 𝑢1
𝑒) (22) 
𝑘𝑒 =
𝐴𝑒𝐸𝑒
𝐿
 (23) 
𝐹1
𝑒 = −𝐹2
𝑒 = 𝑘𝑒(𝑢1
𝑒 − 𝑢2
𝑒) (24) 
[
𝐹1
𝑒
𝐹2
𝑒]⏟
𝐹𝑒
= [
𝑘𝑒 −𝑘𝑒
−𝑘𝑒 𝑘𝑒
]
⏟ 
𝑘𝑒
[
𝑢1
𝑒
𝑢2
𝑒]⏟
𝑑𝑒
 (25) 
24 
 
Ashby (2012) pondera que a maioria dos projetos, no entanto, não é original, ou seja, 
uma inovação. Segundo o autor, quase todos os projetos são adaptativos ou 
desenvolvimentistas, nos quais um produto já existente é aperfeiçoado no âmbito de seu 
princípio de funcionamento ou mesmo pelo emprego de novos tipos de materiais. Por fim, 
classifica como projeto variante aquele que envolve uma mudança de escala ou dimensão, 
como a ampliação de uma caldeira, por exemplo. 
3.5.1 Metodologia de Projetos 
Norton (2013) destaca que existem inúmeras metodologias desenvolvidas para a 
elaboração de projetos, diante das muitas soluções possíveis para os mais diversos problemas 
não estruturados existentes na engenharia. Em sua obra, aborda uma metodologia constituída 
por dez etapas, como mostra a Tabela 1. 
Tabela 1 – Etapas de uma metodologia de projetos mecânicos (Adaptado de NORTON, 2013). 
Etapa Descrição 
1 Identificação da necessidade 
2 Pesquisa de suporte 
3 Definição dos objetivos 
4 Especificações de tarefas 
5 Síntese 
6 Análise 
7 Seleção 
8 Projeto detalhado 
9 Protótipo e teste 
10 Produção 
 As etapas de 1 a 3 consistem na identificação e compreensão daquilo que deve ser 
projetado. Na etapa 4, um conjunto detalhado de especificações de tarefas fecha o problema e 
limita seu alcance. A etapa 5, também conhecida por fase de concepção e invenção, é o 
momento de buscar tantas alternativas de projeto quanto possíveis. Na etapa 6, há um refino 
das diversas alternativas sugeridas na fase anterior, seguido da seleção daquela considerada 
mais promissora, na etapa 7. Na etapa 8, realiza-se um projeto detalhado da solução 
selecionada, juntamente com elaboração de desenhos, definição de fornecedores e de 
processos de fabricação. A etapa 9 consiste na primeira construção física do produto 
projetado, que é então submetido a critérios de validação e certificação, para então, na etapa 
10, ser fabricado em larga escala (NORTON, 2013). 
25 
 
Norton (2013) e Shigley, Mischke e Budynas (2005) concordam que, embora haja essa 
estruturação lógica de etapas, o sucesso de um projeto depende justamente da possibilidade de 
haver iterações durante o processo, isto é, repetir ou voltar a um estágio anterior. Uma vez 
adotada uma configuração inicial de um componente, suas características definidas pelo 
dimensionamento podem impactar nas características dos outros componentes a ele 
associados, e isso torna necessário voltar a uma etapa anterior para que sejam feitos ajustes 
nas definições, tais quais forem adequadas. 
3.5.2 Formulação e Cálculo do Problema 
Aprofundando o estudo das etapas 5 até 8, Norton (2013) sugere um procedimento 
estruturado onde deixa claro a necessidade da adoção de hábitos computacionais e cuidadosos 
durante a elaboração de um projeto, além de uma abordagem que envolva a manutenção de 
registros e documentação das ações tomadas ao longo do trabalho (Figura 22). 
Conforme Norton (2013), no estágio de definição devem ser levantadas todas as 
informações conhecidas e os efeitos que estas podem acarretar na resolução do problema. No 
projeto preliminar, decisões iniciais devem ser tomadas para o prosseguimento do projeto. 
Essas decisões devem ser tomadas a partir de um balanço realizado entre as definições e 
hipóteses conhecidas no estágio anterior. Por exemplo, a forma da seção transversal de um 
eixo pode ser maciça, de fácil construção, mas pode impactar num aumento de massa 
desfavorável à efeitos dinâmicos a que o componente estará sujeito. Os croquis devem ser 
elaborados para registrar a decisão tomada. Shigley, Mischke e Budynas (2005) destacam que 
restrições relacionadas a processos de manufatura, recursos de fábricas e condições de 
fornecimento de matéria-prima devem ser observados no campo da viabilidade de um projeto. 
Na etapa do projeto detalhado, a partir da definição de um modelo de engenharia, isto 
é, um modelo matemático que descreva o comportamento físico do sistema, a análise e a 
Figura 22 – Formulação e cálculo do problema (Adaptado de NORTON, 2013) 
26 
 
avaliação do projeto são as ferramentas capazes de garantir que o modelo físico atenderá às 
condições esperadas. Nesse âmbito, as ferramentas de projeto auxiliado por computador 
(CAD) e engenharia auxiliada por computador (CAE) representam, hoje, um aparato 
fundamental para a viabilidade econômica dos projetos, já que é cada vez maior a 
complexidade e simultaneamente menor o tempo para sua elaboração. (NORTON, 2013; 
SHIGLEY; MISCHKE; BUDYNAS, 2005). Alves Filho (2000) e Hutton (2004) destacam, no 
entanto, que o profissional que emprega a simulação computacional em um projeto deve 
possuir conhecimento sólido para saber identificar se os resultados obtidos em uma análise 
são, ou não, válidos e aceitáveis. 
Norton (2013) destaca que, feitas todas as iterações consideradas necessárias, a 
documentação referente ao projeto deve ser acrescida dos desenhos detalhados, especificações 
de materiais e de processos de fabricação, entre outros. Na verdade, desde que adotada uma 
abordagem adequada, a documentação pode ser realizada durante as outras etapas do projeto, 
apenas com registros precisos das informações construídas ao longo do processo. 
3.5.3 Dimensionamento e Fator de Segurança 
Os mais diversos sistemas e componentes concebidos a partir de projetos mecânicos 
estão expostos a vários tipos de solicitações. Como ponto de partida do estágio de definição 
visto na seção anterior, essas solicitações precisam ser classificadas para que se possa 
determinar quais análises devem ser conduzidas a fim de dimensionar estas diferentes peças. 
Uma breve contextualização de classes de solicitações pode ser vista na Tabela 2 (NORTON, 
2013) 
Tabela 2 – Classes de solicitações (NORTON, 2013) 
 Solicitações constantes Solicitações variáveis 
Elementos imóveis Classe 1 Classe 2 
Elementos móveis Classe 3 Classe 4 
 
Para a Classe 1, uma análise de carregamento estático é suficiente. Nas Classes 2, 3 e 
4, a princípio, uma análise dinâmica é requerida. Contudo, na Classe 3, por exemplo, se os 
movimentos forem tão lentos a ponto das acelerações geradas serem desprezíveis, o sistema 
pode ser qualificado como de Classe 1. Isso mostra que tudo em um projeto deve ser 
ponderado por quem o executa (NORTON, 2013). 
27 
 
Conhecidas as solicitações, ainda é preciso lidar com as incertezas inerentes ao 
projeto. Nem sempre as informações disponíveis para a elaboração de um projeto mecânico 
são inteiramente confiáveis, embora válidas. Para tanto, a adoção de fatores oriundos da razão 
entre duas quantidades de mesma unidade, como (resistência)/(tensão), por exemplo, faz-se 
necessária. Os valores numéricos dos coeficientes de segurança, CS, são, muitas vezes, 
obtidos em normas técnicas específicas, ou então determinados por convenções previamente 
definidas. A Tabela 3 apresenta fatores utilizados para determinar um coeficiente de 
segurança para materiais dúcteis, na qual o coeficiente global de segurança é tomado como o 
maior dos três fatores escolhidos (NORTON, 2013; SHIGLEY; MISCHKE; BUDYNAS, 
2005). 
Tabela 3 - Fatores utilizados para determinar um coeficiente de segurança para materiais 
dúcteis (NORTON, 2013) 
InformaçõesQualidade das informações Fator 
 F1 
Dados das propriedades dos materiais 
disponíveis a partir de testes 
O material realmente utilizado foi testado 1,3 
Dados representativos de testes do material estão disponíveis 2 
 Dados razoavelmente representativos de testes do material estão disponíveis 3 
 Dados insuficientemente representativos de testes do material estão disponíveis 5+ 
 F2 
Condições ambientais nos quais será 
utilizado 
São idênticas às condições dos testes de materiais 1,3 
Essencialmente igual ao ambiente de um laboratório comum 2 
 Ambiente moderadamente desafiador 3 
 Ambiente extremamente desafiador 5+ 
 F3 
Modelos analíticos para forças e 
tensões 
Os modelos foram testados em experimentos 1,3 
Os modelos representam precisamente o sistema 2 
 Os modelos representam aproximadamente o sistema 3 
 Os modelos são aproximações grosseiras 5+ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
4 METODOLOGIA 
 Para alcançar os objetivos do trabalho, foi seguida uma metodologia dividida em cinco 
etapas, como mostrado na Figura 23. 
 
Figura 23 - Diagrama de blocos da metodologia 
4.1 Desenvolvimento do módulo 
 Foi elaborado um projeto adaptativo empregando materiais doados e partes 
reaproveitadas de outros equipamentos. As formas e dimensões adotadas no projeto foram 
determinadas a partir de características construtivas presentes na norma ASTM E-855-90 
(2000), sobre ensaio de dobramento de materiais metálicos destinados a aplicações de molas, 
mas com adequações em relação à finalidade do equipamento. Os requisitos do projeto foram 
estabelecidos a partir das características e dimensões dos materiais disponíveis para a 
construção, e são apresentados na Tabela 4. 
Tabela 4 - Requisitos do projeto 
Requisito Valor atribuído 
Carga máxima 5000 N 
Vão máximo entre apoios 400 mm 
Deslocamentos máximos admissíveis da estrutura 0,05 mm 
4.1.1 Projeto 
O equipamento é constituído por uma estrutura, uma unidade de aplicação de força, 
um sistema de medição de força e um sistema de medição de deslocamento. A Figura 24 
mostra o desenho de conjunto e lista de peças. 
29 
 
A estrutura base, o suporte da unidade de força e as colunas são compostos por peças 
de aço ASTM-A36, na forma de chapas planas (com espessuras entre 9,52 mm e 12,70 mm) e 
vigas tipo “I” de 4” de 1ª alma (4,83 mm). 
A unidade de força trata-se de uma bomba hidráulica manual, extraída de uma prensa 
hidráulica com capacidade de 10 Toneladas. 
O sistema de medição de força é composto por uma célula de carga tipo Z para carga 
de até 1000 kgf e um indicador digital de carga (força). O conjunto é alimentado por tensão 
alternada de 220 volts. Já o sistema de medição de deslocamento é composto por dois relógios 
comparadores com resolução de 0,01 mm, montados em bases magnéticas. 
4.1.1.1 Verificações por simulação computacional 
A partir dos limites operacionais estabelecidos para equipamento, com carga e vão 
máximos de 5000 N e 400 mm, respectivamente, foram realizadas simulações computacionais 
por elementos finitos com o software SolidWorks® a fim de garantir a resistência mecânica 
do conjunto, bem como assegurar que os deslocamentos máximos da estrutura não 
excedessem o limite máximo estabelecido no projeto, de 0,05 mm. 
A Figura 26 mostra a simulação dos deslocamentos. Como pode ser visto, o 
deslocamento máximo observado na estrutura é de 0,025 mm, abaixo do limite de 0,05 mm. 
 A exigência em torno de um valor admissível consideravelmente pequeno para a 
deflexão implica em uma estrutura excepcionalmente reforçada em termos de resistência 
mecânica. A Figura 25 mostra que os níveis de tensão a que são submetidas as peças em 
chapa do equipamento não excedem 1 MPa, enquanto um valor máximo, de pouco mais de 37 
Figura 24 – Vista de conjunto do equipamento 
30 
 
MPa é observado no apoio. Já a Figura 27 ilustra as tensões presentes nos componentes de 
viga da estrutura, as quais apresentam valores abaixo de 5 Mpa. Esse valor de tensão equivale 
a 2% da tensão de escoamento teórica do aço ASTM-A36 (250 MPa), o que representa um 
fator de segurança de 50, caso o projeto fosse abordado com esse foco. 
Figura 26 - Simulação de tensões: peças em chapa 
Figura 25 - Simulação dos deslocamentos da estrutura 
31 
 
4.1.2 Preparação das peças 
As chapas empregadas na estrutura base e nos reforços do suporte da unidade de força, 
além das vigas das colunas, foram cortadas com um maçarico de oxicorte manual (Figura 28) 
e posteriormente lixadas com uma esmerilhadeira para ajuste do alinhamento dos cortes. 
 
Figura 28 - Peças cortadas por oxicorte 
A mesa é construída em ferro fundido, material de difícil soldagem. Por conta disso, 
furos com rosca foram executados e uma chapa plana foi aparafusada no componente (Figura 
29), sendo esta chapa posteriormente soldada na estrutura base. 
Figura 27 - Simulação de tensões: componentes de viga 
32 
 
 
Figura 29 - Chapa aparafusada na mesa 
A unidade de força e seu suporte são originados de uma prensa hidráulica com 
capacidade de 10 Toneladas. A estrutura da prensa foi readequada, sendo removidas as 
colunas originais e unidas as chapas superiores e inferiores a fim de duplicar a altura da viga 
formada, aumentando o momento de inércia da seção do perfil. 
As peças responsáveis por fazer a fixação da célula de carga no equipamento foram 
construídas em aço SAE 1045, por meio de usinagem (torneamento e fresamento). 
 
Figura 30 - Peças para fixação da célula de carga 
Os apoios foram fabricados a partir de uma barra quadrada de 38,1 mm, de aço SAE 
1045. Na parte superior, um chanfro de 5º foi realizado para caracterização de um gume no 
qual os corpos de prova devem ser dispostos durante os ensaios. Os componentes foram 
acoplados, com parafusos, em suportes construídos a partir de trilhos ferroviários TR 68 e 
barras de aço SAE 1020. 
4.2 Teste do Equipamento 
Após o término da construção do equipamento, um teste foi conduzido para avaliar os 
deslocamentos dos componentes em virtude da aplicação da carga de ensaio. Esse teste 
consistiu em colocar um corpo de prova no equipamento, aplicar uma carga concentrada de 
5000 N na metade do seu comprimento e medir os deslocamentos em pontos determinados do 
equipamento. 
33 
 
O corpo de prova foi uma barra de aço ASTM A-36 com as dimensões descritas na 
Tabela 5 e ilustradas na Figura 31. 
Tabela 5 - Dimensões do corpo de prova 
Cota Dimensão (mm) 
L 400 
L1 500 
b 12,7 
h 38,1 
 
 
Figura 31 - Cotas do corpo de prova 
A Figura 32 mostra os pontos medidos, bem como as direções adotadas a partir do 
sistema de coordenadas X, Y, Z. 
 
Figura 32 - Pontos medidos e orientação dos eixos 
As medições foram feitas com dois relógios comparadores com resolução de 0,01 mm, 
marcas Mitutoyo e ZAAS Precision, que foram montados em bases magnéticas presas a 
estruturas rígidas alheias ao equipamento (Figura 33). 
34 
 
 
Figura 33 - Posicionamento dos relógios comparadores em dois pontos de medição do teste: 
(a) Ponto 2; (b) Ponto 5 
4.3 Ensaio de Flexão Conduzido no Módulo 
4.3.1 Preparação dos Corpos de Prova 
Conforme sugerido pela norma ASTM E-855-90 (2000), foram preparados seis corpos 
de prova, que foram cortados em uma serra circular com disco de aço e rebarbados por 
esmerilhadeira com disco abrasivo. As dimensões foram as mesmas praticadas no teste do 
equipamento, indicadas na Tabela 5 e na Figura 31. 
Os corpos de prova foram numerados de 1 a 6 e foram marcadas as posições de início e 
fim do comprimento L (locais dos apoios), bem como da metade (posicionamento do relógio) 
(Figura 34). 
 
Figura 34 - Corpos de prova 
35 
 
4.3.2 Procedimento 
Os corpos de prova foram colocados um por vez sobre os apoios e os dois relógios 
comparadores foram posicionados (Figura 35). O primeiro relógio foi colocado com a ponta 
de contato na parte inferior do corpo de prova, ao centro, e com