UNIDADE 2 - Análise de falhas sob carregamento estático

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Unidade 2
Análise de falhas sob 
carregamento estático
Projetista de 
Máquinas
Teoria de falha estática
➢ Introdução:
❑ O motivo pelo qual elementos ou unidades mecânicas
falham é uma questão na qual cientistas e engenheiros
têm se ocupado constantemente.
❑ Uma resposta, provavelmente correta, seria que tais
elementos falham por estarem submetidos a tensões
que superam sua resistência.
❑ Porém, existe uma questão muito mais complexa, que se
refere ao tipo de tensão ou solicitação que causou a
falha (tensão de tração, de compressão, de
cisalhamento, etc).
Teoria de falha estática
❑ A resposta a esta questão depende do material
utilizado e suas respectivas resistências.
❑ Além disso, depende também do tipo de
carregamento (estático ou dinâmico) e da presença
ou ausência de trincas no material.
❑ Geralmente, materiais dúcteis sujeitos à tração
estática, têm seu limite de resistência dado pelo
cisalhamento, enquanto que materiais frágeis são
limitados por sua resistência à tração.
❑ Portanto, frente a esta situação, são necessárias
diferentes teorias de falhas para as duas classes de
materiais existentes, dúcteis e frágeis.
Teoria de falha estática
❑ A definição cuidadosa do que se entende por falha,
também é de significativa importância dentro deste
contexto.
❑ Falha pode significar escoamento e distorção
suficientes para impedir o funcionamento de um
elemento.
❑ ou ainda... falha pode significar simplesmente fratura
ou quebra.
❑ Ambas definições são válidas, porém geradas por
mecanismos completamente diversos.
Teoria de falha estática
❑ Um escoamento significativo precedendo a falha,
somente é possível para materiais dúcteis.
❑ Materiais frágeis sofrem fratura, praticamente sem
mudanças significativas de sua forma externa.
❑ Tais diferenças de comportamento são perfeitamente
visíveis em diagramas tensão-deformação para cada
tipo de material.
❑ Além disso, a presença de trincas em materiais
dúcteis pode provocar fraturas repentinas.
Teoria de falha estática
❑ Outro fator fundamental em falhas é a característica 
do carregamento, se estático ou dinâmico.
❑ Carregamentos estáticos são aplicados lentamente, 
permanecendo constantes com o tempo.
❑ Carregamentos dinâmicos podem ser aplicados de 
duas maneiras básicas:
➢ repentinamente, como no caso do impacto;
➢ variando repetidamente com o tempo, como no caso de 
cargas por fadiga.
❑ Ambas solicitações também podem ocorrer 
simultaneamente
Teoria de falha estática
 A tabela abaixo apresenta quatro classes de
carregamentos, baseados no movimento das partes
solicitadas, e na sua dependência no tempo.
Classes de Carregamentos
Cargas 
Constantes
Cargas Variáveis 
no Tempo
Sistemas 
Estacionários
Classe 1 - carga estática: 
estrutura de uma base do tipo 
plataforma fixa.
Classe 2 - carga dinâmica: 
estrutura de uma ponte, sujeita a 
variação de carga dos veículos 
e da intensidade do vento.
Sistemas
Móveis
Classe 3 - carga dinâmica: 
cortador de grama motorizado, 
sujeito a carga externa 
constante de cortar grama e às 
acelerações das pás, devido ao 
movimento rotativo.
Classe 4 - carga dinâmica: 
motor de um automóvel, sujeito 
a cargas variáveis devidos às 
explosões de combustível e às 
variações de aceleração de 
suas massas inerciais.
Teoria de falha estática
➢ Conceito de Tensão:
❑ Representa a intensidade da força interna sobre um
plano específico (área) que passa por um
determinado ponto.
Teoria de falha estática
➢ Conceito de Tensão:
❑ Tensão Normal:
A intensidade da força ou força por unidade de área, que
atua no sentido perpendicular a ∆𝑨 , é definida como
tensão normal, 𝝈 (sigma). Portanto pode-se escrever que:
𝑑𝐹 = 𝜎 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
𝑃 = 𝜎 ∙𝐴
𝜎 =
𝑃
𝐴
Teoria de falha estática
➢ Conceito de Tensão:
❑ Tensão de Cisalhamento:
A intensidade da força ou força por unidade de área, que
atua na tangente a ∆𝑨 , é definida como tensão de
cisalhamento, 𝝉 (tau). Portanto pode-se escrever que:
𝜏𝑚é𝑑 =
𝑉
𝐴
Teoria de falha estática
➢ Conceito de Tensão:
❑ Tensão de Cisalhamento:
𝜏𝑚é𝑑 =
𝑉
𝐴
❑ onde:
𝝉𝒎é𝒅= Tensão de cisalhamento média na seção
𝑽 = Resultante interna da força de cisalhamento
𝑨 = Área da seção transversal
Teoria de falha estática
➢ Conceito de Tensão:
❑ Unidade de medida no SI
No Sistema Internacional de Unidades (SI), a intensidade
tanto da tensão normal quanto da tensão de
cisalhamento é especificada na unidade básica de
newtons por metro quadrado (𝑵/𝒎²).
Teoria de falha estática
➢ Conceito de Tensão:
❑ Unidade de medida no SI
Esta unidade é denominada pascal ( 𝟏 𝑷𝒂 = 𝟏 𝑵/𝒎² ),
como essa unidade é muito pequena, nos trabalhos de
engenharia são usados prefixos como:
✓ quilo (103), mega (106) ou giga (109).
1 𝑀𝑃𝑎 = 106 𝑃𝑎 = 106 𝑁/𝑚²
1 𝐺𝑃𝑎 = 109 𝑃𝑎 = 109 𝑁/𝑚²
Teoria de falha estática
➢ Falha de acordo com o tipo de material:
❑ Ensaio de tração
Corpo de prova
Teoria de falha estática
➢ Falha de acordo com o tipo de material:
❑ Máquina para ensaio de tração e compressão
Travessa
superior
móvel
Corpo de prova
de tração
Mostrador 
de carga
Motor
e
controle de cargas
Teoria de falha estática
➢ Falha de acordo com o tipo de material:
❑ Ensaio de tração
Falha de um 
material dúctil
Falha de um 
material frágil
Teoria de falha estática
➢ Tipo de material:
❑ Material dúctil
Qualquer material que possa ser submetido a grandes
deformações antes da ruptura é chamado de material
dúctil.
São capazes de absorver choque ou energia e, quando
sobrecarregados, exibem, em geral, grande deformação
antes de falhar.
Exemplo:
✓ Aço
Teoria de falha estática
➢ Tipo de material:
❑ Material frágil
São materiais que apresentam pouco ou nenhum
escoamento são chamados de materiais frágeis.
Exemplo:
✓ Ferro Fundido Cinza
Teoria de falha estática
➢ Diagrama Tensão-Deformação:
Diagrama Tensão-Deformação convencional e real 
para material dúctil (aço) (sem escala)
Teoria de falha estática
➢ Lei de Hooke:
❑ A maioria dos materiais da 
engenharia apresentam relação
linear entre tensão e
deformação na região de
elasticidade.
❑ Consequentemente , um
aumento na tensão provoca um
proporcional naaumento
deformação.
𝝈 = 𝑬 ∙ 𝜺
❑ onde:
𝑬 = módulo de elasticidade
Teoria de falha estática
➢ Fator de Segurança:
❑ O fator de segurança ( 𝑭. 𝑺. ) é a relação entre a
carga de ruptura 𝑭𝒓𝒖𝒑e a carga admissível𝑭𝒂𝒅𝒎.
❑ O fator de segurança é um número maior que 𝟏 a fim
de evitar maior possibilidade de falha.
❑ Valores específicos dependem dos tipos de materiais
usados e da finalidade pretendida da estrutura ou
máquina.
𝑭𝒓𝒖𝒑
𝑭. 𝑺.=
𝑭𝒂𝒅𝒎
𝝈𝒓𝒖𝒑
𝑭. 𝑺.=
𝝈𝒂𝒅𝒎
𝝉𝒓𝒖𝒑
𝑭. 𝑺.=
𝝉𝒂𝒅𝒎
Teoria de falha estática
❑ As teorias de falha são fundamentais para a
determinação de critérios para a previsão da falha
de um determinado material frente a um estado bi
ou tridimensional de tensões, sendo as mais clássicas:
✓ Materiais Frágeis
❖ Teoria da Máxima Tensão Normal (Rankine)
❖ Critério de Falha de Mohr
✓ Materiais Dúcteis
❖ Teoria da Máxima Tensão Cisalhante (Tresca)
❖ Teoria da Máxima Energia de Distorção (Von Mises)
PRÓXIMA AULA:
Teoria da Máxima 
Tensão Normal 
(Rankine)
Teoria da Máxima Tensão
Normal
(Rankine)
❑ Materiais Frágeis
❑ Definição: (Shigley)
❑ A teoria da tensão normal máxima afirma que “a
falha ocorre sempre que uma das três tensões
principais iguala-se ou excede à resistência”
Teoria da Máxima Tensão
Normal
(Rankine)
❑ a hipótese da teoria da máxima tensão normal
considera que um elemento constituído de material
frágil falha quando a tensão principal máxima no
material atinge a tensão normal máxima que o
material pode suportar em um teste de tração
uniaxial.
❑ Esta teoria também admite que falhas em
compressão ocorrem na mesma tensão máxima que
as falhas em tração.
Teoria da Máxima Tensão
Normal
(Rankine)
 Para o caso de tensãoplana, o critério da máxima 
tensão normal é dado pelas equações:
𝜎𝑥 = 𝜎1 = 𝜎𝑢
𝜎𝑦 = 𝜎2 = 𝜎𝑢
❑ Onde:
𝜎𝑢= tensão de ruptura (do teste de tração)
𝜎1 = tensão normal máxima do material
Teoria da Máxima Tensão
Normal
(Rankine)
❑ Para o caso de tensão tridimensional, o critério da 
máxima tensão normal é dado pelas equações:
𝜎1 ≥ 𝜎2 ≥ 𝜎3 = 𝜎𝑢
❑ Onde:
𝜎𝑢= tensão de ruptura (do teste de tração)
𝜎1 = tensão normal máxima do material
Elementos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso
estado triaxial de tensões
➢ Estado tridimensional de tensões
Teoria da Máxima Tensão
Normal
(Rankine)
❑ Estas equações podem ser plotadas no plano
𝝈𝟏 – 𝝈𝟐 conforme apresentado na figura abaixo:
Diagrama de falha para a teoria da 
tensão normal máxima (tensão plana)
Estado seguro 
das tensões
Materiais regulares e irregulares
❑ Materiais regulares são aqueles que tendem a
apresentar uma resistência a compressão igual a
resistência a tração.
❑ Muitos materiais fundidos, como o ferro fundido cinza,
apresentam uma resistência à compressão muito
superior à sua resistência à tração, sendo
denominados materiais irregulares.
❑ Outra característica importante dos materiais frágeis
é a ocorrência de uma resistência ao cisalhamento
superior à resistência à tração:
𝝈𝒕< 𝝉 < 𝝈𝒄
❑ As figura abaixo ilustra o Círculo de Mohr para 
materiais frágeis regulares.
A área contida entre os círculos e as linhas tangentes de falha,
representa a região de segurança de projeto.
Materiais regulares e irregulares
❑ As figura abaixo ilustra o Círculo de Mohr para 
materiais frágeis irregulares.
A área contida entre os círculos e as linhas tangentes de falha,
representa a região de segurança de projeto.
Materiais regulares e irregulares
Elementos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso
❑ Para materiais regulares, as linhas de falha são
constantes e independem do valor da tensão
normal, sendo, portanto, definidas pelo critério da
máxima resistência ao cisalhamento do material.
❑ Por sua vez, os materiais irregulares apresentam as
linhas de falha como uma função de ambas as
tensões, normal (𝜎) e de cisalhamento (𝜏).
compressão, a resistência ao cisalhamento
❑ À medida que aumenta a tensão normal de
do
material torna-se mais elevada.
Materiais regulares e irregulares
Materiais regulares e irregulares
Teoria da Máxima Tensão Normal
(Rankine) – não é aplicável
 O critério de falha do Mohr ou a teoria de falha de
Coulomb-Mohr é uma adaptação da teoria da
máxima tensão normal que, para materiais dúcteis,
estabelece a ocorrência da falha quando a tensão
normal supera algum limite de resistência do material,
no caso dúctil, 𝑆𝑦.
 A figura a seguir ilustra o critério de Coulomb-Mohr
para materiais frágeis, considerando a máxima
resistência à tração 𝑆𝑢𝑡.
Critério de falha de Mohr
❑ A figura abaixo ilustra o critério de Coulomb-Mohr para
materiais frágeis, considerando a máxima resistência à
tração 𝑆𝑢𝑡.
Critério de falha de Mohr
❑ Para materiais regulares temos: 𝑺𝒖𝒕 = −𝑺𝒖𝒄
❑ Ou seja, a máxima resistência à tração é igual à máxima 
resistência à compressão, conforme o quadrado simétrico.
Critério de falha de Mohr
❑ Os materiais frágeis irregulares apresentam uma resistência
à compressão 𝑺𝒖𝒄 muito superior a resistência à tração 𝑺𝒖𝒕,
caracterizando o quadrado maior assimétrico.
Critério de falha de Mohr
❑ Porém, a envoltória de falha para materiais
irregulares é válida somente nos 1º e 3º quadrantes,
por não considerar a relação de variação existente
entre as tensões normal e de cisalhamento.
Critério de falha de Mohr
➢ Relação de dependência
❑ a relação de dependência entre 𝝈 e 𝝉 é contemplada
através da união dos vértices destes dois quadrantes
(1º e 3º)
Critério de falha de Mohr
𝑆𝑢𝑡 = limite de resistência à tração
𝑆𝑢𝑐 = limite de resistência à compressão
➢ Relação de dependência
Critério de falha de Mohr
𝑆𝑢𝑡, 𝑆𝑢𝑡
𝑆𝑢𝑡, 0
0, −𝑆𝑢𝑐
0, 𝑆𝑢𝑡
−𝑆𝑢𝑐, 0
−𝑆𝑢𝑐, −𝑆𝑢𝑐
Estado seguro 
das tensões
𝑆𝑢𝑡, 𝑆𝑢𝑡
𝑆𝑢𝑡, −𝑆𝑢𝑡
0, −𝑆𝑢𝑐
−𝑆𝑢𝑡, 𝑆𝑢𝑡
−𝑆𝑢𝑐, 0
−𝑆𝑢𝑐, −𝑆𝑢𝑐
➢ Teoria de Mohr modificada
❑ Experimentalmente:
Critério de falha de Mohr
Estado seguro 
das tensões
❑ Analisando os primeiro e segundo quadrantes da
figura referente ao critério de Mohr modificado,
definem-se claramente três planos de condições de
tensão:
I. plano A, onde 𝝈𝟏e 𝝈𝟑 são sempre positivos;
I. plano B, onde 𝝈𝟏e 𝝈𝟑 tem sinais opostos e o limite de 
resistência em 𝑺𝒖𝒕;
I. plano C, onde 𝝈𝟏e 𝝈𝟑 tem sinais opostos e os limites 
de resistência em 𝑺𝒖𝒕e 𝑺𝒖𝒄.
Fator de Segurança
Fator de Segurança
𝑆𝑢𝑡, 𝑆𝑢𝑡
𝑆𝑢𝑡, −𝑆𝑢𝑡
0, −𝑆𝑢𝑐
−𝑆𝑢𝑡, 𝑆𝑢𝑡
−𝑆𝑢𝑐, 0
−𝑆𝑢𝑐, −𝑆𝑢𝑐
Estado seguro 
das tensões
𝑆𝑢𝑡, −𝑆𝑢𝑐
❑ O fator de segurança para os planos A e B, é, 
portanto:
𝑁 =
𝑆𝑢𝑡
𝜎1
❑ Pois a falha ocorre quando as linhas de carga
ultrapassam os pontos A’ e B’, respectivamente, para
os planos A e B.
Fator de Segurança
❑ Para o plano C, a interseção da linha de carga com
a envoltória de falha em C’, define o fator de
segurança N.
❑ Para equação da reta entre 0, −𝑆𝑢𝑐 e 𝑆𝑢𝑡 , −𝑆𝑢𝑡 , 
obtém-se:
𝜎1 − 𝑆𝑢𝑡 =
−𝑆𝑢𝑡
𝜎3 + 𝑆𝑢𝑡 −𝑆𝑢𝑐 +𝑆𝑢𝑡
−𝑆𝑢𝑡 𝜎1 +𝜎3 + 𝜎1𝑆𝑢𝑐 = 𝑆𝑢𝑡𝑆𝑢𝑐
𝑆𝑢𝑡𝑆𝑢𝑐
−𝑆𝑢𝑡 𝜎1 +𝜎3 + 𝜎1𝑆𝑢𝑐
= 1
Fator de Segurança
∗
❑ A expressão (∗) estabelece uma relação entre os
𝑺𝒖𝒕limites máximos de resistência à tração , à
compressão 𝑺𝒖𝒄e as tensões principais 𝝈𝟏e 𝝈𝟑, igual à
unidade 𝟏 , o que significa justamente a reta que
contorna o critério de falha para o quarto quadrante.
❑ Para valores superiores à unidade, o estado de
tensões se encontra no interior do hexágono
deformado pelo critério de Mohr modificado,
estando, portanto, a favor da segurança.
Fator de Segurança
❑ Portanto:
𝑆𝑢𝑡𝑆𝑢𝑐
= 1
−𝑆𝑢𝑡 𝜎1 + 𝜎3 + 𝜎1𝑆𝑢𝑐
𝑆𝑢𝑡𝑆𝑢𝑐
−𝑆𝑢𝑡 𝜎1 + 𝜎3 + 𝜎1𝑆𝑢𝑐
= 𝑁
𝑆𝑢𝑡𝑆𝑢𝑐 = 𝑁 −𝑆𝑢𝑡 𝜎1 + 𝜎3 + 𝜎1𝑆𝑢𝑐
𝑆𝑢𝑡𝑆𝑢𝑐 = −𝑆𝑢𝑡𝑁 𝜎1 + 𝜎3 + 𝑁𝜎1𝑆𝑢𝑐
𝑁𝜎1 − 𝑆𝑢𝑡 =
−𝑆𝑢𝑡
𝑁𝜎3 + 𝑆𝑢𝑡 −𝑆𝑢𝑐 +𝑆𝑢𝑡
Fator de Segurança
𝑁𝜎3 +𝑆𝑢𝑡
𝑁𝜎1 − 𝑆𝑢𝑡 =
−𝑆𝑢𝑡
−𝑆𝑢𝑐 +𝑆𝑢𝑡
𝜎1 − 
𝑆𝑢𝑡
𝑁
3 𝑁𝜎 +
𝑆𝑢𝑡
=
−𝑆𝑢𝑡
𝑁
−𝑆𝑢𝑐 +𝑆𝑢𝑡
𝑁
❑ Na aplicação desta teoria, pode ser conveniente a 
definição de uma tensão efetiva
❖ (expressão de Dowling)
Fator de Segurança
∗∗
❑ expressão de Dowling:
1𝐶 =
1
2
𝜎1 − 𝜎2 + 
𝑆𝑢𝑐 + 2𝑆𝑢𝑡
𝑆𝑢𝑐
𝜎1 + 𝜎2
2𝐶 =
1
2
𝜎2 −𝜎3 + 
𝑆𝑢𝑐 + 2𝑆𝑢𝑡
𝑆𝑢𝑐
𝜎2 + 𝜎3
3𝐶 =
1
2
𝜎3 −𝜎1 + 
𝑆𝑢𝑐 + 2𝑆𝑢𝑡
𝑆𝑢𝑐
𝜎3 + 𝜎1
Fator de Segurança
❑ O maior valor estimado entre 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝜎1, 𝜎2 e 𝜎3,
será assumido como tensão efetiva para materiais
frágeis.
𝜎 = 𝑀𝐴𝑋 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝜎1, 𝜎2,𝜎3
❑ Se
𝜎 = 𝑀𝐴𝑋 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝜎1, 𝜎2,𝜎3 ≤ 0 ⇒ 𝜎 = 0
Fator de Segurança
❑ A tensão efetiva de Mohr modificada pode, então,
ser comparada à máxima resistência à tração, para
o fator de segurança𝑵:
𝑁 =
𝑆𝑢𝑡
𝜎
❑ Onde:
𝑆𝑢𝑡 = limite de resistência à tração
𝜎 = tensão efetiva para materiaisfrágeis
Fator de Segurança
𝝈𝟏−𝝈𝟐
𝝉𝒎𝒂𝒙
−𝝉𝒎𝒂𝒙
𝑻 = 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝑵 ∙ 𝒎
𝑻 = 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝑵 ∙ 𝒎
𝒓
❑ O eixo maciço de ferro fundido mostrado na figura abaixo 
está sujeito a um torque 𝑻 = 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝑵 ∙ 𝒎.
❑ Determine seu menor raio de forma que ele não falhe
segundo a teoria da máxima tensão normal.
❑ Um corpo de prova de ferro fundido, testado a tração, 
apresenta uma tensão última 𝝈𝒖 𝒕 = 𝟏𝟓𝟎 𝒌𝑷𝒂.
Exercícios - 1
𝟓𝟎𝟎 𝑵 ∙𝒎
𝟓𝟎𝟎 𝑵 ∙𝒎
𝟐𝒌𝑵
❑ O cilindro curto de concreto, mostrado na figura abaixo, 
com diâmetro de 𝟓𝟎𝒎𝒎 está sujeito a um torque de
𝟓𝟎𝟎 𝑵 ∙ 𝒎 e a uma carga axial compressiva de 𝟐 𝒌𝑵.
❑ Determine se ele falhará segundo a teoria da máxima 
tensão normal.
𝟐𝒌𝑵
❑ A tensão última do
concreto é 𝝈𝒖 = 𝟐𝟖 𝑴𝑷𝒂.
Exercícios - 2
❑ Depois que falhas ocorreram emdiversas caixas de rolamento de
ferro fundido, tomou-se a decisão de usar rosetas de extensômetros
(stran-gages) para determinar as tensões de operação e então
realizar uma análise de falha usando o critério de falha de Mohr.
❑ Durante um longo período de operação, a combinação mais 
crítica de tensões foi estabelecida como sendo ( 𝝈𝒙= 𝟎 ,
𝝈𝒚 = 𝟏𝟏𝟓𝑴𝑷𝒂, 𝝉𝒙𝒚 = 𝟕𝟓𝑴𝑷𝒂); e os limites de resistência em tração e
compressão do ferro fundido foram determinados como sendo
𝝈𝒖𝒕= 𝟏𝟔𝟎𝑴𝑷𝒂 e 𝝈𝒖𝒄= 𝟔𝟓𝟓𝑴𝑷𝒂, respectivamente. Determine:
(a)tensões principais 𝝈𝟏 e 𝝈𝟐 correspondentes ao estado de tensão
dado.
(b) Construa um diagrama de falha de Mohr, para o ferro fundido.
(c)Usando os resultados obtidos nos itens (a) e (b), você poderia
explicar porque as falhas estão ocorrendo nas caixas de
rolamentos? Mostre seus cálculos.
Exercícios - 3
❑ Considere a chave de roda da figura a seguir, como feita
de ferro fundido, usinada para as dimensões.
❑ A força 𝑭 requerida para a fratura dessa peça pode ser
considerada a resistência da componente da peça.
❑ Se o material utilizado é o ferro fundido 𝑨𝑺𝑻𝑴 𝒈𝒓𝒂𝒖 𝟑𝟎 ,
encontre a força 𝑭 com o modelo de falha de Mohr
modificado.
❑ Dados:
𝜎𝑢𝑡 = 215 𝑀𝑃𝑎
𝜎𝑢𝑐 = 750 𝑀𝑃𝑎
Exercícios - 4
𝟓 𝒄𝒎
𝟑𝟎 𝒄𝒎
∅ 𝟓 𝒄𝒎
𝟒𝟎 𝒄𝒎
Exercícios - 4
Falha de materiais dúcteis
sujeitos
à carregamento estático
❑ Sabe-se que os materiais dúcteis sofrem fratura
quando são estaticamente tensionados além de sua
máxima resistência à tração, ou tensão de ruptura.
❑ Porém, a falha dos componentes de máquinas para
este tipo de material é, geralmente, considerada
quando este sofre escoamento sob carregamento
estático.
❑ Sua resistência ao escoamento é consideravelmente
inferior à sua resistência máxima.
Teoria da Máxima 
Tensão de
Cisalhamento (Teoria de Tresca)
❑ Materiais Dúcteis
❑ Definição: (Shigley)
❑ A teoria da tensão máxima de cisalhamento prevê
que o escoamento começa sempre que a tensão
máxima de cisalhamento em qualquer elemento
iguala-se ou excede à tensão máxima de
cisalhamento em um espécime de ensaio de tração
do mesmo material quando aquele espécime
começa a escoar.
Teoria da Máxima 
Tensão de
Cisalhamento (Teoria de Tresca)
❑ Materiais Dúcteis
❑ “Traduzindo”
❑ A teoria da máxima tensão de cisalhamento (Tresca)
estabelece que a falha ocorre quando a tensão de
cisalhamento máxima em uma região supera a
tensão de cisalhamento resultante de um teste de
falha por tração.
Teoria da Máxima 
Tensão de
Cisalhamento (Teoria de Tresca)
❑ Neste caso, para materiais dúcteis, a resistência ao
cisalhamento é a metade da resistência ao
escoamento por tração.
𝑺𝒔𝒚 = 𝟎, 𝟓𝟎 ∙ 𝝈𝒆
❑ ou
𝑺𝒔𝒚 =
𝝈𝒆
𝟐
❑ Onde:
𝜎𝑒= resistência ao escoamento por tração
𝑆𝑠𝑦 = resistência ao cisalhamento
Teoria da Máxima 
Tensão de
Cisalhamento (Teoria de Tresca)
✓ 𝑺𝒔𝒚= 𝟎, 𝟓𝟎 ∙ 𝝈𝒆
Círculo de Mohr para Solicitação por Tração
Teoria da Máxima 
Tensão de
Cisalhamento (Teoria de Tresca)
❑ De acordo com a figura temos:
𝜏𝑚𝑎 = 
𝜎1 − 𝜎3
2
❑ Pela definição de Tresca:
𝑆𝑠 =
𝜎𝑒
2
❑ Reescrevendo, temos:
𝜏𝑚𝑎 ⇒=
𝜎𝑒 𝜎1 − 𝜎3 =
𝜎𝑒
2 2 2
⇒ 𝜎1 − 𝜎3 = 𝜎𝑒
Teoria da Máxima 
Tensão de
Cisalhamento (Teoria de Tresca)
❑ Logo, para um estado de tensão geral, a teoria da
máxima tensão de cisalhamento prevê escoamento
quando:
𝝈𝟏 − 𝝈𝟑 ≥𝝈𝒆
❑ Para propósitos de projeto, a equação acima pode
ser modificada para incorporar um fator de
segurança, 𝒏. Assim:
𝜎1 − 𝜎3 =
𝜎𝑒
𝑛
Teoria da Máxima 
Tensão de
Cisalhamento (Teoria de Tresca)
❑ Porém, para realizar a correta análise segundo a
teoria de Tresca, há três casos a considerar quando
utilizarmos a equação definida anteriormente, sendo
eles:
𝜎1 − 𝜎3 ≥ 𝜎𝑒
❑ Caso 1
✓ 𝜎1 = 𝜎𝐴 e 𝜎3 = 0 → 𝜎𝐴 ≥ 𝜎𝐵 ≥ 0 → ambos positivos
𝝈𝑨 ≥ 𝝈𝒆
Teoria da Máxima 
Tensão de
Cisalhamento (Teoria de Tresca)
𝜎1 − 𝜎3 ≥ 𝜎𝑒
❑ Caso 2
✓ 𝜎1 = 𝜎𝐴 e 𝜎3 = 𝜎𝐵 → 𝜎𝐴 ≥ 0 ≥ 𝜎𝐵 → sinais opostos
𝝈𝑨 − 𝝈𝑩 ≥ 𝝈𝒆
❑ Caso 3
✓ 𝜎1 = 0 e 𝜎3 = 𝜎𝐵 → 0 ≥ 𝜎𝐴 ≥ 𝜎𝐵 → ambos negativos
𝝈𝑩 ≥ −𝝈𝒆
Teoria da Máxima 
Tensão de
Cisalhamento (Teoria de Tresca)
❑ São consideradas dentro dos limites de segurança, as
tensões combinadas que se localizarem na área
interna ao hexágono, estando o elemento sujeito à
falha quando estas se posicionarem sobre o contorno
que delimita o hexágono:
Exercícios - 1
❑ O eixo maciço mostrado na figura abaixo tem raio de
𝟎,𝟓 𝒄𝒎 e é feito de aço com tensão de escoamento de
𝝈𝒆 = 𝟑𝟔𝟎 𝑴𝑷𝒂.
❑ Determine se as cargas
provocam a falha do
eixo de acordo como
a teoria de Tresca.
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥
Exercícios - 2
❑ Um componente de máquina construído em aço, está 
submetido ao estado de tensões indicado.
❑ O aço utilizado tem 𝝈𝒆 = 𝟑𝟑𝟏 𝑴𝑷𝒂.
❑ Determine se vai ocorrer escoamento de acordo com o
◦ critério de Tresca.
◦ (a) considerar 𝝈𝒐 = 𝟐𝟏𝟎 𝑴𝑷𝒂
◦ (b) considerar 𝝈𝒐 = 𝟐𝟗𝟒 𝑴𝑷𝒂
10 𝑘𝑃𝑎
4 𝑘𝑃𝑎
8 𝑘𝑃𝑎
❑ O estado de tensões atuantes no ponto crítico de um
elemento de máquina é mostrado na figura abaixo.
❑ Determine a menor tensão de escoamento para um aço a
ser selecionado para a fabricação do componente,
baseado na teoria da máxima tensão cisalhante.
Exercícios - 3
Teoria da Energia de
Distorção
(Teoria de von Mises)
❑ Materiais Dúcteis
❑ Definição: (Shigley)
❑ A teoria da energia de distorção prevê que ocorre
escoamento quando a energia de deformação por
distorção em uma unidade de volume alcança ou
excede à energia de deformação por distorção por
unidade de volume correspondente ao escoamento
sob tração ou compressão do mesmo material.
Teoria da Energia de Distorção
(Teoria de von Mises)
❑ Materiais Dúcteis
❑ “Traduzindo”
❑ O escoamento ocorre devido ao deslizamento
relativo das partículas de material dentro dos limites
de sua estrutura. Tal deslizamento é provocado por
tensões de cisalhamento, sendo acompanhado por
uma distorção na forma do elemento em questão. A
energia armazenada neste elemento devido à
distorção é um indicador das tensões de
cisalhamento presentes no material.
Teoria da Energia de Distorção
(Teoria de von Mises)
❑ Energia Total de Deformação
 Define-se por energia de deformação 𝑼 a área sob a
curva tensão-deformação, contida até o ponto
correspondente à tensão aplicada 𝝈𝒊 , para um
estado de tensão unidirecional.
𝟏
𝑼 = 
𝟐
∙ 𝒃𝒂𝒔𝒆 ∙ 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂
𝟏
𝑼 = 
𝟐
∙ 𝝈 ∙ 𝜺
Teoria da Energia de Distorção
(Teoria de von Mises)
❑ Energia Total de Deformação
 Considerando um estado tridimensional de tensões,
temos:
𝟏
𝑼 = 
𝟐
∙ 𝝈𝒊 ∙ 𝜺𝒊
𝟐
𝑼 =
𝟏
𝝈 𝜺 + 𝝈 𝜺 + 𝝈 𝜺𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑
 Onde:
𝝈𝟏, 𝝈𝟐, 𝝈𝟑→ tensões principais presentes nomaterial
𝜺𝟏, 𝜺𝟐, 𝜺𝟑→ deformações principais nomaterial
Teoria da Energia de Distorção
(Teoria de von Mises)
❑ Energia Total de Deformação
 Da Lei de Hooke (generalizada), temos:
𝟏 𝑬
𝜺 = 
𝟏
𝝈 𝟏 𝟐− 𝝂 𝝈 +𝝈𝟑
𝟐 𝑬
𝜺 = 
𝟏
𝝈 𝟐 𝟏− 𝝂 𝝈 +𝝈𝟑
𝟑 𝑬
𝜺 = 
𝟏
𝝈 𝟑 𝟏− 𝝂 𝝈 +𝝈𝟐
 Onde:
𝝂→ coeficiente de Poisson
Teoria da Energia de Distorção
(Teoria de von Mises)
❑ Energia Total de Deformação
com a Combinando a equação da Energia (𝑼)
Lei de Hooke generalizada 𝜺𝒊 , temos:
𝑼 =
𝟏
𝟐𝑬
𝝈𝟏𝟐 + 𝝈𝟐𝟐 + 𝝈𝟑𝟐 − 𝟐𝝂 𝝈𝟏𝝈𝟐 + 𝝈𝟐𝝈𝟑 + 𝝈𝟏𝝈𝟑
Teoria da Energia de Distorção
(Teoria de von Mises)
❑ Componentes da Energia de Deformação
 A energia total de deformação, em um elemento
sujeito a carregamento estático, é composta por
duas componentes:
➢ carregamento hidrostático
→ altera o volume do elemento
➢ distorção
→ altera a forma do elemento
Teoria da Energia de Distorção
(Teoria de von Mises)
❑ Componentes da Energia de Deformação
(a) estado triaxial de tensões
(b) variação de volume (carregamento hidrostático)
(c) distorção
Teoria da Energia de Distorção
(Teoria de von Mises)
❑ Componentes da Energia de Deformação
 Assim, separando as duas componentesda energia
de deformação e isolando a componente da
energia de distorção, esta será um indicador da
tensão de cisalhamento presente no elemento.
 Se 𝑼𝒅 é a energia de deformação por distorção e
𝑼𝒉 representa a energia de deformação 
hidrostática, então:
𝑼 = 𝑼𝒅+ 𝑼𝒉 ⇒ 𝑼𝒅= 𝑼 − 𝑼𝒉
Teoria da Energia de Distorção
(Teoria de von Mises)
❑ Componentes da Energia de Deformação
 As tensões principais, por sua vez, também podem
ser expressas em termos de componente hidrostático
(ou volumétrico), que é a mesma para todas as faces
do material; e da componente de distorção, que
varia de acordo com a face considerada.
𝝈𝟏 = 𝝈𝟏𝒅 +𝝈𝒉
𝝈𝟐 = 𝝈𝟐𝒅 +𝝈𝒉
𝝈𝟑 = 𝝈𝟑𝒅 +𝝈𝒉
Teoria da Energia de Distorção
(Teoria de von Mises)
❑ Componentes da Energia de Deformação
 Somando as tensões principais, temos:
𝝈𝟏 + 𝝈𝟐 + 𝝈𝟑 = 𝝈𝟏𝒅 + 𝝈𝒉 + 𝝈𝟐𝒅 + 𝝈𝒉 + 𝝈𝟑𝒅 + 𝝈𝒉
𝝈𝟏+ 𝝈𝟐+ 𝝈𝟑= 𝝈𝟏𝒅 + 𝝈𝟐𝒅 + 𝝈𝟑𝒅+ 𝟑𝝈𝒉
✓ Portanto:
𝟑𝝈𝒉 = 𝝈𝟏 + 𝝈𝟐 +𝝈𝟑 − 𝝈𝟏𝒅 + 𝝈𝟐𝒅 +𝝈𝟑𝒅
Teoria da Energia de Distorção
(Teoria de von Mises)
❑ Componentes da Energia de Deformação
 Para uma redução volumétrica, sem distorção, a
tensão hidrostática se reduz a uma média aritmética
das tensões principais:
𝟑𝝈𝒉 = 𝝈𝟏 + 𝝈𝟐 +𝝈𝟑 − 𝝈𝟏𝒅 + 𝝈𝟐𝒅 +𝝈𝟑𝒅
𝟑𝝈𝒉 = 𝝈𝟏 + 𝝈𝟐 +𝝈𝟑
𝝈𝒉 = 
𝝈𝟏 + 𝝈𝟐+𝝈𝟑
𝟑
Teoria da Energia de Distorção
(Teoria de von Mises)
❑ Componentes da Energia de Deformação
 Substituindo as tensões principais 𝝈𝟏, 𝝈𝟐, 𝝈𝟑 pela
tensão hidrostática 𝝈𝒉 na equação da Energia 𝑼 ,
obtemos a energia de deformação hidrostática 𝑼𝒉 :
𝑼 =
𝟏
𝟐𝑬
𝝈𝟏𝟐 + 𝝈𝟐𝟐 + 𝝈𝟑𝟐 − 𝟐𝝂 𝝈𝟏𝝈𝟐 + 𝝈 𝝈𝟐 𝟑 + 𝝈 𝝈𝟏 𝟑
𝑼𝒉 =
𝟏
𝟐𝑬
𝝈𝒉𝟐 + 𝝈𝒉𝟐 + 𝝈𝒉𝟐 − 𝟐𝝂 𝝈𝒉𝝈𝒉 + 𝝈 𝝈𝒉 𝒉 + 𝝈 𝝈𝒉 𝒉
𝑼𝒉 =
𝟏
𝟐𝑬
𝝈𝒉𝟐 + 𝝈𝒉𝟐 + 𝝈𝒉𝟐 − 𝟐𝝂 𝝈𝒉𝟐 + 𝝈𝒉𝟐 + 𝝈 𝒉
𝟐
Teoria da Energia de Distorção
(Teoria de von Mises)
❑ Componentes da Energia de Deformação
𝑼𝒉 =
𝟏
𝟐𝑬
𝝈𝒉𝟐 + 𝝈𝒉𝟐 + 𝝈𝒉𝟐 − 𝟐𝝂 𝝈𝒉𝟐 + 𝝈𝒉𝟐 + 𝝈𝒉
𝟐
𝑼𝒉 =
𝟏
𝟐𝑬
𝟑𝝈𝒉
𝟐 − 𝟐𝝂 𝟑𝝈𝒉
𝟐
𝑼𝒉 =
𝟏
𝟐𝑬 𝒉
𝟑𝝈 𝟐 𝟏 −𝟐𝝂
𝑼𝒉 = 
𝟑 𝟏 − 𝟐𝝂
𝟐𝑬
𝝈𝒉
𝟐
Teoria da Energia de Distorção
(Teoria de von Mises)
❑ Componentes da Energia de Deformação
 Substituindo a tensão hidrostática 𝝈𝒉 pelas tensões
principais 𝝈𝟏,𝝈𝟐,𝝈𝟑 em 𝑼𝒉 , temos:
𝑼𝒉 = 
𝟑 𝟏 − 𝟐𝝂
𝟐𝑬
𝝈𝒉
𝟐
𝑼𝒉 =
𝟑 𝟏 −𝟐𝝂
𝟐𝑬
𝝈𝟏+ 𝝈𝟐 +𝝈𝟑
𝟑
𝟐
𝒉𝑼 =
𝟏 − 𝟐𝝂
𝟔𝑬
𝝈𝟏𝟐 + 𝝈𝟐𝟐 + 𝝈𝟑𝟐 − 𝟐 𝝈𝟏𝝈𝟐 + 𝝈 𝝈𝟐 𝟑 + 𝝈 𝝈𝟏 𝟑
Teoria da Energia de Distorção
(Teoria de von Mises)
❑ Componentes da Energia de Deformação
 A energia de distorção 𝑼𝒅 é, então, obtida,
subtraindo a energia de deformação hidrostática
𝑼𝒉 da energia de deformação 𝑼 , ou seja:
𝑼 = 𝑼𝒅+ 𝑼𝒉
𝑼𝒅= 𝑼 − 𝑼𝒉
Teoria da Energia de Distorção
(Teoria de von Mises)
❑ Componentes da Energia de Deformação
𝑼𝒅= 𝑼 − 𝑼𝒉
𝑼𝒅 =
𝟏
𝟐𝑬
𝝈𝟏𝟐 + 𝝈𝟐𝟐 + 𝝈𝟑𝟐 − 𝟐𝝂 𝝈𝟏𝝈𝟐 + 𝝈𝟐𝝈𝟑 + 𝝈𝟏𝝈𝟑 −
−
𝟏 − 𝟐𝝂
𝟔𝑬
𝝈𝟏𝟐 + 𝝈𝟐𝟐 + 𝝈𝟑𝟐 − 𝟐 𝝈𝟏𝝈𝟐 + 𝝈𝟐𝝈𝟑 + 𝝈𝟏𝝈𝟑
𝑼𝒅 =
𝟏 + 𝝂
𝟑𝑬
𝝈𝟏𝟐 + 𝝈𝟐𝟐 + 𝝈𝟑𝟐 − 𝝈𝟏𝝈𝟐 − 𝝈𝟐𝝈𝟑 − 𝝈𝟏𝝈𝟑
Teoria da Energia de Distorção
(Teoria de von Mises)
❑ Critério de Falha
 Para se obter um critério de falha, comparamos a
energia de distorção, por volume unitário, dada pela
expressão de 𝑼𝒅 , com a energia de distorção, por
volume unitário, presente num teste de falha por
tração 𝑼𝒅 𝒕, por ser esta a principal fonte de dados
de resistência dos materiais.
 Trata-se, portanto, da resistência ao escoamento 𝝈𝒆
Teoria da Energia de Distorção
(Teoria de von Mises)
❑ Critério de Falha
 O teste de tração é um estado de tensão uniaxial
onde, no escoamento, tem-se:
𝝈𝟏 = 𝝈𝒆 e 𝝈𝟐 = 𝝈𝟑 = 𝟎
 Portanto, da expressão de 𝑼𝒅 , obtém-se a energia 
de distorção para o teste de tração 𝑼𝒅 𝒕:
𝑼𝒅 𝒕 =
𝟏 + 𝝂
𝟑𝑬 𝒆
𝝈 𝟐
Teoria da Energia de Distorção
(Teoria de von Mises)
❑ Critério de Falha
𝑼𝒅 𝒕 =
𝟏 + 𝝂
𝟑𝑬 𝒆
𝝈 𝟐
Círculo de Mohr para Tensão de Tração Unidirecional
Teoria da Energia de Distorção
❑ Critério de Falha
◦  Portanto, para um estado tridimensional, o critério de
◦ falha por energia de distorção, fica:
◦ 𝑼𝒅 𝒕 = 𝑼𝒅
(Teoria de von Mises)
𝟏 + 𝝂
𝟑𝑬 𝒆
𝝈 𝟐 =
𝟏 + 𝝂
𝟑𝑬
𝝈𝟏𝟐 + 𝝈𝟐𝟐 + 𝝈𝟑𝟐 − 𝝈𝟏𝝈𝟐 − 𝝈𝟐𝝈𝟑 − 𝝈 𝝈𝟏 𝟑
𝝈𝒆𝟐 = 𝝈𝟏𝟐 + 𝝈𝟐𝟐 + 𝝈𝟑𝟐 − 𝝈𝟏𝝈𝟐 − 𝝈𝟐𝝈𝟑 − 𝝈𝟏𝝈𝟑
𝝈𝒆 = 𝝈𝟏𝟐 + 𝝈𝟐𝟐 + 𝝈𝟑𝟐 − 𝝈𝟏𝝈𝟐 − 𝝈𝟐𝝈𝟑 − 𝝈𝟏𝝈𝟑
Teoria da Energia de Distorção
(Teoria de von Mises)
❑ Critério de Falha
 e, para um estado bidimensional, o critério de falha
por energia de distorção, fica:
𝝈𝟐 = 𝟎
𝝈𝒆 = 𝝈𝟏𝟐 + 𝝈𝟐𝟐 + 𝝈𝟑𝟐 − 𝝈𝟏𝝈𝟐 − 𝝈𝟐𝝈𝟑 − 𝝈𝟏𝝈𝟑
𝝈𝒆 = 𝝈𝟏𝟐 + 𝝈𝟑𝟐 − 𝝈𝟏𝝈𝟑
Teoria da Energia de Distorção
(Teoria de von Mises)
❑ Critério de Falha
 A equação do critério de falha para um estado
bidimensional descreve uma elipse nos respectivos eixos 𝝈𝟏
e 𝝈𝟑.
 O interior da elipse define a região das tensões biaxiais
combinadas, dentro dos limites de segurança quanto ao
escoamento, sob carga estática.
 A equação do critério de falha para um estado
tridimensional descreve um cilindro de seção circular,
inclinado em relação aos eixos 𝝈𝟏, 𝝈𝟐 e 𝝈𝟑, de modo que
sua interseção com qualquer dos três planos principais, seja
uma elipse como a da figura a seguir.
Para torção pura
𝝈𝒆
𝝈𝟏𝟐 − 𝝈𝟏𝝈𝟑 + 𝝈𝟑𝟐
= 𝟏
Teoria da Energia de Distorção
(Teoria de von Mises)
❑ Critério de Falha
Elipse da Energia de Distorção em 2-D para Resistência ao Escoamento
Teoria da Energia de Distorção
(Teoria de von Mises)
❑ Tensão Efetiva de von Mises
 Define-se como tensão efetiva de Von Mises (𝝈′) uma
tensão de tração uniaxial, capaz de gerar a mesma
energia de distorção, como aquela resultante da
combinação das tensões reais aplicadas.
𝝈′ = 𝝈𝟏𝟐 + 𝝈𝟐𝟐 + 𝝈𝟑𝟐 − 𝝈𝟏𝝈𝟐 − 𝝈𝟐𝝈𝟑 − 𝝈𝟏𝝈𝟑
Homenagem ao Dr. Von Mises – colaborador da Teoria
Teoria da Energia de Distorção
(Teoria de von Mises)
❑ Tensão Efetiva de von Mises
 Portanto, para um estado tridimensional, a teoria de
von Mises, fica:
𝝈′ = 𝝈𝟏𝟐 + 𝝈𝟐𝟐 + 𝝈𝟑𝟐 − 𝝈𝟏𝝈𝟐 − 𝝈𝟐𝝈𝟑 − 𝝈𝟏𝝈𝟑
 em termos das tensões aplicadas, temos:
𝝈′ =
𝟐 𝟐
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚 + 𝝈𝒚 − 𝝈𝒛 + 𝝈𝒛 − 𝝈𝒙 𝟐 + 𝟔 𝝉𝒙𝒚𝟐 + 𝝉𝒚𝒛𝟐 + 𝝉𝒛𝒙𝟐
Teoria da Energia de Distorção
(Teoria de von Mises)
❑ Tensão Efetiva de von Mises
𝜎2 = 0 , a teoria de e, para um estado bidimensional,
von Mises, fica:
𝜎𝑧= 0 , 𝜏𝑦𝑧 = 0 ,
𝝈′ = 𝝈𝟏𝟐 + 𝝈𝟑𝟐 − 𝝈𝟏𝝈𝟑
 em termos das tensões aplicadas,
𝜏𝑧𝑥 = 0 , temos:
𝝈′ = 𝝈𝒙𝟐 + 𝝈𝒚𝟐 − 𝝈𝒙𝝈𝒚 + 𝟑𝝉𝒙𝒚
𝟐
Teoria da Energia de Distorção
(Teoria de von Mises)
❑ Critério de Falha de von Mises
 Logo, para materiais dúcteis, o escoamento ocorrerá
quando:
𝝈′ ≥𝝈𝒆
 onde:
𝝈𝒆→ resistência ao escoamento por tração
𝝈′ → tensão efetiva de von Mises
Para torção pura
𝝈𝒆
𝝈𝟏𝟐 − 𝝈𝟏𝝈𝟑 + 𝝈𝟑𝟐
= 𝟏
Teoria da Energia de Distorção
(Teoria de von Mises)
❑ Critério de Falha de von Mises
Estado seguro 
das tensões
Teoria da Energia de Distorção
(Teoria de von Mises)
❑ Fator de Segurança
 Dentro do escopo de projeto, é interessante incluir
uma estimativa do fator de segurança 𝑵 , de modo
que o estado de tensões esteja dentro dos limites de
segurança da elipse de tensões.
𝑵 =
𝝈𝒆
𝝈′
 onde:
𝑵 ≤ 𝟏 → falha por escoamento
Comparação
Tresca x von Mises
𝝈𝒆
𝝈𝟐
𝝈𝟏
𝝈𝒆
−𝝈𝒆
−𝝈𝒆
−𝝈𝒆, −𝝈𝒆
𝝈𝒆,𝝈𝒆
Tresca (hexágono)
von Mises (elipse)
❑ O estado plano de tensões no ponto crítico da braçadeira
de aço de uma máquina é mostrado na figura abaixo.
❑ Se a tensão de escoamento do aço é 𝝈𝒆 = 𝟑𝟔 𝒌𝑷𝒂 ,
determine se ocorre escoamento do material utilizando a
teoria da máxima energia de distorção (von Mises).
𝟏𝟐 𝒌𝑷𝒂
𝟏𝟖 𝒌𝑷𝒂
𝟐𝟎 𝒌𝑷𝒂
Exercícios - 1
❑ Um aço laminado a quente tem resistência ao
escoamento de 𝝈𝒆 = 𝟏𝟎𝟎 𝒌𝑷𝒂 e uma deformação
verdadeira na fratura de 𝜺𝒇= 𝟎, 𝟓𝟓.
❑ Estimeo fator de segurança para os seguintes estados de
tensão principal, de acordo com o critério de falha de von
Mises:
a) 𝟕𝟎, 𝟕𝟎, 𝟎𝒌𝑷𝒂
(estado bidimensional)
b) 𝟑𝟎, 𝟕𝟎, 𝟓𝟎𝒌𝑷𝒂
(estado tridimensional)
Exercícios - 2
Exercícios - 3
❑ O eixo maciço mostrado na figura abaixo tem raio de
𝟎,𝟓 𝒄𝒎 e é feito de aço com tensão de escoamento de
𝝈𝒆 = 𝟑𝟔𝟎 𝑴𝑷𝒂.
❑ Determine se as cargas
provocam a falha do
eixo de acordo como
a teoria de von Mises.
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥
Elementos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso