Estudo de Caso PO - Publicação

Prévia do material em texto

3 
 
A PESQUISA OPERACIONAL COMO FERRAMENTA EFICAZ PARA OS 
PROBLEMAS ORGANIZACIONAIS: Uma aplicação prática da Programação 
Linear, dos métodos da Pesquisa Operacional e do so ftware LINDO para 
otimizar a atividade operacional de uma empresa do ramo de comércio de 
materiais de construção 
 
 
Antonio Carlos dos Santos Fiais 
Bacharel em Ciências Contábeis – UNEB 
Bacharel em Administração – UNEB 
Pós-Graduação em Direito Tributário e Consultoria Fisco Contábil – FMNASSAU 
Mestrado em Auditoria e Gestão empresarial – Conclusão parcial - 
UNEATLANTICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Salvador/BA 
Junho/2019 
http://cbs.wondershare.com/go.php?pid=3022&m=db
4 
 
Sumário 
 
 
1. Introdução 
2. Objetivos 
3. Metodologia 
4. A empresa 
5. Organograma 
6. Programação linear 
7. Resolução software LINDO 
8. Interpretação 
9. Lindo na transposta 
10. Intepretação 
11. Considerações finais 
Referências 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
1. Introdução 
 
A Pesquisa Operacional originou-se na década de 40, nos EUA, onde 
se aplicou os conhecimentos científicos e matemáticos nas regiões militares 
durante a 2ª Guerra Mundial. Técnicas estas, que auxiliavam os generais para 
a tomada de decisão, visando indicar a melhor estratégia que atingiria seu 
inimigo. Atualmente, a Pesquisa Operacional é desenvolvida e aplicada na 
maioria das grandes empresas, abrangendo diversos setores como por 
exemplo Recursos Humanos, no momento do recrutamento e seleção, no 
desenvolvimento de funcionários e etc. Na área Financeira, buscando a 
redução de custos e aumento a lucratividade, na Logística, objetivando 
encontrar a rota mais adequada e rápida para o transporte dos seus, insumos, 
produtos e etc. 
Diante de uma aceleração constante, em mudanças de precisão no 
mercado, as empresas devem estar aptas a estas mudanças e evoluções. Uma 
empresa não pode tomar suas decisões hoje de forma aleatória e ou 
instintivas. Torna-se necessário a aplicação de um método eficaz. Método esse 
já existente como a pesquisa operacional já adotada em várias empresas em 
diversos segmentos, proporcionando resultados exatos, através de cálculos 
matemáticos. Com isso dar-se a melhora nos resultados satisfatórios em 
termos qualitativos e ou quantitativos, aplicando tanto na área industrial, 
comercial e serviços em instituições públicas e privadas, em que é possível ser 
utilizado no cálculo de uma minimização de custos, ou maximização de lucros. 
Com estes resultados é possível utilizar melhor todos os recursos da 
organização. 
Uma forma prática de mostrar a importância da pesquisa operacional é 
aplicando direta em uma empresa no segmento da construção civil com a 
finalidade de maximização de lucros. 
 
 
 
 
6 
 
2. Objetivos 
 
- Otimizar os resultados da empresa em termos qualitativos e ou quantitativos; 
- Aproveitar melhor o espaço do depósito da empresa para armazenar os seus 
produtos de forma eficaz; 
- Possibilitar maior lucratividade através da programação linear; 
- Provocar a redução dos custos da empresa através dos métodos da Pesquisa 
Operacional. 
 
 
3. Metodologia 
 
Na utilização da Programação Linear e do método da Pesquisa 
Operacional, software LINDO, busquei otimizar a atividade operacional da 
empresa através do aumento da lucratividade, onde buscaremos a melhor 
maneira de fazer com que a empresa aproveite melhor o seus espaço físico 
onde dê prioridade ao produto que lhe proporcione maior lucratividade. Buscou-
se também através dos métodos da Pesquisa Operacional a forma de fazer 
com que a empresa obtenha o menor custo possível para o desempenho de 
suas atividades operacionais. 
 
 
4. A Empresa 
 
A Empresa GG Materiais de Construção (nome fantasia), cuja razão 
social é Gilmar Souza Coelho, é uma empresa de pequeno porte sediada 
desde 1997 na rua Reinaldo Praxeles nº 40 no bairro do Arenoso na cidade de 
Salvador/Bahia, sob CNPJ de nº 02.109.603/0001-51, atuante neste mercado 
há aproximadamente 15 anos, atingindo todo o bairro do Arenoso, como 
também os bairros adjacentes: Cabula VI, Narandiba, Tancredo Neves, Santo 
Inácio e Alto da Cachoeirinha, com a pretensão de abrir uma filial no bairro de 
Mussurunga, visualizando o crescimento do bairro de São Cristovão e 
adjacências. 
7 
 
A GG tem como principais produtos de atuação a areia, a brita e o 
arenoso, itens estes que correspondem a 30% do faturamento geral da 
empresa, divididos em 11%, 8% e 11% repectivamente. Os outros 70% 
restante cabem aos itens ferragens, hidráulicos, químicos, cimento, tijolos, itens 
de acabamento, elétricos, portas, janelas, basculantes, ferramentas e outros. 
A areia tem como característica material mineral que se apresenta em 
formas de grãos, o arenoso também é mineral e se apresenta em forma de 
grãos mais finos, a brita que também é mineral, é resultado da quebra em 
pedaços pequenos de rochas através do britamento de pedras nas pedreiras, 
suas unidades de medida é em metro cúbico. 
 A GG atua na venda destes produtos, ofertando preço e qualidades de 
acordo com a necessidade de seus clientes, chegando até ser liberado de 
pagamento de alguns fretes conforme o valor negociado. Serviço este sendo 
terceirizado por não possuir uma frota própria de transporte, julga não ser 
necessário uma vez que, o custo-benefício não compensa manter uma 
estrutura de entrega. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
5. Organograma da empresa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
6. Programação Linear 
 
 
“Os problemas de Programação Linear (PL) buscam a distribuição 
eficiente de recursos limitados para atender um determinado objetivo, em geral, 
maximizar lucros ou minimizar custos. Em se tratando de PL, esse objetivo é 
expresso através de uma função linear, denominada de "Função Objetivo".” 
(PAMPLONA, Edson de Oliveira, MONTEVECHI, José Arnaldo Barra, 2005) 
 
Sabe-se que todos os recursos das empresas são limitados, dai o 
porque da grande necessidade de um bom planejamentos. Planejamento este 
que se dá através da utilização de funções matemáticas, onde é possível 
calcular o quanto a empresa pode utilizar melhor os seus recursos 
possibilitando a otimização dos mesmos. 
 
Com o objetivo de obter sucesso no mercado a GG Material de 
Construção, possui três principais produtos de venda: areia, arenoso e brita. 
Seus preços correspondem respectivamente R$ 29,17, R$ 61,17 e R$ 38,00. A 
empresa dispõe de 37m² para armazenar estes produtos, sendo 12m² para 
armazenar areia, 15m² de brita e 10m² para o arenoso. O faturamento médio 
mensal é de R$ 30.000,00, sendo que 30% corresponde a venda destes 
produtos; 11% (R$ 3.300,00) para areia, 8% (R$ 2.400,00) para brita e 11% 
(R$ 3.300,00) para a arenoso. Afim de maximizar os seus lucros qual a 
estratégia de mais adequada que a empresa precisa montar? 
 
 
 
7. Resolução software LINDO 
 
 
“O LINDO (Linear, Interactive and Discrete Optmizer) é um software 
desenvolvido pela Lindo Systems Inc. de Chicago, Illinois, EUA, para a 
resolução de modelos de programação linear, quadrática ou inteira.” (RIBEIRO, 
Úrsula, 2009) 
10 
 
 
 
 
!TITLE Aplicação do Lindo Na GG Materiais de Constr ução 
!UNEB - Universidade do Estado da Bahia 
!Disciplina: Pesquisa Operacional I 
!Alunos: Ailton Costa, Antonio Fiais, Eide de Santa na, José Pereira, 
Rita Maria 
!................................................................................... 
max29X1+61X2+38X3 !Areia=R$ 29/m3, Brita=R$ 61/m3 e 
Arenoso=R$ 38/m3 
ST 
x1<= 12 !Espaço 
x2<= 15 !Espaço 
x3<= 10 !Espaço 
X1<= 55 !Demanda 
X2<= 22 !Demanda 
X3<= 55 !Demanda 
END 
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 
 
 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 
 
 1) 1643.000 
 
 VARIABLE VALUE REDUCED COST 
 X1 12.0000000.000000 
 X2 15.000000 0.000000 
 X3 10.000000 0.000000 
 
 
 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 
 2) 0.000000 29.000000 
 3) 0.000000 61.000000 
11 
 
 4) 0.000000 38.000000 
 5) 43.000000 0.000000 
 6) 7.000000 0.000000 
 7) 45.000000 0.000000 
 
 NO. ITERATIONS= 3 
 
 
 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: 
 
 OBJ COEFFICIENT RANGES 
 VARIABLE CURRENT ALLOWABLE A LLOWABLE 
 COEF INCREASE DECREASE 
 X1 29.000000 INFINITY 29.000000 
 X2 61.000000 INFINITY 61.000000 
 X3 38.000000 INFINITY 38.000000 
 
 RIGHTHAND SIDE RANGES 
 ROW CURRENT ALLOWABLE A LLOWABLE 
 RHS INCREASE DECREASE 
 2 12.000000 43.000000 12.000000 
 3 15.000000 7.000000 15.000000 
 4 10.000000 45.000000 10.000000 
 5 55.000000 INFINITY 43.000000 
 6 22.000000 INFINITY 7.000000 
 7 55.000000 INFINITY 45.000000 
 
 
 
8. Interpretação 
 
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 – Representa o número de vezes 
que foi feito o cálculo do Simplex para se chegar ao resultado positivo. No caso 
da GG Material de Construção ao resultado na terceira tentativa. 
12 
 
 
Abaixo temos o valor encontrado na função objetiva, onde corresponde 
ao Lucro máximo que no caso é de R$ 1.643,00. 
 
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 
 
 1) 1643.000 
 
VARIABLE VALUE REDUCED COST 
 X1 12.000000 0.000000 
 X2 15.000000 0.000000 
 X3 10.000000 0.000000 
 
• VARIABLE - Identificação da variável de decisão X1 (Areia), X2 
(Brita) e X3 (Arenoso). 
• VALUE – Representam o valor das variáveis de decisão. X1=12 
significa que devem ser vendidos 12m³ de areia. X2 significa que devem ser 
vendidos 15m³ de brita. X3 significa que devem ser vendidos 10m³ de arenoso. 
• REDUCED COST - Custo reduzido de uma variável. Corresponde ao 
valor em que o coeficiente da função objetiva da variável deve ser aumentado 
para que sua solução seja diferente de zero. No caso, da nossa empresa, não 
há sugestão para aumento, pois os valores foram zero. 
 
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 
 2) 0.000000 29.000000 
 3) 0.000000 61.000000 
 4) 0.000000 38.000000 
 5) 43.000000 0.000000 
 6) 7.000000 0.000000 
 7) 45.000000 0.000000 
 
• ROW - Os números 2, 3, 4, 5, 6 e 7, representam o resultado das 
linhas referentes as restrições técnicas. 
13 
 
• SLACK OR SURPLUS (Variável de folga) - Variável de folga. 
Corresponde ao valor que sobra para chegarmos aos recursos impostos na 
restrição referente a cada linha especificada. Assim, no caso da GG Material de 
Construção, há variável de folga nas linhas 5, 6 e 7. Na linha 5 que 
corresponde a X1 <= 55 (demanda de areia na modelagem digitada na 
entrada). Como serão vendidos apenas 12m³ de areia, sobrarão 43m³ de areia 
sem vender, pois 55-43=12. Na linha 6 que corresponde a X2 <=22 (demanda 
de brita na modelagem digitada na entrada. Como serão vendidos apenas 
15m³ de brita, sobrarão 7m³ de brita sem vender, pois 22-7=15. Na linha 7 que 
corresponde a X3 <=55 (demanda de arenoso na modelagem digitada na 
entrada. Como serão vendidos apenas 10m³ de arenoso, sobrarão 45m³ de 
arenoso sem vender, pois 55-45=10. 
• DUAL PRICES – Representa o aumento na função objetiva a cada 
unidade aumentada no recurso empresarial. Por exemplo, a primeira restrição 
técnica é X1<=12(espaço) e está na segunda linha da modelagem (o número 2 
na parte denominada row). Se o espaço aumentar de 12m² para 13m², a 
função objetiva aumentará mais R$ R$ 29 (o lucro passaria de R$ 1.643 para 
R$ 1.672). Na segunda restrição técnica é X2<=15 (espaço) e está na terceira 
linha da modelagem (o número 3 na parte denominada row. Se o espaço 
aumentar de 15m² para 16m², a função objetiva aumentará mais R$ 61 (o lucro 
passaria de R$ 1.643 para R$ 1.704. Na terceira restrição técnica X2<=10 
(espaço) e está na quarta linha da modelagem (o número 4 na parte 
denominada row. Se o espaço aumentar de 10m² para 11m², a função objetiva 
aumentaria mais R$ 38 (o lucro passaria de R$ 1.643 para R$ 1.681. 
 
NO. ITERATIONS = 3 – Corresponde ao número de vezes que o 
algoritmo Simplex encontrou o resultado. Neste caso na terceira vez. De 
acordo com o quadro abaixo o lucro por unidade de X1, X2 e X3 podem variar 
de 0 a R$ 29, de 0 a R$ 61 e de 0 a R$ 38, tendo como base os recursos 
disponíveis. 
 
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: 
 
 OBJ COEFFICIENT RANGES 
14 
 
 VARIABLE CURRENT ALLOWABLE A LLOWABLE 
 COEF INCREASE DECREASE 
 X1 29.000000 INFINITY 29.000000 
 X2 61.000000 INFINITY 61.000000 
 X3 38.000000 INFINITY 38.000000 
 
 
• Conforme quadro abaixo o espaço total do depósito da GG Material 
de Construção que é de 37m² , pode variar de 37m² a 58m² = 95-37. 
• A demanda máxima de areia a que a GG Material de Construção 
pode atender é de 55m³ por mês e pode variar de 43³ a 55³. 
• A demanda máxima de brita areia a que a GG Material de 
Construção pode atender é de 22m³ por mês e pode variar de 7m³ a 22m³. 
• A demanda máxima de arenoso que a GG Material de Construção 
pode atender é de 55m³ por mês e pode variar de 45m³ a 55m³. 
 
 RIGHTHAND SIDE RANGES 
 ROW CURRENT ALLOWABLE A LLOWABLE 
 RHS INCREASE DECREASE 
 2 12.000000 43.000000 12.000000 
 3 15.000000 7.000000 15.000000 
 4 10.000000 45.000000 10.000000 
 5 55.000000 INFINITY 43.000000 
 6 22.000000 INFINITY 7.000000 
 7 55.000000 INFINITY 45.000000 
 
 
 
 
9. Transposta 
 
 
A GG Material de Construção possui hoje 03 funcionários, João, Paulo, 
marcos. Ela tem em rol de departamentos, produtos químicos, hidráulico, 
15 
 
elétrico que correspondem uma demanda de 210, 300 e 450 itens, sendo que a 
produção individual de seus funcionários corresponde a 240, 360 e 360. João 
atende a 40 p/ química, 35 p/ hidráulica e 80 p/ elétrica, Paulo atende 60 p/ 
química, 70 p/ hidráulica e 98 p/ elétrica, enquanto marcos atende 65 p/ 
química, 77 p/ hidráulica e 59 p/ elétrica. Como a GG Material de Construção 
pode dispor do menor tempo possível, para investir tempo em outros 
departamentos? 
 
 Rotas Internas 
 
J 40 Q 
 35 
240 60 210 
 
P 70 H 
 98 
360 80 300 
 65 77 
M 59 E 
 
360 45 
 Tabela 
 
 
 PARA 
DE 
QUIMICO HIDRÁULICO ELETRICO PRODUÇÃO 
 
JOAO 
 40 
 
 35 80 240 
 
PAULO 
 60 70 98 360 
 
MARCOS 
 65 7759 360 
 
DEMANDA 
 210 300 450 960 
 
 
 Modelagem 
 
 
MIN ( t ) = 40XJQ + 35XJH + 80XJE + 60XPQ + 70XPH + 98XPE + 65XMQ + 
77XMH + 59XME 
RT 
XJA + XJH + XJE = 240 
XPQ + XPH + XPE = 360 
XMQ + XMH + XME = 360 
 
16 
 
XJQ + XPQ + XMQ = 210 
XJH + XPH + XMH = 300 
XJE + XPE + XME = 450 
 
 
 
 Designação 
 
 
 PARA 
DE 
QUIMICO HIDRÁULICO ELETRICO PRODUÇÃO 
 
JOAO 
40 
 
35 80 240 
 
PAULO 
60 70 98 360 
 
MARCOS 
65 77 59 360 
 
DEMANDA 
210 300 450 960 
 
 
 
 
 
PARA 
DE 
QUÍMICO HIDRÁULICO ELÉTRICO 
 
JOAO 
40 
 
35 80 35 
 
PAULO 
60 70 98 60 
 
MARCOS 
65 77 59 59 
 
 
 
 PARA 
DE 
QUIMICO HIDRÁULICO ELETRICO 
 
JOAO 
5 0 55 
 
PAULO 
0 10 38 
 
MARCOS 
6 18 0 
 0 0 0 
 
 
 
17 
 
DE PARA TEMPO 
UNIT 
DEMANDA PRODUÇÃO 
J H 35 300 X 35 = 10.500 240 X 35 = 8.400 
P Q 60 210 X 60 = 12.600 360 X 60 = 21.600 
M E 59 450 X 59 = 26.550 360 X 59 = 21.240 
TOTAL 49.600 51.240 
 
 
 
10. LINDO da transposta 
 
 
MIN40XJQ+35XJH+80XJE+60XPQ+70XPH+98XPE+65XMQ+77XMH+59XME 
ST 
XJA+XJH+XJE=240!DEMANDA DA PRODUÇÃO DE JOÃO 
XPQ+XPH+XPE=360!DEMANDA DA PRODUÇÃO DE PAULO 
XMQ+XMH+XME=360!DEMANDA DA PRODUÇÃO DE MARCOS 
XJQ+XPQ+XMQ=210!DEMANDA DE DEPARTAMENTO QUIMICO 
XJH+XPH+XMH=300!DEMANDA DE DEPARTAMENTO HIDRÁULICO 
XJE+XPE+XME=450!DEMANDA DE DEPARTAMENTO ELÉTRICO 
END 
 
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 
 
 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 
 
 1) 55260.00 
 
 VARIABLE VALUE REDUCED COST 
 XJQ 0.000000 0.000000 
 XJH 240.000000 0.000000 
 XJE 0.000000 17.000000 
 XPQ 210.000000 0.000000 
 XPH 60.000000 0.000000 
 XPE 90.000000 0.000000 
 XMQ 0.000000 44.000000 
18 
 
 XMH 0.000000 46.000000 
 XME 360.000000 0.000000 
 XJA 0.000000 15.000000 
 
 
 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 
 2) 0.000000 15.000000 
 3) 0.000000 -20.000000 
 4) 0.000000 19.000000 
 5) 0.000000 -40.000000 
 6) 0.000000 -50.000000 
 7) 0.000000 -78.000000 
 
 NO. ITERATIONS= 2 
 
 
 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: 
 
 OBJ COEFFICIENT RANGES 
 VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE 
 COEF INCREASE DECREASE 
 XJQ 40.000000 INFINITY 15.000000 
 XJH 35.000000 15.000000 INFINITY 
 XJE 80.000000 INFINITY 17.000000 
 XPQ 60.000000 15.000000 INFINITY 
 XPH 70.000000 46.000000 15.000000 
 XPE 98.000000 17.000000 44.000000 
 XMQ 65.000000 INFINITY 44.000000 
 XMH 77.000000 INFINITY 46.000000 
 XME 59.000000 44.000000 INFINITY 
 XJA 0.000000 INFINITY 15.000000 
 
 RIGHTHAND SIDE RANGES 
 ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE 
19 
 
 RHS INCREASE DECREASE 
 2 240.000000 0.000000 210.000000 
 3 360.000000 0.000000 210.000000 
 4 360.000000 0.000000 210.000000 
 5 210.000000 INFINITY 0.000000 
 6 300.000000 210.000000 0.000000 
 7 450.000000 210.000000 0.000000 
 
 
11. Interpretação 
 
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 
 
 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 
 
 1) 55260.00 
 
 VARIABLE VALUE REDUCED COST 
 XJQ 0.000000 0.000000 
 XJH 240.000000 0.000000 
 XJE 0.000000 17.000000 
 XPQ 210.000000 0.000000 
 XPH 60.000000 0.000000 
 XPE 90.000000 0.000000 
 XMQ 0.000000 44.000000 
 XMH 0.000000 46.000000 
 XME 360.000000 0.000000 
 XJA 0.000000 15.000000 
 
• LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 – Número de Interações. Ou seja 
para encontrarmos resposta, foram feitas pela PL (Programação Linear 
) duas interações. 
 
• OBJECTIVE FUNCTION VALUE – Valor da função objetiva. Representa 
o tempo mínimo total que é de 55260, ou seja, o valor ótimo de 
minimização do tempo é de 55260. 
 
• VARIABLE – Indica a origem e o destino. 
 
• VALUE – Indica a quantidade que deve ser levada. No nosso exemplo, 
XJH = 240 significa que o funcionário João tem uma produção de 240 
unidades para o departamento Hidráulico. 
 
20 
 
• REDUCED COST – Custo reduzido de uma variável. Corresponde ao 
valor a ser aumentado no coeficiente da função objetiva da variável 
para que sua solução seja diferente de zero. No exemplo da GG 
Materiais de Construção: O valor correspondente à linha é XJE é 17. 
Isso significa que o valor, na função objetiva, deve ser aumentado de 
 
 
 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 
 2) 0.000000 15.000000 
 3) 0.000000 -20.000000 
 4) 0.000000 19.000000 
 5) 0.000000 -40.000000 
 6) 0.000000 -50.000000 
 7) 0.000000 -78.000000 
 
 NO. ITERATIONS= 2 
 
 
 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: 
 
 OBJ COEFFICIENT RANGES 
 VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE 
 COEF INCREASE DECREASE 
 XJQ 40.000000 INFINITY 15.000000 
 XJH 35.000000 15.000000 INFINITY 
 XJE 80.000000 INFINITY 17.000000 
 XPQ 60.000000 15.000000 INFINITY 
 XPH 70.000000 46.000000 15.000000 
 XPE 98.000000 17.000000 44.000000 
 XMQ 65.000000 INFINITY 44.000000 
 XMH 77.000000 INFINITY 46.000000 
 XME 59.000000 44.000000 INFINITY 
 XJA 0.000000 INFINITY 15.000000 
 
 RIGHTHAND SIDE RANGES 
 ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE 
 RHS INCREASE DECREASE 
 2 240.000000 0.000000 210.000000 
 3 360.000000 0.000000 210.000000 
 4 360.000000 0.000000 210.000000 
 5 210.000000 INFINITY 0.000000 
 6 300.000000 210.000000 0.000000 
 7 450.000000 210.000000 0.000000 
 
 
 
 
 
21 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
PEREIRA, Aliger dos Santos. Pesquisa operacional. Editora Aymará, Curitiba, 
2010. 
 
SILVA, Ermes Medeiros da. Pesquisa operacional: programação linear. 3ª ed. 
Editora Atlas, São Paulo, 1998. 
 
RIBEIRO, Úrsula Lisboa Fernandes. Pesquisa operacional. Curso 
Administração, 2009. Disponível em: 
<http://www.pucrs.campus2.br/~ursula/po.html> . Acessado em 24 fev. 2012. 
 
MUSIS, Carlos Ralph de. Introdução a pesquisa operacional. Disponível em: 
<http://www.torresnetworking.com/Fatec_arquivos/po.pdf>. Acessado em 23 
fev. 2012. 
 
PAMPLONA, Edson de Oliveira, MONTEVECHI, José Arnaldo Barra. 
Engenharia econômica II. Cap. 05 – Introdução da programação linear. 
Disponível em: <http://www.ebah.com.br/content/ABAAABnnEAL/engenharia-
economica-2>. Acessado em 18 fev. 2012. 
 
SASSE, Fernando Dekke. In deserto vita. As origens da pesquisa operacional. 
Disponível em: http://santoantao.blogspot.com/2007/05/as-origens-da-pesquisaoperacional.html. Acessado em 18 fev. 2012.