A primeira descoberta de um número irracional é geralmente atribuída a Hipaso de Metaponto, um seguidor de Pitágoras. Ele teria produzido uma demon...

Para colocar em ordem a demonstração de que a raiz de 2 é irracional, seguindo a lógica apresentada: 1) Suponha, ao contrário, que a ∈ Q, a ≠ 0, b ≠ Q e c ≠ a/b ∈ Q. 2) Como a ∈ Q, temos que a = x/y, x, y ∈ Z, y ≠ 0 (note também que x ≠ 0, já que a não é racional). 3) Também como c ∈ Q, temos que c = r/s, r, s ∈ Z, s ≠ 0. Agora c = a/b × b ≠ 0 é equivalente a r/s = x/y ÷ b, que simplifica para r×b/s = x/y, com s, y ≠ 0. 4) Isso implica que b = s×x/r×y, r×y ≠ 0, o que faz b ser um número racional. 5) Isso é uma contradição uma vez que assumimos b como irracional. Portanto, a ordem correta da demonstração é: 1) Suponha, ao contrário, que a ∈ Q, a ≠ 0, b ≠ Q e c ≠ a/b ∈ Q. 2) Como a ∈ Q, temos que a = x/y, x, y ∈ Z, y ≠ 0. 3) Também como c ∈ Q, temos que c = r/s, r, s ∈ Z, s ≠ 0. 4) Isso implica que b = s×x/r×y, r×y ≠ 0, o que faz b ser um número racional. 5) Isso é uma contradição uma vez que assumimos b como irracional. Portanto, a ordem correta da demonstração é: 1, 2, 3, 4, 5.